POTENSIAL BARRIER (TANGGUL POTENSIAL) Oleh : Devi Taufiq Nurrohman (372519)
< () () = 0 ≤ ≤ = 0 <0 >
A. Studi Kasus dimana Partikel dengan massa yang bergerak dari kiri ke kanan menuju potensial barrier dengan tinggi dan lebar yang didefinisikan dengan :
, untuk
, untuk
dan
.
(b) (a) Gambar 1. (a)Potensial Barrier dan arah penyebaran dari gelombang yang datang, direflesikan dan ditransmisikan, (b) Rapat probabilitas ketika .
|(()|)| <
Tanggul potensial membagi ruang menjadi tiga daerah dinamakan dengan daerah 1, daerah 2 dan daerah 3. Adapun persamaan schrodinger untuk masing-masing daerah adalah : Daerah 1 :
ħ− 2 + () = + 2ħ ( − ) = 0 = 0 + 2ħ = 0 = + ħ2 = 0 () = +
Pada daerah 1, :
Karena
sehingga
, maka :
Solusi dari persamaan diatas adalah
Daerah 2 :
Daerah 3 :
Karena
Pada daerah 3, :
ħ− 2 + () = − 2ħ ( − ) = 0 = ((ħ2) − = 0 () = +
,
maka :
Solusi dari persamaan diatas adalah
ħ− 2 + () = + 2ħ ( − ) = 0 = 0 + 2ħ = 0 = + ħ2 = 0 () = +
Karena
sehingga
, maka :
Solusi dari persamaan diatas adalah
Dalam daerah 3 partikel tidak direflesikan kembali sehingga nilai untuk daerah 3 adalah :
() = =
=0
. Sehingga fungsi gelombang
Untuk mendapatkan koefisien dari fungsi gelombang masing-masing daerah, maka kondisi batas dari fungsi gelombang yang harus dipenuhi. Pada
=0
,
Pada
,
( ) ( ) ( ) ( ) 0 = 0 = = = + = + ( −) = ( −) + = ( + ) = 1 ++ == + + = = = 2 1 + () = 2 1 − () + = + + = 2 1 + () + 2 1 − () + = 2 () + () + () − () + = 2 1 + + 1 − 1+ + = 2 − − 1 1+ + = 2 − 2 − 1 Dari kondisi batas tersebut diperoleh :
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh nilai dan
Substitusikan nilai dan
yaitu :
ke persamaan (1) dan (2),
............(1) ............(2) ...........(3) ............(4)
Dari identitas trigonometri diketahui bahwa ,
sinh() = = = cosh() = = = dan
+ = 1+2 − 2 − 1
maka :
Setiap suku dibagi dengan sehingga diperoleh,
1 + = ℎ() − ℎ()
− = − − = 2 1+ ()−2 1 − () − = 2 1+ () − 1− () − = 2 1 − + 1 + − = 2 1 − + 1 + 1− 1+ − = 2 + 2 − 1 1+ − = 2 + 2 − = cosh() + sinh () 1− = cosh() + sinh () / 1+ = ℎ() − ℎ() 1− = cosh() + sin h () 2 = 2cosh() + − + sinh () Dengan cara yang sama, Dari persamaan (2) substitusikan nilai
dan
...........(5)
.
Dibagi dengan sehingga menjadi,
Persamaan (5) dan (6) dijumlahkan untuk mengeliminasi nilai
untuk mendapatkan nilai
............(6)
/
,
= 2cosh() + 22 − 2 sinh ()
.............(7)
/ / 1+ = ℎ() − ℎ() 1+ ℎ() − ℎ() = 1− = cosh() + sinh () 1− cosh() + sinh () = 1+ cosh() + sinh () = 1− ℎ() − ℎ() 2cosh() + − sinh () = − − sinh () + − s = (2cosh() +i n−h si()nh () Sebaliknya dari persamaan (5) dan (6) kita eliminasi nilai
untuk mendapatkan nilai
,
.............(8)
Koefisien transmisi didefinisikan sebagai rasio perbandingan dari rapat berkas yang di transmisikan terhadap berkas yang datang. Sebaliknya Koefisien refleksi didefinisikan sebagai perbandingan antara rapat berkas yang direflesikan terhadap berkas yang datang. Kedua koefisien tersebut dapat didefinisikan dari persamaan :
= = ((ℎℎ⁄⁄))|| || = || || = ∗ ∗ ⁄ | | | ( ℎ )| = = (ℎ⁄) | | = | | =
..............(9)
............(10)
Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (8) kedalam persamaan (9) dan (10),
∗ − 2 2 = = 2cosh() + − si nh ()2cosh() − − sinh () = 4cosh()+4 − sinh () ℎ() = 1+ℎ() = 1+ 14 + 1 sinh ()
............(11)
Karena
maka,
............(12)
+ + ∗ − s i n h ( ) s i n h ( ) = = (2cosh() + − si nh ()(2cosh() − − si nh () + sinh () ⎤ ⎡ = ⎢⎢⎣(4cosh() + − sinh ()⎥⎥⎦ = 14 + sinh () = 2/ħ = 2( − )/ħ + = ( − = ( − ) = 14 ( −) sinh ħ 2( − = 1+ 14 sin1h 2( − ( − ) ħ = 2/ħ = / sinh √ 1 − = 4(1−) 1 = 1+ 4(1−) 1 ℎ√ 1 −
...........(13)
Kita dapat menulis dalam bentuk yaitu,
Substitusikan nilai
Maka
Jika
dan
maka nilai dari,
dan dapat ditulis,
dan
maka,
.............(14)
..............(15)
> > (() ) == ++ ,, 0 ≤< 0, < 0, ( ) = , ≥ 0, = , ,ℏ = (ℏ) ( ) (0) ==0(0) = (0) = (0) () = () () = () ( −) + ==(+ −) +− == + = + = − = − = 2 = = +( +)() 2 = =− (−)() 2 2 ( + −) = =+( −) + = + − = − ( 2 = +) +( −) 2 = ( +)2 + ()+( −)2 − () 4 = ( +)() − ( −)() = ( +) ()4 − ( −)() 4 = ( +) − ( −) = + = − = ( +) () − ()4 −( −)() + () B. Studi Kasus dimana Persamaan gelombang untuk masing-masing region pada kondisi dimana
Dimana
Konstanta
dan
.
dan dapat diperoleh dalam bentuk dari kondisi batas :
harus kontinyu pada
adalah
dan
dan
yang mana
sehingga,
Sehingga diperoleh
Dari persamaan 3 dan 4 untuk menentukan nilai
Dari persamaan 1 dan 2 eliminasi nilai dari
Substitusikan nilai dan
dan
(1) (2) (3) (4)
yaitu :
,
(5)
kedalam persamaan 5,
Diketahui dari identitas trigonometri bahwa disubstitusikan kedalam nilai maka,
dan
, jika
= ( +)() − ( +)(4) −(−)() − ( −)() 4 = ( + 2 + − + 2 −)() + (− − 2 − − + 2 −)() 4 = 4() − 2( + )()
