Nilai Maksimum dan Minimum Turunan Fungsi Kelompok 1
Nilai Maksimum dan Minimum Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: i. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; ii. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; iii. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.
Teorema A : (Teorema ekstensi Maks-Min)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b. Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval. c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b).
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut 1.
Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval – 1 < x < 3. Penyelesaian:
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 2x – 2 pada interval { x | – 1 < x < 2}. Penyelesaian:
Teorema B (Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu: i. titik ujung dari I; ii. titik stasioner dari f(f’(c) = 0); iii. titik singular dari f(f’(c) tidak ada).
3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3+3x2-6 pada [-1, 3]. Penyelesaian :
Untuk mencari titik kritis, kita pecahkan f’(x) = 3x2+6x = 3x(x + 2) = 0 untuk x diperoleh 0 dan 2. Maka, titik-titik kritis adalah -2, -1, 0, 3. f(−1) = −12, f(0) = −6, f(−2) = −2, dan f(3) = −6. Jadi nilai maksimum adalah −2 (dicapai pada −2) dan nilai minimum adalah −12 (dicapai pada −1).
4. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -3x3 + x3 pada [-1,2] Penyelesaiannya ; Sebelumnya kita perlu mencari titik-titik kritis terlebih dahulu, titiktitik ujung adalah -1 dan 2 , kemudian kita pecahkan, f’(x) = -9x2 + 3x = 0 untuk x , diperoleh 0 dan ⅓ , jadi titik kritisnya adalah -1, 0, ⅓, 2 sekarang f(-1) =-4, f(0) = 0 , f(1/3) = -2/27 dan f(2) = -16 nilai maksimum f(0) = 0 dan nilai minimum f(2) = -16
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].
Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x). Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1 dan titik kritisnya, yakni -1, 0, 1, dan 2. Maka nilai f di titik-titik kritis tersebut: f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3. Jadi, nilai maksimumny = 6 (di -1) dan minimumnya = -3 (di 2).
SEKIAN DAN TERIMA KASIH
