Dasar Matematis Mekanika Kuantum

Dasar Matematis Mekanika Kuantum

Muhammad Fauzi Mustamin

hψi

\infty press c

2017

Kata Pengantar Teori kuantum menjelaskan bagaimana alam semesta berprilaku pada ranah mikroskopis. Ketidak mampuan fisika klasik menjelaskan beberapa fenomena, seperti pada eksperimen celah ganda, mendorong fisikawan pada kuartal pertama abad ke-20 memperkenalkan istilah partikel gelombang. Pengembangannya telah mengantarkan pada deksripsi unsur penyusun materi dalam tabel periodik. Bahkan dewasa ini fisikawan memadukannya dengan medan, mendorong pengenalan teori medan kuantum. Sehingga tidak berlebihan jika mengatakan bahwa pemahaman teori kuantum menjadi sebuah keharusan untuk membangun peradaban di masa depan. Risalah ini mencoba mengumpulkan konsep matematika yang diperlukan untuk mulai mempelajari mekanika kuantum. Disertakan juga beberapa penjelasan teknis untuk beberapa kasus. Penjelasan lebih mendalam dapat ditemukan pada referensi yang disertakan pada bagian terakhir. Terkhusus bagi penulis, ini merupakan upaya dalam mengamalkan hadits ikatlah ilmu dengan mencatatnya. Juga melatih kemampuan dalam menulis menggunakan LATEX. Adalah wajar jika pembaca menemukan ada kekeliruan di dalamnya. Masukan dan saran pembaca untuk perbaikan dengan senang hati dinanti di [email protected]. Bagi para pengajar formal dalam topik kuantum pada Departemen Fisika Universitas Hasanuddin, Prof. Dr. rer-nat. Wira Bahari Nurdin, Dr. Tasrief Surungan, M.Sc., dan Bansawang B.J., M.Si., serta teman-teman pada setiap perkuliahan, penulis mengucapkan banyak terima kasih. Makassar, Zulhijjah 1438 - Agustus 2017 Muhammad Fauzi Mustamin

1

Contents

Kata Pengantar

3

1 Fungsi Gelombang

7

2 Sifat-sifat Operator

9

3 Kombinasi Dua Operator

11

4 Notasi Bra dan Ket

13

5 Nilai-Eigen dan Fungsi-Eigen

15

6 Perbedaan Keadaan Teramati

21

7 Operator Posisi dan Momentum

25

8 Ketidakpastian Heisenberg secara Umum

27

9 Operator Momentum-Sudut

31

10 Polynomial Legendre

35

11 Osilator Harmonik

39

12 Harmonik Bola

45

13 Energi Kinetik dan Energi Total

49

14 Teori Representasi

51

15 Representasi Operator

53

16 Masalah Nilaieigen

59

2

17 Transformasi Uniter

61

18 Matriks S

65

19 Persamaan Schrodinger dalam Bentuk Matriks

69

20 Representasi Heisenberg

73

21 Representasi Interaksi

75

Daftar Pustaka

76

3

Chapter 1

Fungsi Gelombang Mekanika klasik secara umum bertujuan untuk menentukan posisi partikel pada suatu waktu tertentu, x(t). Saat hal tersebut diketahui, kecepatan (v = dx/dt), momentum (p = mv), energi kinetik (T = (1/2)mv 2 ), atau variabel dinamis lainnya dapat diperoleh. Bagaimana menentukan posisi x(t) itu sendiri? Diperkenalkanlah kaidah Newton kedua, F = ma. Diperolehlah persamaan umum dari posisi benda dan dengan memasukkan kondisi awal saat t = 0 diperolehlah bentuk x(t). Pendekatan mekanika kuantum juga dilakukan dengan cara yang hampir mirip. Hal yang menjadi pembeda adalah diperkenalkannya fungsi gelombang, ψ(x, t), yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan Schrodinger ~2 ∂ 2 ψ ∂ψ =− + V ψ. (1.1) i~ ∂t 2m ∂x2 Faktor i adalah akar dari −1 dan ~ merupakan konstanta Planck (h = 6.626× 10−34 J · s) dibagi dengan 2π. Pengenalan fungsi gelombang ini dilandasi pada fakta bahwa suatu partikel terlokalisasi pada suatu titik. Interpretasi statistik memperlihatkan bahwa kuadrat mutlak dari fungsi gelombang, |ψ(x, t)|2 , memberikan peluang menemukan partikel tersebut pada titik x dan pada waktu t. Pada suatu interval tertentu, peluang fungsi gelombang dapat dituliskan Z b |ψ(x, t)|2 dx = peluang partikel berada antara titik a dan b saat t. a

(1.2) Hal ini menunjukkan bahwa peluang merupakan luasan dibawah grafik |ψ(x, t)|2 . Perlu disadari bahwa partikel pada mekanika kuantum haruslah ada disuatu tempat. Oleh karena itu, untuk |ψ(x, t)|2 sebagai rapat peluang menemukan partikel pada titik x dan waktu t, haruslah berlaku integral dari 4

rapat peluang disepanjang ruang adalah satu, Z +∞ |ψ(x, t)|2 dx = 1.

(1.3)

−∞

Untuk partikel pada keadaan ψ, nilai kemungkinan berada di x adalah Z ∞ x|ψ(x, t)|2 dx. (1.4) hxi = −∞

Hal ini menunjukkan bahwa nilai ekspektasi merupakan rerata dari sebuah pengukuran berulang pada kumpulan sistem identik pada fungsi gelombang ψ. Perhatikan bahwa nilai ekspektasi bukanlah pengukuran berulang pada satu sistem yang sama. Saat waktu berjalan, hxi juga akan berubah. Namun hal ini menunjukkan kecepatan dari nilai kemungkinan dari x, bukanlah kecepatan dari partikel. Dengan kata lain, nilai kemungkinan dari kecepatan berkesesuaian dengan turunan dari nilai kemungkinan dari posisi. Dalam mekanika kuantum, kuantitas fisis untuk mendeskripsikan kecepatan partikel digunakan momentum.

5

Chapter 2

Sifat-sifat Operator Nilai rerata suatu variabel F yang teramati (direpresentasikan oleh fungsi operator Fˆ (ˆ x, pˆ)) pada keadaan ψ adalah Z ˆ ¯ hF i ≡ F = ψ ∗ Fˆ ψdV , (2.1) dimana Fˆ merupakan operator yang berhubungan dengan F . Pembahasan selanjutnya akan menelaah operator dari sudut pandang yang lebih umum. Misalkan U dan W dua buah kumpulan fungsi, didefinisikan pemetaan ˆ : U → W dengan L(u) ˆ ˆ sebuah kontinu L = w(u ∈ U ; w ∈ W ), dengan L ˆ operator. Operator L menghubungkan fungsi u ∈ U dengan fungsi baru ˆ w ∈ W . Secara simbolis hubungan ini dituliskan sebagai hasil operator L dengan fungsi u: ˆ ˆ = w. L(u) = Lu (2.2) Sebuah operator dengan sifat ˆ 1 u1 + α2 u2 ) = α1 Lu ˆ 1 + α2 Lu ˆ 2, L(α

(2.3)

dimana u1 , u2 merupakan suatu fungsi dan α1 , α2 suatu konstanta, disebut sebagai operator linear. Operator posisi (ˆ x = x) dan operator momentum (pˆx = −i~∂/∂x) merupakan operator linear. Operator nonlinear, dapat dilihat pada operator akar √ √ √ kuadrat, karena α1 u1 + α2 u2 6= α1 u1 + α2 u2 . Operator linear dikatakan adjoin-diri atau Hermitian jika Z Z ∗ˆ ˆ 1 )∗ ψ2 dV, ψ1 Lψ2 dV = (Lψ (2.4) dengan ψ1 dan ψ2 merupakan fungsi kuadrat terintegralkan, dimana turunannya habis pada daerah batas integrasi. 6

Operator pada mekanika kuantum haruslah adjoin-diri dan linear, berlaku prinsip superposisi. Operator linear tidak melanggar prinip superposisi. Agar dapat mendeskripsikan kuantitas terukur dan berarti dengan operator, nilai rerata operator haruslah ril. Sifat ini dijamin oleh operator Hermitian (adjoin-diri). Hal ini dapat ditunjukkan dengan Z Z hZ i∗ ∗ˆ ∗ ¯ ˆ ˆ ¯ ∗, L = ψ LψdV = (Lψ) ψdV = ψ ∗ (Lψ)dV =L (2.5) dan nilai reratanya ril.

7

Chapter 3

Kombinasi Dua Operator ˆ = Cˆ berlaku Pada penjumlahan dua operator Aˆ + B ˆ = (Aˆ + B)ψ ˆ = Aψ ˆ + Bψ ˆ Cψ

(3.1)

ˆ = (AˆB)ψ ˆ = A( ˆ Bψ). ˆ Cψ

(3.2)

ˆ = Cˆ dan perkalian AˆB

ˆ bekerja terlebih dahulu terhadap ψ, Persamaan perkalian tersebut berarti B ˆ ˆ Jika Aˆ dan B ˆ Hermitian, barulah kemudian A bekerja pada fungsi baru (Bψ. ˆ juga Hermitian. Adapun operator hasil, C, ˆ butuh perhatian maka Aˆ + B lebih. Penting untuk disadari bahwa perkalian dari dua operator secara umum ˆ −B ˆ Aˆ 6= 0. Hal ini berarti urutan operator berpengaruh, tidak komutatif, AˆB ˆ ˆ ˆ ˆ A(Bψ) 6= B(Aψ). Dua operator komut jika, dan hanya jika ˆ −B ˆ Aˆ = 0. AˆB

(3.3)

Bentuk ini disebut juga sebagai komutator, dimana dituliskan ˆ −B ˆ Aˆ = [A, ˆ B]. ˆ AˆB

(3.4)

Didefinisikan juga anti-komutator dengan analogi yang sama ˆ +B ˆ Aˆ = {A, ˆ B}. ˆ AˆB

(3.5)

ˆ dapat ditelusuri Sifat Hermitian untuk hasil perkalian dua operator AˆB dengan menuliskan ˆ B} ˆ + 1 [A, ˆ B]. ˆ ˆ = 1 {A, (3.6) AˆB 2 2 8

ˆ B] ˆ ± , dimana + Menuliskan [A, tor, maka Z Z 1 1 ∗ ˆ ˆ ψ1 [A, B]± ψ2 dV = 2 2 Z 1 = 2 Z 1 = 2 Z 1 = 2 Z 1 = 2

untuk anti-komutator dan − untuk komuta-

ˆ ±B ˆ A)ψ ˆ 2 dV ψ1∗ (AˆB Z 1 ∗ ˆ ˆ ˆ 1 )∗ Aψ ˆ 2 dV (Aψ1 ) Bψ2 dV ± (Bψ 2 Z 1 ∗ ˆ Aψ ˆ 1 ) ψ2 dV ± ˆ 1 )∗ ψ2 dV (B (AˆBψ 2

(3.7) (3.8) (3.9)

ˆ Aˆ ± AˆB) ˆ ∗ ψ1∗ ψ2 dV (B

(3.10)

ˆ A] ˆ ∗ ψ ∗ ψ ∗ dV. [B, ± 1 2

(3.11)

ˆ B} ˆ ˆ+B ˆ Aˆ = B ˆ Aˆ + AˆB, ˆ bagian 1 {A, Dari penjabaran tersebut, karena AˆB 2 1 ˆ−B ˆ Aˆ = −(B ˆ Aˆ − AˆB), ˆ bagian [A, ˆ B] ˆ selalu Hermitian, dan karena AˆB 2 hanya Hermitian saat bagian tersebut habis. Sehingga hasil dari komutasi ˆ juga Hermitian. Seperti setiap komutator komut operator Hermitian AˆB n dengan dirinya, Aˆ Hermitian jika Aˆ juga Hermitian, dan demikian pula ˆ n jika Aˆ dan B ˆ Hermitian dan saling komut. Aˆn B

9

Chapter 4

Notasi Bra dan Ket Mekanika kuantum dibangun dari dua hal mendasar, fungsi gelombang dan operator. Keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh fungsi gelombang. Sementara apa yang teramati direpresentasikan oleh operator. Untuk sudut pandang matematis, fungsi gelombang memenuuhi kondisi tertentu untuk suatu vektor, dan operator bekerja pada vektor tersebut sebagai transformasi linear. Fakta ini menunjukkan bahwa bahasa alami yang digunakan pada mekanika kuantum adalah aljabar linear. R +∞ Dalam mekanika kuantum, integrasi dengan bentuk −∞ ψ1∗ ψ2 dV dapat dianggap sebagai hasil skalar dari fungsi ψ1 dan ψ2 terkuadrat-terintegrasi. Notasinya dapat disingkat menjadi Z +∞ hψ1 |ψ2 i = ψ1∗ ψ2 dV. (4.1) −∞

Notasi ini disebut juga sebagai perkalian dalam, inner product. Interpretasi tersebut merupakan perkalian dari dua elemen, hψ1 | dan |ψ2 i. Elemen hψ1 | disebut sebagai ”bra” dan |ψ2 i disebut sebagai ”ket”, penggabungannya menjadi ”bra-ket”. Keduanya merupakan vektor (vektor keadaan) pada ruang vektor linear. Penggunaan notasi tersebut dapat mengifisienkan penulisan dalam ranah kuantum. Notasi ket merepresentasikan sebuah vektor. Untuk vektor dengan N komponen,   a1  a2    |αi → a =  ..  , (4.2)  .  aN
hα| → a∗ = a∗1 , a∗2 , · · · aN . (4.3) 10

Vektor keadaan dalam mekanika kuantumm merupakan vektor dari suatu ruang vektor linear kompleks dengan basis ortonormal. Setiap ekspresi pada representasi integral berhubungan dengan sebuah ekspresi pada notasi Dirac. Hubungan ortonormal tersebut dituliskan Z ∗ ψm ψn dV = hψm |ψn i = δmn . (4.4) Berlaku pula sifat |ψi∗ = hψ|. Dengan hal tersebut, nilai ekspektasi dari ˆ dapat dituliskan sebagai suatu operator L Z ˆ ˆ hψ|L|ψi = ψ ∗ LψdV, (4.5) ˆ dituliskan dan sifat Hermitian dari operator L ˆ ˆ hψ|L|ψi = hLψ|ψi.

(4.6)

Sebagai catatan penting, fungsi gelombang dalam mekanika kuantum berada pada ruang Hilbert,ruang dengan dimensi takberhingga.

11

Chapter 5

Nilai-Eigen dan Fungsi-Eigen ˆ dan Dapat diperoleh lebih banyak informasi tentang operator Hermitian L sesuatu yang berkaitan secara fisis dengannya jika, disamping mengetahui niˆ dapat pula diketahui ekspresi dari deviasi kuadrat-rerata (∆L)2 . lai rerata L, Pertama-tama, dibutuhkan sebuah operator kuantum-mekanis untuk mendeskripsikan (∆L)2 . Deviasinya diperoleh dari nilai rerata dengan ˆ=L ˆ − L, ¯ ∆L

(5.1)

kemudian kuadratkan deviasinya ˆ 2 = (L ˆ − L) ¯ 2. (∆L)

(5.2)

Deviasi kuadrat-rerata dapat direpresentasikan dengan Z 2 ˆ ˆ 2 ψdV, (∆L) = ψ ∗ (∆L)

(5.3)

dan haruslah bernilai positif. Dapat diperhatikan dari Z ∞ 2 ¯ = ˆ 2 ψdV (∆L) ψ ∗ (∆L)

(5.4)

−∞

ˆ dapat diperoleh dan sifat Hermisitas dari ∆L, Z Z ∞ ∗ 2 ¯ ˆ ˆ (∆L) = (∆Lψ) (∆Lψ)dV = −∞

∞

ˆ 2 dV ≥ 0. |∆Lψ|

(5.5)

−∞

Karena integrannya merupakan fungsi bernilai positif, integral tersebut berˆ 2 juga bernilai positif definit. nilai positif definit dan membuat (∆L) Selanjutnya akan ditelaah keadaan ψL dimana kuantitas L memiliki sebuah nilai konstan, deviasi ∆L dari L habis. Keadaan seperti ini memberikan 2 ∆L = 0, dan didapatkan Z ˆ L |2 dV = 0. |∆Lψ (5.6) 12

Integrannya merupakan fungsi real yang tidak mungkin negatif (seperti halnya nilai absolut dari sebuah fungsi kompleks). Sehingga ˆ L = 0. ∆Lψ

(5.7)

Menggunakan definisi dari ∆L, hubungan tersebut dapat dituliskan ˆ − L)ψ ¯ L = 0, (L

(5.8)

¯ = L pada keadaan ψL , maka berlaku dan karena dapat dituliskan L ˆ L = LψL . Lψ

(5.9)

Persamaan dengan bentuk seperti ini disebut juga sebagai persamaan nilaieigen. Bagian ψL disebut sebagai fungsi-eigen dan bagian L sebuah nilaiˆ Umumnya sebuah operator L ˆ memiliki beberapa eigen dari operator L. fungsi-eigen ψLν dengan nilai-eigen Lν . Nilai-eigen Lν dapat membentuk spektrum diskrit L1 , L2 , L3 , · · · atau sebuah spektrum kontinu. Pada kasus spektrum kontinu, nilai-eigen L dapat berupa nilai apa saja pada interval Ln ≤ L ≤ Ln+1 . Selanjutnya akan ditelusuri sifat umum fungsi-eigen dengan batasan untuk spektrum diskrit. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi-eigen dengan dua nilai-eigen berbeda adalah ortogonal. Misalkan ψm dan ψn dengan Lm dan Ln sebagai nilai-eigennya masing-masing, maka ˆ m = Lm ψm , Lψ

ˆ n = Ln ψn . Lψ

(5.10)

Selanjutnya, diambil konjugat kompleks dari persamaan pertama dan diperoleh (nilai-eigen bernilai ril) ˆ ∗ ψ ∗ = L∗ ψm = Lm ψm . L m m

(5.11)

Menggunakan hal tersebut, dapat diperoleh hubungan ∗ ˆ ∗ Lψn = Ln ψn ψm , ψm

ˆ ∗ ψ ∗ = Lm ψ ∗ ψn . ψn L m m

(5.12)

Beda dari kedua persamaan ini adalah ∗ ˆ ˆ ∗ ψ ∗ = ψn ψ ∗ (Ln − Lm ). ψm Lψn − ψn L m m

Ketika dilakukan integrasi pada volume cakupannya, didapatkan Z ∞ Z ∞ Z ∞ ∗ ∗ ˆ ∗ ∗ ˆ ψm Lψn dV − ψn L ψm dV = (Ln − Lm ) ψn ψm dV. −∞

−∞

−∞

13

(5.13)

(5.14)

ˆ adalah operator Hermitian, kedua integral pada sisi sebelah kiri Karena L persamaan akan saling menghasbiskan, sehingga Z ∞ ∗ ψn ψm dV. (5.15) 0 = (Ln − Lm ) −∞

Untuk Ln 6= Lm , maka

Z

∞ ∗ ψn ψm dV,

0=

(5.16)

−∞

yang membuktikan bahwa ψn dan ψm saling ortogonal. Saat fungsi-eigen dari spektrum diskrit terintegral-kuadratkan, fungsinya dapat dinormalisasi menjadi satu Z ∞ ψn ψn∗ dV = 1. (5.17) −∞

Maka dapat dilihat hubungan Z ∞

∗ ψn ψm dV = δnm .

(5.18)

−∞

Hal tersebut menunjukkan bahwa fungsi-eigen merupakan sistem fungsi ortonormal. Secara umum, terdapat beberapa fungsi-eigen untuk satu nilai-eigen Ln ; kondisi ini disebut sebagai keadaan degenerasi. Lebih detailnya, jika terdapat a fungsi-eigen berbeda ψn1 , ·, ψna untuk nilai-eigen Ln , maka dikatakan terdapat a-degenrasi. Secara fisis degenerasi ini mendeskripsikan peluang bahwa sebuah nilai tertentu dari suatu ketertampakan L dapat diperoleh pada keadaan berbeda. Telah dibuuktikan bahwa fungsi-eigen dari sebuah spektrum diskrit dengan niali-eigen berbeda bersifat ortogonal. Saat terdapat degenerasi, fungsi ˆ nk = Ln ψnk , denψnk merupakan hubungan dengan nilai-eigen sama Ln :Lψ gan k = 1, ·, a; sehingga, fungsi-fungsi tersebut tidak ortogonal. Meskipun demikian terdapat selalu kemungkinan menemukan fungsi ortogonal sesuai dengan kasus ini. Misalkan diasumsikan fungsi-eigen ψnk , (k = 1, ·, a), berhubungan unPa tuk menghitung nilai-eigen Ln , tidak bergantung linear, k=1 ak ψnk = 0, maka ak = 0 berlaku untuk semua k, dapat ditunjukkan bahwa paling tidak terdapat satu fungsi dengan sebuah kombinasi linear dari fungsi lain, dan jumlah fungsi-eigen akan lebih kecil dari a. Jika kumpulan ψnk ortogonal, kita dapat menggunakannya untuk menjelaskan sebuah keadaan tertentu.

14

Jika tidak ortogonal, kumpulan ini dapat bertransformasi menjadi kumpulan baru, a X ϕna = aαk ψnk , α = 1, ·, a. (5.19) k=1

Transformasi tersebut linear, sehingga fungsi ϕnα juga fungsi-eigen dari opeˆ dari fungsi eigen Ln . Diperlukan pula sifat ortogonal dari fungsi baru rator L ϕnα : Z ∞

ϕ∗nα ϕnβ dV = δαβ .

(5.20)

−∞

Kondisi tersebut haruslah terpenuhi oleh koefisien aαk pada orde untuk mendeskripsikan sebuah transformasi untuk sebuah sistem fungsi ortogonal adalah a X a X a∗αk aβk0 skk0 = δαβ , (5.21) k1 k0 =1

dimana

Z

∞ ∗ ψnk ψnk0 dV.

skk0 =

(5.22)

−∞

Koefisien aαk ditentukan oleh analogi dengan geometri. Diperhatikan bahwa fungsi ψnk sebagai vektor pada sebuah ruang fungsi dimensi-a dan skk0 sebagai hasil perkalian skalar vektor-vektor tersebut. Selanjutnya dapat dianggap transformasi pada persamaan sebelumnya sebagai sebuah transformasi basis dari sebuah sudut-miring pada sebuah sistem kordinat ortogonal. Menggunakan prosedur tersebut untuk kasus dari sebuah spektrum degenerasi, dapat diperoleh sebuah kumpulan fungsi-eigen ortonormal. Metode praktisnya adalah menggunakan metode ortogonalisasi Schmidt, mirirp dengan geometri (kalkulus vektor). Pada langkah awal dapat diambil satu vektor (keadaan), misalnya p ψn1 , dan mendefinisikan fungsi gelombang ternormalisasi ϕn1 = ψn1 / hψn1 |ψn1 . Selanjutnya dibangun sebuah vektor ϕn2 = αϕn1 + βψn2 dan memerlukan hϕn1 |ϕn2 i = αhϕn1 |ϕn1 i + βhϕn1 |ψn2 i = 0. Selanjutnya karena α/β = −hϕn1 |ψn2 i. Disamping dari kondisi ini, diperlukan normalisasi hϕn2 |ϕn2 i. Dari kedua kondisi tersebut juga mengikut α dan β. Tahap ketiga kemudian dikembangkan ϕn3 = α0 ϕn1 + β 0 ϕn2 + γψn3 . Sifat ortogonalitas dari vektor (keadaan) ini menjadi ϕn1 dan ϕn2 dan diperlukan sifat normalisasi. Sehingga terdapat tiga kondisi dalam menentukan α, β, γ dll. Perlu dicatat bahwa transformasi tersebut didefinisikan hanya sampai transformasi ortogonal. Jika fungsi ψnk telah ortogonal, maka skk0 = δkk0

15

dan berlaku

a X

a∗αk aβk = δαβ .

(5.23)

k=1

Hal tersebut merupakan kondisi sebuah transformasi ortogonal. Pada kasus spektrum kontinu tidak dapat dihitung nilai-eigen dan fungsieigen, tapi dapat diparameterisasi fungsi-eigen dan mengambil nilai-eigen sebagai parameter. Maka persamaan ˆ n (x) = Ln ψn (x) Lψ

(5.24)

ˆ Lψ(x, L) = Lψ(x, L),

(5.25)

menjadi jika x menotasikan semua kordinat yang muncul pada fungsi gelombang ψ (misalnya untuk x = x, y, z). Dari fungsi gelombang yang tidak ortogonal dapat didefiniskan diferensial-eigen Weyl : Z L+∆L ψ(x, L)dL. (5.26) ∆ψ(x, L) = L

Persamaan tersebut membagi spektrum kontinu dari nilai-eigen L menjadi daerah diskrit dengan ukuran ∆L. Diferensial-eigein tersebut ortogonal dan dapat dinormalisasi.

16

Chapter 6

Perbedaan Keadaan Teramati Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin mengukur kordinat dan momentum sebuah partikel secara simultan dan secara pasti. Nilai dari sebuah hasil teramati secara ambigu didefinisikan jika fungsi gelombang adalah fungsi-eigen dari operator berkaitan, ˆ n = Ln ψn . Lψ

(6.1)

Maka pada keadaan ψn , hasil teramati L didefinisikan dengan baik, memiliki nilai Ln yang pasti dan nilai deviasi kuadrat reratanya (∆L)2 bernilai nol. ˆ . SeSecara umum, ψ bukanlah sebuah fungsi-eigen dari operator lain M hingga, tidak dapat diperoleh informasi tentang hasil teramati M dari fungi ˆ sehingga gelombang ψn . Hanya jika ψn adalah sebuah fungsi-eigen dari M memungkinkan mengukur M dan L, ˆ n = Ln ψn Lψ

ˆ ψn = Mn ψn dan M

(6.2)

ˆ M ˆ ]− ψn = 0, kauntuk semua ψn . Kedua persamaan terpenuhi, berlaku [L, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rena M Lψn = Ln M ψn = Ln Mn ψn dan LM ψn = Mn Lψn = Mn Ln ψn . Saat ˆ L− ˆ L ˆM ˆ )ψn = 0. Kumpulan fungsi-eigen ψn dari mengurangkan diperoleh (M ˆ adalah lengkap. Sehingga sebuah fungsi bebas ψ(x) operator Hermitian L dapat dikembangkan ψn (x), X ψ(x) = cn ψn (x). (6.3) n

Dimana berlaku ˆL ˆ−L ˆM ˆ )ψ(x) = 0. (M

(6.4)

ˆL ˆ−L ˆM ˆ = 0. Karena ψ(x) bebas, dapat diperoleh persamaan operator M Akhirnya telah didapatkan dua operator teramati tersebut dapat dihitung secara simultan jika komutatornya, yang bekerja pada fungsi-eigen umum, 17

ˆ M ˆ ]− = 0, maka habis. Pada arah sebaliknya, diperoleh hasil berikut: jika [L, ˆM ˆψ = M ˆ Lψ. ˆ ˆ untuk setiap ψ, L Jika ψ adalah sebuah fungsi-eigein dari L, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ diperoleh L(M ψ) = L(M ψ) dan ψ = M ψ adalah fungsi-eigein dari L. Jika ˆ ψ = M ψ; ψ 0 = M ψ adalah L tidak tergenerasi, dapat diketahui bahwa M sebuah perkalian ψ (disini, M ψ). ˆ ψ dapat berupa sebuah kombinasi linear Pada kasus degenerasi, ψ 0 = M dari f terdegenerasi fungsi-eigein ψk (k = 1, 2, ·, f ) dari nilai-eigein L. Maka diperoleh f X 0 Mkk0 ψk0 , k = 1, 2, · · · , f. (6.5) ψk = k0 =1

Sehingga tidak dapat diulang hasil dari kalkulasi di atas. Namun sebagai ˆM ˆψ = pilihan dari fungsi gelombang awal yang sembarang (ingat bahwa L ˆ Lψ ˆ haruslah berlaku untuk semua ψ yang mungkin), dapat digunakan M sebuah kombinasi linear, f X ϕ= ak0 ψk0 , (6.6) k0 =1

sebagai fungsi gelombang awal, ketimbang ψk . Tentu saja berlaku ˆ = Lϕ. Lϕ

(6.7)

Sekarang dapat dipilih koefisien ak dalam orde mendapatkan ˆ ϕ = M ϕ. M

(6.8)

Dapat dilakukan dengan memasukkan ϕ menjadi persamaan f X

ˆ ψk 0 = M ak 0 M

k0 =1

f X

ak0 ψk0 .

(6.9)

k0 =1

Setelah memperkalikan dengan vektor bra hk| (berdasarkan pada operasi R ∗ ψk · · ·dx) dan menggunakan pada hψk |ψk0 i = δkk0 akan diperoleh f X

ˆ |k 0 iak0 = M ak . hk|M

(6.10)

k0 =1

ˆ |k 0 i. Sehingga dapat Selanjutnya elemen matriks hk|M |k 0 i dari Mkk0 ≡ hk|M diperoleh sebuah sistem homogen linear dari persamaan untuk ak0 , determi-

18

nan koefisien haruslah habis, M11 − M, M12 , · · · M1f M21 , M22 − M, · · · M2f .. .. . . . · · · .. .. .. . . . · · · .. .. .. . . . · · · .. Mf 1 , Mf 2 , · · · Mf f − M

= 0.

(6.11)

Solusi dari persamaan ini memberikan nilai-eigen M . Selanjutnya pada kasus degenerasi dari P fungsi-eigein ψk dari L, dapat pula dibangun fungsi gelomˆ bang ϕ = k ak ψk , yang secara simultan merupakan fungsi-eigein dari L ˆ. dan M

19

Chapter 7

Operator Posisi dan Momentum Saat memulai sebuah fungsi gelombang ψ = ψ(r), operator posisi adalah vektor ruang itu sendiri: ˆr = r. (7.1) Setiap komponennya adalah xˆ = x,

yˆ = y,

zˆ = z.

(7.2)

Operator dari momentum sendiri dapat ditunjukkan ˆ = −i~∇, p

(7.3)

dan setiap komponennya adalah pˆx = −i~

∂ , ∂x

pˆy = −i~

∂ , ∂y

pˆz = −i~

∂ . ∂z

(7.4)

Dapat dihitung komutator dari operator pˆ dan xˆ, dimana karena pˆx xˆψ = −i~

 ∂ψ  ∂ (xψ) = −i~ ψ + x ∂x ∂x

serta ∂ψ  ∂ψ xˆpˆx ψ = x − i~ = −i~x , ∂x ∂x 

sehingga [ˆ px , xˆ]− = pˆx xˆ − xˆpˆx = −i~. Hasil ini dapat dirangkum menjadi [ˆ x, pˆx ] = [ˆ y , pˆy ] = [ˆ z , pˆz ] = i~, [ˆ x, pˆy ] = [ˆ x, pˆz ] = [ˆ y , pˆx ] = [ˆ y , pˆz ] = [ˆ z , pˆx ] = [ˆ z , pˆy ] = 0. 20

(7.5) (7.6)

Sehingga terdapat sebuah hubungan ketidakpastian antara kordinat dan momentum kanonis konjugat (x dan px , y dan py ...). Kesemuanya tidak dapat secara pasti diukur secara simultan. Disisi lain, saat opperator xˆ dan operator pˆy komut, kedua ketampakan tersebut dapat diukur secara simultan. Keadaan-eigen secara umum adalah p i δ(x − x0 ) exp ( py y), ~

dll.

(7.7)

Secara eksplisit, nilai kemungkinan untuk posisi dan momentum dapat dituliskan Z Z ~ ∂ 
∗ ψdx. (7.8) hxi = ψ x ψdx, hpi = ψ ∗ i ∂x Dalam mekanika kuantum, operator x merepresentasikan posisi dan operator (~/i)(∂/∂x) merepresentasikan momentum. Untuk menghitung nilai kemungkinannya, operator tersebut ditempatkan antara ψ ∗ dan ψ lalu diintegralkan. Operator untuk kuantitas dinamis lain dapat dicari karena semuanya bergantung pada posisi dan momentum.

21

Chapter 8

Ketidakpastian Heisenberg secara Umum ˆ Saat dua kuantitas fisis dideskripsikan dengan operator Hermitian Aˆ dan B. Komutator dari kedua operator tersebut dituliskan sebagai ˆ B] ˆ − = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ = iC, ˆ [A,

(8.1)

dengan Cˆ disebut sebagai pengingat komutasi. Cˆ dapat bernilai nol; sehingga ˆ komut. Secara umum Cˆ adalah operator Hermitian, karena telah Aˆ dan B diketahui bahwa Z Z ∗ ˆ ˆ ˆ −B ˆ A)ψ ˆ 2 dx ψ1 [A, B]− ψ2 dx = ψ1∗ (AˆB (8.2) Z = [(Bˆ∗ Aˆ∗ − Aˆ∗ Bˆ∗ )ψ1∗ ]ψ2 dx (8.3) Z ˆ −B ˆ A)ψ ˆ 1 ]∗ ψ2 dx. = − [(AˆB (8.4) Maka Z

ˆ 2 dx ψ1∗ iCψ

Z

ˆ 1 )∗ ψ2 dx atau = − (iCψ Z Z ∗ˆ ˆ 1 )∗ ψ2 dx. ψ1 Cψ2 dx = (Cψ

(8.5) (8.6)

ˆ pada sebuah keadaan Kuantitas fisis berkesesuaian untuk operator Aˆ dan B umum ψ memiliki nilai rerata Z Z ∗ ˆ ¯ = ψ ∗ Bψdx. ˆ A¯ = ψ Aψdx dan B (8.7) Memperkenalkan operator untuk deviasi dari nilai rerata, ˆ=B ˆ − B, ¯ ∆Aˆ = Aˆ − A¯ normal ∆B 22

(8.8)

ˆ memenuhi hubungan komutator Aˆ dan B, ˆ dan dengan ∆Aˆ dan ∆B ˆ ∆B] ˆ = iC. ˆ [∆A,

(8.9)

Analogi yang sama dengan pertimbangan pada hubungan ketidakpastian hubungan pˆx dan xˆ, sehingga dengan menghitung integral Z ˆ 2 dx ≥ 0, I(α) = |(α∆Aˆ − i∆B)ψ| (8.10) ˆ Heryabg bergantung pada sebuah parameter ril α. Kuantitas ∆Aˆ dan ∆B mitian, dapat dituliskan Z ˆ ∗ ψ ∗ (α∆Aˆ − i∆B)ψdx ˆ I(α) = (α∆Aˆ − i∆B) (8.11) Z ˆ ˆ Aˆ − i∆B)ψdx (8.12) = ψ ∗ (α∆Aˆ + i∆B)(α∆ Z ˆ 2 + iα(∆B∆ ˆ Aˆ − ∆A∆ ˆ B) ˆ + (∆B) ˆ 2 ]ψdx = ψ ∗ [α2 (∆A) (8.13) Z ˆ 2 + αCˆ + (∆B) ˆ 2 ]ψdx ≥ 0. = ψ ∗ [α2 (∆A) (8.14) ¯ ˆ h|∆B ˆ 2 |i ≡ (∆B)2 nilai Dengan menotasikan h|(∆A)2 |i ≡ (∆A)2 , i|C|h≡ C, ˆ Persamaan terakhir rerata dari deviasi kuadrat, atau komutasi pengingat C. kemudian dapat dituliskan sebagai (∆A)2

h

α+

¯ 2 i2 (C) 4(∆A)2

+

(∆B)2

−

¯ 2 (C)

≥ 0.

(8.15)

¯ 2 (C) ≥ . 4

(8.16)

4(∆A)2

Seperti juga untuk α ril, (∆B)2

−

¯ 2 (C) 4(∆A)2

≥0

atau

(∆A)2 (∆B)2

Persamaan terakhir tidak lain adalah prinsip ketidakpastian Heisenberg dalam bentuk operator paling umum. Persamaan tersebut berlaku untuk semua kuantitas fisis dengan operator non-komutatif. Untuk operator komut, Cˆ = 0, tidak dijumpai ketidakpastian untuk kuantitas fisis tersebut, operatornya dapat diukur secara langsung. Misalnya untuk [pˆx , xˆ] = −i~, hubungan ketidakpastian untuk kuantitas ini adalah (∆px )2 (∆x)2 ≥ ~2 /4. Kajian lebih jauh akan memperlihatkan bahwa operator energi Eˆ = +i~(∂/∂t) dengan hubungan komutator berlaku ˆ t] = i~. [E, 23

(8.17)

Hubungan ketidakpastiannya, menggunakan prinsip ketidakpastian Heisenberg untuk energi dan waktu, adalah (∆E)2 (∆t)2

24

~2 ≥ . 4

(8.18)

Chapter 9

Operator Momentum-Sudut Menggunakan persamaan klasik momentum sudut, L = r×p, dan melakukan substitusi operator posisi rˆ dan operator momentum pˆ, diperoleh persamaan umum operator momentum sudut ˆ = rˆ × pˆ = −i~(r × ∇). L

(9.1)

Pada kordinat Kartesian, diperoleh
ˆ x = yˆpˆz − zˆpˆy = −i~ y ∂ − z ∂ , L ∂z ∂y
ˆ y = zˆpˆx − xˆpˆz = −i~ z ∂ − x ∂ , L ∂x ∂z ∂
∂ ˆ z = xˆpˆy − yˆpˆx = −i~ x −y L . ∂y ∂x

(9.2) (9.3) (9.4)

ˆ bersifat Hermitian. Melakukan perhitungan secara langsung unOprator L tuk hubungan komutasi, misalnya untuk Lx dan Ly , ˆ xL ˆy − L ˆyL ˆ x = (y pˆz − z pˆy )(z pˆx − xˆ L pz ) − (z pˆx − xˆ pz )(y pˆz − z pˆy ) = y(ˆ pz z)ˆ px + yz pˆz pˆx − yxˆ pz pˆz − z 2 pˆy pˆx + zxˆ py pˆz 2 − zy pˆx pˆz + z pˆx pˆy + xy pˆz pˆz − x(ˆ pz z)ˆ py − xz pˆz pˆy ˆz, = −i~y pˆx + i~xˆ py = i~(xˆ py − y pˆx ) = i~L dengan hal serupa berlaku untuk komponen lain. Menggunakan cara yang sama, dapat ditemukan ˆ xL ˆy − L ˆyL ˆ x = i~L ˆz, L

ˆyL ˆz − L ˆzL ˆ y = i~L ˆ x, L

ˆzL ˆx − L ˆ xL ˆ z = i~L ˆ y , (9.5) L

atau bahkan dapat dituliskan dengan notasi lebih sederhana ˆ i, L ˆ j ] = i~ijk L ˆk. [L 25

(9.6)

Disini, ijk adalah tensor antisimetrik dalam tiga dimensi yang memenuhi

ijk

  +1, −1, =  0,

untuk permutasi genap 1,2,3. untuk permutasi ganjil 1,2,3. saat indeks berulang.

(9.7)

Persamaan (87) menjelaskan bahwa komponen dari momentum sudut tidak dapat diukur secara bersamaan. Untuk kuadrat dari operator momentum sudut, ˆ2 = L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ 2, L x y z dapat ditelusuri hubungannya dengan komponen momentum sulut, misalnya dengan komponen-x, ˆ 2, L ˆ x ]− = [L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ 2 , Lx ]− = [L ˆ2, L ˆ x ]− + [ L ˆ 2, L ˆ x ]− [L x y z y z ˆ 2y L ˆx − L ˆ xL ˆ 2y ) + (L ˆ 2z L ˆx − L ˆ xL ˆ 2z ). = (L

(9.8) (9.9)

Menggunakan persamaan (87), bagian pertama diperoleh ˆ2L ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 (L y x − Lx Ly ) = Ly (Ly Lx ) − Lx Ly = Ly (−i~Lz + Lx Ly ) − Lx Ly ˆyL ˆ z + (−i~L ˆz + L ˆ xL ˆ y )L ˆy − L ˆ xL ˆ2 = −i~L y

ˆyL ˆz + L ˆzL ˆ y ), = −i~(L

(9.10) (9.11) (9.12)

serta untuk bagian kedua, ˆ 2L ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 (L z x − Lx Lz ) = Lz (Lz Lx ) − Lx Lz = Lz (i~Ly + Lx Lz ) − Lx Lz ˆzL ˆ y + (i~L ˆy + L ˆ xL ˆ z )L ˆz − L ˆ xL ˆ2 = i~L z

ˆzL ˆy + L ˆyL ˆ z ), = i~(L

(9.13) (9.14) (9.15)

ˆ 2, L ˆ x ] = 0. Penjabaran serupa akan membesehingga diperoleh hubungan [L rikan persamaan ˆ 2, L ˆ 2, L ˆ 2, L ˆ x ]− = [L ˆ y ]− = [L ˆ z ]− = 0. [L

(9.16)

Operator momentum sudut selanjutnya banyak diterapkan pada kordinat bola. Diketahui bahwa kordinat bola dapat dituliskan dalam bentuk kordinat Kartesian dengan transformasi x = r cos θ sin φ,

y = r sin θ sin φ, 26

z = r cos θ,

(9.17)

sehingga operator momentum sudut diberikan oleh   ˆ x = i~ sin φ ∂ + cot θ cos φ ∂ , L ∂θ ∂φ   ˆ y = i~ − cos φ ∂ + cot θ sin φ ∂ , L ∂θ ∂φ ˆ z = −i~ ∂ . L ∂φ

(9.18) (9.19) (9.20)

dimana berlaku: r 2 = x2 + y 2 + z 2 ,

z cos θ = , r

tan φ =

y . x

ˆz: Definisi ini dapat digunakan untuk menjabarkan L  ∂ ∂  ˆ −y Lz = − i~ x ∂y ∂x  h ∂r ∂ h ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ i ∂θ ∂ ∂φ ∂ i = − i~ r sin θ cos φ + + − r sin θ sin φ + + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ  h cos θ sin φ ∂ cos φ ∂ i ∂ + = − i~r sin θ cos φ sin θ sin φ + ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ h ∂ cos θ cos φ ∂ sin φ ∂ i − sin φ sin θ cos φ + − ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ˆ z = − i~ ∂ , L ∂φ dimana hal serupa dapat digunakan untuk mendapatkan ˆ 2 , dengan menggunakan definisi dangkan untuk operator L koordinat bola, dapat dijabarkan

ˆ x dan L ˆ y . SeL ˆ x, L ˆy, L ˆ z untuk L

ˆ 2 =L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ2 L x y z  ∂2 ∂ ∂2 ∂2  2 2 2 2 = − ~ (sin φ + cos φ) 2 + cot θ + cot θ 2 + 2 ∂θ ∂θ ∂φ ∂φ  1 ∂  2  ∂ 1 ∂ = − ~2 sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 = − ~2 ∆θ,φ ,

(9.21) (9.22) (9.23) (9.24)

dengan notasi ∆θ,φ adalah representasi Laplacian untuk θ dan φ. Sementara ˆ 2 sendiri memenuhi hubungan fungsi-eigen dari L ˆ 2 Ylm (θ, φ) = L2 Ylm (θ, φ). L 27

(9.25)

Persamaan ini terkenal dengan persamaan harmonik bola. Persamaan ini memenuhi hubungan s (l − m)!(2l + 1) m Pl (cos θ)eimφ , (9.26) Ylm (θ, φ) = 4π(l + m)! dengan Plm adalah polynomial Legendre Plm (x) =

l+m (−1)m 2 m/2 d (1 − x ) (x2 − 1)l , 2l l! dxl+m

(9.27)

dengan l ≥ m ≥ −l. Pada persamaan-eigen sebelumnya, L2 dapat dituliskan dalam bentuk l L2 = ~2 l(l + 1),

l = 0, 1, 2, 3, · · · ,

(9.28)

sehingga persamaan-eigen tersebut menjadi ˆ 2 Ylm (θ, φ) = ~2 l(l + 1)Ylm (θ, φ). L

(9.29)

Dari pemilihan sistem kordinat, komponen z momentum sudut menjadi acuan, ˆz sama halnya untuk Ylm yang juga fungsi-eigen dari L ˆ z Ylm = ~mYlm , L

m = −l, −l + 1, · · · , 0, · · · , l.

(9.30)

ˆ 2 dan L ˆ dan ˆ z selalu diskrit. Karena sifat komutasi dari L Spektrum dari L ˆ Lz , keduanya dapat diukur secara bersamaan. Fungsi-eigen simultan tersebut ˆ 2 terdegenerasi tidak lain adalah Ylm (θ, φ). Setiap nilai-eigen ~2 l(l + 1) dari L (2l + 1)-kali karena setiap l terdapat 2l + 1 fungsi-eigen Ylm (l ≥ m ≥ −l). Dapat diperhatikan bahwa proyeksi p arah-z dari momentum sudut L akan berkesesuaian dengan nilai mutlak ~ l(l + 1). Diperlukan 2l + 1 nilai berbeda m~. Sudut antara momentum sudut dan arah dari kuantisasinya hanya dapat memenuhi nilai tertentu m . cos θ = p l(l + 1)

(9.31)

Hal ini disebut juga sebagai kuantisasi arah dan berarti kuantisasi dari ˆ z . Ilustrasinya dapat dilihat komponen-z dari momentum sudut, seperti L pada gambar. Vektor momentum sudut L berada pada kerucut disekitar arah kuantisasi (sumbu z). Hasilnya, komponen x dan y momentum sudut tidaklah konstan terhadap waktu. Hal tersebut juga sebagai ilustrasi hubungan ketidakpastian antara Lz dan Lx serta antara Lz dan Ly . 28

Chapter 10

Polynomial Legendre Fungsi spesial pada fisika matematika merupakan solusi dari persamaan diferensial linear orde dua yang sering dijumpai. Dalam kaitannya dengan operator momentum sudut, khususnya dengan fungsi harmonik bola, maka perlu dikaji fungsi Legendre. Untuk mempelajari fungsi Legendre ini, dapat dimulai dari fungsi pembangkitnya. Umumnya sering dijumpai bentuk |r−r0 |−1 dalam menyelesaikan masalah potensial. Secara eksplisit 1 . |r − r0 |−1 = p 2 0 2 |r| + |r | − 2|r||r0 | cos ϑ

(10.1)

Selanjutnya akan diekspansi bentuk akar tersebut menjadi deret pangkat. Untuk hal ini, digunakan simbol r< untuk menandai lebih kecil dan r> untuk lebih besar untuk kedua nilai r dan r0 , sehingga berlaku r< /r> < 1. Dengan hal tersebut, maka 1 1 √ =r n  2 o 2 02 0 r + r − 2rr cos ϑ 2 1 − 2 r< cos ϑ + r< r> r> r> n r  o 1 r< 1 < 2 = cos ϑ + (3 cos ϑ − 1) 1+ ± ··· . r> r> 2 r> Koefisien yang bergantung pada ϑ disini menjadi awal didefinisikannya polynomial Legendre. Dimana dapat ditulis

29

1 r

n 2 1 − 2 r< cos ϑ + r> r>

∞ 1 X  r< l Pl (cos ϑ)   2 o = r> r> r< l=0 r> ∞ l X r< Pl (cos ϑ). = rl+1 l=0 >

Saat disustitusikan cos ϑ = x, diperoleh nilai-nilai untuk Pl (x) P0 (x) = 1, P1 (x) = x, 1 P2 (x) = (3x2 − 1), 2 1 P3 (x) = (5x3 − 3x), 2 atau secara umum dengan menggunakan formula Rodriguez, 1 dl 2 (x − 1)l . (10.2) l l 2 l! dx Dari persamaan ini terlihat hubungan simetri pada polynomial Legendre Pl (x) =

Pl (−x) = (−1)l Pl (x).

(10.3)

Hal lain yang penting dari polynomial Legendre adalah sifat ortogonalitas Z +1 2 Pm (x)Pm (x)dx = δmn . (10.4) 2n + 1 −1 Polynomial Legendre merupakan solusi dari persamaan diferensial Legendre, d2 d Pn (x) − 2x Pn (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0. (10.5) 2 dx dx Persamaan Laplace pada kordinat bola tidaklah memberikan persamaan diferensial Legendre setelah dilakukan pemisahan variabel, namun diperkenalkan persamaan diferensial Legendre asosiasi (1 − x2 )

h d2 d m2 i (1 − x ) 2 P (x) − 2x P (x) + n(n + 1) − P (x) = 0, dx dx 1 − x2 2

30

(10.6)

dengan x = cos θ. Saat m = 0 persamaan ini tereduksi menjadi persamaan diferensial Legendre. Solusi umumnya adalah polynomial Legendre asosiasi dm Pn (x) dxm 1 dn+m = n (1 − x2 )m/2 n+m (x2 − 1)n . 2 n! dx

Pnm (x) = (1 − x2 )m/2

Sifat ortogonalitas persamaan Legendre asosiasi diberikan oleh Z +1 (l + m)! 2 0 δll0 δmm0 . Plm (x)Plm 0 (x)dx = (l − m)! 2l + 1 −1

(10.7) (10.8)

(10.9)

Untuk nilai m negatif, berlaku hubungan Pl−m (x) = (−1)m

31

(l − m)! m P . (l + m)! l

(10.10)

Chapter 11

Osilator Harmonik Setiap sistem dengan fluktuasi kecil disekitar konfigurasi setimbang dapat dideskripsikan dengan osialsi harmonik ataupun kumpulan osilator harmonik tergandeng. Pemisalan konkrit dari osilator harmonik adalah sebuah massa m tergandeng oleh pegas dengan konstanta k. Untuk perpindahan kecil x, pegas akan mengalami gaya F = −kx dengan potensial V = 1/2kx2 . Hamiltonian sistem dapat dituliskan H =T +V =

1 p2 + mω 2 x2 , 2m 2

ω2 =

k . m

(11.1)

Hamiltonian dengan bentuk ini, kuadratik pada posisi dan momentum, disebut sebagai Hamiltonian osilator harmonik. Untuk sebuah partikel bergerak pada potensial V (x), saat partikel ditempatkan pada keadaan awal x0 , partikel akan tetap berada disana pada keadaan kesetimbangan statis. Dinamika partikel pada saat berfluktuasi kecil pada x = x0 memberikan potensial yang dapat diekspresikan sebagai ekspansi Taylor 1 d2 V dV V (x) = V (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · . 2 dx x0 2! dx x0

(11.2)

Bagian konstan dan orde pertama dapat dihilangkan, dan menggeser titik menuju x0 , maka tersisa V (x) =

1 d2 V 2 1 d3 V 3 x + x + ··· . 2! dx2 0 3! dx3 0

(11.3)

Saat osilasi kecil, peran dari orde lebih tinggi dapat diabaikan dan diperoleh potensial dengan d2 V /dx2 diidentifikasi sebagai k = mω 2 .

32

Persamaan gerak untuk osilator harmonik untuk kasus massa pada pegas sederhana ∂H p = , ∂p m ∂H p˙ = − = −mω 2 x. ∂x

x˙ =

(11.4) (11.5)

Eliminasi p, ˙ diperoleh persamaan x¨ + ω 2 x = 0,

(11.6)

x(t) = A cos ωt + B sin ωt = x0 cos(ωt + φ),

(11.7)

dengan solusi

dengan x0 amplitudo dan φ fase dari osilator. Konservasi energi terkait dengan osilator dapat dituliskan 1 1 1 E = T + V = mx˙ 2 + mω 2 x2 = mω 2 x20 . 2 2 2

(11.8)

Karena x0 variabel kontinu, maka energi osilator juga kontinu. Energi terendah adalah nol, dan hal ini merupakan kondisi dimana partikel berada pada keadaan diam di posisi awal. Menyelesaikan x˙ dalam E dan x diperoleh persamaan r q 2E 2 2 − ω x = ω x20 − x2 , (11.9) x˙ = m yang memberikan informasi bahwa partikel berawal dari keadaan diam pada titik balik (x = ±x0 ), mendapatkan kelajuan sampai pada titik awal, dan melambat menuju keadaan diam pada saat mencapai titik balik lainnya. Pada kasus kuantum, partikel dengan vektor keadaan |ψi memenuhi persamaan Schrodinger d i~ |ψi = H|ψi, (11.10) dt dimana p2 1 H= + mω 2 x2 . (11.11) 2m 2 Dinamika sistem direpresentasikan oleh penjalaran U (t), yang kemudian dapat direpresentasikan dengan vektoreigen dan nilaieigen dari H. Perhatikan bahwa nilaieigen H positif karena |pψi dan |xψi tidak dapat negatif. 33

Pada basis x, melakukan substitusi operator x → x, p → −i~d/dx, |Ei → ψE (x), maka   ~2 d2 1 2 2 − (11.12) + mω x ψ = Eψ. 2m dx2 2 Persamaan ini dapat disusun ulang menjadi  1 d2 ψ 2m  2 2 (11.13) + 2 E − mω x ψ = 0. dx2 ~ 2 Solusi dari persamaan ini pada ruang Hilbert fisis menjadi tujuan utama dalam deskripsi osilator harmonik. Memperkenalkan variabel baru, x = by, dengan y berhubungan dengan x dan b faktor skala dengan satuan panjang. Hal ini memberikan d2 ψ 2mEb2 m2 ω 2 b4 2 + ψ− y ψ = 0. dy 2 ~2 ~2 Bagian terakhir mengindikasikan b=

 ~ 1/2 . ωm

(11.14)

Definisikan juga E mEb2 = . (11.15) 2 ~ ~ω Maka dalam bentuk variabel dimensionless, persamaan diferensialnya dapat dituliskan ψ 00 + (2 − y 2 )ψ = 0. (11.16) =

Pada limit y → ∞ ψ 00 − yψ = 0,

(11.17)

memberikan solusi ψ = Ay m e±y

2 /2

.

(11.18)

Dipilih solusi dengan eksponensial negatif agar dapat menjelaskan makan fisis. Pada limit y → 0 ψ 00 + 2ψ = 0, (11.19) mempunyai solusi ψ = A cos(2)1/2 y + B sin(2)1/2 y.

(11.20)

Melakukan ekspansi fungsi dan mengabaikan suku y 2 serta yang lebih tinggi akibat terlalu kecil, didapatkan ψy→0 = A + cy + O(y 2 ) 34

(11.21)

dengan c = B(2)1/2 . Hal ini memberikan bentuk umum ψ(y) = u(y)e−y

2 /2

,

(11.22)

dimana u mendekati A + cy saat y → 0, dan y m saat y → ∞. Untuk menentukan u(y), persamaan ini dimasukkan pada persamaan diferensial dimensionless dan diperoleh u00 − 2yu0 + (2 − 1)u = 0.

(11.23)

Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan solusi deret pangkat, u(y) =

∞ X

Cn y n .

(11.24)

n=0

Substitusi ini memberikan ∞ X

Cn [n(n − 1)y n−2 − 2ny n + (2 − 1)y n ] = 0.

(11.25)

n=0

Bagian pertama dapat dituliskan sebagai ∞ X

Cn n(n − 1)y

n−2

n=0

=

∞ X

Cn n(n − 1)y

n=2

n−2

=

∞ X

Cm+2 (m + 2)(m + 1)y m .

m=0

Manipulasi ini memberikan ∞ X

y n [Cn+2 (n + 2)(n + 1) + Cn (2 − 1 − 2n)] = 0.

(11.26)

n=0

Karena fungsi y n bersifat bebas linear, maka diperoleh Cn+2 = Cn

(2n + 1 − 2) , (n + 2)(n + 1)

(11.27)

sehingga untuk setiap C0 dan C1 , hubungan rekursif tersebut membangkitkan C2 , C4 , C6 , · · · dan C3 , C5 , C7 . · · · . Fungsi u(y) akhirnya dapat dituliskan i (1 − 2) 2 (1 − 2) (5 − 2) 4 u(y) =C0 1 + y + y + ··· 2 2 12 h i (3 − 2) 3 (3 − 2) (7 − 2) 5 + C1 y + y + y + ··· . 6 6 20 h

35

Sampai disini energi terlihat tidak memiliki bentuk pasti. Bentuk u(y) tidaklah berprilaku seperti y m saat y → ∞ akibat terdapat pangkat lebih tinggi pada y. Telah diperlihatkan saat y → ∞, hanya terdapat dua kemungkinan ψ(y)y→∞ → y m y ±y Saat dituliskan ψ(y) = u(y)e−y

2 /2

2 /2

.

, maka dua kemungkinan untuk u(y) adalah

u(y)y→∞ → y m

2

atau y m ey .

Sesuai dengan persamaan u(y) pada solusi yang diperoleh berkesesuaian dengan kemungkinan kedua. Perhatikan deret pangkat u(y) pada y → ∞. Saat deret dikontrol dengan koefisien C0 saat y → 0, yang dibangun dari koefisien Cn→∞ saat y → ∞. Kembangan deret dikarakterisasi oleh rasio Cn+2 2 → . Cn n→∞ n 2

Perhatikan kembangan dari y m ey . Karena 2

y m ey =

∞ X y 2k+m k=0

k!

,

dimana Cn = koefisien dari y n = 1/k!, dengan n = 2k+m atau k = (n−m)/2. Diperoleh juga Cn+2 =

1 , [(n + 2 − m)/2]!

sehingga Cn+2 [(n − m)/2]! 1 2 → = → . Cn n→∞ [(n + 2 − m)/2]! (n − m + 2)/2 n 2

2

Dengan kata lain, u(y) dikembangkan sebagai y m ey , sehingga ψ(y) = y m ey e−y 2 y m ey /2 , yang merupakan solusi terlarang. Mengasumsikan semua nilai  terpenuhi, disimpulkan bahwa tidak ada  yang dimungkinkan. Untuk mengatasi masalah ini, dapat dipilih  dengan bentuk 2n + 1 , n = 0, 1, 2, · · · , (11.28) 2 koefisien Cn+2 habis. Saat dipilih C1 = 0 saat n genap atau C0 = 0 saat n ganjil, diperoleh polynomial berhingga dengan orde n yang memenuhi persamaan diferensial dan berperan sebagai y n saat y → ∞ n C + C y2 + C y4 + · · · + C yn o 2 0 2 4 n −y 2 /2 ψ(y) = u(y)e = e−y /2 . (11.29) 3 5 C1 y + C3 y + C5 y + · · · + Cn y n n =

36

2 /2

=

Telah terlihat bahwa energi terkuantisasi. Nilai yang memungkinkan untuk E = ~ω adalah  1 En = n + ~ω, n = 0, 1, 2, · · · . (11.30) 2 Untuk setiap n, persamaan rekursif koefisien Cn memberikan polynomial dengan orde n yang disebut polynomial Hermite, Hn (y): H0 (y) =1, H1 (y) =2y, H2 (y) = − 2(1 − 2y 2 ),  2 3 H3 (y) = − 12 y − y , 3 .. .. Nilai awal koefisien C0 dan C1 pada Hn dipilih berdasarkan aturan tertentu. Solusi normalisasinya adalah ψ(x) =



1/4  mωx2  h mω 1/2 i mω Hn exp − x . π~22n (n!)2 2~ ~

37

(11.31)

Chapter 12

Harmonik Bola Suatu potensial skalar U tanpa adanya muatan memenuhi persamaan Laplace berikut  ∂2 ∂2 ∂2  + + U (x, y, z) = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Pada koordinat bola (r, ϑ, φ) dengan ∆U (x, y, z) =

x = r sin ϑ cos φ,

y = r sin ϑ sin φ,

z = r cos ϑ,

(12.1)

(12.2)

sehingga

∆U =

n ∂2 2 ∂ 1  ∂2 ∂ 1 ∂ 2 o + + + cot ϑ + U = 0. ∂r2 r ∂r r2 ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂φ2

Kemudian disederhanakan kembali menjadi n1 ∂  ∂  1 ∂  ∂  1 ∂2 o 2 r + sin ϑ + U = 0. r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂φ2

(12.3)

Solusinya dapat ditelaah dengan menggunakan teknik pemisahan variabel U (r, ϑ, φ) = R(r)Y (ϑ, φ). membuat Y ∂  2 ∂R  R ∂  ∂Y  R ∂ 2Y r + sin ϑ + U = 0. r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂φ2 Membagi dengan RY , maka didapatkan bentuk n 1 d  dR o 1 n 1 ∂  ∂Y  1 ∂ 2Y o 2 r + sin ϑ + = 0. R dr dr Y sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ϑ ∂φ2 38

(12.4)

Pada bagian dalam kurung pertama hanya bergantung pada r, sedangkan sisanya bergantung hanya pada ϑ dan φ, dimana kedua bagian tersebut haruslah konstan agar memenuhi persamaan. Untuk masing-masing bagian, dipilihlah konstanta pemisah 1 d  2 dR  r = l(l + 1), (12.5) R dr dr 1n 1 d  dY  1 d2 Y o sin ϑ + = −l(l + 1). (12.6) Y sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ dφ2 Untuk bagian sudut, mengalikan dengan Y sin2 ϑ, diperoleh d dY  d2 Y sin ϑ sin ϑ + = −l(l + 1)Y sin2 ϑ. dϑ dϑ dφ2 Menerapkan kembali pemisah variabel, Y (ϑ, φ) = Θ(ϑ)Φ(φ),

(12.7)

lalu membagi dengan ΘΦ, d dΘ i 1 d2 Φ 1h sin ϑ sin ϑ + l(l + 1) sin2 ϑ + = 0. Θ dϑ dϑ Φ dφ2 Disini terlihat dapat lagi dilakukan pemisahan bagian komponen, dimana tiap komponen haruslah konstan dan berlainan tanda agar memenuhi persamaan. Memilih m2 sebagai pemisah, maka d dΘ i 1h sin ϑ sin ϑ + l(l + 1) sin2 ϑ = m2 , (12.8) Θ dϑ dϑ 1 dΦ2 = −m2 . (12.9) φ dφ2 Untuk bagian φ, dapat diperoleh solusi umum d2 Φ = −m2 Φ → Φ(φ) = eimφ . dφ2

(12.10)

Dengan bentuk ini, saat φ berputar 2π, fungsi akan kembali ke titik semula dalam kordinat ruang, sehingga dapat dikatakan Φ(φ + 2π) = Φ(φ). Dengan kata lain, eim(φ+2π) = eimφ , atau e2πim =1. Hal ini membuat m haruslah bilangan bulat m = 0, ±1, ±2, · · · . (12.11) 39

Bagian radial lain yang bergantung terhadap ϑ, dΘ  d sin ϑ + [l(l + 1) sin2 ϑ − m2 ]Θ = 0, sin ϑ dϑ dϑ

(12.12)

memiliki solusi unik. Solusinya secara umum berbentuk Θ(ϑ) = APlm (cos ϑ),

(12.13)

dengan Plm dikenal sebagai fungsi Legendre asosiasi, dengan definisi Plm ≡ (1 − x2 )|m|/2

 d |m| Pl (x), dx

(12.14)

dimana Pl (x) adalah polynomial Legendre, didefinisikan dari formula Rodrigues 1  d l 2 (x − 1)l . (12.15) Pl (x) ≡ l 2 l! dx Beberapa bentuk polynomial Legendre: P0 = 1, P1 = x, 1 1 P2 = (3x2 − 1), P3 = (5x3 − 3x). 2 2 Sementara untuk fungsi Legendre asosiasi, 1 P20 (x) = (3x2 − 1), 2

√ P21 (x) = 3x 1 − x2 ,

P22 (x) = 3(1 − x2 ).

Ingat bahwa untuk solusi bagian sudut ini memeiliki bentuk x = cos ϑ. Perhatikan juga untuk nilai l haruslah selalu bilangan bulat tidak negatif, serta jika |m| > l, maka diperoleh Plm = 0 akibat pangkat dari operator diferensial. Sehingga untuk setiap l terdapat (2l + 1) nilai m, l = 0, 1, 2, · · · ;

m = −l, −l + 1, · · · , −1, 0, 1, · · · , l − 1, l.

(12.16)

Elemen volume dalam kordinat bola, d3 r = r2 sin ϑdrdϑdφ,

(12.17)

sehingga kondisi normalisasi fungsi gelombang dari persamaan Schrodinger Z Z Z 2 2 2 2 |U | r sin ϑdrdϑdφ = |R| r dr |Y |2 sin ϑdϑdφ = 1.

40

Bentuk ini dapat dipisah menjadi Z Z ∞ 2 2 |R| r dr = 1, 0

0

2π

Z

π

|Y |2 sin ϑdϑdφ = 1.

(12.18)

0

Normalisasi bagian sudut dari fungsi gelombang tersebut memberikan s 2l + 1 (l − |m|)! imφ m Ylm (ϑ, φ) =  e Pl (cos ϑ), (12.19) 4π (l + |m|)! dengan  = (−1)m untuk m ≥ 0 dan  = 1 untuk m ≤ 1. Bentuk ini dikenal sebagai fungsi harmonik bola. Bentuk tersebut memenuhi kaidah ortogonalitas Z 2π Z π 0 [Ylm (ϑ, φ)]∗ [Ylm (12.20) 0 (ϑ, φ)]dϑdφ = δll0 δmm0 . 0

0

41

Chapter 13

Energi Kinetik dan Energi Total Operator dari energi kinetik pada kordinat Kartesian didapatkan dengan analogi yang sama untuk T = p2 /2m sebagai ˆ2 ~2  ∂ 2 ∂2 ∂2  ~2 p =− + + = − ∆. (13.1) Tˆ = 2m 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2m Pada kordinat polar i ~2 1 ∂  2 ∂  ~2 h 1 ∂  2 ∂  1 ~2 = − Tˆ = − r + ∆ r − ∆θ,φ θ,φ 2m r2 ∂r ∂r r2 2m r2 ∂r ∂r 2mr2 (13.2) ˆ2 L =Tˆr + . (13.3) 2mr2 Kuantitas Tˆr dapat diinterpretasikan sebagai operator energi kinetik untuk ˆ 2 /2mr2 sebagai operator energi kinetik gerak sepanjang arah radial dan L untuk gerak rotasi. Hubungan tersebut juga secara langsung memberikan ˆ 2 ] = 0. Sehingga energi kinetik dan kuadrat dari momentum sudut [Tˆ, L dapat diukur secara langsung. Mengacu pada Hamiltonian mekanika klasik, operator Hamiltonian didefiniskan sebagai operator dari energi total pada mekanika kuantum sebagai ˆ2 ˆ = Tˆ + Vˆ ≡ p + V (r). H 2m

(13.4)

Saat dapat dipastikan energi potensial hanya bergantung pada jarak, Vˆ = ˆ 2 ] = 0, kuadrat momentum sudut dan ˆ L V (r) (potensial pusat), diperoleh [H, energi total dapat diukur secara simultan. Hal serupa juga berlaku untuk ˆ z , [H, ˆ L ˆ z ] = 0. L ˆ 2 /2m dan Vˆ = V (r) tidak komut, tidak diperoleh penjabaKarena Tˆ = p ran pasti untuk nilai dari potensial dan energi kinetik, bahkan jika diketahui energi total. 42

Chapter 14

Teori Representasi Keadaan partikel secara keseluruhan dideskripsikan oleh fungsi gelombang ternormalisasi ψ(r, t). Pada persamaan Schrodinger i~

p  ˆ2 ∂ ψ(r, t) = + V (r) ψ(r, t), ∂t 2m

(14.1)

memberikan evolusi keadaan sistem terhadap waktu. Operator momentumnya dituliskan ˆ = −i~∇. p (14.2) Representasi ψ(r, t) dari keadaan partikel disebut sebagai representasi kordinat. Karena prinsip ketidakpastian Heisenber, momentum p dari partikel tidaklah diketahui secara pasti jika posisi r tetap. Rerata dari momentum ini adalah Z hˆ p i = ψ ∗ (r, t)(−i~∇)ψ(r, t)dV. (14.3) Ekstraksi informasi tentang momentum partikel diperoleh dari fungsi gelombang ψ(r, t) jika fungsi tersebut dikembangkan kedalam fungsieigen operator momentum, yang tidak lain adalah transformasi Fourier. Integral Fourier tersebut kemudian memberikan Z i  1 a(p, t) exp (14.4) ψ(r, t) = p · r d3 p 2/3 (2π~) ~ Z = a(p, t)ψp (r)d3 p. (14.5) Integralnya dilakukan sepanjang ruang momentum. Fungsi a(p, t) merupakan transformasi Fourier dari ψ(r, t) pada waktu t. Gelombang bidang ψp (r) merupakan fungsieigen dari operator momentum, i  i  1 ~ ˆ ψp = exp p · r , p ψ = ∇ exp p · r = pψp . (14.6) p (2π~)2/3 ~ i ~ 43

Fungsi a(p, t) mendeskrisikan keadaan partikel sama lengkapnya dengan ψ(r, t). Fungsi a(p, t) disebut sebagai representasi momentum dari keadaan partikel. Melalui sifat transformasi Fourier, berlaku hubungan Z   i 1 p · r d3 r (14.7) a(p, t) = ψ(r, t) exp − (2π~)3/2 ~ Z = ψ(r, t)ψp∗ (r)d3 r. (14.8) Sehingga, saat ψ(r, t) diketahui, dapat dibangun a(p, t) dan juga sebaliknya, saat a(p, t) diketahui, dapat dibangun ψ(r, t). Kesamaan normalisasi ditunjukkan dengan Z Z 2 3 |ψ(r, t)| d r = |a(p, t)|2 d3 p. (14.9) Hubungan untuk rerata operator posisi memberikan Z hˆ r i = a∗ (p, t)(i~∇p )a(p, t)d3 p,

(14.10)

dengan ∇p = (∂/∂px , ∂/∂py , ∂/∂pz ) merupakan operator nabla atau del pada ruang momentum. Fungsi a(p, t) merepresentasikan distribusi momentum dari keadaan partikel ψ(r , t). Nilai mutlak |a(p, t)|2 memberikan peluang menemukan partikel dengan momentum tertentu p, misalnya dengan fungsi gelombang i  1 exp p · r ψp (r ) = (2π~)2/3 ~ pada keadaan ψ(r , t). Dengan kata lain, |a(p, t)|2 merupakan rapat peluang pada ruang momentum. Untuk representasi energi, diasumsikan partikel memiliki spektrum energi diskrit dengan nilaieigen E1 , E2 , · · · , En dan berkesesuaian dengan fungsieigen orthonormal ψ1 , ψ2 , · · · , ψn . Ekspansi dari fungsi gelombang umum ψ(r , t) dalam betuk fungsieigen energi dapat dituliskan X an (t)ψn (r), (14.11) ψ(r , t) = n

dengan index n mengindikasikan ketergantungan terhadap energi. Ekspansi ∗ koefisien dari persamaan tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan ψm dan melakukan integrasi sepanjang ruang Z ∗ am = ψ m (r )ψ(r )d3 r. (14.12) Jelas terlihat bahwa keadaan partikel ditentukan secara keseluruhan dari an pada representasi energi. 44

Chapter 15

Representasi Operator Persamaan operator ˆ φ = Lψ

(15.1)

mentransfromasikan fungsi ψ ke fungsi lain φ. Untuk sebuah kalkulasi eksplisit haruslah dipilih bentuk representasi tertentu. Sejauh ini, untuk repreˆ memenuhi sentasi kordinat, operator L   ˆ = L(ˆ ˆ p, r ) = L ˆ ~ ∇, r . L i

(15.2)

Saat representasi fungsi gelombangnya dirubah, operatornya juga haruslah disesuaikan. Untuk representasi energi, fungsi gelombang ψ(r ) dan φ(r ) dikembangˆ n = kan menjadi bagian fungsieigen dari energi, misalnya Hamiltonian (Hψ En ψn ). Sehingga didapatkan X X bn ψn (r ). (15.3) ψ(r ) = an ψn (r ) dan φ(r ) = n

n

Representasi energi fungsi ψ dan φ kemudian ditentukan masing-masing oleh an dan bn . ˆ ekspansi fungsi Untuk memperoleh representasi energi dari operator L, gelombang tersebut disubstitusi ke persamaan operator awal X X X ˆ ˆ n ψn . bn ψ n = L an ψn = an L (15.4) n

n

∗ Mengalikan dengan ψm dan melakukan integrasi, didapatkan X X Z ∗ ˆ bn δmn = an ψ m Lψn dV. n

n

45

(15.5)

Memperkenalkan elemen matriks Z

∗ ˆ ψm Lψn dV,

Lmn =

(15.6)

sehingga diperoleh bm =

X

Lmn an ,

(15.7)

n

yang merupakan representasi energi. Kumpulan total dari Lmn menyusun ˆ Kehadiran dua indeks menjadikan Lmn dikombirepresentasi energi dari L. nasikan kedalam matriks, yang merupakan matriks kuadrat takhingga. Untuk operator dengan nilaieigen kontinu, dapat digunakan representasi momentum dari persamaan operator (130). Sebagai penyederhanaan digunakan pendekatan satu dimensi, r → x, p → px ≡ p. Fungsieigen untuk ruang momentum diketahui i  1 px , exp ψp = √ ~ 2π~ serta diketahui pula lewat transformasi Fourier Z Z ψ(x) = a(p)ψp (x)dp, φ(x) = b(p)ψp (x)dp.

(15.8)

Fungsi a(p) dan b(p) merupakan representasi momentum dari ψ dan φ. Saat disubstitusi pada persamaan operator Z Z Z ˆ ˆ p (x)dp. b(p)ψp (x)dp = L a(p)ψp (x)dp = a(p)Lψ (15.9) dengan hubungan ortogonalitas Z ψp∗0 (x)ψp (x)dx = delta(p0 − p)

(15.10)

dan pengenalan Z Lp0 p =

ˆ p (x)dx, ψp∗0 (x)Lψ

(15.11)

didapatkan representasi momentum dari persamaan operator sebagai Z 0 b(p ) = Lp0 p a(p)dp. (15.12) Indeks p0 dan p kontinu dan kemudian elemen matriksnya Lp0 p = L(p0 p) 46

(15.13)

merupakan fungsi dari variabel p dan p0 . Matriks takhingga Lp0 p merupakan ˆ representasi momentum dari L. Selanjutnya diulas beberapa aturan kalkulus matriks serta hubungannya dengan operator matriks. Sebuah matriks L = (Lmn δmn ) disebut diagonal; terutama untuk Lnn = 1 digunakan matriks satuan E = (δmn ). Matriks konjugat kompleks dari L didefinisikan (15.14) L∗ = (L∗ )mn = (L)∗mn . ˜ dari matriks L = (Lmn ) adalah Transpose L ˜ = (L) ˜ mn = (L)nm , L

(15.15)

diperoleh dengan melakukan pertukaran terhadap indeks dari elemen matriks. Elemen dari matriks adjoin L+ memenuhi hubungan ˜ mn = (L∗ )nm . (L+ )mn = (L)

(15.16)

Pada saat L = L+ , matriks L disebut self-adjoin atau Hermitian. Dari hal ini terlihat bahwa operator Hermitian direpresentasikan dengan matriks Hermitian. Dapat diperlihatkan Z Z ∗ ˆ ˆ ∗ ψ ∗ dx Lmn = ψm Lψn dx = ψn L (15.17) m Z  ∗ ˆ m dx = L∗nm . = ψn∗ Lψ (15.18) Dua matriks saling menjumlahkan komponen demi komponen Cnm = Anm + Bnm .

(15.19)

ˆ dapat ditunjukkan Saat Cˆ merupakan penjumahan operator Aˆ dan B, Z Z ∗ ˆ ∗ ˆ ˆ n dx Cmn = ψm Cψn dx = ψm (A + B)ψ Z Z ∗ ˆ ∗ ˆ Bψn dx = ψm Aψn dx + ψm Cmn = Amn + Bmn . Perkalian matriks didefinisikan Cmn =

X k

47

Amk Bkn .

(15.20)

ˆ maka dapat ditelusuri Jika Cˆ = AˆB, Z Z Z ∗ ˆ ∗ ˆˆ ∗ ˆ ˆ Cmn = ψm Cψn dx = ψm ABψn dx = ψm A(Bψn )dx. ˆ n = φn (x) dan dilakukan ekspansi dalam fungsi ortogonal ψk (x) Diambil Bψ X ˆ n= φn (x) = Bψ bkn ψk (x), k

dengan koefisien Z bkn =

ˆ n dx = Bkn . ψk∗ Bψ

Saat disubstitusi, diperoleh Z Z X  X ∗ ˆ ∗ ˆ k dx Cmn = ψm A bkn ψk dx = ψm bkn Aψ k

=

X

Z Bkn

k

∗ ˆ ψm Aψk dx =

k

X

Bkn Amk

k

atau, terlihat jelas memenuhi X X Amk Bkn , Bkn Amk = Cmn = k

k

yang menunjukkan bahwa aturan perkalian berlaku pula untuk matriks operator. Selanjutnya diperlihatkan bentuk matriks secara eksplisit dengan merepresentasikan φ(x) dan ψ(x) masing-masing dengan bn dan an . Saat persamaan ˆ φ = Lψ ditransformasi ke dalam bentuk  a1  a2 an =  .. .

matriks, untuk  

 b1   bn =  b2  , .. .

 ,

maka secara eksplisit persamaan operator    b1 L1 1 L1 2  b2   L2 1 L2 2  = .. .. . . 48

didapatkan   a1 ···   ···    a2  .. . ···

(15.21)

Kuantitas an dan bn merupakan representasi masing-masing fungsi gelombang ψ dan φ pada suatu basis ψk . ˆ pada keadaan ψ(x) dapat Nilai ekspektasi atau rerata dari operator L ditunjukkan dengan mudah Z ¯ = hψ(x)|L|ψ(x)i ˆ ˆ L = ψ(x)∗ Lψ(x)dx Z X ˆ = dx a∗n ψn∗ (x)L(x)a m ψm (x) n,m

=

X

a∗n a∗m

Z

ˆ m= dxψn∗ Lψ

n,m

= (a∗1 , a∗2 , · · · )

X

a∗n Lnm am

n,m

L11 L12 · · · .. .

49

!



 a1  a2   . .. .

Chapter 16

Masalah Nilaieigen Masalah penting dan sering muncul pada mekanika kuantum adalah mencari ˆ Saat Aˆ dinilaieigen dan fungsieigen dari suatu operator, katakanlah A. berikan pada representasi fungsieigen, elemen diagonal matriks Amn adalah nilaieigen operator tersebut. Saat operator Aˆ tidak diberikan pada representasi eigennya, metode pencarian nilaieigen dan fungsieigen butuh penelaahan lebih lanjut. Fungsieigen ψa dari Aˆ memenuhi persamaan ˆ a (x) = aψa (x). Aψ ˆ Saat dikembangkan dalam bentuk fungsi φn yang bukan fungsieigen dari A, X ψa (x) = can φn (x). (16.1) Kombinasi dua persamaan terakhir memberikan X X Aˆ can φn = a can φn . Setelah mengalikan dengan φ∗k dan mengintegrasi, diperoleh X can Akn = acak ,

(16.2)

n

dimana Z Akn =

ˆ n dV φ∗k Aφ

Diasumsikan Akn diketahui dengan nilaieigen a dan vektoreigen {can } untuk matriks (Akn ) akan dihitung kemudian. Saat diketahui keduanya, masalah nilaieigen terselesaikan pada representasi apapun, karena dengan {can }, dapat 50

dibangun fungsieigen dari Aˆ dengan ekspansi ψa (x). Untuk mendapatkan can , hasil substitusi sebelumnya dapat dituliskan X (Akn − aδkn )can = 0. (16.3) n

Persamaan tersebut menunjukkan sistem homogen takberhingga dari persamaan untuk koefisien can . Solusi sistem tersebut tidaklah trivial saat determinan koefisiennya habis det(Akn − aδkn ) = 0. Masalah yang muncul adalah determinan secara umum bernilai takberhingga. Untuk mengatasinya ditinjau determinan terpisah berderajat N , .. A11 − a A12 . A1N .. A A − a . A 21 22 2N = 0. (16.4) DN (a) = · · · · · · · · · · · · .. AN 1 AN 2 . AN N − a Persamaan ini merupakan bentuk lain persamaan ekspansi ψa (x) pada nilai n = N . Persamaan DN (a) = 0 berderajat N tersebut memberikan N solusi untuk a. Sulusi ini (N ) (N ) (N ) (16.5) a1 , a2 , · · · , aN , bersifat real, karena DN (a) adalah determinan dari matriks Hermitian (asumsi setiap operator pada mekanika kuantum agar dapat diobservasi). Kemudian dievaluasi setiap nilaieigen ai untuk urutan meningkat determinan DN dan diperoleh urutan solusi (1)

(2)

(N )

ai , ai , · · · , ai

→ ai .

(16.6)

Sifat konvergen dari urutan ini dapat dijelaskan secara fisis. Elemen matriks Akn mengukur keterkaitan antara keadaan φk dan φn . Namun pada kasus n >> k, hubungan ini akan diabaikan (misalnya keadaan eksitasi tinggi sangat mengganggu keadaan dasar). Maka Akn menjadi sangat kecil dan berkontribusi sangat sedikit pada akar pertama determinan terpisah. Dengan melakukan substitusi ai yang diperoleh ke persamaan sistem homogen takberhingga sebelumnya, kemudian memperoleh koefisien dari cn (ai ) dan dengan persamaan ekspansi ψa (x), didapatkan X ψai = cn (ai )φn (x). (16.7) n

51

Chapter 17

Transformasi Uniter Operator Aˆ dapat direpresentasikan sebagai matriks dengan beberapa cara. Untuk suatu kumpulan lengkap fungsi gelombang ψn (x), dapat dibangun ˆ Operator ini dapat sebuah representasi berkesesuaian dengan operator A. direpresentasikan dengan dasar fungsi ψn (r ), yang merupakan fungsieigen ˆ ˆ n (r ) = Ln ψn (r )). Maka operator L(misalnya Lψ Z ∗ ˆ n (r )dV Amn = ψm (r )Aψ (17.1) ˆ Sementara untuk operator Aˆ denmerupakan representasi dari operator A. ˆ (dimana (M ˆ φµ (r ) = Mµ φµ (r )) juga memunggan fungsieigen φµ (r ) dari M kinkan Z ˆ ν (r )dV. Aµν = φ∗µ (r )Aφ (17.2) ˆ diekspansi Untuk menghubungkan Amn dengan Aµν , fungsieigen dari M ˆ dalam fungsieigen L X Snµ ψn . (17.3) φµ = n

Mengalikan dengan

∗ ψm

Z

dan melakukan integrasi memberikan X ∗ ψm φµ dV = Snµ δmn = Smµ .

(17.4)

n

Elemen matriks Smµ merupakan proyeksi dari ψm pada keadaan φµ . Mengˆ dari hasil ekspansi tersebut membawa ganti fungsieigen M Z Z X X X ∗ ∗ ∗ ˆ ˆ m dV, Smν ψm dV = Snµ Smν ψn∗ Aψ Aµν = Snµ ψn A n

Aµν =

X

m

n,m

∗ Anm Smν . Snµ

nm

52

Lalu menggunakan elemen matriks adjoin ˜ ∗ = (Sµn )+ (S) nµ

(17.5)

memberikan aturan transformasi antara matriks Aˆ pada kedua representasi X (Aµν ) = (S + )µn (Anm )(Smν ), (17.6) n,m

atau, dengan menggunakan huruf kapital AM = S + AL S.

(17.7)

ˆ Perlunya ψn serta φµ Indeks M dan L merupakan variasi representasi dari A. berupa fungsi gelombang orthonormal berimplikasi pada kesatuan (unitarity) dari S. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut Z Z X X X ∗ ∗ ∗ ∗ δµν = φµ φν dV = Smµ ψm Snν ψn dV = Smµ Snν δmn , m

δµν =

X

∗ Smµ Smν

n

n,m

+

= (S S)µν ;

m

atau dengan kata lain hasil perkalian dari S dan matriks adjointnya, S + , sama dengan matriks satuan S + S = 1. (17.8) P Sifat kesatuan berarti transformasi kesatuan φµ = n Snµ ψn merupakan konservasi dari peluang; jika partikel pada keadaan φu dengan peluang 1, dapat ditemukan dengan peluang |Sµn |2 pada keadaan ψn . Kumpulan |Sµ1 |2 , · · · , |Sµn |2 , · · · memberikan distribusi peluang dari partikel yang berkesesuaian dengan keadaan ψn . Hal ini mengharuskan terpenuhi X X ∗ |Sµn |2 = Sµn Sµn = 1, n

n

yang berarti S bersifat kesatuan (unitary). Penggunaan teoram ini yang penting dan sering dijumpai adalah sifat invarian dari trace suatu matriks dibawah transformasi kesatuan. Trace matriks A dinotasikan trA dan didefinisikan sebagai penjumlahan elemen

53

diagonal matriks. Menggunakan sifat Aµν dan δµν dapat ditelaah X XX ∗ Anm Smµ , trAM = Aµµ = Snµ µ

=

µ

X

n,m

∗ , Anm Smµ Snµ

µ,n,m

=

X

=

X

Anm (SS + )mn =

n,m

X

Anm δmn ,

n,m

Ann

n

trA =trAL . Hal ini menunjukkan trace dari sebuah matriks tidaklah bergantung pada suatu representasi tertentu.

54

Chapter 18

Matriks S Evolusi temporal sistem dapat dideskripsikan dengan sebuah deretan transformasi kesatuan. Operator dari transformasi evolusi waktu ini dinotasikan ˆ matriks tersebut disebut juga matriks S (matriks hamburan). Pedengan S, ran operator disini adalah mentransformasikan keadaan pada waktu t = 0 menuju keadaan pada waktu t ˆ ψ(r , t) = S(t)ψ(r , 0).

(18.1)

Saat fungsi gelombang ini dimasukkan dalam persamaan Schrodinger bergantung waktu,   ∂ Sˆ  ∂ ˆ S(t)ψ(r ˆ ˆ Sˆ ψ(r , 0) = 0 −H , 0) = i~ −H ∂t ∂t ˆ ∂S ˆ Sˆ = 0. i~ −H ∂t 

i~

ˆ tidakah bergantung waktu secara eksplitis. Akhirnya diPada kasus ini H peroleh solusi i ˆ Sˆ = exp(− )Ht). (18.2) ~ ˆ Pada waktu t = 0 terlihat bahwa S(0) = 1. Saat menerapkan operator Sˆ pada suatu fungsi, fungsi eksponensialnya diekspansi menjadi deret pangkat X 1  i n i ˆ ˆ = . (18.3) Sˆ = exp(− Ht) − Ht ~ n! ~ n ˆ diagonal, Perhatian khusus diberikan untuk representasi energi dimana H Hψn = En ψn (x ). Dengan fungsi X ψ(r , 0) = an ψn (r ), n

55

ˆ didapatkan evolusi temporal dari ψ(r , 0) dengan menerapkan operator S. Hal ini memberikan X ˆ ˆ n ψ(r , 0) = Sψ(r , 0) = an Sψ n

X 1  i k ˆ = an − Ht ψn k! ~ n k k X X 1 i − E − nt ψn = an k! ~ n k   i X ˆ Sψ(r , 0) = an exp − En t ψn (r ). ~ n X

Jelas bahwa kebergantungan waktu untuk keadaan stasioner terpenuhi. Pada representasi energi, Sˆ merupakan diagonal, yang dapat ditinjau dari Z   i ∗ ˆ (18.4) Smn = ψm Sψn dV = exp − i En t δmn . ~ Dapat pula ditunjukkan bahwa Sˆ merupakan operator kesatuan h     i i ˆ i+ ˆ + t = exp i Ht ˆ = Sˆ−1 , Sˆ+ = exp − i Ht H = exp ~ ~ ~

(18.5)

ˆ Hermitian. Selanjutnya fungsi gelombang ψ(r , t) diekspansikan dimana H ˆ dengan fungsieigen φn dari operator L X bn (t)φn (r ). (18.6) ψ(r , t) = n

ˆ diperoleh Saat kembali dilakukan evolusi temporal dengan S, X X ˆ n (0)φn (r ). Sb bn (t)φn (r ) = n

n

Mengalikan dengan φ∗m dan melakukan integrasi didapatkan persamaan matriks X bm (t) = Smn (t)bn (0), (18.7) n

ˆ n dV . Untuk kasus bn (0) = 1, nilai bn0 (0), n0 6= n yang dengan Smn = φ∗m Sφ lain adalah nol akibat normalisasi. Hal ini berarti bahwa pada representasi L, partikel pada waktu t = 0 secara keseluruhan berada pada keadaan φn (r ). R

56

Dapat dikatakan bahwa sistemnya dipersiapkan pada keadaan dasar φn (r ). Konsekuensinya bm (t) = Smn (t), (18.8) hasil menarik dengan suatu interpretasi fisis yang jelas. Elemen matriks Smn (t) kemudian menghasilka amplitudo dimana sistemnya telah meninggalkan keadaan φn menuju pada keadaan φm setelah waktu t. Atau dengan kata lain, nilai ω(n → m) = |Smn (t)|2

(18.9)

memberikan peluang transisi dari keadaan φn menuju keadaan φm dibawah ˆ Hubungan ini akan memainkan peran penting pada perpengaruh dari H. hitungan peluang transisi dari sistem mekanika kuantum serta pada perhitungan proses hamburan elektrodinamika kuantum, transisi dari keadaan sebelum menuju keadaan setelah hamburan.

57

Chapter 19

Persamaan Schrodinger dalam Bentuk Matriks Sejauh ini, telah diketahui persamaan Schrodinger i~

∂ψ ˆ = Hψ, ∂t

dan menggunakan representasi energi untuk fungsi gelombang, dengan kata lain representasi eigen dari Hamiltonian yang tidak secara eksplisit bergantung waktu, ˆ n = En ψn . Hψ Melakukan ekspansi fungsi gelombang terhadap fungsieigen Hamiltonian, X ψ(r , t) = an (t)ψn (r ), n

lalu memasukkannya dalam persamaan Schrodinger X X ∂an ψn (r ) = En an ψn (r ). i~ ∂t n n ∗ Mengalikan dengan ψm dan melakukan integrasi

i~

∂am (t) = Em am (t). ∂t

ˆ dengan Hmn = Ingat fakta bahwa telah dipilih representasi energi dari H En δmn berperan pada persamaan diferensial untuk am (t) tidak tergandeng. Solusi persamaannya  i  am (t) = am (0) exp − Em t . ~ 58

Amplitudo untuk keadaan stasioner tidak bergantung waktu, ini berarti konstanta integral diperoleh dari kondisi keadaan awal. Cara serupa dapat diterapkan untuk menghitung perubahan temporal ˆ Nilai rerata tersebut diberikan oleh dari nilai rerata operator L. Z ˆ = ψ ∗ LψdV. ˆ hLi Memasukkan ekspansi dari fungsieigen memberikan Z X X ∗ ˆ ˆ a∗m (t)ψm (r )L an (t)ψn (r )dV hLi = m

=

X

n

a∗m (t)Lmn an (t),

n,m

R ∗ ˆ n dV . Persamaan tersebut memberikan nilai rerata Lψ dengan Lmn = ψm representasi matriks sebagai fungsi waktu. Dapat diambil turunan temporal dari nilai rerata tersebut untuk memperoleh X ∂a∗ X ∂Lmn X ˆ dhLi ∂an m a∗m a∗m Lmn = Lmn an + an + . dt ∂t ∂t ∂t m,n n,m n,m Turunan temporal dari koefisien evolusi am (t) sekarang diekspresikan oleh elemen matriks Hnk dari Hamiltonian ∂an X i~ Hnk ak . (19.1) = ∂t k Sajian ini merupakan persamaan Schrodinger dalam representasi matriks, berlaku untuk representasi apapun. Terkhusus pada representasi energi, persamaannya tereduksi menjadi persamaan sederhana tidak tergandeng. Saat persamaan ini beserta konjugatnya dimasukkan dalam turunan temporal nilai rerata, diperoleh X ∂Lmn ˆ dhLi 1 X ∗ ∗ 1 X ∗ a∗m =− ak Hmk Lm,n an + an + am Lmn ak Hnk . dt i~ m,n,k ∂t i~ m,n m,n,k (19.2) Karena Hamiltonian bersifat Hermitian, ∗ Hmk = Hkm ,

dan dengan merubah indeks dari bagian pertama dan ketiga, dapat dituliskan X ∂Lmn ˆ dhLi 1 X ∗ X = a∗m an + am (Lmn Hnk − Lnk Hmn )ak . dt ∂t i~ m,n n m,k 59

(19.3)

Mengacu pada aturan perkalian matriks dan dengan pengenalan perkalian operator, dapat dilakukan penyederhanaan X ∂Lmk ˆ dhLi 1 X ∗ ˆˆ ˆ L) ˆ mk ak . = ak + a∗m am (LH − H dt ∂t i~ m,k m,k

(19.4)

Mengombinasikan penjumahan ganda dan menggunakan prinsip komutator ˆ L], ˆ didapatkan [H, X  ∂Lmk ˆ i ˆ ˆ  dhLi = + [H, L]mk ak . a∗m dt ∂t ~ m,k

(19.5)

ˆ Menggunakan hubungan dhLi/dt = hdL/dti dan menggunakan pengembanˆ gan nilai rerata operator L, diperoleh elemen matriks dari perubahan temporal operator  dL ˆ ∂Lmn i ˆ ˆ = + [H, L]mn . (19.6) dt mn ∂t ~ Deskrpisi-deskripsi diatas, serta pada pembahasan sebelumnya, menjelaskan evolusi dinamis dari suatu sisitem fisis dengan fungsi keadaan bergantung waktu ψ(r , t). Kuantitas fisisnya, meski tidak secara eksplitis bergantung waktu, dideskripsikan dengan operator tidak bergantung waktu. Jenis deskripsi semacam ini disebut sebagai representasi Schrodinger.

60

Chapter 20

Representasi Heisenberg Pada representasi Heisenberg, fungsi gelombangnya tidak bergantung waktu dan evolusi dinamisnya dideskripsikan dengan operator bergantung waktu. Baik representasi Heisenberg maupun representasi Schrodinger mendeskripsikan sistem secara ekuivalen, menghasilkan nilai ekspektasi sama, spektrum yang sama, dll. Transisi dari satu representasi menuju representasi lain diberikan oleh sebuah transformasi bergantung waktu uniter. Untuk menjelaskan tipe berbeda dari setiap representasi, diperhatikan ˆ elemen matriks operator L: Z ∗ ˆ n (r , t)dV Lmn = ψm (r , t)Lψ Untuk fungsi gelombangnya, dituliskan dalam representasi energi   i ψm (r , t) = ψm (r ) exp − Em t . ~ Keadaan stasioner yang bergantung waktu diberikan oleh faktor eksponenˆ sial. Saat disubtitusi pada elemen matriks operator L, Z i    ∗ ˆ n (r ) exp − i En t dV Lmn (t) = ψm (r ) exp Em t Lψ ~ ~ Z i  ∗ ˆ exp = ψm (r )L (Em − En )t ψn (r )dV, ~ Z ∗ ˆ H (t)ψn (r )dV. Lmn = ψm (r )L Terlihat, elemen matriks tidaklah berubah selama manipulasi. Sehingga operator dalam representasi Heisenberg memberikan i  ˆ ˆ ˆ L → LH = L exp (Em − En ) t. (20.1) ~ 61

Hal ini berlaku saat operatornya tidak bergantung waktu secara eksplisit. Pada kasus umum dapat dideksripsikan bahwa transisi dari gambaran Schrodinger menuju gambaran Heisenberg oleh transformasi satuan. Dengan operator  i  ˆ , ˆ (20.2) S = exp − Ht ~ didapatkan ψH (r ) = Sˆ−1 ψS (r , t) (20.3) untuk fungsi gelombang, dan untuk operator ˆ H (t) = Sˆ−1 (t)L ˆ S S(t), ˆ L

(20.4)

dimana indeks H menunjukkan representasi Heisenber dan S menunjukkan Schrodinger.

62

Chapter 21

Representasi Interaksi Saat dimiliki sistem dengan Hamiltonian terpisah, H0 dan interaksi Vˆ , ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H

(21.1)

deskripsinya dilakukan dengan representasi interaksi. Pada deskripsi ini, fungsi keadaan dan operator bergantung waktu. Dari transformasi satuan  i Hˆ0 t , SˆI = exp ~ pada representasi Schrodinger. Fungsi gelombangnya ψI (r , t) = SˆI−1 ψS (r , t).

(21.2)

Operator pada gambaran interaksi diperoleh sebagai ˆ I (t) = Sˆ−1 (t)L ˆ S SˆI (t). L I

63

(21.3)

Daftar Pustaka [1] Walter Greiner. Quantum Mechanics an Introduction. Springer, Berlin, 2001. [2] David J. Griffith. Introduction to Quantum Mechanics. Pearson Education International, Upper Saddle River, 2005. [3] Ramamurti Shankar. Principles of Quantum Mechanics. Plenum Press, New York, 1994.

64