MAKALAH KALKULUS 1
TURUNAN tingkat tinggi dan turunan fungsi implisit
Oleh; Siti Nurohmah (21401071094) Siti andriani (21401072095) Syam Wiji Astuti (21401071096) Siti mamluatun nikmah (21401072097)
UNIVERSITAS ISLAM MALANG FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang yang telah memberikan segala hidayah, rahmat dan kemudahan pada penulis dalam penyusunan makalah yang berjudul “turunan tingkat tinggi dan turunan fungsi implisit” sehingga dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Sholawat dan salam tak lupa tetap tercurahkan kepada jujungan Nabi Akhir zaman Nabi Muhammad SAW. Yang ditunggu safaatnya besok dihari kiamat kelak. Dalam penyusunan makalah ini tidak lepas dari dukungan, doa, motivasi, bantuan baik material maupun non material dari beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terimakasih , diantaranya kepada Ibu Dra. Sunismi M.Pd Selaku dosen pembimbing mata kuliah Kalkukus I, Bapak dan Ibu , teman-teman seperjuangan, serta pihak-pihak lain yang tidak dapat penulis sebut satu per satu. Selain itu, makalah ini juga disusun dari referensi-referensi seperti buku-buku pendukung dan bahan dari internet. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan dan kesempurnaan makalah ini. Malang, 09 Desember 2014
Penulis
DAFTAR ISI
i
KATA PENGANTAR.............................................................................................................. i DAFTAR ISI ............................................................................................................................ ii BAB I : PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang .............................................................................................................
1 1.2
Rumusan Masalah ........................................................................................................
1 1.3
Tujuan ..........................................................................................................................
1 BAB II : PEMBAHASAN 2.1
Pengertian turunan tingkat tinggi..................................................................................
2 2.2
Lambang turunan..........................................................................................................
2 2.3
Bentuk umum turunan...................................................................................................
3 2.4
Pengertian Turunan Fungsi Implisi...............................................................................
6 2.5
cara menyelesaikan fungsi implicit……………………………………………………..
6 Turunan pertama fungsi implicit……………………………………………… .........................................................................................................................8 Turunan kedua fungsi implisit ......................................................................... .........................................................................................................................9 BAB III : PENUTUP 3.1
Kesimpulan...................................................................................................................
11 3.2
Saran.............................................................................................................................
11 DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................ 12
i
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Kita telah mengetahui bahwa matematika sangat banyak ditemui dalam kehidupan kita dan salah satu yang dibahas dalam metematika adalah turunan tingkat tinggi dan fungsi implisit. Penulis mengangkat makalah tentang “Turunan Tingkat Tinggi dan turunan fungsi impisit” karena penulis mengetahui dalam matematika khususnya pada mata kuliah kalkulus materi ini sangat sulit dan membutuhkan pemahaman yang lebih untuk memahami Turunan Tingkat Tinggi dan fungsi implisit ini.
1.2
Rumusan masalah Dari pembahasan yang ada , maka kita dapat menarik beberapa rumusan masalah . Yang 1. 2. 3. 4. 5.
1.3
diantaranya adalah sebagai berikut : Apa pengertian Turunan Tingkat Tinggi? Apa saja macam – macam lambang turunan? Bagaimana aturan mencari turunan ke – n di satu titik? Apakah yang dimaksud dengan fungsi implisit ? Bagaimana cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit ? Tujuan Pembahasan Tujuan dari dibentuknya makalah dengan judul turunan fungsi implisit dan grafiknya ini antara
lain adalah sebagai berikut : a. Memahami apa yang dimaksud dengan Turunan Tingkat Tinggi. b. Mengetahui macam – macam lambang turunan. i
c. Mengetahui aturan mencari bentuk umum ke - n d. Untuk memberikan pengetahuan kepada para pembaca tentang turunan fungsi implicit . e. Untuk memberikan pengetahuan tentang penyelesaian soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi implisit .
BAB II PEMBAHASAN 2.1.
Pengertian turunan tingkat tinggi Turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari f, yaitu
f′ jika fungsi f′ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan lambang f″. Secara umum turunan ke-n dari fungsi f , ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n-1), n = 1, 2, 3, … , dengan f(0)(x) = f(x). Sebagai contoh, f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 8 Maka f′(x) = 6x2 – 8x + 7 f″(x) = 12x – 8 f‴(x) = 12 f″″(x) = 0 Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol. 2.2 Lambang Turunan Lambang turunan ke -n dari fungsi f dapat ditulis dengan berbagai cara, yaitu sebagai berikut. Turunan Pertama Kedua
Notasi
Notasi
Notasi
y′
f′
y′
f′(x)
Leibniz dy dx
f″(x)
d2 y d x2
y″
i
Notasi D Dxy D 2x y
Ketiga
y‴
Keempat
y ″″
f‴(x)
d3 y 3 dx
f″″(x)
d y dx 4
D 4x y
d5 y dx 5
D 5x y
D 3x y
4
Kelima
y
⁞
⁞
(5)
y(n)
Ke-n
(5)
f (x) ⁞ f(n)(x)
⁞
⁞ dn y dn
D nx y
Catatan : Aturan fungsi f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f. Contoh : 1. y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2 d3y/dx3 = ……? dy/dx = 18 x2 + 24 x + 5 d2y/dx2 = 36x + 24. d3y/dx3 = 36 2. y = sin 2x, d4y/dx4 = ……? dy/dx = 2 cos 2x, d2y/dx2 = -4 sin 2x, d3y/dx3 = -8 cos 2x, d4y/dx4 = 16 sin 2x. 2.3 Bentuk Umum Turunan ke - n Dari aturan f(n) untuk sejumlah berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu bentuk umum dari f(n). Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut. Contoh 1. Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xm, m bilangan asli. Jawab: Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah f′(x) = m xm-1 f″(x) = m (m-1 ) xm-2 f‴(x) = m(m-1) (m-2) xm-3 Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n i
Contoh y = x6 y(4)..? y(4) = 6.5.4.3.x2 = 360 x2 Contoh 2. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = sin x. Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari fungsi f, kemudian nyatakan hasilnya sebagai fungsi dari sinus lagi, maka diperoleh hasil sebagai berikut. f′(x) = cos x = sin (x +
1 2 π)
f″(x) = -sin x =sin (x + π) 1 f‴(x) = -cos x = sin (x + 1 2 π) f″′′(x) = sin x = sin (x + 2π) Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah 1 f (x) = sin (x + n 2 (n)
π) = sin (x +
1 2
nπ).
Contoh 3. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) =
1 1+2 x
Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri dari setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya. f(x) = (1 + 2x)-1 f′(x) = -(1 + 2x)-2 (2) = -2(1 + 2x)-2 = (-1)-1.1!.2!.(1 +2x)-2 f″(x) = 4(1 + 2x)-3(2) = 8(1 + 2x)-3 = (-1)2.2!.22.(1 + 2x)-3 f‴(x) = -24(1 + 2x)-4(2) = -48(1 + 2x)-4 = (-1)3.3!.23.(1 + 2x)-4 Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah f(n)(x) = (-1)n.n!.2n.(1 + 2x)-(n+1), n = 1, 2, 3, … Catatan bila didefenisikan 0! = 1, maka bentuk umum turunan ke- n ini berlaku juga untuk n = 0, karena f(0)(x) = (-1)0.0!.20.(1 + 2x) -(0+1) = (1 + 2x) -1 =
1 1+2 x
Contoh 4. Tentukan bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f(x) = i
1 √ 1−x
Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri spesifik setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya. f(x) = (1 – x) -1/2 1 f′(x) = - 2
1 2
(1 – x) -3/2 (-1) =
f″(x) = -
1 2
.
3 2
f‴(x) = -
3 4
.
5 2
f″″(x) =
1.3 .5 .7 24
(1 – x) -3/2
(1 – x) -5/2 (-1) =
(1 – x)
(1 – x)
-7/2
-9/2
(-1) =
(-1) =
3 4
(1 – x) -5/2
15 8
(1 – x)
1.3 .5 .7 24
-7/2
=
1.3 .5 . 23
(1 – x) -9/2
Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah (n)
f (x) =
=
1.3 .5 .7 …(2 n−1) 2n
(1 – x)- (2n + 1)/2
( 2 n−1 ) ! n (1 – x)-(2n+1)/2, n = 1, 2, 3, … 2
Aturan leibinz Jika Y = u.v y(n) = … Y(1) = u’v + uv’ Y(2) = u’’v + u’v’ + u’v’ + uv’’ = u’’v + 2u’v’+uv’’ n
n
k o
k
u
( nk )
v ( k ) ; n 1,2,3,............
y(n) = u(0) = u dan v(0) = v
aturan LEIBNIZ
Contoh : 1. Y = X4 (3x + 5)3 Y(4) (pakai aturan LEIBNIZ) Penyelesaian : Misalkan : u = x4 dan v = (3x + 5)3
4 4 ( ) u ( 4) v ( 0 ) ( ) u (3) v (1) 0 1 Y(4) = i
(1 – x) -7/2
4 4 4 ( ) u ( 2 ) v ( 2) ( ) u (1) v ( 3) ( ) u ( 0 ) v ( 4 ) 2 3 4 U=x
v = (3x+5)3
U(1) = 3x3
v(1) = 9 (3x+5)2
U(2) = 12x2
v(2) = 54 (3x+5)
U(3) = 24x
v(3) = 162
U(4) = 24
v(4) = 0
4 4! ( ) 1. 0 0 ! ( 4 0) !
4 4 4 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )6 ( ) 1 1 3 2 4 Y(4) = 1.24. (3x5)p + 4 (24x) {9(3x+5)}+ 6.12x2 {54(3x+5)} + 4.4x3 . 162 + 1.x4 = 27216 x3 + 28600 x x2 + 27000 x + 3000
2.4
Pengertian Turunan Fungsi Implisit Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x,y)=0. dengan y sebagai
fungsi dalam x. Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka di katakana fungsi implisit. Dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh : a. Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah dibicarakan yaitu : d d = dx( y) dx (f ( x ) ) Contoh
: i
-2xy + x² - 1 = 0 (implisit)
y=
x 2−1 2 x (eksplisit)
b. Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan dibahas berikut ini. 2.5 cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit. Dalam menentukan turunan fungsi implsit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunanya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkanya fungsi dalam bentuk implisit berikut. Contoh 1 : dy Tentukan dx bila y-4x+2xy = 5 Jawab :
4 x +5 Bentuk fungsi dapat di ubah menjadi eksplisit , y = 1+2 x
. digunakan aturan penurunan
didapatkan, 1+2 x ¿2 dy ¿ −6 dx = ¿
Contoh 2 : tentukan
dy dx
dari fungsi yang dirumuska dengan
y−2 x 2−8=0
Penyelesaian : Apabila kedua ruas
3
y−2 x −8=0
, diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
dy 2 =6 x . dx Contoh 3 : Tentukan
dy dx
3 2 dari fungsi yang dirumuskan dengan 2 x y−7 y−x +1=0
Penyelesaian i
dy −6 x2 =0 dx
2 x 3 y−7 y−x 2 +1=0 , ditiurunkan terhadap x,
Apabila kedua ruas maka akan diperoleh :
6 x 2 y +2 x3
dy dy −7 −2 x=0 dx dx
dy ( 2 x3 −7 ) =2 x−6 x 2 y dx dy 2 x−6 x 2 y = dx 2 x 3−7
Contoh 4 : tentukan nilai
dy di x=1,bila y −4 x +2 x2 y 2=−3 dx
Jawab : Turunan dari fungsi diatas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi implsit. Turnan dari x dan y berturut-turut di nyatakan dengan dx dan dy. Bila dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y) maka kita lakukan secara bergantian, bisa terhadap x dahulu baru ke-y atau
sebaliknya. Hasil turunan 2
dy akan nampak bila masing−masing ruas dibagi ole h dx . dx
2
y−4 x+ 2 x y =−3 dy dy −4+ 4 x y 2+ 4 x 2 y =0 ( ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan dx ) dx dx dy 4−4 x y 2 = dx 1+4 x 2 y Subsitusi
untuk (1,-1),
Untuk ( 1,1/2),
x=1,
ke
fungsi
didapatkan
dy =0 dx dy =1 . dx
i
2
1 y 2+ y−1=0 atau y= dan y =−1 2
TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT Dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama diturunkan (di
deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x.
dx . dy
Contoh 5 : dy 2 2 dx dari fungsi implisit x y + 2xy + 3 = 0
Tentukan
Penyelesaian : d 2 dx (x y) +
d 2 dx (2xy ) +
d dx (3) =
d dx (0)
Untuk mempermudah penyelesaian dicari turunan masing-masing Suku: 1.
d dx
2
(x y)
=
d dx
2
(x ) . y +
d dy
dy = 2xy + x2 dx 2.
d dx
(2xy2) =
d dx
(2x) . y2 +
(y).
dy 2 dx x
.
d dy
dy dx 2x
(y2).
dy = 2y + 2y. dx . 2x 2
dy = 2y2 + 4xy dx . 3.
d dx
(3)
= 0 dan
d dx
d dx
dx dy dengan penyelesaian lebih lanjut akan didapatkan
(0). Turunan ruas kiri akan mengandung
nilai
d dx f (x,y) =
(0) = 0.
i
2xy + x
2
dy dx
2
+ 2y + 4xy
dy dx
=0
dy −2 y (x+ y ) = dx x (x +4 y ) Contoh 6: Carilah
dy jika 4 x2 −3 y=x 3−1. dx
Penyelesain Cara 1, kita dapat menyelesaiakn persamaan yang diberikan secara eksplisit untuk y sebagai berikut. y ( 4 x 2−3 )=x 3−1 x 3−1 y= 4 x ²−3 Jadi, 4 x 2−3 ¿2 ¿ 4 x 2−3 ¿2 ¿ ¿ 2 2 2 dy ( 4 x −3 ) ( 3 x )−(x −1) = ¿ dx Cara 2, diferensiasi imlplisit kita menyarankan turunan-turunan kedua ruas dari: dy ( 4 x2 y−3 y ) = dy ( x 3−1) dx dx Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama . kita peroleh : 4 x2 .
dy dy + y .8 x−3 =3 x2 dx dx
dy ( 4 x2 −3 )=3 x 2−8 xy dx dy 3 x 2−8 xy = . 2 dx 4 x −3 Kedua jawaban ini terlihat berbeda , untuk satu hal, jawaban diperoleh dari metode 1 hanya melibatkan x , sedangkan dari jawaban metode 2 melibatkan x dan y . ingatlah meskipun i
demikian, bahwa persamaan asli dapat diselesaikan untuk y dalam x untuk memberikan y= x 3−1 4 x 2−3 dy dx
. ketika kita mensubstusi y =
x 3−1 4 x 2−3
kedalam persamaan untuk mendapatkan
, kita memperoleh hasil berikut:
dy 3 x 2−8 xy = = dx 4 x 2−3 2
x3 −1 4 x 2−3 4 x 2−3
3 x 2−8 x
2
4 x −3 ¿ ¿ 2 4 x −3 ¿2 ¿ ¿ 4 12 x −9 x 2−8 x 4 =8 x ¿ ¿
TURUNAN KE-DUA FUNGSI IMPLISIT Jika turunan pertama f (x,y) = 0 ada dan turunan ini di turunkan lagi Dengan pengertian y adalah fungsi x maka turunan ini disebut turunan ke-2 dari Contoh : Tentukan d2y/dx2dari fungsi di bawah ini ! 1
x2 + xy – y = 0 d/dx (x2) + d/dx (xy) – d/dx (y) = 0 2x + d/dx (x) . y + d/dy (y) .dy/dx .x – d/dy . (y) dy/dx
2x + y + x dy/dx – dy/dx = 0 dy/dx = - 2x - y x-1
d/dx (2x)+ d/dy(y)dy/dx+ d/dx (x) dy/dx+ d/dx (dy/dx).x– d/dx(dy/dx) = 0 2 + dy/dx +dy/dx + x.d2y/dx2 – d2y/dx2 = 0 2 + 2(- 2x - y ) + d2y/dx2 (x-1) = 0 i
f (x,y) = 0
x-1 d2y/dx2 = - 2 +4x+2y (x-1)2 x + xy + y – 2 = 0 d/dx (x) + d/dx (xy) + d/dx (y) = 0 1 + y + x .dy/dx + dy/dx = 0
1 + y + (x+1) dy/dx = 0 dy/dx = - 1 - y x+1
d/dx (0) + dy/dx + d/dx (dy/dx) . (x+1) + d/dx (x+1) .dy/dx = 0 dy/dx + d2y/dx2 (x+1) + dy/dx = 0 2 (dy/dx) + d2y/dx2 (x+1) = 0 2 ( -1 – y ) + d2y/dx2 (x+1) = 0 x+1 d2y/dx2 = 2 + 2y (x + 1)2
BAB III PENUTUP 3.1
Kesimpulan i
Pada turunan tingkat tinggi bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n Fungsi implisit ialah secara umum dapat ditulis sebagai f(x.y) =0 dengan y sebagai fungsi dalam x. Turunan pertama fungsi implicit dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama diturunkan (di deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x .
3.2
d dx f (x,y) =
d dx (0).
Saran penulis menyarankan kepada pembaca terutama untuk mahasiswa matematika agar memahami isi dari makalah ini. Makalah yang penulis susun masih jauh dari sempurna maka penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca agar penulis dapat membuat makalah yang lebih baik lagi.
DAFTAR PUSTAKA Martono,Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta : Erlangga. Purcell, dkk. 2004. Kalkulus Edisi kesembilan Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Download; Matematika Dasar. Danang Mursita. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom : Bandung Sunismi. 2001. Kalkulus 1. Malang: Universitas Islam Malang.
i
