TUGAS MEKANIKA I
KINEMATIKA
(Posisi, Kecepatan, dan Percepatan pada Koordinat Polar, Silinder, dan Bola)
disusun oleh:
M. Farhan Yusuf 140310090035
Siti Nurmilati 140310100052
Dosen :
Dr. Risdiana
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2013
KINEMATIKA
Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut. Bila gaya penggerak ikut diperhatikan maka apa yang dipelajari merupakan bagian dari dinamika.
Pada kinematika gaya yang bekerja pada benda tidak diperhatikan. Sehingga besaran-besaran yang dibahas meliputi posisi, kecepatan, dan percepatan.
Sistem Koordinat terbagi kepada:
Sistem Koordinat Kartesian
Sistem Koordinat Polar
Sistem Koordinat Silinder
Sistem Koordinat Bola
Kinematika pada Sistem Koordinat Polar
Suatu sistem koordinat polar dapat dijelaskan melalui koordinat kartesian sebagai berikut, terdapat suatu titik di bidang XY dan melalui titik tersebut berjarak r dari pusat koordinat dan garis dari pusat hingga titik tersebut membentuk sudut θ terhadap sumbu X, seperti terlihat pada gambar 1. Posisi titik itu dapat dinyatakan dengan koordinat (r, θ). Hubungan antara (x,y) dengan (r, θ) adalah
Gambar 1. Koordinat Polar (r, θ)
Kartesian ke Polar
x = r cos θ
y = r sin θ
Polar ke Kartesian
r=x2+y2
θ=tan-1yx
Sehingga Vektor posisi dari koordinat polar adalah
r=rr=rr()
Hubungan antara r dan θ dengan i dan j
r=icosθ+jsinθ
θ=-isinθ+jcosθ
Gambar 2. Hubungan r dan θ dengan i dan j
Kecepatan merupakan turunan posisi terhadap waktu maka kecepatan suatu vektor pada koordinat polar adalah
Posisi: r=rr=rr()
v=drdt=ddtrr=rdrdt+rdrdt
Dimana r=r
drdt=drdθdθdt=ddθ(icosθ+jsinθ)dθdt
=-isinθ+jcosθθ
=θθ
Maka,
v=rdrdt+rdrdt= rr+rθθ
Demikian juga dengan percepatan yang merupakan turunan dari kecepatan dalam koordinat polar adalah
Kecepatan: v= rr+rθθ
a=dvdt=ddt(rr+rθθ)
=rdrdt+rdrdt+θθdrdt+rθdθdt+rθdθdt
= rr+rθθ+rθθ+rθθ+rθdθdθdθdt
Dimana:
dθdθ=ddθ-isinθ+jcosθ=-icosθ-jsinθ=-r
Maka,
a = rr+rθθ+rθθ+rθθ -rθ2r
=(r-rθ2)r+(rθ+rθ+rθ)θ
Kinematika pada Sistem Koordinat Silinder
Gambar 3. Koordinat Silinder
Hubungan koordinat kartesian dan silinder
Kartesian ke Silinder
x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
z = z
Silinder ke Kartesian
ρ=x2+y2
θ=tan-1yx
z=z
Gambar 4. Skema sistem koordinat silinder
Sehingga Vektor posisi dari koordinat silinder adalah
r=ρρ+zk
Hubungan vector satuan silinder dan kartesian (i,j,k) dengan (ρ, φ, k)
ρ=icosφ+jsinφ
φ=-isinφ+jcosφ
z= k
Gambar 5. Hubungan vector satuan silinder dan kartesian
Kecepatan pada system koordinat silinder adalah
Posisi: r=ρρ+zk
v=drdt=ddtρρ+zk=ρdρdt+ρdρdt+kdzdt+zdkdt
Dimana:
dρdt=dρdφdφdt=ddφ(icosφ+jsinφ)dφdt=-isinφ+jcosφφ=φφ
dkdt=0
Maka,
v=ρρ+ρφφ+zk
ρρ = merupakan kecepatan arah radial
ρφφ = merupakan kecepatan arah tangensial
Dan percepatan pada system koordinat silinder ini adalah
Kecepatan: v=ρρ+ρφφ+zk
a=dvdt=ddtρρ+ρφφ+zk=ρdρdt+ρdρdt+φφdρdt+ρφdφdt+ρφdφdt+kdzdt+zdkdt
Dimana:
dφdt=dφdφdφdt=ddφ-isinφ+jcosφdφdt=-icosφ-jsinφφ=-φρ
Maka
a=ρρ+ρφφ+ρφφ+ρφφ-ρφ2ρ+zk
=(ρ-ρφ2)ρ+(ρφ+ρφ+ρφ)θ+zk
ρ-ρφ2 = merupakan percepatan radial
ρφ+ρφ+ρφ = merupakan kecepatan tangensial
Kinematika pada Sistem Koordinat Bola
Gambar 6. Koordinat Bola
Hubungan dengan variabel-variabel dalam sistem koordinat kartesian
Kartesian ke Silinder
x = rsinθ cos φ
y = rsinθ sin φ
z=rcosθ
Silinder ke Kartesian
r=x2+y2+z2
θ=tan-1x2+y2z
φ=tan-1yx
Gambar 7. Skema Sistem koordinat bola
Vektor posisi dari koordinat bola adalah
r=rr=rr(,φ)
Hubungan vector satuan silinder dan kartesian (i,j,k) dengan (r, θ, φ)
r=isinθcosφ+jsinθsinφ+kcosθ
θ=icosθcosφ+jcosθsinφ-kcosθ
φ=-isinφ+jcosφ
Gambar 8. Hubungan vector satuan silinder dan kartesian
Kecepatan pada koordinat bola adalah
Posisi: r=rr=rr(φ)
v=drdt=ddtrr=rdrdt+rdrdt
Dimana: r(φ)
drdt=drdθdθdt+drdφdφdt
=ddθisinθcosφ+jsinθsinφ+kcosθdθdt+ddφisinθcosφ+jsinθsinφ+kcosθdφdt
=icosθcosφ+jcosθsinφ-ksinθθ+-isinθsinφ+jsinθcosφφ= θθ+φsinθφ
Maka
v=rr+rθθ+rφsinθφ
Dan percepatannya adalah
Kecepatan: v=rr+rθθ+rφsinθφ
a=dvdt=ddtrr+rθθ+rφsinθφ=rdrdt+rdrdt+θθdrdt+rθdθdt+rθdθdt+φsinθφdrdt+rsinθφdφdt+rφφdsinθdt+rφsinθdφdt
Dimana:
dθdt=dθdθdθdt+dθdφdφdt=ddθicosθcosφ+jcosθsinφ-kcosθdθdt+ddφ(icosθcosφ+jcosθsinφ-kcosθ)dφdt=-isinθcosφ-jsinθsinφ+ksinθθ+(-icosθsinφ+jcosθcosφ)φ=-θr+cosθφφ
dφdt=dφdφdφdt=ddφ-isinφ+jcosφdφdt=-icosφ-jsinφφ= -φ(sinθr+cosθθ)
dsinθdt=dsinθdθdθdt=cosθθ
Maka
a=rr+rθθ+rφsinθφ+rθθ+rθθ-rθ2r+rθφcosθφ+rφsinθφ+rφsinθφ+rφθcosθφ-r sin2θφ2r-rsinθcosθφ2θ
=(r+rθ2-r sin2θφ2)r+(2rθ+rθ-rsinθcosθφ2)θ+(2rφsinθ+2rθφcosθ+rφsinθ)φ
DAFTAR PUSTAKA
http://arl.blog.ittelkom.ac.id/blog/files/2012/09/BAB-2-KINEMATIKA-Compatibility-Mode.pdf
http://www.scribd.com/document_downloads/direct/45791107?extension=pdf&ft=1378216957<=1378220567&user_id=33946837&uahk=nHA8Q9TDxTeawQ4/Rv1xbvLY1Cw
http://www.scribd.com/document_downloads/direct/45791107?extension=doc&ft=1378225065<=1378228675&user_id=33946837&uahk=yCb4eNVRe6DqqVKIbeYlfxpwBxI
