Analisis Real 2 : TURUNAN

BAB I TURUNAN/DIFFERENTATION

1.1. Turunan Fungsi Definisi 1.1.1:

Misalkan I

 R adalah

interval fungsi f : I

 R dan c  I ,

Bilangan real L

dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan   0 terdapat bilangan



  ( , c)  0 sehingga untuk setiap x  I dengan C berlaku:  f (c)  L   . c

f ( x) x

Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan f '(c) . Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit lim f ' (c)  lim

f ( x)  f (c)

x c

x  c

asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal. Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang

diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu, pembahasan pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian. Contoh: 1. Jika f ( x)  x 2 untuk x  R , maka untuk setiap c  R , f ' (c)



lim lim

f ( x)  f (c) x  c

x c



lim lim

x c

x 2  c 2 x  c



lim lim ( x  c)

x c

 2c

Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan f '( x)  2x untuk x  R . 2. Jika h( x)  x , x  R maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk x  0 h( x)  h(0) x  0



x x

 1  1

jika x  0 jika x  0

, sehingga lim x0

1

h( x)  h(0) x  0

tidak ada.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













Teorema 1.1.2:

Jika fungsi f : I

 R differensiabel di c  I , maka f kontinu di titik c.

Bukti: Untuk sebarang x  I , x  c , diperoleh f ( x)  f (c)

Karena

f ( x)  f (c) 

   

x  c

 ( x  c) 

f '(c) ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit

diperoleh

 f ( x)  f (c)  lim ( x  c)  f ' (c)  0  0   xc x  c  xc



lim ( f ( x)  f (c))   lim x c



Jadi lim lim f ( x)  f (c) , sehingga f kontinu di c. x c

Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0 tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik , bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titi k tersebut. Teorema 1.1.3:

Jika I

R

adalah interval, c  I , dan fungsi f , g : I

 R adalah

fungsi-fungsi

yang differensiabel di c, maka (a) Jika



 R , maka fungsi

 f

differensiabel di c dan

( f ' )(c)   f ' (c)

(b) Fungsi f

 g differensiabel di c dan

( f  g )'(c)  f ' (c)  g ' (c)

(c) (Aturan perkalian) Fungsi fg differensiabel di c dan ( fg )'(c)  f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c)

(d) (Aturan pembagian) Jika g (c)  0 , maka fungsi f / g differensiabel di c , dan















Bukti: (a) Jika f ' (c)  lim lim

f ( x)  f (c) x  c

x c

 f  ( x)   f  (c ) x  c

 f ' (c )  xlimc  lim x c



 f  ( x )    f  (c ) x  c



 f ( x)  f (c )  x  c



 lim x c

, maka



  lim

f ( x)  f (c) x  c

x c

  f

'(c ) ..............................terbukti.

(b) Misalkan p  f

 g , maka

sehingga, p '(c)  lim

p '(c)  lim

 f  g  '(c )  xlimc  lim

x  c

 f  g  ( x )   f  g  (c ) x  c

 f ( x)  g  x     f c   g c  x  c

x c

f ( x )  g  x   f  c   g c  x  c

x c

 lim

f ( x )  f  c   g  x   g c  x  c

x c

 xlimc

x  c

x c

p( x)  p(c)

x c

 lim

p( x)  p(c)

f ( x )  f  c  x  c

 lximc

g  x   g c  x c

 f '(c)  g '(c).... )....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...terbukti terbukti















p ( x)  p (c) x  c

  

f ( x) g ( x)  f (c) g (c) x  c f ( x) g ( x)  f (c) g ( x)  f (c) g ( x)  f (c) g (c) x  c f ( x)  f (c) x  c

g ( x)  f (c)

g ( x)  g (c) x  c

Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka lim lim g ( x)  g (c) . Karena f x c

dan g diferensiabel di c, dari teorema t eorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa

lim lim

p( x)  p(c)

x c

x  c

 f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c)

Jadi p  fg diferensiabel di c dan ( fg )'(c)  f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c) terbukti. (d) Misalkan q  f / g . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g kontinu di c. Karena g (c)  0 , maka terdapat interval J  I dengan c  J sehingga g ( x)  0 untuk setiap x  J . Untuk x  J , x  c , diperoleh: q ( x )  q ( c) x  c

   

f ( x) / g( x)  f ( c) / g( c) xc f ( x) g (c)  f ( c) g ( x) g ( x) g (c)( x  c) f ( x) g ( c)  f ( c) g ( c)  f ( c) g( c)  f ( c) g( x) g ( x) g (c)( x  c)

 f ( x)  f ( c)  g (c)  g ( x ) g( c)  xc 1

f (c) 

g ( x)  g (c)  x  c



Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di c, disimpulkan bahwa

q ' (c)



lim lim

x c

q ( x)  q (c) x  c



f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c)

 f  ' (c)  g  

Jadi q  f / g diferensiabel di c dan 

2

( g (c))

f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c) ( g (c))

2

terbukti.















Akibat 1.1.4:

Jika f1 , f 2 ,.. ,..., f n adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c, maka (a) Fungsi f1  f 2  ...  f n diferensiabel di c, dan

 f1 

f2

 ... 

f n  '  c   f1 '(c)  f 2 '(c )  ...  f n '(c ) ,

(b) Fungsi f1 f 2 ... f n diferensiabel di c, dan

 f1 f 2 ... f n  '(c) 

)... f n (c )  f 1 (c ) f 2 '(c ). )... f n (c )  ... f1 '(c) f 2 (c ).

 f1 (c) f 2 (c )... f n '(c ) Khususnya, jika

f1



f2

 ... 

f n maka (6.8) menjadi

f n '(c)  n  f n (c )

Catatan: Jika I

R

n 1

f n (c )

adalah interval dan fungsi

f : I

R,

kita telah

memperkenalkan notasi f ' untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif f '(c) dari f di titik c. Ada notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk f ' ; sebagai contoh, ada yang menulis Df untuk f ' . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk: D( f

 g )  Df  Dg ,

D( fg )  Df .g  Dg. f

Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya f ' ditulis df / dx . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang kadang-kadang ditulis dalam bentuk d dx

Aturan Rantai

 df (x )  (g (x ))  f (x ) dg (x ) .   dx   dx   

( f ( x)g (x ))  















Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai “Aturan Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi komposisi g f . 

Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di f (c) , maka akan ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi

g

di c adalah (

g f 

'(c)  . Dalam hal ini dapat ditulis dengan f ) '  c   g '( f (c)) f '( (g

f ) '  ( g ' f )  f ' .

Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa g ( f ( x))  g ( f (c)) x  c



g ( f ( x))  g ( f (c)) f ( x)  f (c) f ( x)  f (c)



x  c

.

Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya

f ( x)  f (c) bernilai 0 untuk nilai dari x

yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan mengatasi masalah tersebut.

Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai)

Misalkan I , J f : J

 R adalah interval-interval di dalam

R,

 R . Jika f diferensiabel di c  I dan g diferensiabel di

g:I

R

dan

f (c) , maka fungsi

komposisi g f diferensiabel di c dan 

( g f )' (c)  g ' ( f (c))  f ' (c) 

Bukti: Misalkan d = f (c) dan G didefinisikan pada I dengan

 g ( y )  g (d ) ;  y  d G ( y)    g '(d ) ; 

y  d yd

Karena g diferensiabel di d , maka diperoleh lim G ( y)  g ' (d )  G (d ) . Jadi, G y d

juga kontinu di d . Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan

















lim lim G f ( x)  lim lim G( y)  g ' ( f (c)) .

x c



y d

Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa g ( y )  g (d )  G( y)( y  d ) untuk setiap y  I .

Oleh karena itu, jika x  J , x  c diperoleh g f ( x)  g f (c) 



x  c

G



f ( x) 

f ( x)  f (c) x  c

Akibatnya diperoleh

lim lim

x c

g f ( x)  g f (c) 



x  c

 g ' ( f (c))  f ' (c) .

Jadi, g f diferensiabel di c I dan persamaan (6.10) dipenuhi. 

Jika g diferensiabel diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J , maka dengan Aturan rantai

diperoleh

(g

f ) '  ( g ' f )  f ' ,

yang

juga

dapat

ditulis

sebagai

D( g f )  (( Dg) f )  Df . 



Contoh:

(a) Jika f : I g '( y )  ny

n 1

 R diferensiabel pada I dan g ( y )  y n

untuk y  R, n  N , maka

. Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh

( g f )'( x)  g ' ( f ( x))  f ' ( x) 

untuk x  I . Oleh karena itu diperoleh

 f  '( x)  n( f ( x))  n

n 1

f '( x) untuk semua















tan x



sin x cos x



s ec x

,

1 cos x

untuk x   2k  1  , k  N , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian, diperoleh D tan x



(cos x)(cos x)  (sin x)(  sin x) (cos x)



2

1 (cos x)

2

 (sec x)2

dan D sec x



0  1( sin x) (cos x)

2

sin x



(cos x)

2

 (sec x)(tan x)

untuk x   2k  1  , k  N .

Fungsi Invers Teorema 1.1.6 Misalkan I

 R adalah

interval dan fungsi

murni dan kontinu pada I . Misalkan J  f ( I ) dan g : J

f : I

 R monoton

 R monoton murni dan

merupakan fungsi invers kontinu dari f . Jika f diferensiabel diferensiabel di c  I dan f '(c)  0 , maka g diferensiabel di d  f (c) , dan g ' (d ) 

1 f ' (c)



1 f ' ( g (d ))

Bukti:

Untuk y  J , y  d didefinisikan H ( y )

Karena g : J



f ( g ( y ))  f ( g (d )) g ( y )  g (d )

 R monoton murni, maka

g ( y)  g (d ) untuk y, d  J dengan y  d















f ( x)  f (c) x  c

Tetapi karena g kontinu di

d



 f ' (c)   .  0

f (c) , maka untuk  di atas, terdapat

sehingga untuk 0  y  d  , y  J berlaku

Karena 0  y  d

dan

g ( y )  g (d )

.

c  g (d ) ,

diperoleh

g

satu-satu

 ,

y  J . Hal ini mengakibatkan mengakibatkan H ( y )  f ' (c )



f ( g ( y ))  f ( g ( d )) g ( y )  g ( d )

g ( y)  c



untuk

 f ' (c)  

lim H ( y )  f ' (c) . apabila 0  y  d  , y  J . Karena   0 sebarang, maka lim y  d

Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa H ( y)  0 untuk y  J , y  d . Karena g ( y)  g (d ) y  d



1

H ( y)

untuk y  J , y  d , maka disimpulkan bahwa lim lim

g ( y )  g (d )

y  d

y  d



lim lim

1

y  d H ( y )



1 lim lim H ( y )

y  d



1 f ' (c)

Jadi, g '(d ) ada dan nilainya sama dengan 1/ f '(c). Teorema 1.1.7

Misalkan I

 R adalah

interval dan fungsi f : I

Misalkan J  f ( I ) dan g : J

 R monoton murni pada I .

 R merupakan fungsi invers

dari

f . Jika f

diferensiabel pada I dan f '( x)  0 untuk x  I , maka g diferensiabel pada J , dan '

1















Catatan: Jika f : I

 R dan

g:J

 R fungsi-fungsi yang monoton murni pada

Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika f '( x)  0 untuk x  I , maka g diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai g '( y) 

1

untuk y  J

f ' g ( y )

atau dalam bentuk g ' f ( x) 

1

untuk x  I .

f '(x )

Dapat juga ditulis dalam bentuk g '  x   1 / f  x  .

Contoh

Misalkan n  N bilangan genap, I = [0, ) , dan f ( x)  x n untuk x  I . Dapat ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I , sehingga untuk y  J  [0, ) , fungsi invers g ( y )  y1/ n juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J . Lebih lanjut, diperoleh

f '(x)  nx n 1 untuk x  I . Akibatnya, jika y  0 , maka

g '( y ) ada, dan g ' ( y)



1

f ' ( g ( y))



1 n 1

n( g ( y ))



1 1 / n n 1



1

ny

( n 1) / n

n( y

)

(1 / n ) 1

untuk y  0 .

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa g ' ( y )

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.



1

n

y

.















terdapat persekitaran V  V (c) dari c sehingga f (c)  f ( x) [atau f (c)  f ( x) ] untuk semua x di dalam V  I . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c  I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam)

Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan f : I

R

mempunyai ekstrim

relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka f '(c)  0 . Bukti:

Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Andaikan f '(c)  0 , maka terdapat persekitaran V (c )  I sehingga f ( x)  f (c) x  c

0

untuk x V (c), x  c .

Jika x V (c), x  c , maka diperoleh f ( x)  f (c)  ( x  c) 

f ( x)  f (c) x  c

 0.

Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f '(c)  0 salah. Andaikan f '(c)  0 , maka terdapat persekitaran V (c )  I sehingga

















Akibat 1.2.2

Jika f : I

R

kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c

di dalam I , maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya sama dengan nol. Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut, jika

f ( x)  x pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di x  0 ,

tetapi f tidak diferensiabel di x  0 . Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle)

Jika f kontinu pada interval tertutup I  [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , dengan f (a)  f (b)  0 , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam interval terbuka (a, b) sehingga f '(c)  0 . (Lihat Gambar 1.2.1) Bukti: Jika f fungsi nol pada I , maka sebarang titik c di dalam (a, b) memenuhi

kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol pada I . Jika perlu















(a, b) . Menurut yang diketahui f '(c) ada. Karena f mempunyai maksimum relatif

di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa f '(c)  0 .

Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata. Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup I  [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam (a, b) sehingga f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) .

Bukti:

Perhatikan fungsi  yang didefinisikan pada I dengan

( x)  f ( x)  f (a) 

f (b)  f (a) ba

( x  a).















Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifatsifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 1.2.5

Jika f kontinu pada interval tertutup I  [a, b] , diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , dan f '( x)  0 untuk x  (a, b) , maka f fungsi konstan pada I .

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa f ( x)  f (a) untuk semua x [a, b] . Jika diberikan sebarang x [a, b] , x  a , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai RataRata pada f pada interval tertutup I x  [a, x] terdapat titik c (yang bergantung pada x) di antara a dan x sehingga f ( x)  f (a)  f '(c)( x  a)















Karena f '(c)  0 (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa f ( x)  f (a)  0. Karena x [a, b] diambil sebarang, maka f ( x)  f (a) untuk semua x [a, b] . Akibat 1.2.6 :

Jika f dan g fungsi kontinu pada I  [a, b] , f '( x)  g '( x)

diferensiabel pada (a, b) dan

untuk semua x  (a, b) , maka terdapat konstanta C sehingga

f  x   g  x   C pada I .

Bukti:

Didefinisikan

h ' x  f '  x   g '  x  . berdasarkan

teorema

f  x   g  x   C , x  I

h  x   f  x   g  x  , x  I sehingga

suatu

fungsi

Karena

f '  x   g '  x  ,

maka

h ' x  0 ,

sehingga

h  x   C pada

 a, b  .

Dengan

demikian

1.2.5

 a, b  .

Contoh:

Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan















Bukti:

(a) () Misalkan f '( x)  0 untuk semua x  I . Jika x1 , x2  I , dengan x1  x2 , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval J  [ x1 , x2 ] terdapat titik c di antara ( x1 , x2 ) sehingga f ( x2 )  f ( x1 )  f '(c )( x2

 x1 ) .

Karena f '(c)  0 dan x2  x1  0 , maka f ( x2 )  f ( x1 )  0 . Sehingga f ( x1 )  f ( x2 ). Karena x1  x2 adalah sebarang titik di dalam I , maka f naik pada I .

()

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I . Untuk sebarang , jika x  c atau x  c untuk x  I , maka diperoleh c  I , f ( x)  f (c) /( x  c)  0 .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

















()

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I . Untuk , jika x  c atau x  c untuk x  I , maka diperoleh sebarang c  I , f ( x)  f (c) / ( x  c)  0 .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa f '(c)  lim x c

f ( x)  f (c) x  c

0.

Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik x1 , x2  I , dengan x1  x2 maka f ( x1 )  f ( x2 ). Selanjutnya akan ditentukan syarat

cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama.















Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh, fungsi f : R  R yang didefinisikan dengan

 2 x4  x4 sin( x1 ) f ( x)   0

;

x0

; x  0

mempunyai minimum global di x  0 tetapi f ' bernilai positif dan negatif di sekitar titik x  0 .

Ketaksamaan

Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk memperoleh beberapa ketaksamaan. ketaksamaan. Ketika informasi mengenai mengenai derivatif derivatif

dari















(b) Fungsi g ( x)  sin x mempunyai derivatif g '( x )  cos x untuk semua x  . Jelas bahwa

1  cos x  1 untuk semua x   x  sin sin x  x

. Akan ditunjukkan bahwa

untuk semua x  0 .

(**)

Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval [0, [0, x] , dengan x  0 , diperoleh

sin x  sin 0  cos c( x  0)

untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena sin0  0 dan

cos c  1 , maka 1  co

 x  sin sin x  x . Karena kesamaan dipenuhi untuk x  0 , maka ketaksamaan (**) dipenuhi.















yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini. Lemma 1.2.11

I

Jika

 R adalah interval, f

:I

R

diferensial di c, maka:

(a) Jika f '(c)  0 , maka terdapat bilangan   0 sehingga f ( x)  f (c) untuk x  I dengan c  x  c   . (b) Jika f '(c)  0 , maka terdapat bilangan bil angan   0 sehingga f ( x)  f (c) untuk x  I dengan c    x  c. Bukti: f ( x)  f (c)















dari g tidak terjadi di x  a . Serupa, karena g '(b)  k  f '(b)  0 , maka dengan Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g mencapai maksimum di suatu titik c  (a, b) . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1 haruslah 0  g '(c)  k  f '(c) . Jadi f '(c)  k . Contoh :

Fungsi g :  1,1  R yang didefinisikan dengan

1  g ( x)  0  1 

; x  0 ;

x0

; x  0

















Tetapi, jika B=0 , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat bahwa jika B=0 dan A  0 , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada). Kasus A  0 , B=0 belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini, limit dari pembagian f / g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada fungsi f dan . Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai















Bukti:

Karena f (a)  g (a)  0, maka pembagian f ( x) / g ( x) dapat dituliskan

sebagai f ( x)  f (a) f ( x) g ( x)



f ( x)  f (a) g ( x)  g (a)



x  a . g ( x)  g (a) x  a















h( x)



f (b)  f (a ) g (b)  g (a)

( g ( x)  g (a ))  ( f ( x)  f (a)).

Mudah difahami bahwa h kontinu pada [a, b] , diferensiabel pada (a, b) , dan h(a)  h(b)  0 . Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik c  (a, b)

sehingga















(b) Jika lim x a

f '(x) g '(x)

  (atau   ), maka

lim

x  a

f ( x ) g ( x)

  (atau   ).

Bukti:

(a) Diberikan sebarang   0 . Dari yang diketahui terdapat   0 sehingga untuk a  x  a   berlaku f ' ( )















Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa lim x a

Contoh:

lim

x 2

x3  8 x  2

adalah bentuk tak tentu 0/0.

f '(x) g '(x)

.



























































































































Analisis Real 2 : TURUNAN

Recommend Documents