14
BAB II
ISI
ATURAN RANTAI
Definisi
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca. Jika y=f(xt), dengan dan keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka
y'=dydx=dydu dudx.
Teorema Aturan Rantai I
Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan di t D dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)=(x(t),y(t)) , maka fungsi z=g(t)=f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan aturan : dzdt= z x.dxdt+ z y.dydt
Dimana z x, z y dihitung di ((x,y)=(x(t),y(t)).
Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut:
dxdt
dxdt
tx z x
t
x
z x
2 peubahdzdt= z x dxdt+ z y dydt z y
2 peubah
dzdt= z x dxdt+ z y dydt
z y
dydttx
dydt
t
x
Bukti :
Karena fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)Df, maka :
z= z x x+ z y y+ε1x+ε2y
Dimana ε1=ε1 x, y, ε2= ε2 x, y, dengan
lim x, y (0,0) ε1 x, y=0 dan lim x, y (0,0)ε2( x, y)=0
untuk t 0 berlaku z t= z x. x t+ z y. y t+ x tε1 x tε2,
karena x=xt+ t-x(t) dan y=yt+ t-y(t) maka
t 0 x, y (0,0)
Akibatnya ε1 dan ε2 adalah fungsi dari t dengan
lim t 0ε1 t=lim( x, y) (0,0)ε1=0, dan
lim t 0ε2 t=lim( x, y) (0,0)ε2=0.
Akibatnya untuk t 0, diperoleh
lim t 0 x y=dxdt dan lim t 0 y t=dydt
Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk
lim t 0 z t=lim t 0 z x. x t+ z y. y t+ x tε1+ y tε2
Diperoleh dzdt= z tdxdt+ z ydxdt …. (Terbukti)
Pada rumus di atas, z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t untuk dzdt dan dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk dan dzdx dan dzdy.
Teorema aturan rantai 1 dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks
dzdt= z x z ydxdtdydt
Jika dimisalkan z=g(t)=fX.Xt=xt,yt, f'X= z x z y
Maka aturan rantai 1 dapat ditulis sebagai z'=dzdt=f'X.X'(t), sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.
Aturan rantai 1 untuk 3 peubah
Jika fungsi x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.
u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t D dengan aturan :
dudt= u x dxdt+ u y dydt+ u z dzdt
Teorema Aturan Rantai 2
Jika fungsi u = ux, ydan v = v(x, y) terdiferensialkan di titik x0 , y0 pada daerah Df R2dan fungsi z =t(u, v) terdiferensialkan di x0 , y0 pada daerah Df R2 dengan u0=u(x0,y0) dan v0=v(x0,y0), maka fungsi z = g(x, y) =f (ux, y, vx, y) terdiferensialkan di titik ( x_0 , y_0 ) D dengan aturan :
y z= g x= z u u x+ z v v x z y= g y= z u u y+ z v vyx
Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:
Bukti:
Untuk z terhadap x,
Buatlah y tetap, tulis y=y0, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u=u(x,y0) dan v=v(x,y0). Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di x0 dengan aturan dudx(x0,y0)=ux(x0,y0)= u x(x0,y0)
dvdx(x0,y0)=vx(x0,y0)= v x(x0,y0)
Gantikan hasil ini pada fungsi z=g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di titik (u0,v0) dan (x0,y0) maka diperoleh :
z=gx,y0=f(ux0,y0) dan
dzdx=dgdx=dfdu u xx0,y0+dfdu u xx0,y0
=df udu x+df vdv x (Terbukti)
Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis
z x z y= z u z y u x u y v x v y
Misalkan
z=gx,y=fU,U=(ux,y,vx,y, maka :
f'U= z u z v, U'X= u x u y v x v y dan z'= z x z y
Sehingga
z'=f'(U) U'(x)
Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.
Teorema Aturan Rantai 3
Misalkan F:D Rn, D daerah di Rm dan G:E Rp, E daerah di Rn sehingga FD E. Jika fungsi F terdiferensialkan di X D dan fungsi G terdiferensialkan di F(X) E, maka fungsi komposisi G F terdiferensialkan di X dengan aturan
G F'X'=G'FXF'(X) dimana,
G F'X=JG FX, G'(FX=JGFX dan F'X=JF(X).
Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai
JG FX=JG(FX)×JF(X)
GFDiagram panah dari komposisi G F
G
F
G FG(F(X))F(X)XRpRnRm
G F
G(F(X))
F(X)
X
Rp
Rn
Rm
Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.
Bukti:
Karena fungsi F terdiferensialkan di X D Rm, maka terdapat suatu transformasi linear JFX=F'(X) dari Rm ke Rn dari fungsi vektor E1(H) yang memenuhi
FX+H=FX+FXH+HE1(H) dengan limh 0+!E1H=0
Karena fungsi G terdiferensialkan di Y=FX E Rn, maka terdapat suatu transformasi linear JFX=G'(Y) dari Rn ke Rp dan fungsi vektor E(H) yang memenuhi
FY+K=FYK+F'YK+KE2(K) dengan limK 0+1E2K=0
Kita akan menentukan suatu transformasi linear JG F(X) dari Rm ke Rp dan suatu fungsi vektor E(H) yang memenuhi
G FX+H=G FX+JG FXH+HE(H) dengan limH 0EH=0
Misalkan : K=KH=F(X+H)_-F(X)=F'XH+HE1(H), maka
GFX+H=GFX+K+GFXK+KE2(K)
Dengan menggunakan G'(FX) linear kita sampai pada kesimpulan
G(F(X+H)=G FFX+G'(FX)(F'XH+HG'FXE1H+HKHE2(K)
=G FX+G'(FX)(F'XH+HG'FXE1H+KHE2(K)
Ambillah
JG ° FX=G'FXF'(X), dan EH=G'FXE1H+KHE2(K)
Kemudian buktikan limh 0EH=0
Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:
Jika L: Rm Rn suatu transformasi Linear maka b R LX bX, Diperoleh b R G'(F(X))E1(H) bE1(H)
Karena limH 0E1H=0, maka limH 0E1H=0
Dari kedua hasil diperoleh limH 0G'FXE1H=0, dari definisi K=K(H) diperoleh KH=F'X+E1(H), akibatnya KH terbatas. Ini berarti c>0 KH
Kemudian, karena KHE2(K) cE2(K) dengan limH 0E2(K)=0, maka
limH 0KHE2K=0. Karena itu,
limH 0EH=limH 0G'FXE1H+limH 0KHE2K=0+0=0.
Dengan demikian terdapat transformasi linear G'FXF'(X) dan fungsi skalar E(H) sehingga memenuhi G FX+H=G FX+G'FXF'XH+HE(H) dengan
limH 0EH=0
Ini membuktikan bahwa G F terdiferensialkan di X dan
(G F)'(X)=G'(F(X))(F'(X) (Terbukti)
TURUNAN BERARAH
Definisi 1:
Misalkan fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah D R2 dan u=(u,v) suatu vektor satuan di R2. Turunan berarah dai fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis
f u(x,y), dz u(x,y). Du(x,y) atau Du(x,y)
didefinisikan sebagai f ux,y=limh 0fx+hu,y+hv-f(x,y)h, bila limit ada.
Cara menghitung turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di titik (x,y) ada suatu daerah D dalam arah vektor satuan u=u(u,v) dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :
Misal, gt=(x+tu,y+tv), maka
f ux,y=limh 0gh-g(0)h-0=g'(0), bila imit ini ada.
Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik x,y D R2, aturan rantai dengan r=rt=x+tu dan s=st=y+tv memberikan
f udrdt+ f sdsdt= f ru= f xu+ f sv
karena untuk t=0 berlaku r=x dan s=y, maka
f ux,y=g'0= f xu+ f yv= fx,yu
Teorema 1 (Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien)
Jika fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di titik (x,y) pada daerah D R2 maka turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u di titik (x,y) :
f ux,y= fx,yu. Dimana fx,y=fxx,yi+fyx,yj
Turunan berarah dan bidang singgung permukaan
Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan s:z=f(x,y) di titik (a,b,c) memuat (a,b). Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik (a,b,c) untuk sebarang vektor satuan u.
Turunan berarah sepanjang suatu kurva
Definisi 2 :
Misal fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah D R2 yang memuat titik A. turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C R2 yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A dalam arah vektor singgung satuannya.
Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A adalah f u(A), dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.
Turunan berarah dari fungsi skalar lainnya
Definisi 3 :
Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D R3 dan u=(u,v,w) vektor satuan R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis
f u(x,y,z) didefinisikan sebagai
f ux,y,z=limh 0fx+hu,y+hv,z+hw-f(x,y,z)h bila limit ini ada.
Misalkan fungsi skalar w=fx, X=(x1,x2,…,xm) terdefinisi pada daerah D Rm dan U=(u1,u2,…,um) vektor satuan di R3
Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis f u(x), didefinisikan
f ux=limh 0f(X+hu)h, bila limit ada.
Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D R3 yang memuat A dan kurva C di R3 melalui A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai f u(A), dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
Misalkan fungsi skalar w=f(x), X=(x1,x2,…,xm) terdefinisi pada daerah D R3 yang memuat titik A=(a1,a2,…,am) dan kurva C di Rm melaui titik A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai f u(A), dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
Teorema 2 (Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vector gradien)
Jika fungsi skalar w=f(x), X=(x1,x2,…,xm) terdiferensialkan di titik X pada daerah D R3 dan U=(u1,u2,…,um) vektor satuan di Um, maka turunan berarah dari fungsi f di titik X D dalam arah vektor satuan u adalah
f ux= fxu, f t 1nf(x)ei.
Arti geometri turunan berarah
Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) dalam arah vektor satuan u adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan antara permukaan s=z=f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.
Contoh soal :
Tentukan turunan bararah dari fungsi fx,y=2x2y+3y2 dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut 16π dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!
Penyelesaian : Vektor satuan : v=(cosθ,sinθ)
=123,12
=123i,12j.
Cara kedua :
Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah
fxx,y=4xy dan fyx,y=2x2+6y
Berdasarkan teorema 1 diperoleh turunan bararah dari fungsi f di x,y Df=R2 adalah
dfdux,y= fx,yu=(4xy,2x2+6y)123,12
=x2+23xy+3y.
Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah dfdu1,-1=-2-23.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Aturan fungsi y=f(x) dapat ditampilkan dalam bentuk Fx,y=0, dengan Fx,y=y-f(x). Di sini merupakan fungsi eksplisit dari x yang terkandung secara implisit dalam aturan Fx,y=0. Sebaliknya, aturan Fx,y=0 menyatakan bahwa y adalah fungsi implisit dari x, dan juga x fungsi dari y. Di sini kita mengatakan bahwa y adaah fungsi implisit dari x, dan juga x adalah fungsi impisit dari y. Dari aturan Fx,y=0, mungkin terjadi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x (atau sebaliknya), atau mungkin juga tidak.
y sebagai fungsi implisit dari x
Bila fungsinya dituliskan sebagai y=f(x), maka diperoleh Fx,fX=0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh
f xdxdx+ f ydydx=0
Fxx,y+Fyx,ydydx=0
Fyx,ydydx=-Fx(x,y)
dydx=-Fxx,yFyx,y,Fy(x,y) 0
x sebagai fungsi implisit dari y
Bila fungsinya dituliskan sebagai x=g(y), maka diperoleh Fgy,y=0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh
f xdxdy+ f ydydy=0
Fxx,y x y+Fyx,y=0
Fxx,ydxdy=Fy(x,y)
dxdy=-Fyx,yFxx,y,Fx(x,y) 0
Turunan fungsi implisit dua peubah
Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari dxdydFdx+dFdydydx=0 atau dydx=- F x Fdy asalkan dFdy 0
Contoh:
Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan dydx ..!
Jawab:
ddx(x3 + y2 x- 3)= d0dx
3x2 + 2xy dydx + y2 = 0
2xy dydx = - 3x2 - y2
dydx=(- 3x2 - y2) / 2xy
dydx= - (3x2+ y2)/2xy
Turunan fungsi implisit tiga peubah
Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka
Contoh:
Tentukan dzdx dandzdy dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0
Jawab:
ddx (xy – z2 + 2xyz) =d0dx c. ddz (xy – z2 + 2xyz) = dodz = 2xy – 2z
Y+ 2yz
ddy(xy – z2 + 2xyz) = d0dy = x + 2xz
Jadi dzdx= -y+2yz2xy-2z dandzdy= -x+2xz2xy-2z
Turunan fungsi implisit empat peubah
Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka
Contoh:
Tentukan dwdx,dwdy, dandwdz dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0
Jawab:
ddx (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= dodx = 4xw+zwy
ddy(2x2w + 3y2z + zwyx + w2) = dodx=6yz+zwx
ddz(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= d0dz = 3y2 + wyx
ddw(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= d0dw = 2x2 + zyx +2w
Jadi:
dwdx= - (4xw+zwy) / 2x2 + zyx +2w
dwdy= - (6yz+zwx)/ 2x2 + zyx +2w
dwdz= - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w
BAB III
LATIHAN SOAL
Andaikan z=x3y, dimana x=2t dan y=t2 tentukan dzdt !
Penyelesaian :
Dengan menggunakan aturan rantai 1 diperoleh :
dzdt= z xdxdt+ z ydydt
=3x2y2+(x3)(2t)
=32t2t22+(2t)32t
=24t4+16t4
=40t4
Andaikan w=x2y+y+xz dimana x=cost, y=sint dan z=t2. Tentukan dwdt !
Penyelesaian :
dwdt= w x dxdt+ w y dydt+ w z dzdt
=2xy+z-sint+x2+1cost+x(2t)
=2cost sint+t2-sint+cos 2t+1cost+2tcost
=-2cost sin2t-t2sint+cos3t+cost+2tcost.
Tentukan turunan bararah dari fungsi fx,y=2x2y+3y2 dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut 16π dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!
Penyelesaian : Vektor satuan : v=(cosθ,sinθ)
=123,12
=123i,12j.
Cara kedua :
Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah
fxx,y=4xy dan fyx,y=2x2+6y
Berdasarkan teorema 1 turunan berarah diperoleh turunan bararah dari fungsi f di x,y Df=R2 adalah
f ux,y= fx,yu=(4xy,2x2+6y)123,12
=x2+23xy+3y.
Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah f u1,-1=-2-23.
Jika persamaan 8x2+9y3+3z4+6xy2+2xz4 secara imlisit mendefinisikan fungsi z=f(x,y), y=g(x,z), dan x=h(y,z). Tentukan turunan parsial fx,fy,gx,gz,hy,hz !
Penyelesaian :
turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x,y, dan z adalah
fxx,y,z=24x2+6y2+2z4
fyx,y,z=27y2+12xy
fzx,y,z=12z3+8xz3
Untuk fungsi yang mendefinisikan z=f(x,y), maka
fxx,y=-Fxx,y,zFzx,y,z=-24x2+6y2+2z412z3+8xz3
fyx,y=-Fyx,y,zFzx,y,z=-27y2+12xy12z3+8xz3
Untuk fungsi yang mendefinisikan y=g(x,z), maka
gxx,z=-Fxx,y,zFyx,y,z=-24x2+6y2+2z427y2+12xy
gzx,z=-Fzx,y,zFyx,y,z=-12z3+8xz327y2+12xy
Untuk fungsi yang mendefinisikan x=h(y,z), maka
hyy,z=-Fyx,y,zFxx,y,z=-27y2+12xy24x2+6y2+2z4
hzy,z=-Fzx,y,zFxx,y,z=-12z3+8xz324x2+6y2+2z4
