BAB I FUNGSI TRANSEDEN Tujuan Instruksion al Khusus: Khusus: Mahasiswa memahami fungsi transeden, yaitu fungsi logarima natural, fungsi eksponen, fungsi inversi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu meny men yelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut
1.1
PENDAHULUAN
Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transeden. Fungsi transeden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik 1.2
FUNGSI LOGARITMA NATURAL n
Bila diberikan suatu fungsi f(x) = x , maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah: 1 n xn 1 + C untuk n { ± 1 ´ x dx ! n 1 1 Namun Namun integrasi tersebut tid tidak berlaku un untuk n = ± 1. Artiny Artinya, a, tid tidak dapat diin iintegrasikan tegrasikan dengan gan x rumus seperti di atas. Perhatikan Perhatikan ben bentuk logaritma natural : ln x = e log x 1 n 2,7182 28182 818284589««. 84589««. ) ! lim (1 k )1 / k = 2,718 n np g k p0 bilan bilangan gan e ad adalah irasion irasional dan tak terukur
e = lim (1
diman imana :
a.
Menentukan turun an fungsi log aritma natur al
Untuk
dy
!
dx
mencari turunan fungsi l ogaritma natural y = ln x dapat dilakukan sebagai berikut: (x ln ( x (x ) ln x 1 x (x 1 ! lim lim ln ( ) ! lim ln (1 ) (x x x ( x p0 (x p0 (x (x p0 (x 1 x
lim
!
( x p0
misalkan
x
(x
(x !
x
ln (1
(x
x
)
!
x
( x p0
x
k sehingga
1
lim
!
(x
1
ln (1
(x
x
dan (1
k
) x / (x
(x
x
(x
(x p 0
Jadi:
dy
!
dx
1
lim ln (1
x (x p0
jika y = ln x maka turunanny turunannya
(x
x
dy dx
)
x / (x
=
1
lim ln (1
x (x p 0
(x
x
) x / (x
) x / (x = (1 k )1 / k
dan untuk (x p 0 maka k p 0, sehingga lim (1 Dengan demikian
!
=
x 1 x
)x / (x =
ln e =
lim (1 k )1 / k = e
k p0
1 x
1 x
Secara umum, jika y = ln u maka turunann turunanny ya
dy dx
=
1 du u dx
Aturan dalam logaritma natural mi rip logaritma biasa, yaitu: b
a. ln (ab) = ln a + ln b a b. ln = ln a ± ln b b
c. ln a = b ln a d. ln e = 1
Contoh soal: 2
Tentukan turunan dari
1. y = ln (x ± 1)
3. y = ln (x ± 1) x 4. y = ln x 1
2
2. y = ln {2x (4x ± 1)}
2
Jawab: 2
1. y = ln (x ± 1) y = ln u, maka
2
misal u = x ± 1, maka dy dx
=
1 du u dx
=
1 x2
2
du dx
2x =
1
= 2x 2x x2
1
2
2. y = ln {2x (4x ± 1)} misal u = 2x 2x (4x ± 1), maka Jadi
dy dx
=
1 2x 2 (4 x 1)
( 24 x 2
4 x) =
2 (6 x 1) x (4 x 1) 1
du dx
2
2
= 4x(4 x(4x ± 1) + 2x . 4 = 24 24 x ± 4x
dy
2
3. y = ln (x ± 1) = 2 ln (x ± 1) Jadi 4.
x 1
dy
Jadi
x 1 x du ( x 1) x 1 misal u = maka = ! 2 dx x 1 ( x 1) ( x 1)2
x
y = ln
=
dx
2
=
x 1
1
x
( x 1)2
=
dx
1 x ( x 1)
Tugas: Tentukan turunan dari: 2
2
1. y = ln {(4x + 3) (2x ± 1)} 3
. y = ln cos x
2
2
2. y = ln (x + 2) (x + 3)
7. y = (x ± 2) ln sin x
x4
3. y = ln 4.
(3 x 4 )2 3 2 3 y = {ln (x ± 4) }
5.
y = ln
8. xy + y ln x ± ln y = 0 9. xy (ln y + ln x) = 1 2 10. y = (ln x 2 ) x
x ( x3 3)
b. Diferensiasi menggunakan log aritma natur al Jika diketahui suatu fungsi y = f(x), maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga m enjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi: 1 dy
1
!
y dx
f ( x )
dy
f ' ( x ) diperoleh
!
dx
y
f ' ( x ) f ( x )
Contoh soal: Tentukan turunan dari 3
7
2 3
1. y = (x + 1) (2 ± x )
2. y =
1 x2 3
( x 1)2
Jawab: 1. y = (x + 1) (2 ± x ) kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = ln ( x 3 1)7 (2 x 2 )3 3
7
2 3
3
2
ln y = 7 ln (x + 1) + 3 ln (2 ± x ) kedua ruas diturunkan, diperoleh dy
sehingga
dx
=y(
= ( x 3 1)7 ( 2 x 2 )3 {
2. y =
1 x2 3
( x 1)
2
7 (3 x 2 ) x3 1 42 x 2
+
3 ( 2x ) 2 x2
) = ( x3 1)7 (2 x 2 )3 {
21x 4 6 x 4 6 x 3
2
( x 1) (2 x )
1 dy y dx
21 x 2 x3 1
+
7 (3 x 2 )
=
x3 1
3 ( 2 x )
+
2 x2
6 x } 2 2x
} = ( x 3 1)6 ( 2 x 2 )2 3x (± 9x + 14x ± 2) 3
kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y =
1 2
ln (1 x 2 )
2 3
ln ( x 1)
kedua ruas dikalikan 6, menjadi 6 ln y = 3 ln (1 x 2 ) 4 ln ( x 1) lalu kedua ruas diturunkan 6 dy
=
y dx dy dx dy dx
3 ( 2 x ) 1 x2
6 3
x 1
2
1 x2
3 3
(
( x 1)
1
=
4
1 x2
1
=
( x 1)2
(
p
dy dx
=
y 3 ( 2x ) 4 ( ) x 1 6 1 x2
6x 2 6x 4 4x 2 (1 x 2 ) ( x 1)
)=
1 x2
1 6 3
2
( x 1)
(
2x 2 6 x 4 (1 x 2 ) ( x 1)
( x 2) ( x 2)(x 1) )= 3 (1 x 2 ) ( x 1) 3 ( x 1)2 1 x 2
Tugas: Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut 1. y
x2 1
!
x2 3
2. y
!
1
x2 1 x
3
3. y
!
2 2 3 x (x 2
x
4. y =
4
3x 5
x (1 x 2 )2 1 x
2
3)2
2
)
c.
a
Diferensiasi Fungsi y = log x a
y
Fungsi y = log x sama dengan a = x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi ln x y ln a = ln x p y ln a = ln x p y = dimana ln a = konstan ln a Untuk
ln x
y=
dy
maka
ln a
dx
1
=
x ln a dy
a
Jadi untuk fungsi y = log x, turunannya
1
=
dx
x ln a
Atau secara umum, Untuk
dy
a
fungsi y = log u, turunannya
=
dx
1
du
u ln a dx
Contoh soal: Tentukan turunan dari 2
1. y =
2
4
log (x ± 1)
2
2. y = log (x + 3x )
Jawab: 1. y =
2
2
log (x ± 1) p 4
2
2. y = log (x + 3x ) p
d dx
2x
=
dy
(x2
=
dx
1)
ln 2
4 x3 (x 4
6x
3 x 2 ) ln10
Tugas: Tentukan turunan dari a
2
1. y = log (3x ± 5) 2. y = log 3. y = d.
5
3
( 2x 5)
4. y = log (ln x) 2
5. y = ln (log x)
3
2
log sin x
Menentukan integr asi ´
1 x
dx
dan
1
´
u
du
Sebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk f ungsi y = ln x, turunannya dan untuk fungsi y = ln u, turunannya
´
1 x
dx ! ln x
dy dx
!
1 du u dx
atau secara umum ´
ontoh soal: Tentukan integrasi dari 1 1. ´ dx 2x 1
dy dx
´ ´
2.
1 2x 1 1
1 u
du ! ln u
2x 3 2. ´ dx x2 3x 1
2x 1
dx misal u = 2x + 1 maka du = 2 dx atau dx = dx = ´
11 u2
du =
1 2
´
1 u
du =
1 2
ln u +
=
1 2
1 2
du, sehingga
ln (2x + 1) +
2x 3 2 dx , misal u = x + 3x + 1, maka du = (2x + 3) dx, sehingga ´ 2 x 3x 1 du 2x 3 2 = ln u + = ln (x + 3x + 1) + dx = ´ ´ 2 u x 3x 1
Tugas : Tentukan integrasi dari: 1. 2. 3.
´ tan x dx dx ´ ( x 2) ( x 3 ) ´
2x 3 3x2 4x 7
dx
1 x
, maka untuk integrasinya adalah kebalikannya, yaitu:
Jawab: 1.
!
4. ´ cot x dx dx 5. ´ 3 x 5x2 6x x3 6. ´ dx x2
3
1.3
FUNGSI EKSPONEN
Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: x y = e jika dan hanya jika x = ln y y=x
x
Grafik y = e dan y = ln x simetris terhadap y = x Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, dan sebaliknya.
y = ln x
x
y=e
Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: a+b
a
b
e = e .e a±b a b e = e /e ab a b b a e = (e ) = (e ) Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: x
a =e
x ln a
x
sehingga ln a = x ln a
Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu: x
1. y = e atau y = e
u
x
2. y = a atau y = a
u
Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli m atematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat. a.
Turun an dan integr asi fungsi y = e
x
x
Fungsi y = e diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu x ln y = ln e p ln y = x ln e p ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, 1 dy dy x ! 1 atau ! y = e y dx dx Jadi
x
dy
u
dx dy
y = e turunannya adalah y = e turunannya adalah x
x
!
e
!
e
u
dx u
x
du dx u
´ e dx = e + C atau ´ e du = e + C Contoh Soal : 1.
Tentukan turunan dari y 1
Jawab: misal u =
dy
!
dx
2. Hitung ´
u
e
e
du
= e
dx
´
. (
maka
2
du
!
dx
) =
2
x 2e
1 x2
x
x
x
x
x
1 x2
e
x dx
Jawab: misal u = e
x2
!
1 x2
dx = ´
eu u
x maka du =
1 2
dx atau dx = 2
x
x
2u du = 2 ´ eu du = 2 e + C = 2 e u
x du = 2 u du
+C
Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut 2
4. y = e x sin 2x
1.
y = ex
2.
2 y = e x ln x
.
y=
ex
e x
ex
e x
5. y = e x ln x 6. y = 4
eax
e ax
e ax
e ax
b. Turun an dan integr asi fungsi y =
x
a
x
x
Fungsi y = a diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln a p ln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan m aka didapat, 1 dy
!
y dx
ln a atau
Jadi
dy
!
dx
x
y ln a = a ln a
x
dy
u
dx dy
y = a turunannya adalah y = a turunannya adalah x ´ a dx =
ax ln a
x
!
a ln a
!
a ln a
dx
u
+ C atau ´ au du =
du dx
au ln a
+ C
Contoh soal: 1. Tentukan turunan dari y = 2 4 x 1 2. Hitung ´
10 x dx
Jawab: 1. y = 24 x 1
maka turunannya
dy
!
dx
24 x 1 ln 2 . 4 = 2 4 x 1 ln 2
10 x dx = ´ 10 x / 2 dx , misal u =
2. ´
´
10 x dx =
2
u ´ 10 du =
2 10u ln 10
x
maka
2
+C=
2 10
x 2
ln 10
du
atau dx =
!
dx
2
+C=
2 10 x
2
du, maka
+C
ln10
Tugas: Tentukan turunan dari x
1. y = 5 2
3. y =
1
x 2 1
4. Y = (4 x 2 3 x ) 3 x
x
2. y = x 3 c.
2x
x
Turun an fungsi y = x
dan
f(x) = g(x)
2
h(x)
Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan f ungsi eksponen, yaitu: a
Fungsi pangkat :
a
y = x atau y = u dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap x u x u Fungsi eksponen : y = e atau y = e dan y = a atau y = a dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel x
h(x)
Namun, fungsi y = x dan f(x) = g(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural. Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut x
1. y = x Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan 1 dy x dy = ln x + 1 Jadi ! ln x ! y (ln x 1) ! x x (ln x 1) y dx x dx 2 2 2. y = x x 2 x p ln y = (x ± 2x) ln x diturunkan 1 dy 1 ! (2x 2) ln x ( x 2 2 x ) y dx x
dy dx
! xx
2
2 x
(2x ln x ± 2 ln x + x ± 2)
5
Tugas: Tentukan turunan dari 1. y = ( x 2 2. y = x e
1)
sin x
x2
3. y = ( 2x 1) x
2
4
4. y = 3
7. y = 5 3 x 4
x
5. y = ( x 2 3 )x 1
8. y = x ln x
6. y = (ln x 2 )2 x 3
9. y = ( x 2
10. y = x e
10
1)
10
x
2
ex
1
Contoh soal esai: 1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000? Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai
dA dt
dA dt
= laju pertumbuhan bakteri,
= k.A atau
dA A
= k dt.
Kedua ruas diintegralkan menjadi: dA ! ´ k dt menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = ekt C1 = ekt eC1 ´ A Jika eC1 = C, didapat persamaan A = C ekt Untuk
0
t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka ln 2 12 k 12 k 2000 = 1000.e sehingga e = 2 p 12k = ln 2 p k = = 0,05776 12 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 e0,05776 t p e0,05776 t = 1000 p 0,05776 t = ln 1000 ln 1000 t= = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit 0,05776 0,0001t
2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e . Hitung 0 0 pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0 menjadi 25 . Jawab: dL 0,0001t 0,0001t L = 60 e turunannya adalah = 60 e . 0,0001 dt 0,0001t Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e dt 0 0 0 0 0 Diketahui t1 = 0 , t2 = 25 , maka dt = 25 ± 0 = 25 , maka 0,0001x0 dL = 0,006 e 25 = 0,150 meter Tugas: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000? 1.4
FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI
Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut: a. y = arc sin x jika dan hanya jika x = sin y untuk ± T/2 e y e T/2 b. y = arc cos x jika dan hanya jika x = cos y untuk 0 e y e T c. y = arc tan x jika dan hanya jika x = tan y untuk ± T/2 y T/2 d. y = arc cot x jika dan hanya jika x = cot y untuk 0 y T e. y = arc sec x jika dan hanya jika x = sec y untuk ± T e y e ± T/2, 0 e y T/2 f. y = arc csc x jika dan hanya jika x = csc y untuk ± T e y e ± T/2, 0 y e T/2 Catatan: arc cot x = 1/2 T ± arc tan x untuk x = bilangan real arc sec x = arc cos (1/ x) untuk ` x ` u 1 arc csc x = arc sin (1/ x) untuk ` x ` u 1 Contoh soal: Buktikan arc cos x = 1/2 T ± arc sin x untuk ` x` e 1 Jawab: misal w = 1/2 T ± arc sin x maka arc sin x = 1/2 T ± w sin ( arc sin x) = sin (1/2 T ± w) p x = cos w p w = arc cos x terbukti 6
a.
Turun an Fungsi y = ar c sin x
Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan m enjadi dy 1 2 2 2 2 ! dx = cos y dy atau Menurut rumus sin y + cos y = 1 atau cos y = 1 ± sin y. dx cos y 2
2
x = sin y maka cos y = 1 ± sin y = 1 ± x
2
1 x 2 maka,
dan cos y =
Jadi:
y = arc sin x turunannya adalah
Secara umum
y = arc sin u turunannya adalah
dy dx dy dx
dy dx
!
1 cos y
1
=
1 x2
1
!
1 x2 1
!
du dx
1 u2
b. Turun an Fungsi y = ar c cos x Karena arc cos x = 1/2 T ± arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadi dy 1 y = 1/2 T ± arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi ! ± dx 1 x2 Jadi:
y = arc cos x turunannya adalah
Secara umum
y = arc cos u turunannya adalah
c.
dy
!
dx dy
!
dx
1
±
1 x2 1
±
du dx
1 u2
Turun an Fungsi y = ar c tan x 2
Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec y dy atau 1 dy 1 dy 1 2 2 2 Menurut rumus sec y = 1 + tan y = 1 + x , sehingga = ! ! 2 2 2 dx dx sec y sec y 1 x Jadi:
y = arc tan x turunannya adalah
Secara umum
y = arc tan u turunannya adalah
d.
dy
!
dx dy
!
dx
1 1 x2 1 du 1 u2 dx
Turun an Fungsi y = ar c cot x
Bentuk y = arc cot x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan m enjadi dy 1 2 dx = dy atau ! sin y 2 dx sin y 2 x 1 x 1 Perhatikan segitiga di samping x = cot y atau cot y = 1 x y 1 1 maka sin y = atau sin2 y ! 2 x2 1 x 1 Jadi:
y = arc cot x turunannya adalah
Secara umum
y = arc cot u turunannya adalah
dy
!
dx dy dx
1
± x
!
±
2
1
1 u2
du
1 dx
e. Turun an Fungsi y = ar c sec x -1
Bentuk y = arc sec x diubah menjadi x = sec y = cos y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi -2
dx = ± cos y (± sin y) dy atau
x y
x2 1
1
dy dx
!
cos 2 y sin y
Perhatikan segitiga di samping sin y =
7
x2 x
1
1
dan cos y =
x
maka
Jadi:
=
sin y
1
x
x2
x
1
=
2
1
x
x
2
dy
y = arc sec x turunannya adalah
Secara umum
f.
cos2 y
1
1
!
dx
x
dy
y = arc sec u turunannya adalah
x
2
1
1
!
dx
du
u2
u
1
dx
Turun an Fungsi y = ar c csc x -1
Bentuk y = arc csc x diubah menjadi x = csc y = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dy
-2
dx = ± sin y (cos y) dy atau
x
1 1
x
Jadi:
2
maka
sin y
=
cos y
1
x
Secara umum
x2
x2
1 x
dx dy dx
1 x
maka
du dx
1 2x x2
dy
a2
=
x2 + x
2
x2 ±
( a2
dy
1
x2
+
x2
dx
1
1
! ±
1
du
u
u2
a2
x2
1 dx
a2 arc sin
x a
du
1 dx
1 u2
1 x
dy
u2
x
1
! ±
dx
1
=
¨ 1 x ¸ © ¹ ª 1 x º
1
=
2
1 2 x x2 2(1 x 2 )
1
1 1 x2 1
x 2 )1/ 2 ( 2x ) + a2
x2 a2
=
! ±
dan
1 2x x 2
2 1
dx
2
2 2(1 x 2 ) 1 2x x
a2
!
=
x2
x
2. y = x
1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka
2.
1
y = arc csc u turunannya adalah
Contoh soal: Tentukan turunan dari ¨ 1 x ¸ 1. y = arc cot © ¹ ª 1 x º Jawab:
! ±
cos y
1
=
y = arc csc x turunannya adalah
Misal u =
sin2 y
Perhatikan segitiga di samping sin y =
x2
dan cos y =
dy
dx
1 x2
y
!
a2 a2
x2
=
1
a x 1 ( )2 a 2 (a 2 a2
x2 ) x2
= 2
a2
x2
Tugas : Tentukan turunan dari 1.
2
y sin x + y = arc tan x x
2. y = a
2
x
2
2
3. y = x arccos 4.
y = arc tan
± arc sin
3 x
2 x
x
5. y = ln ln sec 2x x a
6. y =
7. y = x
x2 x2
4
+
sin x
8. y = arc sin (x-1)
8
9. y = arc sin e 1 2
arc sec
x 2
10. y = arc sin
x
11. ln (x+y) = arc tan
x y
1.5
FUNGSI HIPERBOLIK
1.5.1
Definisi fungsi hiperbolik ex
1. Sinus hiperbolik :
sinh x =
2.
Cosinus hiperbolik :
cosh x =
3.
Tangent hiperbolik :
tanh x =
4.
Cotangent hiperbolik :
coth x =
5.
Secant hiperbolik :
sech x =
6. Cosecant hiperbolik :
2
cosh x sinh x
Y
0
2 cosh x
1 cosh x 1 sinh x
e
=
ex
x
ex ex e x e x
=
ex
ex 2
=
e x e x 2
=
e x
ex
y = cosh
X ± 2
e x e x sinh x
csch x =
Y
ex
Y
1 X
X 0
2
0
y = tanh x ± 1
y = sinh x
Grafik fungsi y = sinh x, y = cosh x, dan y = tanh x Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa:
a. b. c. d.
Fungsi Hiperbolik 1 tanh x = coth x 2 2 cosh x ± sinh x = 1 2 2 1 ± tanh x = sech x 2 2 1 ± coth x = ± csch x
Fungsi Trigonometri 1 tan x = cot x 2 2 cos x + sin x = 1 2 2 1 + tan x = sec x 2 2 1 + cot x = csc x
Tugas : Buktikan x
6. cosh 2x = cosh x + sinh x
2
-x
7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
1. cosh x + sinh x = e
2. cosh x ± sinh x = e 1 cosh x 1 3. sinh 2 x ! 2 2 2 tanh x 4. tanh 2x = 1 tanh 2 x 5.
cosh 2
1.5.2
1 2
x!
8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
cosh x 1 2
Turunan Fungsi Hiperbolik
a. Fungsi y = sinh x =
ex
b. Fungsi y = cosh x =
c.
Fungsi y = tanh x =
d. Fungsi y = coth x =
e. Fungsi y = sech x = Fungsi y = csch x =
ex
2 ex
,
turunannya
e x
2 ex ex ex e
f.
2
x
ex ex
e x e
x
2 ex
e x
2 ex
e x
,
, turunannya
turunannya
,
turunannya
,
turunannya
,
turunannya
dy dx dy dx
= =
ex
e x
2 ex
ex
2
= cosh x = sinh x 2
¨ ¸ 2 ¹¹ = sech2 x = ©© x x dx ª e e º dy
2
¨ ¸ 2 ¹ = ± csch2 x = © © ¹ x x dx ª e e º dy
dy dx dy dx 9
=
ex
e x
ex e x
e x
2
=±
ex
2 (e x
(e x
ex )
e x )2
= ± sech x tanh x
= ± csch x coth x
Secara umum: a. y = sinh u ,
turunannya
b. y = cosh u,
turunannya
c.
y = tanh u,
turunannya
d.
y = coth u,
turunannya
e. y = sech u,
turunannya
f.
turunannya
y = csch u,
dy dx dy dx dy
= cosh u = sinh u
du dx du
dx du 2 = sech u dx dx dy du 2 = ± csch u dx dx dy = ± sech u tanh u dx dy = ± csch u coth u dx
du dx du dx
Contoh soal: Tentukan turunan dari 2
1. y = tanh (1 ± x )
Jawab :
2. y = ln (sinh x)
Jawab :
3. y = tanh (
4x 1 5
)
Jawab :
dy dx dy dx dy dx
2
2
= ± 2x sech (1 ± x ) = =
cosh x sinh x 4 5
= coth x
sec h 2 (
4x 1 ) 5
Tugas : Tentukan turunan dari 1. y = x sech x
2
2
2. y = ln cosh x 3. y = 1.5.3
2
4. y = csch (x + 1) x 5. y = a cosh a
1 tanh x 1
Integr asi Fungsi Hiperbolik
Rumus-rumus
pokok integrasi fungsi hiperbolik
a.
sinh u du = cosh u + C
b.
cosh u du = sinh u + C
c.
tanh u du = ln | cosh u | + C
d.
coth u du = ln | sinh u | + C
e.
sech u du = tanh u + C
f.
csch u du = ± coth u + C
g.
sech u tanh u du = ± sech u + C
h.
csch u coth u du = ± csch u + C
2
2
Contoh soal : Hitung integral berikut 1.
2.
´ sec h x dx = ´
dx
cosh x dx
= ´
= ´
cosh x dx
cosh 2 x 1 sinh2 x misal u = sinh x maka du = cosh x dx, sehingga du = ´ = arc tan u + C = arc tan (sinh x) + C 2 1 u cosh x
x x ´ e cosh x dx = ´ e (
ex
Tugas : Hitung integral berikut 1 1. ´ cosh x dx 2
e x
2
) dx =
1 2
´ (e
2x
1)
dx =
1 4
e2x
4.
2 ´ x sinh x dx
1
2
2.
4 ´ sec h x dx
5.
x ´ e sinh x dx
.
´ x sinh x dx
6.
2 ´ sinh x cosh x dx
10
+C
1.6
FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK
1.
Jika y = arc sinh u maka turunannya
2.
3.
Jika y = arc cosh u maka turunannya
Jika y = arc tanh u maka turunannya
4. Jika y = arc coth u maka turunannya 5. Jika y = arc sech u maka turunannya
6. Jika y = arc csch u maka turunannya
dy
1
!
dx dy
u
1
1
!
dx
du
1
!
du 1
u
du
1 u
dx
u
2
"
du
1 u
1
dimana 0 u 1
2 dx
1
!
1
dimana u
1 u2 dx
!
2
dimana u
1 u2 dx
dx dy
du
u2
dx dy
dx
1
1
dx dy
2
!
dx dy
du
2 dx
dimana u { 0
Integrasi yang berkaitan dengan fungsi hiperbolik inversi du u 7. ´ = arc sinh +C a 2 2 u a 8.
du
´ u
9.
´ 2 a
2
a
2
du
10. ´ u2
u
1
=
2
du a
= arc cosh
a
=±
2
arc tanh 1
u
u
2
+ C dimana u
a
arc coth
a
+ C dimana 0 a u
a
u a
a2
+ C dimana u
2
"
2
a
Contoh soal : 1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya
Bukti: Misal u = sinh y, maka 2
2
2
cosh y = 1 + sinh y = 1 + u Jadi
dy
!
dx
u
1
du
2
dx
1
du
2. Buktikan ´ u
2
a
2
du
!
dx
dy
1
!
dx
cosh y
dy dx
u2
atau
du 1
dy
dx 1
!
dx
cosh y dx
1 u2 =
maka cosh y =
du
u2
1
terbukti
= arc sinh
u a
+C
Bukti : misal u = a sinh p maka du = a cosh p dp u2
dan
du
´ u
2
a
a2 =
= ´
2
a2 sinh 2 p a2 = a cosh p
a cosh p dp a cosh p
= ´ dp = p + C = arc sinh
u
+ C terbukti
a
Tugas : 1.
Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 ± 6 di atas.
2.
Buktikan persamaan 8 ± 10
dx
5. Hitung ´ x
3. Hitung ´
4. Hitung
dx 9x 2 x2
6. Hitung ´
25
4 dx
7. Hitung ´
1 x2 dx x2
dx 4 9x
11
9
