Definisi Turunan
Turunan fungsi fungsi ( ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac e!ton ( "#$% & "% ), ahli matematika matematika dan dan fisika fisika bangsa bangsa Inggris dan ottf ottfried ried ilhe ilhelm lm *eibn *eibni+ i+ ( ( "#$# & ""# ), ahli matematika matem atika bangs bangsaa erman erman.. Tu Turu runa nann ( di dife feren rensia siall ) di digu guna naka kann se seba baga gaii su suat atuu al alat at un untu tukk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri geometri dan dan mekanika mekanika.. Aturan menentukan turunan fungsi
Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit limit.. -ntuk keperluan in i dirancang teorema teorematentang tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi iners. Turunan dasar
/turan 0 aturan dalam turunan fungsi adalah 1 1. f(2), maka f'(2) 3 4 2. ika f(2) 3 2, maka f5(2) 3 " 3. /turan pangkat 1 ika f(2) 3 2 n, maka f5(2) 3 n 6 4. /turan kelipatan konstanta 1 (kf) (2) 3 k. f5(2) 5. /turan rantai 1 ( f o g ) (2) 3 f5 (g (2)). g5(2))
n&"
Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi
7isalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f 8 g, f & g, fg, f9g, ( g (2) : 4 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan 1 1. ( f 8 g )5 (2) 3 f5 (2) 8 g5 (2) 2. ( f & g )5 (2) 3 f5 (2) 0 g5 (2) 3. (fg)5 (2) 3 f5(2) g(2) 8 g5(2) f(2) 4. ((f)9g )5 (2) 3 (g(2) f' (2)0 f(2) g' (2))9((g(2) %) Turunan fungsi trigonometri 1. d9d2 ( sin 2 ) 3 cos 2 2. 3. 4. 5. 6.
d9d2 ( cos 2 ) 3 0 sin 2 d9d2 ( tan 2 ) 3 sec % 2 d9d2 ( cot 2 ) 3 0 csc % 2 d9d2 ( sec 2 ) 3 sec 2 tan 2 d9d2 ( csc 2 ) 3 0csc 2 cot 2
Turunan fungsi invers
(f0")(y) 3 "9(f' (2)), atau dy9d2 "9(d29dy) Turunan Matematika adalah
7isalkan y adalah fungsi dari 2 atau y 3 f(2). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap 2 dinotasikan dengan 1 ;umus Turunan dan contoh ikadengan < dan n konstanta real, maka 1
ika y 3 < dengan ika y 3 f(2) 8 g(2) maka ika y 3 f(2).g(2) maka
Turunan Kedua
Turunann ked Turuna kedua ua y 3 f(2 f(2)) te terha rhadap dap 2 dinota dinotasik sikan an den dengan gan . Tu Turun runan an ked kedua ua dip dipero eroleh leh den dengan gan menurunkan turunan pertama.
SOAL-SOAL TUU!A! "U!#S$
=ersamaan garis singgung pada kura y 3 %2 >0?2%028# yang berabsis " adalah @ /. ?2 8 y 8 3 4 <. ?2 8 y & 3 4 A. ?2 8 y 8 > 3 4 B. >2 & y & $ 3 4 C. >2 & y & ? 3 4 =enyelesaian 1 y 3 %2> & ?2% & 2 8 # → 2 3 " y5 3 #2% & "42 & " y(") 3 %(")>0 ?(")% & " 8 # 3%&?&"8# 3 % → (",%) y5 3 m 3 #2% & "42 & " 3 #(")% & "4." & " 3 0? =gs 1 y & b 3 m (2 & ") y & % 3 0? (2 & ") y & % 3 0?2 8 " ?2 8 y 8> 3 4 a!aban 1 A Turunan pertama fungsi D(2) 3 e 0$28? adalah D5(2) 3 @ /. e0$ <. $e0$28? A. 0$e0$28? B. (0$28?) e0$
C. ( 0$28?) e 0>28$ =enyelesaian 1 D (2) 3 e 0$28? D5(2) 3 0$e 0$28? a!aban 1 A Turunan pertama fungsi D(2) 3 ($20%) Sin (E20$) 0"4 ($20%) Sin (E20$) =enyelesaian 1 D(2) 3 ($20%) 3 0"4 Sin %($20%) ($20%) 3 0"4 Sin (E20$) ($20%) a!aban 1 C
$. Biketahui f(2) 3 F "42%9> p→4 p /. & > "42?9> A. & % ?9> ?2 > "42"9> =enyelesaian 1 f(2) 3 F "42%9> f5(2)3 F 2%9> "4
maka *im f(2 8 p) & f(2) 3. . . <. & > ?2?9> B. "9> ?2
>
?. ilai minimum fungsi f (2) 3 %2 > 8 >2% 8 > dalam interal 0% G 2 G " adalah @ /. 0# <. > A. 0" B. # C. E =enyelesaian 1 f (2) 3 %2 > 8 >2% 8 > f5(2) 3 #2% 8 #2
pada 0% G 2 G "
Stasioner 1 #2 % 8 #2 3 4 >2 (%28%) 3 4 >2 3 4 → 2 3 4 %28% 3 4 → 2 3 0" f(0%) 3 % (0%) > 8 > (0%) % 8 > 3 0"# 8 "% 8 > 3 0" f(") 3 % (")> 8 > (") % 8 > 3%8>8> 3E a!aban 1 C
#. Biketahui f(2) 3 20") , maka f5(2) 3 @. /. 0# 20") Sin (>20") A. 0> 20") Sin (>20") <. 0% 20") Sin (>20") B. % 20") Sin (>20") C. # 20") Sin (>20")
=enyelesaian 1 f(2) 3 20") u 3 20") → u5 3 0> Sin (>20") n 3% f5(2) 3 nu n0" . u5 3 %. 20") . 0> Sin (>20") 3 0# 20") Sin (>20") a!aban 1 / . Turunan pertama fungsi f(2) 3 e 8 In (%20") adalah f5(2) 3 @. /. e>28% 8 " <. %e>28% & " %20" %20" >28% >28% A. ?e 8 " B. >e 8 % %20" %20" C. >e>28% & % %20" =enyelesaian 1 f (2) 3 e >28% 8 In (%20") f5(2) 3 >e >28% 8 % %20" a!aban 1 B E. Biketahui fungsi f(2) 3 %2 % 8 $ , maka f5(2) 3 ... H2 /. >H2 & % H2 <. >H2 0 " H2 % 6 %2% A. ?H2 & % H2 B. ?H2 8 " H2 6% %2% C. >H2 8 0$ H2
6% =enyelesaian 1 f(2) 3 %2 8 $ H2 3 (%2 8 $) . 2 0 3 %2>9% 8 $20 f5(2) 3 >2 & %20>9% 3 >H2 & % 2H2 3 >H2 & % H2 6% a!aban 1 / F. Bitentukan kura dengan persamaan y 3 2 > 8 p2 % 8 J garis y 3 0E2 8 "% menyinggung kura di titik dengan absis %.nilai p 3 @ /. ? <. 0" A. B. 0? C. 0E> $
=enyelesaian 1 y 3 2> 8 p2% 8 J y53 >2% 8 %p2 y 3 0E2 8 "% m 3 0E → "% 8 $p 3 0E p 3 0? a!aban 1 B "4. Dungsi f(2) 3 (20E) (2 % 8 %2 8 ") turun pada interal @ /. 0? L 2 L " <. 0? L 2 L > A. 0" L 2 L ? B. 2 L 0" atau 2 M? C. 2 L 0? atau 2 M " =enyelesaian 1 f(2) 3 (20E) ( 2 % 8 %2 8 ") 3 2> 8 %2% 8 2 & E2% & "#2 & E 3 2> & #2% & "?2 & E f5(2) 3 >2 % & "%2 & "?
f turun 1 f5(2) L4 >2 & "%20 "? L4 (>2 8 >) (2 & ?) L 4 >2 8 > L 4 → 2 L 0" 2 & ? L 4 → 2 L ? 0" L 2 L ? a!aban 1 A "". Dungsi f(2) 3 $2 > & "E2% 8 "?2 8 " mempunyai nilai maksimum untuk 2 3 @ /. $,? <. " A. %,? B. 4,? C. 0"",? =enyelesaian 1 f(2) 3 $2> & "E2% 8"?2 8 " f5(2)3 "%2%& >#2 8 "? stasioner 1 f5(2) 34 "%2 & >#2 8 "? 3 4 > ($2 & "%2 8 ?) 3 4 > (%20") (%20?) 3 4 %20" 3 4 → 2 3 4,? %20? 3 4 → 2 3 %,? a!aban 1 A "%. Turunan pertama dari D(2) 3 > (%28$) adalah D5(2) 3 @ /. "E
=enyelesaian 1 f(2) 3 > (%2 8 $) u 3 > f5(2) 3 nu n0" . u5 3 >.%
3 0># . ilai maksimum dari f(2) 3 2 > & #2% 8 F2 pada interal 0" G 2 G > adalah @. /. "# <. > A. $ B. " C. 4 =enyelesaian 1 f(2) 3 2> & #2% 8 F2 f5(2)3 >2% & "%2 8 F stasioner 1 f5(2) >2> & "%2 8 F >(2% & $2 8 >) (2 0") (2 0 >) 23",23> > f(0") 3 (0") & #(0") % 8 F(0") 3 0" & # & F 3 0"# f($) 3 ($)> & #($)% 8 F.$ 3 #$ & F# & ># 3$ a!aban 1 A
A. B.
"$. =ers. grs. Singgung kura y 3 " 0 H2 pada titik berabsis " adalah @ 2% ?2 8 %y 8 ? 3 4 <. ?2 8 %y & ? 3 4 ?2 & %y & ? 3 4 B. >2 8 %y & > 3 4 C. >2 & %y & > 3 4 =enyelesaian 1 y 3 " 0 H2 2% 3 2 0% & 2 y53 0%2 0>& " 2 0 % y53 m 3 0%(") 0> & " (") 0 %
3 0% & 4,? 3%,? y(") 3 "(") 0% & (") 3 "0"3 4 =gs 1 y & 4 3 %,? (2 & ") y & 4 3 %,?2 & %,? %y & 4 3 ?2 & ? ?2 8 %y & ? 3 4
2%
a!aban 1 < "?. Turunan pertama fungsi f(2) 3 (? & $2 ) adalah f5(2) 3@ /. 0"%
&
=enyelesaian 1 f(2) 3 ( ? & $2 ) u 3 f5(2) 3 nun0" . u5 3 > 0" (? & $2 ) . $ Sin (? & $2 ) 3 "%
"#. cm
=ersegi panjang /AE C. #4 =enyelesaian 1 */A
3 #4 & "#2 8 %2P *5 3 $2 & "# 2 3$M4 *=N;S 7in 3 #4 & "#.$ 8 >% 3 %E a!aban 1 < ". Dungsi f(2) 3 2 > & $2% 8 $2 8 # naik pada interal @ /. 0% L 2 L %9> <. 2 L 0% atau 2 M %9> A. %9> L 2 L > B. 2 L %9> atau 2 M % C. 2 L 0%9> atau 2 M % =enyelesaian 1 f(2) 3 2Q 0 $2 8 $2 8 # f5(2)3 >2P& E2 8 $ D naik 1 f5(2) M4 >2 & E2 8 $ M4 (>2 & % ) (2 & % ) M 4 >2 & % M 4 → 2M %9> 2 & % M 4 → 2 M % 2 L %9> atau 2 M % a!aban 1 B "E. ilai minimum fungsi f(2) 3 %2Q & #2P & $E2 8 ? dalam interal 0> G 2 G $ adalah . . . /. 0"#4 <. 0">" A. 0"?? B. 0FF C. 0"" =enyeleaian 1 f(2) 3 %2Q & #2P & $E2 8 ? f5(2)3 #2P & "%2 & $E Stasioner 1 f5(2) 34 #2P & "%2 & $E 3 4 #(2P & %2 & E ) 34 (2 8 % ) (2 & $) 6 3 0%, 2 3 $ f(0%) 3 %(0%)Q & #(0%)P & $E(0%) 8 ? 3 0">" f($) 3 %($)Q & #($)P & $E($) 8 ? 3 0"?? a!aban 1 A "F. Turunan pertama fungsi f(2) 3 (2 8 %)Q untuk 2 3 0> adalah . . .
(" & >2)P <. 4,44%$ B. 4,4%$ C. 4,%$
/. 4,4444%$ A. 4,444%$
=enyelesaian 1 D(2) 3 (2 8 %)Q (" & >2)P u 3 (2 8 %)Q 3 (" & >2)P
→ u5
3 >(2 8 %) → 5 3 0#(" & >2)
f5(2) 3 u5 & u5 3 >(2 8%)P (" 0>2)P 8 #(28%)Q (" & >2) (" & >2 ) D5(0>) 3 >(0> 8%)P ("0(0>))P 8 #(0> 8%)Q (" & >(0>)) (" & >(0>))$ 3 >."."44 & #."4 "4$ 3 4,4%$ a!aban 1 B %4. ika y 3 %2Q 8 2P & > , maka dy 3 . . . d2 /. %2P 8 % <. #2P 8 %2 & > A. #2P 8 %2 2
B.
2P
8 C. #2 P8 %
=enyelesaian 1 y 3 %2Q 8 2P & > dy 3 #2P 8 %2 d2 a!aban 1 A %".aris singgung yang menyinggung lengkungan y 3 2Q & %2 8 " di titik (",4) akan memotong garis 2 3> di titik . . . /. (>,>) <. (>,") A. (>,%) B. (>,0") C. ( >,0%) =enyelesaian 1 y 3 2Q & %2 8 "
y5 3 m 3 >2P & % 3 >."P & % 3 " =gs1 y & b 3 m (2 & ") y & 4 3 " (2 & " ) y32&" y(>)3 > & " 3 % → (>,%) a!aban 1 A %%. Bik. Kura y 3 2Q 8 %a2P 8 b. aris y 3 0F2 & % menyinggung kura di titik berabsis ". ilai a 3 . . . /. 0> <. "9> A. 0"9> B. > C. E =enyelesaian 1 y 3 2Q 8 %a2P 8 b y53 >2P 8 $a2 Kura y 3 0F2 & % y53 m 3 0F > 8 $a 3 0F $a 3 0F & > a 3 0> a!aban 1 / %>. Sebuah kusen jendela berbentuk seperti gambar keliling sama dengan k. supaya maksimum nilai r adalah . . . /. k $R A. k $8R
=enyelesaian 1 Keliling 1 %2 8 %y 8 R2 3 k *uas *1 (%2 . y) 8 R2P 1 2(k & %2 & R2) 8 R2P 1 k2 & %2 & R2P
<. k 8 R $ B. k & R $ C. k R
luasnya
*51 k & $2 & R2 23 k $8R
embahasan
Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:
f(x) = 3 cos x f '(x) = 3 (−sin x) f '(x) = −3 sin x Untuk x = π/2 diero!eh ni!ai f '(x) f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (") = −3 Soal Nomor 3
#entukan turunan ertama dari $ = −% sin x Pembahasan
$ = −% sin x $' = −% cos x Soal Nomor 4
&iberikan $ = −2 cos x #entukan $' Pembahasan
$ = −2 cos x $' = −2 (−sin x) $' = 2 sin x Soal Nomor 5
#entukan $' dari $ = % sin x cos x Pembahasan
$ = % sin x cos x
$' = % (cos x) (−sin x) $ ' = % cos x − sin x Soal Nomor 6
#entukan turunan dari $ = cos x − 3 sin x Pembahasan
$ = cos x − 3 sin x $' = (−sin x) − 3 (cos x) $' = − sin x − cos x Soal Nomor 7
#entukan turunan dari: $ = sin (2x ) Pembahasan
&engan a!ikasi turunan berantai maka untuk $ = sin (2x ) $ ' = cos (2x ) ⋅ 2 ↑
*ngka 2 diero!eh dari menurunkan 2x $' = 2 cos (2x ) Soal Nomor 8
#entukan turunan dari $ = cos (3x −") Pembahasan
&engan a!ikasi turunan berantai maka untuk $ = cos (3x − ") $ ' = − sin (3x −") ⋅ 3 ↑
*ngka 3 diero!eh dari menurunkan 3x − " +asi! akhirn$a ada!ah $' = − 3 sin (3x − ") Soal Nomor 9
#entukan turunan dari: $ = sin2 (2x −") Pembahasan
#urunan berantai: $ = sin2 (2x −") $' = 2 sin 2−" (2x −") ⋅ cos (2x −") ⋅ 2 $' = 2 sin (2x −") ⋅ cos (2x −") ⋅ 2 $' = % sin (2x −") cos (2x −") Soal Nomor 10
&iketahui f(x) = sin 3 (3 , 2x) #urunan ertama fungsi f ada!ah f ' maka f '(x) =
* - sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x) . 3 sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x) ,2 sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x) & ,- sin (3 , 2x) cos (- , %x) 0 , 3 sin (3 , 2x) sin (- , %x) (1oa! 0btanas 2) Pembahasan
f(x) = sin3 (3 , 2x) #urunkan sin3 n$a #urunkan sin (3 , 2x) n$a #urunkan (3 , 2x) n$a +asi!n$a dika!ikan semua seerti ini: f(x) = sin3 (3 , 2x) f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2 f ' (x) = −- sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) 1amai sini sudah se!esai namun di i!ihan be!um ter!ihat diotak4atik !agi akai bentuk sin 25 = 2 sin 5 cos 5 f ' (x) = −- sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 , 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 , 2x) ⋅ sin (3 − 2x) 67777777777777777777776 ↓
sin 2 (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin 2(3 , 2x) ⋅ sin (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin (- , %x) sin (3 − 2x) atau: f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (- , %x) Soal Nomor 11
&iketahui fungsi f(x) = sin 2 (2x 3) dan turunan dari f ada!ah f 8 9aka f 8(x) = * % sin (2x 3) cos (2x 3) . 2 sin (2x 3) cos (2x 3) sin (2x 3) cos (2x 3) & ,2 sin (2x 3) cos (2x 3) 0 ,% sin (2x 3) cos (2x 3) (0btanas ";;<) Pembahasan
#urunan berantai f(x) = sin2 (2x 3) #urunkan sin2 n$a #urunkan sin (2x 3) n$a #urunkan (2x 3) n$a f '(x) = 2 sin (2x 3) ⋅ cos (2x 3) ⋅ 2
f '(x) = % sin (2x 3) ⋅ cos (2x 3)htt://matematikastud$centercom/ke!as4""4 sma/"""4turunan4fungsi4trigonometriix>>3n1e?"@AB
11. Turunan pertama dari f ( x) x) = ….. =7cos( 5 – 3x)adalah f ‘ ( A. 3 5sin( 5 – 3x) B. −1 5sin( 5 – 3x) C. 2 1sin( 5 – 3x) D. −2 1sin( 5 – 3x) E. −3 5sin( 5 – 3x)
Jawa ! o
in"at ! f ( x) cos( bx+c) makaf ′ x) sin( bx+c) =a. ( =−ab.
o
ma#a!
f ( x) f ′ x) sin( ( ===7cos( 5−3x) −7. ( −3) . 5−3x) 21sin( 5−3x) 12. Ji#a f ‘ x) adalah turunan dari f ( x) dan $i#a f ( x) ( =( 3x–
sin( x) adalah … 2) 2x+1)ma#a f ‘ ( A. 3 cos( 2x+1) B. 6 cos( 2x+1) C. 3 sin( cos( 2x+1) +( 6x–4) 2x+1) D. ( sin( 6x–4) 2x+1) +3cos( 2x+1) E. 3 sin( cos( 2x+1) +( 3x–2) 2x+1)
Jawa ! o
f ( x) sin( =( 3x−2) 2x+1)#ita mi%al#an terleih dulu u=3 x−2 v=sin( makamakau ′ 2x+1) =3v′=2cos( 2x+1)
o
in"at rumu% turunan per#alian dua &un"%i !
f ′ x) v+v′ u3 sin( ( ===u′. . . 2x+1) +2cos( 2x+1) . cos( ( 3x−2) 3sin( 2x+1) +( 6x−4) 2x+1)
13. Turunan pertama &un"%i f ( x) x) =… =5sinxcosx adalah f ‘ ( A. 5 sin2 x B. 5 cos2 x C. 5 sin2xcosx D. 5 sinxcos2x E. 5 sin2 xcosx
Jawa ! o
f ( x) =5sinxcosx #ita mi%al#an terleih dulu u=5 sinxv=cosxmakamakau ′ =5cosxv′=−sinx
o
in"at rumu% turunan
f ′ x) v+v′ u5 cosx. cosx+( ( =====u′. . −sinx) . cos2x−sin2x) cos2 x ( 5sinx) 5cos2x−5sin2x5( 5. eitttt%…..tapi 'ara (an" %atu ini leih %imple…#ita i%a pa#ai neh)'e#id*t… o
in"at ahwa in2 x=2 sinx. cosx
o
%ehin""a !
f ( x) sinx. cosx5 sin2 x ===5sinxcosx 52. 2. 2. o
ma#a !
f ′ x) cos2 x5 cos2 x ( ==52. 2. Den"an ha%il (an" %ama namun leih 'epat dalam pen"er$aann(a…%ilah#an pilih 'ara (an" leih di%u#ai… 14. Ji#a f ( x) =sin2( 2x+π6)) ma#a nilai dari f ′( 0)= ….. A. 2 3√ B. 2 C. 3 √ D. 1 23√ E. 2 √
Jawa !
o
perlu diin"at ahwa !
(
)( (2x+π6))2
f ( x) ==sin2 2x+π6 sin
o
nah) aru #ita mi%al#an u=sin( makau′ 2x+π6) =2cos( 2x+π6)
o
&un"%i men$adi f ( x) x) un−1. u′ =u2aru pa#ai aturan rantai f ′( =n.
f ′ x) f ′ u. u ( ( 0) ======2. ′ sin 2.
(2x+π6).2cos(2x+π6)4.sin(2.0+π6).cos(2.0+π6)4.sin(
) ()
π6 . cos π6 4 . 12. 123√3√
15. Turunan pertama dari f ( x) x) = …… =sin4( 3−2x)adalah f ′( A. −8 sin3( cos( 3−2x) 6−4x) B. – sin( 8sin( 3−2x) 6−4x) C. −4 sin3( cos( 3−2x) 3−2x) D. −4 sin2( sin( 3−2x) 6−4x) E. −8 sin( sin( 3−2x) 6−4x)
Jawa ! o
pen"er$aann(a hampir %ama den"an %*al n*.4 #ita mi%al#an terleih dulu
u=sin( makau′ cos( 3−2x) =−2. 3−2x) o
didapat f ( x) x) un−1. u′ma#a ! =u4#ita pa#ai aturan rantai f ′( =n.
f ′ x) u3. u′ sin3( cos( ( ===4. 4. 3−2x) . ( −2) 3−2x) sin3( cos( −8. 3−2x) . 3−2x) up%….%aat #ita 'e# di pil"an tern(ata $awaan ter%eut tida# ada pilihann(a) %* lan$ut #e ne+t %tep …. o
in"at ahwa 2 sinx. cosx=sin2 x .
f ′ x) sin3( cos( ( =====−8. 3−2x) . 3−2x) sin( cos( sin2( sin2 sin2( −4. 2. 3−2x) . 3−2x) . 3−2x) −4. ( 3−2x) . 3−2x) sin( sin2( sin( −4. 6−4x) . 3−2x) −4sin2( 3−2x) 3−4x)
C*nt*h ,*al!
1. Jawa!
2. Jawa!
&ua 9asa!ah 1atu #ema 9asa!ah $ang dimaksudkan meruakan masa!ah $ang te!ah ada seCak >aman i!muan besar Dunani *rchimedes $aitu masa!ah kemiringan garis singgung. 9asa!ah $ang kedua $aitu masa!ah $ang mu!ai berkembang dari ercobaan4ercobaan @e!er dan !ainn$a untuk mendeskrisikan keceatan sebuah benda $ang bergerak $aitu masa!ah kecepatan sesaat. Gradien Garis Singgung Earis singgung ada!ah suatu titik $ang memotong suatu kurFa ada satu titik &engan menggunakan konse !imit $ang te!ah dibahas ada bab sebe!umn$a sekarang kita daat memberikan definisi resmi tentang garis singgung
&efinisi Garis Singgung Earis singgung ada kurFa y = f(x) di titik P(c,f(c)) ada!ah garis $ang me!a!ui P dengan kemiringan
*sa!kan bahGa !imit ini ada dan bukan
atau 4
#UHUI*I 2" &ua 9asa!ah dengan 1atu #ema Garisang Singgung Eagasan 0uc!ides tentang garis singgung sebaagai garis $ang men$entuh suatu kurFa han$a ada satu titik Definisi: Garis Singgung Garis singgung ada kurFa y = f(x) di titik P(c, f(c) ) ada!ah garis $ang me!a!ui P dengan kemiringan
*sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J
e!e"a#an $a#a%ra#a dan e!e"a#an Sesaa# Kecepatan rata-rata ada!ah Carak dari osisi ertama ke osisi kedau dibagi dangan Gaktu temuh Defenisi: e!e"a#an Sesaa# ?ika benda bergerak di seanCang garis koordinat dengan fungsi osisi f(t) maka kecepatan sesaat ada saat cada!ah = *sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J &a!am kasus f(t)= "-t2 keceatan sesaat ada t = " ada!ah v = = = = (32 "-h) = 32
22 #urunan Definisi &urunan &urunan fungsi f ada!ah fungsi !ain f’ (dibaca K f aksenL) $ang ni!ain$a ada sebarang bi!angan c ada!ah c ada!ah f(c)= *sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J 'on#oh: ?ika f(x) = "3x , -. cari!ah f’(4). Pen$e!esaian: f’(4) = = = "3 ="3 (en#u)%ben#u) Se#ara un#u) &urunan #idak ada $ang keramat tentang enggunaan huruf h da!am mendefinisikan f’(c) 9isa!kanerhatikan bahGa f’(x) = = = &eorema *: e#erdiferensiasian +engim"li)asi)an on#inui#as ?ika f’(c) ada maka f kontinu di c ,ambang ,eibni- un#u) &urunan 9isa!kan sekarang bahGa Fariabe! tak4bebas y akan berua = f(x ) 4 f(x) &an hasi! bagi
23 *turan Pencarian #urunan *#uran ons#an#a dan Pang)a# &eorema *: *#uran .ungsi ons#an#a ?ika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(c) = M $akni D x (k) = Bukti f(x) = = = =
&eorema (: *#uran .ungsi Sa#uan ?ika f(x) = x, maka f’(x) = "M $akni D x, (x) = " Bukti f’(x) = = = = " &eorema ': *#uran Pang)a# ?ika f(x)= x n dengan n bi!angan bu!at ositif maka f’(x)= nx n-! $akni D x (x n)= nx n-! &eorema D: *#uran eli"a#an ons#an#a ?ika k suatu konstanta dan f suatu fungsi $ang terdiferensiasikan maka (kf)’(x) = k . f’(x) $akni
D x "k . f(x)# =k . D x f(x) &a!am kata4kata engga!i konstanta k daat dike!uarkan dari oerator D x &eorema /: *#uran umlah ?ika f dan g ada!ah fungsi4fungsi $ang terdiferensiasikan maka (f $ g)’(x) =f’(x)% g’(x) $akni D x "f(x) % g(x)# = D x f(x) % D x g(x) &a!am kata4kata turunan &ari suatu 'umah a&aah 'umah &ari turunan-turunan. &eorema .: *#uran Selisih ?ika f dan g ada!ah fungsi $ang terdiferensiasikan maka ( f $ g)’(x) $g’(x) $akni D "f(x) $ g(x)# = D x f(x) $D x g(x) &eorema G: *#uran asil ali ?ika f dan g ada!ah fungsi4fungsi $ang terdiferensiasikan maka (f . g)’(x) = f(x)g(x) Dakni D x "(x)g(x)# =f (x)D x g(x) % g(x)D x f()
2% #urunan Nungsi #rigonometri kita &eorema *: Nungsi f(x) =sin x &an g() = c*s x ke&uanya ter&iferensiasikan, &an D x (sinx) = c*s x D x (c*s x) = - sin x 'on#oh: ari!ah D x (+ sin x $ c*s x) Pen$e!esaian: D (+ sin x $ c*s x) = +D x (sin x) $ D x (c*s x) = + c*s x % sin x &eorema ( : Untuk semua titik x dida!am daerah asa! fungsi D x tan x = sec x D x c*t x = - csc x D x sec x = sec c tan x D x csc x = - csc x
2 *turan Hantai &eorema *: *#uran $an#ai 9isa!kan y = f(u) dan u = g(x). ?ika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komosit f . g, $ang didefinisikan o!eh (f . g)(x) = f(g(x)),ada!ah terdiferensiasikan di x dan (f . g)’(x) = f’(g(x))g’(x) Dakni D x (f(x)) = f’(g(x))g’(x) *tau
Penera"an *#uran $an#ai @ita mu!ai dengan contoh (2 x , % x ")-
'on#oh: ?ika y = (2 x , % x ")- cari!ah & x y /0 = u dan u = x $ 4x % ! Nungsi sebe!ah !uar ada!ah f(u) = u /0 dan fungsi sebe!ah da!am ada!ah u = g(x) = x $ 4x %! ?adi D x y = D x f(g(x) =f(u)g(x) =(/0u12 )(4x $ 4) =/0(x $ 4x % !)12 (4x $ 4)
2- #urunan #ingkat #inggi @arena turunan fungsi no! ada!ah no! maka turunan keemat dan semua turunan yang tingkat e3uh tinggi ( higher-*r&er) dari f akan no!
2O &iferensiasi m!isit (ebera"a esu)aran 2ang &a) en#ara ?ika sebuah ersamaan da!am x dan y menentukan fungsi y = f(x) dan Cika fingsi ini terdiferensiasikan maka metode terdiferensiasi im!icit akan menghasi!kan eksresi $ang benar untuk &y&x. #etai erhatikan terdaat dau KCikaL besar da!am ern$ataan ini #inCau ersamaan % y = 1 Dang menentukan fungsi4fungsi y = f(x) = x dan fungsi y = g(x) = x 'on#oh: ari!ah &y&x Cika x % 1y + = x % 2 Pen$e!esaian: x % 1y +) = &&x(x % 2) x % !1y = !
&eorema *: *#uran Pang)a# 9isa!kan r sebarang bi!angan rasiona! 9aka untuk x D x (xr) = rx r-! ?ika r daat ditu!iskan da!am suku terendah sebagai r = p5, di mana 5 ganCi! maka D x (x r )= rx r-! untuk semua x
2< QaCu $ang .erkaitan 1ebagai ganti di ketahuin$a y secara eks!isit da!am t kita mengetahui hubungan $ang mengaitkan y dan Fariabe! x dan kita CCuga mengetahui sesuatu tentang &x&t @ita maasih teta mamu mencari &y&t , karena&y&t dan &x&t ada!ah lau%lau 2ang beer)ai#an
2; &iferensia! dan *roksimasi Definisi Diferensial 9isa!kan $ =f(x) ada!ah fungsi terdeferensiasi dari Fariabe! bebas x xada!ah ertambahan sbarang dari Fariabe! bebas x &x disebut diferensia! Fariabe! bebas x. y ada!ah erubahan sebenarn$a
da!am Fariabe! y ketika x berubah dari x ke x % x M $akni y % f(x % ) $ f(x). &y, &ise3ut &iferensia varia3e tak-3e3as y, didefenisikan o!eh &y = f6(x)&x.
(*( 3 *"li)asi &urunan 31 +a)simum dan +inimum &eorema * &eorema eberadaan +a)s% ?ika f kontinu ada interFa! +in tertutu RabS maka f mencaai ni!ai maksimum dan ni!ai minimum &eorema ( &eorema &i#i) 9isa!kan ri#is f didefenisikan ada interFa! 7 $ang memuat titik c?ka f(c) ada!ah ni!ai ekstrim maka c harus!ah berua suatu titik kritisM dngan kata !ain c ada!ah sa!ah satu dari (i) titik uCung dari7M (ii) titik stasioner dari fM $akni titik dimana fT(c) = M atau (iii) titik singu!ar dari fM $akni titik dimana fT(c) tidak
ada
3 emono#onan dan e!e)ungan &eorema * &eorema emono#onan 9isa!kan f kontinu ada interFa! 7 dan terdiferensia! ada setia titik4 da!am dari7 (i) ?ika f6(x) 8 0 untuk semua titik4da!am 7 maka f naik ada 7 (ii) ?ika fT(x) untuk semua titik4da!am 7maka f turun ada 7. &eorema ( &earema e!e)ungan 9isa!kan f terdiferensiasikan dua ka!i ada interFa! terbuka 7. (i) Cika f’’(x) 8 0 untuk semua x da!am 7, maka f cekung keatas ada 7. (ii) Cika f’’(x) 9 0 untuk semua x da!am 7 maka f cekung kebaGah ada 7.
33 0kstrim Qoka! dan 0kstrim ada nterFa! #erbuka &eorema * i &urunan Per#ama 9isa!kan f ada interFa! terbuka (ab) $ang memuat sebuah titik kritis c (i) Cika f(Vx)W untuk semua x da!am (ac) dan fV(x) untuk semua x da!am (cb)maka f(c ) ada!ah ni!ai maksimum !oca! f
(ii) Cika f(Vx) untuk semua x da!am (ac) dan fV(x)W untuk semua x da!am (cb)maka f(c ) ada!ah ni!ai minimum !oca! f (iii) Cika fV(x) bertanda sama ada kedua ihak c maka f(c) bukan ni!ai ekstrim !oca! f &eorema ( i &urunan edua 9isa!kan fV dan fL ada ada setia titik interFa! terbuku(ab) $ang memuat c dan misa!kan fV(c)= (i) Cika fLc maka f(c) ada!ah ni!ai maksimum !oca! f (ii) Cika fLc W maka f(c) ada!ah ni!ai minimum !oca! f
3% #eorema Ii!ai Hataan untuk #urunan &eorema * &eorema Nilai $a#aan un#u) &urunan ?ika f kontinu ada interFa! tertutu (ab) dan terdiferensiasikan ada titik da!amn$a(ab) maka terdaat a!ing sedikit satu bi!angan c da!am (ab) dimana
*tau secara setara f(b)4f(a)=fV(c)(b4a)
