APLIKASI TURUNAN
Menggambar Grafik Fungsi O
Informasi yang dibutuhkan untuk menggambar Grafik Fungsi yaitu: O
Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
O
Asimtot Fungsi
O
Kemonotonan Fungsi
O
Ekstrim Fungsi
O
Kecekungan Fungsi
O
Titik Belok
Menggambar Grafik Fungsi O
Asimtot Fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada 3 jenis asismtot fugsi, yakni: i. Asimtot Tegak Garis x = c disebut asimtot tegak dari = jika lim = ±∞ →
ii. Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari = jika lim = →±
iii. Asimtot Miring
Garis y ax + b disebut asimtot miring miring jika () lim = dan lim = →±
→±
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi Contoh: Tentukan semua asimtot dari = Jawab.
−+ −
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi Kemonotonan Fungsi Definisi Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tidak satupun), dikatakan bahwa: i. f adalah monoton naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam I , < → ( ) < ( ) i. f adalah monoton turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam I , < → ( ) > ( ) iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I
Menggambar Grafik Fungsi Teorema Kemonotonan
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. i. Jika
> 0 untuk semua titik dalam dari , maka naik
pada . ii.Jika
pada .
< 0 untuk semua titik dalam dari , maka turun
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi Contoh: Tentukan selang kemonotonan dari = Jawab.
−+ −
Menggambar Grafik Fungsi Ekstrim Fungsi O
Definisi O
x) kontinu pada selang I yang memuat c, Misalkan f ( x ()≥() maksimum disebut nilai global dari f pada I jika jika untuk ()≤() minimum semua x di I maksimum ii. f(c) adalah nilai lokal dari f pada I jika jika terdapat selang minimum ()≥() buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada selang ()≤() buka tadi.
i. f(c)
O
O
Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim. Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi Teorema Titik Kritis Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu: i.
Titik ujung dari I ;
ii.
(f ’(c) = 0); Titik stasioner dari f (f’(c)
iii. Titik singular dari f (f’(c) tidak ada).
Menggambar Grafik Fungsi Contoh : Cari titik-titik kritis dari = 2 3 pada ,2 .
Penyelesaian.
Titik-titik Titik-titik ujung adalah dan 2. Titik stasioner = 6 6 = 0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak terdapat titik-titik singular.
Jadi titik-titik kritis adalah , 0, 1, 2.
Menggambar Grafik Fungsi O
Mencari Nilai Maksimum dan Minimum O O
Langkah 1. Carilah titik-titik kritis dari f pada I Langkah 2. Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.
Contoh: Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari = 2 3
Pada , 2 Penyelesaian: ???
Menggambar Grafik Fungsi Teorema: Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal. Andaikan f kontinu pada selang terbuka ( a,b) yang memuat titik kritis c. i. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f . ii. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f . iii. Jika f ’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f .
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi
Teorema: Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal. f ’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang Andaikan f’ terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f ’(c) = 0. i.
Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f .
ii.
Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f .
Menggambar Grafik Fungsi Contoh: Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi = Jawab.
−+ −
Menggambar Grafik Fungsi Kecekungan Teorema Kecekungan Kec ekungan Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). i.
Jika ′ > 0 untuk semua dalam (a,b), maka cekung keatas pada (a,b).
ii.
Jika < 0 untuk semua dalam (a,b), maka cekung kebawah pada a, b .
Contoh: Tentukan selang kecekungan dari =
−+ −
Menggambar Grafik Fungsi Jawab.
Menggambar Grafik Fungsi Titik Belok O
x) kontinu di x = b. Maka (b f ,f (b)) disebut Misal f ( x titik belok dari kurva f ( x x) jika : O
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan x =b fungsi f cekung ke bawah atausebaliknya.
x = b adalah absis titik belok, jika "(b)=0 atau "() tidak ada.
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi
Menggambar Grafik Fungsi Contoh Soal: Tentukan titik belok (jika ada) dari :
Masalah Maksimum Minimum Lainnya O
Contoh permasalahan permasalahan dalam kehidupan seharihari: O
O
O
O
Seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan besar. besar. Seorang dokter akan menentukan dosis obat terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya.
Permasalahan diatas dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya O
O
O
O
O
Turunan dapat dipergunakan dalam menyelesaikan masalah-masalah masalah-masalah praktis. Masalah-masalah Masalah-masalah yang demikian jarang memiliki titiktitik singular. Biasanya pada masalah-masalah ini nilai-nilai maksimum dan nilai-nilai minimum terjadi pada titik stasioner. stasioner. Namun, titik-titik ujung tetap harus diperiksa sebagai pembuktiannya. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum. minimum.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya O
Contoh: 1. Tentukan ukuran persegi panjang yang
dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum. Jawab. Misal panjang y, lebar x y x
Masalah Maksimum Minimum Lainnya Luas = , karena 2 2 = 100 → = 50 Sehingga Luas = = 50 5 0 = 50 , 0 50 50
= 50 2 → = 25 Kedua titik ujung 0 dan 50 memberikan L = 0, sedangkan x = 25 menghasilkan L = 625. Maka ukuran yang yang diinginkan adalah adalah x = 25cm dan y = 25cm.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya 2.
Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30+v/2) sen dollar per mil pada saat dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudiny Pengemudinyaa dibayar $14 $14 per jam. jam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k mil akan paling murah? Dengan anggapan bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah 40 ≤ v ≤ 60.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya Jawab. Misalkan C adalah biaya total dalam sen $ untuk menjalankan sebuah truk k mil. Maka, C = biaya pengemudi pengemudi + biaya operasi − = 1400 30 = 1400 30 2 2 Maka,
− = 1400 0 2
Masalah Maksimum Minimum Lainnya Dengan mengambil dC/dv sama dengan 0 mendapatkan; 1400 = 2 = 2800 ≈ 53 Pada kecepatan 53 mil per jam merupakan nilai optimum. Untuk lebih meyakinkan kita harus meninjau C pada tiga titik-titik kritis 40, 53, dan 60.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya O
= 40, =
O
= 53, =
O
= 60, =
30 30 20 = 85 30
= 82,9
30 30 30 = 83,3
Dapat disimpulkan bahwa pada kecepatan 53 mil per jam adalah yang terbaik. terbaik.
Masalah Maksimum Minimum Lainnya Contoh Lainnya :
Masalah Maksimum Minimum Lainnya
