BAB IV PENGGUNAAN TURUNAN 4.1. Maksimum dan Minimum
Pada Pada Bab III, III, telah telah dibica dibicaak akan an !ena"s !ena"sia ian n tuuna tuunan n secaa secaa #e$met #e$meti i %akni %akni masala masalah h #ais #ais sin##un#, mau!un m$del matematika lainn%a %an# bekaitan den#an masalah la&u bekaitan. 'al 'al ini ini mend mend$ $$n# $n# memu memun#k n#kin inkan kan men# men##un #unak akan an tuu tuuna nan n seba# seba#ai ai alat alat bant bantu u untu untuk k men##ambakan #a"ik "un#si mau!un !en##unaan lainn%a %an# bekaitan den#an masalah maksimum atau minimum dai m$del matematika %an# da!at diselesaikan den#an tuunan. Untuk itu !embahasan !embahasan ini dimulai dimulai den#an bebea!a bebea!a de"inisi de"inisi dan te$ema te$ema %an# bekaitan bekaitan den#an masalah maksimum dan atau minimum.
(e"inisi 4.4.1. Andaikan S , daeah asal "un#si f "un#si f , %an# memuat titik c. (ikatakan bah)a * +1 f +1 f +c adalah nilai maksimum f maksimum f !ada !ada S , &ika f &ika f +c ≥ f + x x untuk semua x semua x di S di S . . +- f +- f +c adalah nilai minimum f minimum f !ada !ada S , &ika f &ika f + xc xc ≤ f + x x untuk semua x semua x !ada !ada S . + f + f +c adalah nilai ekstim f ekstim f !ada !ada S &ika f &ika f +c adalah nilai maksimum atau minimum.
y
y
y / y / f f + x x
y / y / f f + x x
x 0
a
c
b
x 0
Gamba 4.1.1.
a
c
Gamba 4.1.-.
14
b
eba#ai ilustasi (e"inisi 4.1.1., Gamba 4.1.1. dan 4.1.- masin#2masin# menun&ukkan sketsa seba#ian #a"ik %an# mem!un%ai maksimum di c. edan#kan #amba 4.1. dan 4.1.-. masin#2 masin# menun&ukkan seba#ian #a"ik %an# mem!un%ai nilai minimum di c. y
y
y / f + x y / f + x
x 0
a
c
b
x 0
Gamba 4.1..
a
c
b
Gamba 4.1.4.
Pada de"inisi 4.1.1. disebutkankan bah)a "un#si f tede"inisi !ada daeah asal S , akan teta!i tidak disebutkan a!akah S meu!akan inte3al tebuka atau inte3al tetutu!. (ua te$ema beikut ini membeikan !as%aat nilai ekstim dan !as%aat !as%aat titik kitis %an# di#unakan untuk mel$kalisi kemun#kinan nilai2nilai c %an# membeikan nilai ekstim.
Te$ema 4.1.1. Teorema Kewujudan Maksimum Minimum. ika f "un#si k$ntinu !ada inte3al tetutu! 5a,b6, maka f akan menca!ai nilai maksimum dan nilai minimum.
Te$ema 4.1.-. Teorema Titik Kritis. Andaikan "un#si f dide"inisikan !ada inte3al I %an# memuat titik c. ika f +c adalah titik ekstim, maka c hauslah suatu titik kitis, %akni c beu!a salah satu dai * +1 titik u&un# inte3al I 7 +- titik stasi$ne dai f , %akni f ′+c / 07 + titik sin#ula dai f , %akni f ′+c tidak ada.
18
(ai Te$ema 4.1.1. da!at ditaik kesim!ulan bah)a !es%aatan %an# haus di!enuhi te&adin%a nilai ekstim di c adalah f k$ntinu dan S adalah inte3al tetutu!. edan#kan dai te$ema 4.1.-. mens%aatkan bah)a c, hauslah titik kitis. eba#ai ilustasi untuk men&elaskan f ′+c tidak ada, misalkan "un#si f dide"inisikan $leh * 4 − x , &ika x ≤
f + x =
x - − x , &ika x > -
ketsa #a"ik, di!elihatkan !ada Gamba 4.1.8. 9un#si f k$ntinu untuk semua nilai x, akan
y / x- 2 x
y
teta!i f ′+- tidak ada, kaena lim
f + x, − f +-, x−-
x→-−
/ 21
y / 4 2 x
dan lim
f + x, − f + -, x−-
x→ -+
/
adi x / - adalah titik sin#ula, dan
0
f +- / - meu!akan nilai ekstim.
-
x
Gamba 4.1.8.
:$nt$h 4.1.1. Misalkan f "un#si %an# dibeikan $leh !esamaan, f + x / x-;+8 < x Tentukan nilai ektim dan buatlah sketsa #a"ik "un#sin%a, !ada inte3al 521,46. Pen%elesaian * Titik Kritis. =an#kah !etama sebelum menentukan nilai ekstim adalah mencai titik kitis. (en#an mendi"eensialkan "un#si f tehada! x, maka dihasilkan * f ′+ x / /
10 −1; . 8 - ; . x − x . . 8+- − x ,
. x1 ; .
Menuut te$ema 4.1.-. titik kitis haus dicai adalah batas inte3al, titik stasi$ne dan titik sin#ula. adi batas inte3al, x / 21, dan x / 4 meu!akan titik kitis.
1>
Titik singular . ?aena f ′ "un#si asi$nal, sehin##a f ′ tidak tede"inisikan !ada !en%ebut sama den#an n$l. adi f ′+0 tidak ada de"inisin%a, dan x / 0 meu!akan titik sin#ula. Titik stasioner . Untuk x ≠ 0, f ′+ x / 0 di!enuhi $leh - 2 x / 0, atau x / -. (en#an demikian titik stasi$nen%a adalah x / -. adi titik kitisn%a adalah, x1 / 0, x- / -, x / 21 dan x4 / 4. Nilai Ekstrim. Menuut Te$ema 4.1.-. Nilai ekstim "un#si teletak !ada titik kitis. ?aena untuk x1 / 0, f +0 / 0, untuk x- / -, f +- / +-;, untuk x / 21, f + 21 / 4, x4 / 4, f +4 / +4-;. adi nilai ekstim maksimum f adalah f +- dan nilai ekstim minimum adalah f +0. ketsa #a"ik. y y / x-;+8 < x
21
0
-
x
Gamba 4.1.>. :$nt$h 4.1.-. Misalkan diketahui, f + x / 1; x @ x- < > x
%an# tede"inisikan !ada inte3al, 524,6.
Tentukanlah nilai ekstim f , dan buatlah sketsa #a"ikn%a. Pen%elesaian * Titik Kritis. (i"eensialkan "un#si diatas tehada! x, sehin##a akan di!e$leh * f ′+ x / x- @ x < >
1
?aena, f ′+ x k$ntinu untuk semua nilai x !ada inte3al tetutu! 524,6, titik kitis %an# ada adalah batas inte3al dan titik stasi$ne 5 f ′+ x6. (en#an men#ambil, f ′+ x / 0, dihasilkan * x- @ x < > / 0, atau, + x < -+ x @ / 0 di!e$leh, x / - dan x / 2. adi titik kitisn%a adalah, x1 / 24, x- / 2, x / -, dan x4 / . Nilai Ekstrim. ?aena, f +24 / -;, f +2 / -;-, f +- / 2--;, dan f + / 2C;-. adi nilai ekstim maksimum adalah f +2 / -;- dan nilai ekstim minimum adalah f +- / 2--;. ketsa Ga"ik
+2,--;-
y
y / 1; x @ x- < > x
2
0
-
x
+-,2--;- Gamba 4.1..
:$nt$h 4.1.. (iketehui, f + x /
- x 1 + x -
,
tentukanlah asimt$t #a"ik, nilai ekstim dan buatlah sketsa #a"ik "un#si f Pen%elesaian * Asimtot rafik . 9un#si f "un#si asi$nal, dimana !en%ebut selalu lebih besa satu, sehin##a asimt$t te#ak tidak ada. ?aena,
1D
lim
- x
x → ∞ 1 + x -
/0
den#an demikian, #ais y / 0 adalah asimt$t data #a"ik "un#si. Titik Kritis. (i"eensialkan "un#si f tehada! x, maka dihasilkan * f ′+ x /
-+1 − x - , +1 + x - , -
f ′+ x "un#si asi$nal dimana !en%ebutn%a selalu lebih besa dai 1. adi untuk, f ′+ x / 0, dihasilkan +1 < x- / 0. (en#an men%elesaikan !esamaan +1 < x- / +1 < x+1 @ x / 0 di!e$leh x1 / 1 dan x- / 21. adi titik kitis +stasi$ne adalah x1 / 1 dan x- / 21. Nilai Ekstrim. ?aena, f +21 / 21, dan f +1 / 1, maka nilai ekstim maksimum adalah f +1 / 1, dan nilai ekstim minimum adalah f +21 / 2 1. ketsa Ga"ik. y 1
21
+1,1
0
1
+21,21
x y /
- x 1 + x -
Gamba 4.1.>. (ai c$nt$h diatas, lan#kah2lan#kah %an# haus ditem!uh untuk menentukan nilai ekstim "un#si adalah * !"# Tentukanlah daeah asal "un#si f !$# Tentukanlah tuunan !etama dai "un#si f . !%# :ailah titik2titik kitis dai f !ada I .
1C
!&# 'itun#lah nilai f !ada setia! titik kitis. Nilai %an# tebesa dai f !ada titik kitis meu!akan nilai maksimum f dan nilai %an# tekecil dai f !ada titik kitis adalah nilai minimum f . $al2s$al =atihan 4.1. Untuk s$al2s$al beikut ini tentukanlah titik kitis, nilai ekstim, asimt$t #a"ik &ika ada dan buatlah sketsa #a"ikn%a. 1. f + x / 4 x < x-, !ada 521,86
-. f + x / x < 1- x @ 1, !ada 52,6
. f + x / x @ x < C x !ada 52,-6
4. f + x / x4 < D x @ 1> x-, !ada 521,86
8. f + x / 4 x < x4 @ -, !ada 521,46
>. f + x / x8 < 8 x @ 1, !ada 52-,-6
. f + x / x1; +1 < x !ada, 521,-6
D. f + x / x;8 +D < x !ada 521,6
C. f + x /
4 x 4 + x -
10. f + x / x @
x 1 + x-
4.-. Penea!an Nilai Ekstim, M$del Matematika Pada Bab III telah dibicaakan m$del matematika %an# bekaitan den#an masalah la&u %an# bekaitan. =an#kah2lan#kah untuk men%elesaikan masalah tesebut, da!at di#unakan untuk men%elesaikan masalah m$del matematika %an# meu!akan !enea!an nilai ekstim !ada inte3al tetutu!.
:$nt$h 4.-.1. :ailah ukuan tabun# lin#kaan te#ak %an# 3$lumen%a tebesa, %an# da!at dibuat di dalam sebuah keucut lin#kaan te#ak. Pen%elesaian * Andaikan a dan b masin#2masin# men%atakan &ai2&ai alas dan tin##i keucut %an# diketahui. Pehatikanlah bah)a a dan b adalah k$nstan. Misalkan r , ' dan ( masin#2masin# men%atakan &ai2&ai, tin##i dan 3$lume tabun# %an# da!at dibuat di dalam keucut. =ihat #amba 4.-.1 V$lume tabun# adalah, ( / π r - '
140
Tabun# dibuat didalam keucut, sehin##a &ika r / a, maka tabun# %an# tebentuk adalah alas keucut sehin##a ' / 0. ika ' / b, tabun# %an# tebentuk meu!akan tin##i keucut sehin##a r / 0. (en#an demikian &ai2&ai alas dan tin###i tabun# teletak !ada inte3al tetutu!, %akni 0 ≤ r ≤ a, dan 0 ≤ ' ≤ b. ketsa Benda *
b r '
a +a
+b Gamba 4.-.1.
(ai umus ( /
-
π r ',
( meu!akan "un#si dua 3aiabel dai r dan ', maka haus dibuat (
"un#si satu 3aiabel. Menuut umus dua se#iti#a seban#un +Gamba 4.-.1.b di!e$leh, b−' r
=
b a
%an# membeikan hasil, '=b−
b a
r
(en#an mensubtitusikan ' ke dalam umus 3$lume tabun#, maka di!e$leh * ( / π r- +b 2
b a
r / π b+r - 2
1
a
r dimana 0 ≤ r ≤ a
elan&utn%a, di"eensialkan ( tehada! r sehin##a dihasilkan, d( dr
/ π b+-r 2
1
a
r - / π br +- 2
(en#an men#ambil d( ;dr / 0, di!e$leh
141
1
a
r
π br
+- 2
1
a
r / 0
%an# men#hasilkan titik stasi$ne r / 0 dan r / -; a. ?aena untuk r / 0, dan r / a membeikan ( / 0, adi r / -;a, ( +-;a / 4;-πba- %an# membeikan 3$lume maksimum. ehin##a ukuan tabun# 3$lume maksimum adalah &ai2&ai alas r / -; a, dan tin##i tabun# ' / 1; b.
:$nt$h 4.-.-. ebuah bal$k ka%u !ese#i !an&an# di!$t$n# dai sebuah #el$nd$n# ka%u den#an !enam!an# bebentuk lin#kaan. ika kekuatan bal$k sebandin# den#an hasil kali leba dan !an#kat ti#a tebaln%a, tentukanlah ukuan bal$k %an# membeikan kekuatan !alin# kuat. Pen%elesaian * Pemasalahan diatas bekaitan den#an masalah maksimum suatu "un#si. Andaikan d men%atakan #ais ten#ah bal$k;#el$nd$n#an ka%u, x men%atakan leba bal$k ka%u dan y men%atakan tebal bal$k ka%u, dan S men%atakan kekuatan bal$k. =ihat #amba 4.-.-. (ai !es%aatan !emasalahan, S / kxy dimana k k$nstanta !embandin#.
y
?ekuatan bal$k S te#antun# !ada
x xxx d
dua 3aiabel x dan y.(ai #amba 4.-.-. di!e$leh hubun#an, x- @ y- / d atau,
Gamba 4.-.-. y /
d
-
−
x
-
(en#an mensubtitusikan y ke dalam !esamaan S di!e$leh, S / kx
+d
-
−
x
- .; -
,
, dimana 0 ≤ x ≤ d
(i"eensialkanlah S tehada! x sehin##a di!e$leh, dS dx
/ k 5 +d / k +d - < 4 x-
d
−
-
x
−
- .; -
,
x
2 x-
d
-
-
14-
−
x
-
6
(en#an men#ambil dS ;dx / 0, di!e$leh k +d - < 4 x-
d
-
−
x
-
/ 0
%an# men#hasilkan titik stasi$ne x / d dan x / d . ?aena untuk x / d , S +d / 0, dan x / d , S + d / ;1> √ kd 4. adi nilai x %an# membeikan S maksimum adalah x / d . Untuk x / d , di!e$leh y / √. (en#an demikian ukuan bal$k %an# !alin# kuat adalah leba bal$k adalah x / d , dan tebal bal$k adalah y / √ d .
:$nt$h 4.-.. ebuah !emban#kit tena#a listik, ) , teletak di te!i sun#ai luus leban%a 400 m. ebuah !abik kimia, K , teletak disebean# sun#ai be&aak 1 km ke aah hili dai titik A %an# besebean#an lan#sun# den#an !abik. Pabik kimia in#in memban#un suatu &ain#an listik %an# men#hubun#kan !abik den#an !emban#kit tena#a listik. A!abila bia%a !emasan#an kabel listik !e seatus mete, di ba)ah !emukaan ai lebih mahal -8 !esen dai !ada bia%a !emasan#an di daat. Tentukanlah &alu !emasan#an kabel %an# !alin# hemat. Pen%elesaian * Pemasalahan diatas men%an#kut masalah meminimalkan suatu "un#si. Andaikan * titik %an# teletak antaa A dan ) , %an# be&aak x atus mete dai A. Andaikan &alu !emasan#an kebel %an# di!ilih adalah K* dan *) . =ihat #amba 4.-.. A
x
*
10 + x
)
x
-
+
alu !emasan#an kabel ?B ke B?
C
K Gamba 4.-.. Misalkan, a ibu d$lla !e seatus mete adalah bia%a !emasan#an kabel di daat, sehin##a bia%a !emasan#an kabel di daat untuk &alu *) adalah a+10 < x ibu d$lla. ?aena bia%a
14
!emasan#an kabel di ba)ah !emukanaan ai lebih mahal -8 !esen, maka bia%a !emasan#an 8
kabel &alu K* adalah 8
, + x /
4
a x
4
-
+ C ibu d$lla. adi bia%a t$tal !emasan#an kabel , adalah *
a x - + C @ a+10 < x , dimana x teletak !ada 50,106
(en#an mendi"eensialkan , tehada! x, di!e$leh * d,
8ax
/
dx
4 x
-
+C
2 a / a
8 x
−
4
4 x
x
-
-
+
+
C
C
Untuk d, ;dx / 0, dihasilkan * a
8 x
4
−
4
?aena
x
-
+
x
x
C
-
-
+
+
C
/ 0
C
0, maka !esamaan diatas da!at ditulis men&adi
8 x / 4
x
-
+
C
(en#an men#kuadatkan kedua uas !esamaan diatas dihasilkan, -8 x- / 1>+ x- @ C, atau, x- / 1> dimana aka2akan%a adalah, x / 24 dan x / 4. ?aena x teletak !ada 50,106, maka di!e$leh titik stasi$ne, x / 4. (en#an demikian titik kitisn%a adalah x1 / 0, x- / 10, dan x / 4. ?aena , + 0 / 88;4 a ibu d$lla, , + 4 / 4C;4 a ibu d$lla, dan , + 10 / 8;4 √10C a ibu d$lla. (en#an demikian bia%a minimum !emasan#an kabel, &ika x / 4. adi &alu !emasan#an kabel den#an bia%a minimal adalah dai K* dan *) , dimana * be&aak 400 mete dai A ke aah ) .
:$nt$h .-.4. ebuah batan# A* %an# beatn%a 8 k#;mete, diletakkan den#an kedua u&un#n%a !ada dua buah titik tum!uan. Batan# A* dibebani muatan sebesa >0 k#, %an# letakn%a !ada &aak 1,8 m dai titik A. Bea!akah !an&an# batan# A*, a#a su!a%a ekasi di * minimum, dan bea!akah besa eaksi di * tesebut. Pen%elesaian *
144
Andaikan x 0 mete adalah !an&an# batan# A*, - k# besan%a eaksi di *. ) k# besan%a muatan, dan a mete &aak muatan ) dai titik A. elan&utn%a !ehatikan sketsa #amba 4.-.4. Besan%a eaksi di * adalah, - / -1 @ --
) / 0 k#
dimana, -1 adalah eaksi kaena muatan ) ,
a A
-1 / )a; x
*
∆
∆
-- adalah eaksi kaena beat batan# A*,
Gamba 4.-.4.
-- / 8 x (en#an demikian besan%a eaksi di * adalah * -+ x / >0 +;-; x @ 8;- x / C0; x @ 8;- x,
x 0
elan&utn%a den#an mendi"eensialkan tehada! x dihasilkan, -′+ x / C0 x−- @ 8;- , x 0 ehin##a untuk -′+ x / 0 di!e$leh 8 x- / 1D0 atau x- / >. ?aena x 0, maka di!e$leh x / > adi - minimum &ika !a&an# batan# A* / > m, den#an ekasi di *, -+> / 0 k#.
$al2s$al =atihan 4.-. 1. ebuah bak ai tetutu! den#an alas bebentuk bu&u san#ka
haus diban#un untuk
menam!un# ai 1-.000 m. ika l$#am untuk tutu! atas memelukan bia%a dua kali bia%a untuk sisi dan alas bet$n !e mete !ese#i. Bea!akah ukuan bak ai %an# !alin# hemat. -. ebuah benda beat C0 k# be#eak se!an&an# bidan# data %an# ditaik $leh #a%a . Gais aah #a%a membentuk sudut θ den#an bidan# data tesebut. A!abila #a%a #esek antaa benda dan bidan# data 0,1, tentukanlah besan%a sudut θ a#a #a%a minimum dan bea!a besan%a #a%a %an# di!elukan. . ebuah ata! +talan# l$#am mem!un%ai sisi dan alas mendatan# %an# sama. isi2sisi dan bidan# alas membuat sudut sebesa θ , 0 ≤
θ
≤ π;-. Bea!akah besan%a sudut
θ
a#a
su!a%a ka!asitas ata! l$#am maksimum. 4. ?ekakuan dai suatu bal$k bebentuk em!at !ese#i !an&an# %an# di!$t$n# dai sebatan# ka%u bebentu lin#kaan bebandin# luus den#an hasil kali leba dan kuadat tebaln%a dan
148
tidak te#antun# !ada !ada !an&an#n%a. :ailah ukuan2ukuan dai bal$k %an# tekaku %an# da!at dibuat. 8. Pan&an# sisi miin# se#iti#a siku2siku adalah 100 cm. Tentukanlah !an&an# sisi2sisi se#iti#a %an# lain sehin##a luasn%a maksimum >. Tentukanlah ukuan se#iem!at siku2siku den#an luas tebesa %an# da!at dibuat di dalam seten#ah lin#kaan be&ai2&ai >0 cm. . uatu daeah la!an# bebentuk em!at !ese#i !an&an#, %an# tebentan# se!an&an# sun#ai, hendak di!a#ai teta!i %an# se!an&an# te!i sun#ai tidak di!a#ai. Misalkan ha#a mateial untuk !a#a !ada sisi %an# se&a&a adalah R!. -4.000,2 !e mete dan ha#a mateial untuk !a#a !ada kedua sisi lainn%a adalah R!. 1>.000,2 !e mete.
Tentukanlah ukuan
la!an#an !alin# luas %an# da!at di!a#ai, a!abila an##aan %an# tesedia R!. -0.000,2 D. ebuah !elat ba&a ti!is bebentuk bu&u san#ka den#an sisi2sisi 10 m, di#unakan untuk membuat suatu tem!at +bak ai den#an bentuk k$tak te#ak %an# tebuka diba#ian atasn%a. Untuk membuat bak ai tia!2tia! u&un# !elat ba&a di!$t$n# den#an bentuk bu&u san#ka, dan kemudian dili!at keatas. Bea!akh luas bu&u san#ka kecil %an# haus di!$t$n# a#a su!a%a bak ai %an# dibuat mem!un%ai 3$lume tebesa. C. ebuah !abik mem!$duksi dua &enis !$duk A dan *. Bila bia%a t$tal !$duksi untuk D2 &am ke&a sehai adalah , atus ibu u!iah, maka , / 8 x- @ 1-0 y, dimana x ban%akn%a mesin %an# di#unakan mem!$duksi !$duk A dan y ban%akn%a mesin %an# di#unakan mem!$duksi !$duk *. Misalkan selama D2&am ke&a sehai teda!at 18 mesin %an# beke&a. Tentukanlah ban%akn%a mesin %an# di#unakan untuk mem!$duksi A dan ban%akn%a mesin %an# di#unakan untuk mem!$duksi *, a#a su!a%a bia%a !$duksin%a minimum. 10. alah satu batan# u&un# dai sebuah batan# k$ns$l +cantile3e beam !an&an#n%a / di!akukan ke dindin#, sedan#kan u&un# lainn%a disan##a secaa sedehana +sim!l% su!!$ted. ika batan# beatn%a w lb !e satuan !an&an#, maka !elentuann%a y !ada &aak x dai u&un# %an# di!akukan memenuhi, 4D Eiy / w+- x4 < 8 /x @ /- x-
14>
dimana E dan I adalah k$nstanta2k$nstanta %an# be#antun# !ada bahan bal$k dan untuk !enam!an#n%a. Bea!akah &auhn%a dai u&un# %an# di!akukan te&adin%a !elentuan maksimum.
14
