Nama : Fitri Handayani Nim : 1301402109 Kelas : IV C
Tugas ! 1. Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 pada −3,1 . Penyelesaian: Menurunkan fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 + 4 Kemudian mencari titik kritis 𝑓′ 𝑥 = 0 2𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −2 Berarti titik-titik kritis yang didapat −3, −2,1 maka: 𝑓 −3 = −3 𝑓 −2 = −4 𝑓 1 =5 Jadi, nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2) 2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari 𝑓 𝑥 = −3𝑥 3 + 𝑥 3 pada −1.2 Penyelesaian: Sebelumnya kita perlu mencari titik-titik kritis terlebih dahulu, titik-titik ujung adalah −1 dan 2 kemudian kita pecahkan, 𝑓 ′ 𝑥 = −9𝑥 2 + 3𝑥 2 = 0 untuk 𝑥, diperoleh 0 1
dan 3. 1
Berarti titik-titik kritis yang didapat −1,0, 3 , 4 maka: 𝑓 −1 = −4 𝑓 0 =0 1 2 𝑓 =− 3 27 𝑓 2 = −16 Jadi, nilai maksimum adalah 𝑓 0 = 0 adalah dan nilai minimum adalah 𝑓 2 = −16
3. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 ! Penyelesaian: Turunan pertama dari fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 adalah 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 2 − 6𝑥 Nilai stasioner fungsi 𝑓 𝑥 diperoleh jika 𝑓 ′ 𝑥 = 0 6𝑥 2 − 6𝑥 = 0 6𝑥 𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 6 Nilai-nilai stasionernya adalah Untuk 𝑥 = 0 diperoleh 𝑓 0 = 2(0)3 − 3(0)2 + 1 = 1 Untuk 𝑥 = 6 diperoleh 𝑓 6 = 2 6 3 − 3 6 2 + 1 = 325 Jadi, fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 mencapai nilai maksimum pada 𝑓 6 = 325 dan nilai minimum 𝑓 0 = 1 4. Kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum ? 𝑓 𝑥 = −4𝑥 3 + 2𝑥 2 pada I −2,1 Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = −4𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑓 ′ 𝑥 = −12𝑥 2 + 4𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = −3𝑥 2 + 𝑥 = 0 𝑥 −3 + 1 = 0 1
Untuk 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 3 1
Sehingga titik kritisnya adalah (−2, 0, 3 , 1) maka: 𝑓 −2 = −4 𝑓 0 =0 1 5 𝑓 = 3 9 𝑓 1 = −1 Jadi nilai maksimum adalah 0 dicapai pada 0 dan nilai minimum adalah -4 dicapai pada -2 5. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 + 3 cari dimana f naik dan dimana turun ?
Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 + 3 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 + 9 = 3(𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 3 𝑥 + 3 (𝑥 + 1) Kita perlu menentukan 𝑥 + 3 (𝑥 + 1) > 0 dan 𝑥 + 3 𝑥 + 1 < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang (−∞, −3), (−3, −1) dan (−1, ∞). Dengan memakai titik uji−4, −2, 0 didapat 𝑓 ′ (𝑥) > 0 pada pertama dan akhir selang dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 pada selang tengah. Jadi, 𝑓 naik pada (−∞, −3] dan [−1, ∞) dan turun pada [−3, −1] 6. Jika 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 cari dimana 𝑓 naik dan dimana 𝑓 turun. Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 12 = 6 +1 (𝑥 − 2) titik-titik pemisah adalah -1 dan 2, titik-titik ini membagi sumbu 𝑥 atas tiga selang yaitu: −∞, −1 , (−1, 2) dan (2, ∞). Dengan menggunakan titik-titik uji −2, 0, dan 3, kita simpulkan bahwa 𝑓 ′ (𝑥) > 0pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa 𝑓 ′ (𝑥) < 0pada selang tengah. Jadi menurut teorema A, 𝑓 naik pada (−∞, −1)dan 2, ∞ , turun pada −1, 2 . 7. Dimanakah fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 − 1 akan cekung ke atas dan cekung ke bawah ! Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 2 − 12𝑥 + 1 𝑓" 𝑥 = 12𝑥 − 12 Dengan menggunakan uji turunan kedua bagi kecekungan fungsi, dapat ditentukan: 𝑓" 𝑥 > 0 berarti = 12𝑥 − 12 > 0 = 12𝑥 > 12 =𝑥>1 𝑓" 𝑥 < 0 berarti = 12𝑥 − 12 < 0 = 12𝑥 < 12 =𝑥<1 Jadi, grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 − 1 cekung ke atas dalam daerah 𝑥𝘐𝑥 > 1 cekung ke bawah dalam daerah 𝑥𝘐𝑥 < 1
8. Gunakan teorema kemonotonan untuk mencari di mana fungsi yang diberikan naik dan di mana turun? 𝑓 𝑥 = 8𝑥 3 + 3𝑥 2 − 18𝑥 Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = 8𝑥 3 + 3𝑥 2 − 18𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 24𝑥 2 + 6𝑥 − 18, disederhanakan menjadi 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 4𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0 Kita perlu menentukan di mana 4𝑥 − 3 𝑥 + 1 > 0 dan juga di mana 4𝑥 − 3 𝑥 + 1 <0 Titik-titik pemisah adalah ¾ dan -1 -----(+)--------│.------------(-)----------.│--------(+)-------Jadi menurut teorema kemonotonan 𝑓 naik pada (-1,∞] dan [3/4,∞) ; ia turun pada [1,3/4] 9. Tentukan dimana grafik dari fungsi yang diberikan naik,turun,cekung keatas dan cekung kebawah? 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 4 Penyelesaian: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 4 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑥 atau 3 𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑓" 𝑥 = 6𝑥 maka jika kita buat garis bilangan menjadi : +0–0+ _______-1______1_______ Maka, didapatkan : 𝑓 naik pada (-∞,-1] dan [1, ∞). 𝑓 turun pada [-1,1] -0+ _________0________
Didapat pula: 𝑓 cekung keatas pada (0,∞)
𝑓 cekung ke bawah pada (-∞,0) 10. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1 pada I [-1,2]. Penyelesaian: Turunan 𝑓 adalah 𝑓 ′ 𝑥 = −6𝑥 2 + 6𝑥 = 6𝑥(1 − 𝑥) Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titik stasioner). Sekarang bandingkan nilai 𝑓 di titik-titik kritis tersebut: 𝑓 −1 = 6 𝑓 0 =1 𝑓 1 =2 𝑓 2 = −3 Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, 𝑓 mesti mencapai nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).
