Turunan Numerik

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik

.

PERTEMUAN 3 TURUNAN NUMERIK Materi pada pertemuan ini: 1. Turunan numerik fungsi kontinyu 2. Turunan numerik diskrit Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan mengaplikasikan teknik untuk menentukan turunan numerik.

DEFINISI TURUNAN NUMERIK Turunan (derivatif ) adalah laju perubahan nilai n ilai suatu fungsi terhadap perubahan inputnya, yang secara formal rumus matematikanya dinyatakan sebagai: df ( x) f ( x  h)  f ( x) f ( x  h)  f ( x)  lim  lim f ' ( x)  lim lim h0 h0 dx ( x  h)  x h x), adalah garis tangen yang Pada gambar di bawah ini, nilai turunan pada titik x, yaitu f '( x x)). merupakan garis singgung kurva pada titik ( x, f ( x

y

y = f ( x) x) garis secant garis tangen

f ( x+h) x+h) f '( x) x) f ( x) x)

x

x+h

x

h Nilai h secara ideal adalah 0, tetapi dalam metode numerik, hal ini tidak dapat dilakukan, karena akan menyebabkan pembagian dengan 0. Oleh karena itu, nilai h diambil cukup x) akan didekati dengan kecil. Dalam hal ini, nilai turunan f '( x  f ( x) f ( x  h)  f ( x) f ' ( x)   h  x sehingga turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant. Dengan demikian terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung turunan secara numerik, atau dengan kata lain, turunan numerik merupakan pendekatan dari nilai turunan yang sebenarnya (eksak). Apabila nilai h dibuat cukup kecil, maka ralat tersebut akan menjadi kecil pula.

1


.

contoh: 

Hitunglah turunan dari f ( x)  4 x 2 pada titik x = 3, untuk h = 2. Hitung pula ralat sejatinya.

f ' ( x)  f ' (3) 

f ( x  h)  f ( x) h f (3  2)  f (3)

 

4( x  h) 2  4 x 2

h 4(3  2) 2  4  32

2 Nilai turunan sebenarnya adalah f ' ( x)  2  4 x  8 x

2



100  36 2

 32

f ' (3)  8  3  24 Sehingga ralat sejatinya adalah E t  24  32  8 Ralat yang diperoleh adalah cukup besar, ini disebabkan pemilihan nilai h yang terlalu besar. Untuk memperkecil ralat, maka nilai h harus dibuat lebih kecil.  Dalam kasus peluncuran roket (pada Pertemuan 1), hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik. Pada kasus tersebut, diperoleh rumus kecepatan roket adalah  140000  v  2000 ln   9.8t 14000 2100 t    sehingga percepatan roket adalah v(t  h)  v(t ) a(t )  v' (t )  h ambil t = 16 dan h = 2 detik, v(16  2)  v(16) v(18)  v(16) a(16)   2 2 140000   v(18)  2000 ln   9.8 18  453.02  14000  2100 18  140000     9.8 16  392.07  14000  2100 16  v(18)  v(16) 453.02  392.07 a (16)    30.475

v(16)  2000 ln

2 2 2 Ralat sejatinya adalah (nilai eksak = 29.674 m/s ) E t  29.674  30.474  0.801 

t



 0.801 29.674

100%  2.699%

PENGARUH NILAI h (UKURAN LANGKAH/STEP SIZE ) Berikut ini akan diberikan contoh pengaruh nilai ukuran langkah terhadap ralat sejati yang diperoleh. 4 x Ambil fungsi f ( x)  9e . Hitung turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h yang bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst. Dari perhitungan turunan numerik, diperoleh hasil seperti dalam tabel berikut. Nilai eksaknya adalah 80.11947.

2


.

f '(0.2)

h

0.05 88.69336 0.025 84.26239 0.0125 82.15626 0.00625 81.12937 0.003125 80.62231 0.001563 80.37037 0.000781 80.24479 0.000391 80.18210 0.000195 80.15078 9.77E-05 80.13512 4.88E-05 80.12730

| a|%

E a

-4.430976 -2.106121 -1.026900 -0.507052 -0.251944 -0.125579 -0.062691 -0.031321 -0.015654 -0.007826

5.258546 2.563555 1.265756 0.628923 0.313479 0.156494 0.078186 0.039078 0.019535 0.009767

digit benar 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3

E t

-8.5389 -4.14291 -2.03679 -1.00989 -0.50284 -0.25090 -0.12532 -0.06263 -0.03130 -0.01565 -0.00782

| t |% 10.70138 5.170918 2.542193 1.260482 0.627612 0.313152 0.156413 0.078166 0.039073 0.019534 0.009766

Dari plot berikut ini terlihat bahwa semakin kecil nilai ukuran langkah, nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya (ralat semakin kecil). 92

88 ) 2 . 0 ( ' f

84

80

76 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Number of times step size halved, n

Number of times s tep size halved, n 0 0

2

4

6

8

10

12

-1

-2 a

E -3

-4

-5

3


.

6 5 4

% | a 3 E | 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Number of times step size halved, n

4

s t i g i d t 3 n a c i f i n t g c i s e r 2 f r o o r c e b m 1 u n t s a e L 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Numbe r of time s s tep size halved, n

Number of times step size halved, n 0 0

2

4

6

8

10

12

-3 t

E -6

-9

4


.

12

10

8

% | t 6 E | 4

2

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Number of time s ste p size halved, n

PENDEKATAN SELISIH MAJU, MUNDUR DAN PUSAT Perhitungan turunan numerik yang telah dibahas di depan menggunakan pendekatan selisih maju, yang menggunakan titik di depannya untuk menghitung selisihnya. Kita juga dapat menggunakan pendekatan selisih mundur dan pusat untuk menghitung turunan numerik.

PENDEKATAN SELISIH MUNDUR Pendekatan selisih mundur menggunakan titik di belakangnya untukmenghitung selisihnya, seperti diilustrasikan pada gambar di bawah ini.

y

f '( x) garis tangen garis secant y = f ( x)

f ( x) f ( x-h)

x-h

x

x

h Nilai turunan f '( x) akan didekati dengan  f ( x) f ( x)  f ( x  h) f ' ( x)   h  x turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant. Di sini juga terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung turunan secara numerik.

5


.

contoh: 

Hitunglah turunan dari f ( x)  4 x 2 pada titik x = 3, untuk h = 2, menggunakan pendekatan selisih mundur. Hitung pula ralat sejatinya. f ( x)  f ( x  h) 4 x 2  4( x  h) 2  f ' ( x)  h h

f ' (3) 

f (3)  f (3  2)

2 Ralat sejatinya adalah E t  24  16  8



4  3 2  4(3  2) 2 2



36  4 2

 16

Meski dalam contoh ini, ralat sejati yang diperoleh sama dengan pada pendekatan selisih maju, namun hal ini hanya kebetulan saja. Pada banyak kasus, ralat untuk pendekatan selisih maju dan mundur tidak sama persis, tetapi dalam kisaran yang hampir sama. 

Untuk fungsi f ( x)  9e 4 x , turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h yang bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst. h f '(0.2) E a digit benar | a|% 0.05 72.61598 0.025 76.24376 3.627777 4.758129 1 0.0125 78.14946 1.905697 2.438529 1 0.00625 79.12627 0.976817 1.234504 1 0.003125 79.62081 0.494533 0.62111 1 0.001563 79.86962 0.248814 0.311525 2 0.000781 79.99442 0.124796 0.156006 2 0.000391 80.05691 0.062496 0.078064 2 0.000195 80.08818 0.031272 0.039047 3 9.77E-05 80.10383 0.015642 0.019527 3 4.88E-05 80.11165 0.007823 0.009765 3

E t

7.50349 3.87571 1.97002 0.99320 0.49867 0.24985 0.12506 0.06256 0.03129 0.01565 0.00782

| t |% 9.365377 4.837418 2.458849 1.239648 0.622404 0.31185 0.156087 0.078084 0.039052 0.019529 0.009765

Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil. 

Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih mundur. Rumus yang digunakan adalah v(t )  v(t  h) a(t )  v' (t )  h ambil t = 16 dan h = 2 detik, v(16)  v(16  2) v(16)  v(14) a(16)   2 2 140000   v(14)  2000 ln   9.8 14  334.24  14000  2100 14 

a(16) 

v(16)  v(14)

2 Ralat sejatinya adalah



392.07  334.24 2

 28.915

6


.

E t  29.674  28.915  0.759 

t



0.759 29.674

100%  2.558%

PENDEKATAN SELISIH PUSAT Pendekatan selisih pusat menggunakan titik di depan dan belakang titik yang ditinjau untuk menghitung selisihnya, seperti diilustrasikan pada gambar di bawah ini. Nilai turunan f '( x) akan didekati dengan  f ( x) f ( x  h)  f ( x  h) f ' ( x)   2h  x Dari gambar tersebut, terlihat gradien garis secant, yang merupakan nilai turunan numerik, mendekati nilai gradien garis tangen yang merupakan nilai turunan yang sebenarnya. Dengan demikian, penggunaan pendekatan selisih pusat diharapkan memberikan hasil yang lebih baik daripada pendekatan selisih maju mau pun mundur.

garis secant y

garis tangen

f ( x+h) f '( x) y = f ( x) f ( x) f ( x-h)

x-h

x+h

x

x

h

h contoh: 

2 Hitunglah turunan dari f ( x)  4 x pada titik x = 3, untuk h = 2, menggunakan

pendekatan selisih pusat. Hitung pula ralat sejatinya. 2 2 f ( x  h)  f ( x  h) 4( x  h)  4( x  h)  f ' ( x)  2h 2h

f ' (3) 

f (3  2)  f (3  2)

2 2 Ralat sejatinya adalah E t  24  24  0



4(3  2) 2  4(3  2) 2 4



100  4 4

 24

Meski dalam contoh ini, ralat sejatinya adalah 0, namun tentu saja ini juga hanya kebetulan saja. Pada kebanyakan kasus, ralat untuk pendekatan selisih pusat lebih kecil dibandingkan dengan pendekatan selisih maju atau mundur, untuk ukuran langkah yang sama.

7




.

Untuk fungsi f ( x)  9e 4 x , turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h yang bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst. h f '(0.2) E a digit benar | a|% 0.05 80.65467 0.025 80.25307 -0.4016 0.500417 1 0.0125 80.15286 -0.100212 0.125026 2 0.00625 80.12782 -0.025041 0.031252 3 0.003125 80.12156 -0.00626 0.007813 3 0.001563 80.12000 -0.001565 0.001953 4 0.000781 80.11960 -0.000391 0.000488 5 0.000391 80.11951 -9.78E-05 0.000122 5 0.000195 80.11948 -2.45E-05 3.05E-05 6 9.77E-05 80.11948 -6.11E-06 7.63E-06 6 4.88E-05 80.11947 -1.53E-06 1.91E-06 7

E t

-0.53520 -0.13360 -0.03339 -0.00835 -0.00209 -0.00052 -0.00013 -0.00003 -0.00001 0.00000 0.00000

| t |% 0.668001 0.16675 0.041672 0.010417 0.002604 0.000651 0.000163 4.07E-05 1.02E-05 2.54E-06 6.36E-07

Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil. Jika dibandingkan dengan pendekatan selisih maju dan mundur, terlihat ralat absolut dan relatif pada pendekatan selisih pusat jauh lebih kecil. 

Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih mundur. Rumus yang digunakan adalah v(t  h)  v(t  h) a(t )  v' (t )  2h ambil t = 16 dan h = 2 detik, v(16  2)  v(16  2) v(18)  v(14) 453.02  334.24 a(16)     29.695 2 2 4 2 Ralat sejatinya adalah E t  29.674  29.695  0.021 t



 0.021

100%  0.071% 29.674 Sekali lagi, di sini terlihat bahwa ralat turunan numerik dengan pendekatan selisih pusat jauh lebih kecil dibandingkan dengan pendekatan selisih maju dan mundur. Oleh karena itu, apabila memungkinkan, gunakan pendekatan selisih pusat untuk menghitung turunan numerik. 

FORMULASI DENGAN DERET TAYLOR Untuk memperoleh rumus turunan numerik, dapat juga menggunakan bantuan dari Deret Taylor.

PENDEKATAN SELISIH MAJU Polinomial Taylor:

f  x  h   f  x   hf '  x 

h2 2!

f " x  ...

8


.

Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama. 2 h hf '  x   f  x  h   f  x   f "  x   ... 2! f  x  h  f  x  h  f "  x   ... f '  x   2 h f  x  h  f  x   O(h) f '  x   h di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan h O(h)   f "t , x  t  x  h 2 Di sini terlihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil.

PENDEKATAN SELISIH MUNDUR Polinomial Taylor:

f  x  h   f  x   hf '  x 

h2

f " x  ... 2! Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama. 2 h hf '  x   f  x   f  x  h   f "  x   ... 2! f  x   f  x  h h f '  x    f "  x   ... 2 h f  x   f  x  h  O ( h) f '  x   h di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan h O(h)  f "t , x  h  t  x 2 Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil. PENDEKATAN SELISIH PUSAT Kedua bentuk polinomial Taylor di atas digunakan h2 h 3 ( 3) f  x  h   f  x   hf '  x   f "  x   f  x   ... 2! 3!

f  x  h  f  x   hf '  x  

h2

f "  x  

h3

f (3)  x   ...

2! 3! Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua, lalu pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.

f  x  h  f  x  h  2hf '  x   2

h3 6

f (3)  x  ...

9


.

2hf '  x   f  x  h   f  x  h   f '  x   f '  x  

f  x  h   f  x  h  2h f  x  h   f  x  h 



h3 3 h2 6

f (3)  x   ... f ( 3)  x   ...

 O(h 2 )

2h di mana O(h ) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan 2

O (h )  

h2

f (3) t ,

x  h  t  x  h 6 2 Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h . Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil, bahkan lebih kecil daripada pendekatan maju dan mundur yang hanya merupakan fungsi dari h. 2

TURUNAN YANG LEBIH TINGGI Untuk memperoleh rumus turunan numerik yang lebih tinggi, juga digunakan Deret Taylor. Beberapa contoh formulasinya diberikan berikut ini.

TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH PUSAT Polinomial Taylor:

f  x  h   f  x   hf '  x   f  x  h   f  x   hf '  x  

h2 2!

h2

f "  x   f "  x  

h3 3!

h3

( 3)

f

 x  

4!

h4

( 4)

f

 x   ...

 x   ... 2! 3! 4! Jumlahkan kedua persamaan tersebut, lalu pindahkan suku turunan kedua ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan kedua. 2 4 h h ( 4) f  x  h  f  x  h  2 f  x   2 f "  x   2 f  x   ... 2 4! ( 3)

f

 x  

h4

( 4)

f

h f "  x   f  x  h   f  x  h   2 f ( x)  2 2

f "  x  

f  x  h   2 f ( x)  f  x  h 2



h4 4!

h2

( 4)

f

 x   ...

f ( 4)  x   ...

12 h f  x  h   2 f ( x)  f  x  h  O( h 2 ) f "  x   2 h 2 di mana O(h ) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan

O (h )  

h2

f ( 4) t ,

x  h  t  x  h 12 2 Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h . 2

TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH MAJU DAN MUNDUR Polinomial Taylor:

10


.

f  x  h   f  x   hf '  x  

h2

f "  x  

2!

f  x  2h  f  x   2hf '  x  

(2h) 2

h3 3!

( 3)

f

f "  x  

 x   ...

(2h) 3

f (3)  x   ...

2! 3! Kalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian kurangkan dari persamaan kedua, lalu pindahkan suku turunan kedua ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan kedua. h 3 ( 3) 2 f  x  2h   2 f  x  h   f  x   h f "  x   6 f  x   ... 3! h 2 f " x   f  x  2h   2 f  x  h   f ( x)  h 3 f (3)  x   ... f " x   f " x  

f  x  2h   2 f ( x  h)  f  x  2

h f  x  2h   2 f ( x  h)  f  x  h2

O(h)  hf (3) t ,

 hf (3)  x   ...  O(h)

x  t  x  2h

Dengan cara yang sama untuk pendekatan selisih mundur, diperoleh. f  x   2 f ( x  h)  f  x  2h f " x    O ( h) h2

O(h)  hf (3) t , x  2h  t  x Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan untuk pendekatan selisih maju dan mundur merupakan fungsi dari h, sedangkan untuk pendekatan selisih pusat adalah fungsi 2 dari h . Dengan demikian turunan kedua numerik lebih baik dihitung menggunakan pendekatan selisih pusat. Dengan cara yang sama dapat dihitung untuk turunan numerik berbagai orde baik dengan pendekatan selisih maju, mundur, maupun pusat; sebagamana ringkasannya diberikan dalam tabel berikut ini. Turunan

Rumus

Pertama

f '  x   f '  x   f '  x   f '  x   f '  x  

f  x  h   f  x  h f  x   f  x  h h

Pendekatan

 O( h 2 )

 f  x  2h  8 f ( x  h)  8 f ( x  h)  f  x  2h 12h

selisih pusat

 O (h 2 )

 f  x  2h   4 f ( x  h)  3 f  x  2h

selisih mundur

 O( h )

f  x  h  f  x  h 2h

selisih maju

 O(h)

 O( h 4 )

selisih maju

selisih pusat

11


Kedua

f "  x  

.

f  x  2h   2 f ( x  h)  f  x  h2

f "  x   f "  x   f "  x   f " x  

f  x   2 f ( x  h)  f  x  2h h2

f  x  h   2 f ( x)  f  x  h h2

selisih maju

 O(h)

selisih mundur

 O(h)

selisih pusat

 O(h ) 2

 f  x  3h  4 f  x  2h  5 f ( x  h)  2 f  x 12h 2

 O( h 2 )

 f  x  2h  16 f  x  h  30 f ( x)  16 f ( x  h)  f  x  2h

selisih maju

selisih pusat

12h2

 O( h 4 ) Ketiga

f (3)  x   f ( 3)  x  

Keempat

f ( 4)  x   f ( 4)  x  

f  x  3h   3 f  x  2h  3 f ( x  h)  f  x  h3

 O ( h)

f  x  2h   2 f  x  h  2 f ( x  h)  f  x  2h 2h 3

 O( h 2 )

f  x  4h   4 f  x  3h  6 f  x  2h  4 f ( x  h)  f  x h4 f  x  2h   4 f  x  h  6 f ( x)  4 f ( x  h)  f  x  2h h4

 O ( h)

 O( h 2 )

selisih maju

selisih pusat

selisih maju

selisih pusat

12


.

SOAL LATIHAN TURUNAN NUMERIK

1.

x

Sebuah fungsi f ( x) = e Hitunglah turunan numerik pada titik x = 1 dan hitunglah ralat sejati relatifnya (dalam persen).

Turunan pertama pertama pertama kedua kedua ketiga ketiga 2.

Pendekatan selisih maju selisih mundur selisih pusat selisih maju selisih pusat selisih maju selisih pusat

Turunan numerik

t (%)

Sebuah fungsi f ( x)   x 3  3x 2  1 Hitunglah turunan nilai berikut ini untuk x = 1 dan h = 0.2, gunakan pendekatan yang memberikan nilai turunan terbaik (ralat terkecil).

Q( x)  3  f ( x)  2 f ' ( x)  3 f " ( x)  f (3) ( x) 3.

Sebuah eksperimen pengukuran hambatan sebuah sensor pada berbagai suhu seperti pada tabel berikut ini. T (ºC)

R (Ω)

10

10

15

21

20

30

25

36

30

39

35

41

40

44

45

51

50

63

Hitunglah laju perubahan tahanan terhadap perubahan suhu pada suhu 30 ºC. Usahakan agar ralat yang terjadi sekecil mungkin.

13

Turunan Numerik

Recommend Documents