BAB
MEKANIKA KUANTUM
VI Walaupun teori atom Bohr yang dapat diperluas lebih lanjut dari yang telah dikembangkan dalam bab sebelumnya, dapat menerangkan banyak aspek dari gejala atomik, teori itu mengandung batasan yang cukup berat. Misalnya, teori Bohr tidak dapat menerangkan mengapa garis spektral tertentu berintensitas lebih tinggi dari yang lain (mengapa transisi tertentu antara tingkat energi berpeluang lebih besar dari yang lain). Teori itu tidak bisa menerangkan hasil pengamatan bahwa banyak garis spektral sesungguhnya terdiri dari garis-garis terpisah yang panjang gelombangnya berbeda sedikit. Dan barangkali yang terpenting teori itu tidak mengizinkan kita untuk mendapatkan yang seharusnya diperoleh dari suatu teori atom yang berhasil. Keberatan pada teori Bohr ini tidak semata-mata diajukan dengan maksud untuk memusuhi, karena teori itu telah menghasilkan sesuatu yang mengalihkan pemikiran ilmiah, tetapi untuk menekankan bahwa diperlukan pendekatan pendekatan pada gejala atomik dengan cara yang lebih umum. Pendekatan seperti itu i tu dikembangkan dalam 1925-1926 oleh Erwin Schrodinger, Werner Heisenberg, dan lain-lain dengan nama mekanika kuantum. Dalam permulaan tahun 1930 penerapan mekanika kuantum pada persoalan yang menyangkut inti, atom, molekul, dan materi dalam zat padat memungkinkannya untuk mengerti banyak data yang cukup memusingkan jika kita tidak memakai mekanika kuantum.
6.1.
Pendahuluan Mekanika klasik merupakan aproksimasi dari mekanika kuantum. kuantum. Perbedaan pokok antara mekanika (newton) dan mekanika kuantum terletak pada cara
menggambarkannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel telah ditentukan oleh kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya. Dalam dunia makroskopik, kuantitas ini sangat ditentukan dengan ketelitian yang cukup sehingga mendapatkan ramalan ramalan mekanika newton yang cocok dengan pengamatan.
93
Mekanika kuantum konsisten dengan prinsip ketaktentuan
Mekanika
kuantum
juga
menghasilkan
hubungan antara kuantitas yang teramati, tetapi prinsip ketaktentuan menyarankan bahwa kuantitas teramati
Bersifat berbeda dalam kawasan k awasan atomik. Sebab dan akibat masih mas ih berhubungan dengan mekanika kuantum tetapi memerlukan tafsiran yang hati-hati. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karateristik masa depan seperti pada mekanika newton tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian ketelitia n yang cukup. Kuantitas yang hubungannya dijelajahi dengan mekanika kuantum aialah peluang (kemungkinan). Kita belum dapat memastikan, misalnya jari-jari orbit elektron dalam keadaan dasar dasar atom hidrogen selalu tepat sama dnegan 5,3x10-11 m, mekanika kuantum memberikan jari-jari dengan peluang terbesarnya. terbesarnya. Jika kita melakukan eksperimen yang cocok, banyak percobaan yang menghasilkan harga yang berbeda, bisa lebih besar atau lebih kecil, tetapi sebagian besar berpeluang besar didapatkan sama dengan 5,3x10 -11 m. Mengapa mekanika klasik berlaku pada dunia makro.
Sepintas kita bisa mengira bahwa mekanika kuantum merupakan pengganti yang jelek dari mekanika klasik. Akan tetapi, pemeriksaan yang lebih teliti
mengungkapkan kenyataan yang mengejutkan : mekanika klasik tidak lain daripada versi aproksimasi dari mekanika mekanika kuantum. Kepastian yang dinyatakan oleh mekanika klasik hanya merupakan bayang-bayang, dan kecocokan dengan eksperimen timbul sebagai konsekuensi kenyataan bahwa benda makroskopik terdiri dari bayak atom individu yang menyimpang dari perilaku rata-rata rata -rata tidak teramati. t eramati. Sebagai ganti kumpulan k umpulan prinsip fifis, salah satu untuk alam makroskopik dan yang lain untuk alam mikroskopik, ternyata hanya ada satu kumpulan, mekanika kuantum mengungkapkan usaha kita yang terbaik sampai saat ini untuk merumuskannya.
6.2.
Persamaan Gelombang Persamaan gelombang harus memenuhi persyaratan, persamaan gelombang
mempunyai banyak solusi.
Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi ialah fungsi gelombang dari benda itu. Walaupun sama dengan
sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besaran mutlaknya jika
(atau
kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat
berbanding lurus dengan dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat saat itu.
94
Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan
untuk
.
benda itu bila kebebasan
gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Fungsi gelombang Konjugate kompleks hasil kali
adalah kompleks, dengan bagian
riil mau un ima iner, kera atan eluan
dan
. Dari
konjugate kompleks
√
diperoleh dengan mengganti i (=
*.
diberikan oleh
Konjugate kompleks sebarang fungsi
) dengan -1 di mana pun konjugate kompleks tadi
tampil dalam fungsi. Setiap fungsi kompleks
dapat ditulis dalam bentuk :
= A + iB
Fungsi Gelombang
dengan A dan B adalah fungsi riil. Konjugate kompleks Konjugate kompleks
* = A - iB
Dengan demikian
* = A2 - i2 B2 = A2 + B2
* dari .
Karena i2 = -1, jadi * akan selalu berupa kuantitas riil positif Karena
berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan
benda yang diberikan oleh
, inetgral
keseluruh ruang harus berhingga, benda harus
didapat pada suatu tempat jika :
∫
dV = 0
Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa
dan tetap berarti sesuatu.
tidak bisa negatif atau kompleks karena cara didefenisikannya, sehingga satu-satunya
kemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya memberikan benda riil. Biasanya untuk memudahkan kita ambil
Normalisasi
memang
sama
dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh , hanya berbadinng lurus dengan P. Jika Normalisasi
Karena
∫ ∫
sama dengan P, maka betul bahwa :
dV = 1 ...........................................................................(6.1)
dV = 1
ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi,
harus berharga tunggal,
karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu. 95
Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang
Kemungkinan mendapatkan partikel dalam suatu daerah
yang
ternormalisasi
dan
dapat
diterima,
peluang
(kemungkinan) Partikel didapatkan pada suatu daerah tertentu
ialah integral kerapatan peluang
dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel
yang geraknya terbatas pada arah x, maka peluang untuk mendapatkan partikel anatara x 1 dan x2 ialah : Peluang =
∫
dx
......................................................................................(6.2)
Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel
.
Sebelum kita menangani persamaan Schrodinger,
marilah kita tinjau ulang persamaan gelombang :
Persamaan geombang
=
.......................................................................(6.3)
yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v. Untuk gelombang monokromatik
y = A
.......................................................................................................(6.4)
Dalam rumus ini y merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian riil (nyata) dan bagian imaginer (khayal), karena :
( ) = Cos
Sehingga persamaan (6.4) menjadi : y = A cos
( )
– i
A sin
y = A cos
– i Sin
..............................................................(6.5)
(t - x/v)
Gambar 6.1. Gelombang dalam bidang xy berjalan dalam arah + x sepanjang tali terpentang yang terletak pada sumbu x
96
Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang
hasil solusi persamaan
Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.
Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi
Fungsi gelombang
∫
dx = 1
harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu
dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diter ima.
Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d /dx, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.
Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.
Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.
6.3.
Persamaan Gelombang Schrodinger Bergantung Waktu Prinsip fisis dasar yang tak dapat diturunkan dari yang lain.
Fungsi bebas
gelombang
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang
partikel
bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam
gerak gelombang umumnya. Namun,
bukanlah suatu
kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh :
= A
Jika kita ganti
= A
.......................................................................................................(6.6)
dalam rumus di atas dengan 2 v dan v dengan v, kita peroleh
....................................................................................................(6.7)
yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan v dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diberikan oleh
( )
E = hv =2 Kita peroleh Partikel bebas
= A
ћv
dan
=
, karena
=
................................................................(6.8)
97
Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah + x. Namun, pernyataan fungsi gelombang
hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas.
Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger. Pendekatan
Schrodinger
disebut
sebagai
mekanika
gelombang.
Persamaan
Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya. Kita mulai dengan mendeferensiasi persamaan (6.8)
Salah satu cara untuk memperoleh persamaan Schrodinger
= -
dua kali terhadap x menghasilkan
...........................................................................................................(6.9)
dan sekali terhadap t, menghasilkan
= -
.............................................................................................................(6.10)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi kinetik
dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan
fungsi kedudukan x dan waktu t. ` E =
+ V
Dengan
........................................................................................................(6.11)
menjadikan kedua suku persamaan (6.10) dengan fungsi gelombang
menghasilkan:
E =
+ V
...................................................................................................(6.12)
Dari persamaan (6.9) dan (6.10) kita lihat bahwa : E = Dan
= -
.......................................................................................................(6.13)
..................................................................................................(6.14)
98
Dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E kita peroleh: Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam
I ћ
satu dimensi
= -
dan
dalam persamaan (6.12)
+ V ....................................................(6.15)
Persamaan (6.15) ialah persamaan Schrodinger yang bergantung waktu. Dalam tiga dimensi persamaan Schrodinger bergantung waktunya ialah : Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi
I ћ
( ) = -
+ V
.........................(6.16)
Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x,y,z dan t.
Persamaan Schrodinger merupakan postulat
Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas
(potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Persamaan Schrodinger dapat diterima karena cocok dengan eksperimen
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas
hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masingmasing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah dari data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu.
~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum
: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat t erukur 99
Contoh Soal Gantilah persamaan (6.11) ke dalam persamaan operator dengan mengganti E dengan
operator iћ gelombang Jawaban :
dan p dengan operator –iћ
serta kenakan operator tersebut pada fungsi
dan selesaikan persamaan gelombang yang diperoleh.
Energi total partikel E ialah : E =
+V
iћ
Ѱ + VѰ
= -
Untuk atom hidrogen, energi potensial diberikan oleh hukum coulumb : V=-
Sehingga : iћ
Ѱ Ѱ
= -
-
Ini adalah persamaan Schrodinger atom hidrogen, yang akan diselesaikan dibelakang yang hasilnya sangat cocok dengan hasil eksperimen.
6.4. Harga Ekspektasi Bagaimana menarik informasi dari fungsi gelombang. Harga ekspektasi bersesuaian dengan harga rata-rata
Sebagai contoh, marilah kita hitung harga ekspektasi
〈〉
dari kedudukan partikel yang bergerak
dalam sumbu x yang diberikan oleh fungsi gelombang
Ѱ( x,t). Ini merupakan harga x
yang
akan kita peroleh jika kita tentukan secara eksperimen kedudukan banyak sekali partikel yang diberikan oleh fungsi gelombang yang sama pada saat t
dan kemudian merata-ratakan
hasilnya. Untuk memperjelas prosedurnya, mula-mula kita akan menjawab pertanyaan yang sedikit berbeda : Berapakah kedudukan rata-rata x dari sejumlah partikel identik yang terdistribusi sepanjang sumbu x, sedemikian rupa sehingga terdapat N 1 partikel pada x1, N 2 partikel pada x2, dan seterusnya? Kedudukan rata-rata dalam kasus ini sama dengan pusat massa distribusi itu, sehingga : x =
∑∑ =
100
Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita
Harga ekspektasi kedudukan
harus mengganti bilangan N i dari partikel pada xi dengan
Peluang P i bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di x. Besar peluang ini adalah:
P i =
dx
Dengan merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengan substitusi ini dan mengubah jumlah dengan inetgral, kita lihat bahwa harga ekspektasi kedudukan partikel tunggal ialah :
〈 〉 Jika
=
∫ ∫
..............................................................................................(6.17)
merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam persamaan (6.17)
sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat disuatu tempat antara x = sehingga harganya 1. Dalam kasus ini
〈〉 ∫
Harga ekspektasi kedudukan
=
Rumus ini menyatakan bahwa
〈〉
dx
dan x =
,
.................................................................(6.18)
terletak pada pusat massa (katakan begitu) dari . Jika
diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurva dan sumbu x
digunting, titik setimbangnya ialah
〈〉
.
Prosedur yang sama dengan yang dilakukan di atas dapat dipakai untuk memperoleh harga ekspektasi
〈〉
dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)] yang
merupakan fungsi dari kedudukan partikel x dari partikel yang diberikan oleh fungsi gelombang Ѱ. Hasilnya ialah : Harga ekspektasi
6.5.
〈〉 ∫ =
dx
.....................................................(6.19)
Persamaan Gelombang Schrodinger Bebas Waktu Persamaan yang lebih sederhana yang sering berlaku Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu
secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V , hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang satu dimensi partikel bebas dapat ditulis :
Menyingkirkan variabel waktu
= A
() ()() () = A
=
...............................................(6.20) 101
merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e - t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel ini berarti,
yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Dengan mensubstitusikan
dari
bergantung waktu, kita dapatkan :
( ) ( )
E
= -
persamaan (6.20) ke persamaan Schrodinger yang
( )
+ V
Sehingga, dengan membagi dengan faktor eksponensial itu,
Persamaan Keadaan jenuh Schrodinger dalam satu dimensi
+
( E – V)
=0
...............................................(6.21)
Persamaan (6.21) merupakan bentuk keadaan jenuh persamaan Schrodinger . Dalam tiga dimensi menjadi :
Persamaan Keadaan jenuh Schrodinger dalam tiga dimensi
+
+
( E – V)
=0
............................(6.22)
Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang
yang tidak saja
memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika
Energi sistem mantap terkuantisasi
gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas
energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En supaya persamaan keadaan tunak/jenuh
Harga-energi dan fungsi-eigen gelombang yang bersesuaian
E n = -
() ћ
Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi n disebut
fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen :
n = 1,2,3,4, ....
Dalam atom hidrogen, kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu
per satuan volume
tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik.
102
Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya. peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.
Persamaan gelombang partikel bebas
( ) () ( ) ( )
= A
= A =
+
, dengan
= Ae
Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu
( ) ( ) ( ) I ћ
= -
E
+ V
= -
E = -
= -
+ V
(E – V)
+
( )
+ V
x =
= 0
Tidak bergantung waktu
Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang keduanya terikat.
=
,
n =
= Y
n = 0, 1, 2, 3, ...
Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen
E n = -
()
n = 1,2,3,4, ....
ћ
Momentum sudut ditentukan
Li =
l = 0, 1, 2, ...
ћ
dengan harga ekspektasi
〈〉 ∫ =
dx
103
6.6.
Partikel dalam Kotak Bagaimana syarat batas menentukan fungsi gelombang.
Persoalan kuantum mekanis yang paling sederhana ialah persoalan sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah kotak yang dindingnya keras tak berhingga. Kita boleh memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak kehilangan energi ketika partikel itu bertumbukan dengan dinding, sehingga energi totalnya tetap konstan. Dari pandangan formal kuantum, energi potensial V dari partikel itu menjadi tak berhingga di kedua sisi kotak, sedangkan V vkinstan. Katakan sama dengan nol untuk memudahkan di dalam kotak itu (Gambar 6.2). karena partikel tidak bisa memiliki energi tak berhingga, maka partikel itu tidak mungkin berada di luar kotak, sehingga fungsi gelombangnya ialah
ialah 0 untuk x
yaitu antara x = 0 dan x = L.
0 dan x
L. Tugas kita ialah mencari
di dalam kotak,
Dalam kotak persamaan Schrodinger menjadi
Pemecahan umum
+
Karena di situ V = 0 ( tTurunan total
/
E = 0
.............................................(6.23)
sama dengan turunan partikel
/
karena
hanya fungsi dari x dalam persoalan ini). Persamaan (6.23) mempunyai pemecahan
= A sin
√
x + B cos
√
x
........................................................................(6.24)
Yang dapat dibuktikan dengan mensubstitusikannya kembali ke persamaan (6.23) A dan B merupakan konstanta yang harus dicari kemudian. Pemecahan ini dibatasi oleh syarat batas yang
Penerapan syarat batas
penting yaitu
= 0 untuk x = 0 dan x = L.
Karena cos 0 = 1, suku kedua tidak dapat memberikan partikel karena suku itu tidak nol untuk x = 0. Jadi kita menyimpulkan bahwa B = 0, karena sin 0 = 0, suku sinus selalu menghasilkan L hanya jika
√
= 0 di x = 0, seperti yang diperlukan, tetapi
L = n
n = 1, 2, 3, ...
hanya akan menjadi nol di x =
.................................................................... (6.25)
Hasil ini disebabkan oleh harga nol sinus pada sudut
,2 ,3
104
Harga Eigen partikel dalam kotak
Dari persamaan (6.25) jelas bahwa energi yang dapat dimiliki mempunyai harga tertentu, yaitu hargaeigen. Harga-eigen ini yang membentuk tingkat energi
sistem, besarnya ialah
V
0
x
L
Gambar 6.2. Sumur potensial yang bersesuaian dengan sebuah kotak yang dindingnya keras tak berhingga.
Partikel dalam
E n =
Kotak
n = 1, 2,3, ...
.............................................(6.26)
Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi E n ialah
n=
A sin
x
.............................................................................................(6.27)
Substitusikan persamaan (6.26) untuk E n menghasilkan n=
A sin
x
............................................................................................(6.28)
yang menyatakan fungsi eigen yang bersesuaian dengan harga-eigen E n.
Untuk setiap bilangan kuantum n, n
serta
/
n
merupakan fungsi berharga tunggal dari x, dan
kontinu. Selanjutnya, integralkan
ke seluruh ruang berharga
berhingga, seperti kita lihat dengan jalan mengngintegrasi
dx dari x = 0 ke x (karena
partikel itu menurut hipotesis berada dalam batas-batas itu) :
∫ ∫ dx =
2
=A
Menormalisasikan gelombang
dx = A2
∫ ()
dx
....................................................................................................(6.29)
fungsi
Usaha menormalisasikan harga A seharga
kita
harus memilih
dx sama dengan peluang
P dx
Untuk mendapatkan partikel antara x dan x + dx, alih-alih hanya berbanding lurus dengan P.
Jika
dx sama dengan P dx, maka harus berlaku :
105
∫ ∫
Karena
dx = 1
.......................................................................................................(6.30)
dx = 1
Merupakan cara matematis untuk menyatakan bahwa partikel itu berada pada tempat dalam kotak pada setiap saat. Dengan membandingkan persamaan (6.29) dan (6.30), kita dapatkan bahwa fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak ternormalisasi jika A =
...............................................................................................................(6.31)
Jadi gelombang yang ternormalisai untuk partikel ialah : Partikel dalam
=
Kotak
Kerapatan peluang dalam kotak
, dan
negatif,
sin
n = 1, 2, 3 ...
..............................................(6.32)
Fungsi gelombang yang ternormalisasi
partikel dan
bersama dengan kerapatan peluang
diplot dalam Gambar 6.3 walupun
selalu positif dan karena
,
, ,
dapat berharga positif atau
ternormalisasi, harganya untuk satu harga x
tertentu sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel di situ. Dalam setiap kasus di x = 0 dan x = L yang merupakan batas kotak.
Pada suatu titik tertentu dalam kotak peluang keberadaan partikel bisa sangat berbeda
untuk bilangan kuantum yang berbeda. Misalnya yaitu titik di tengah kotak, sedangkan
berharga maksimum untuk 1/2 L
= 0 di situ. Sebuah partikel pada energi
terendah dengan n = 1 berpeluang besar terdapat dalam kotak, sedangkan partikel dalam keadaan lebih tinggi berikutnya dengan n = 2 tidak pernah didapatkan di situ. Sedang Fisika Klasik menyatakan partikel berpeluang sama untuk didapatkan pada setiap titik dalam kotak. Fungsi gelombang yang ditunjukkan dalam gambar 5.4 mirip dengan getaran yang bisa tejadi dari seutas tali yang kedua ujungnya terikat, seperti pada tali yang terpentang.
106
Gambar 6.3. Fungsi gelombang dan kerapatan peluang sebuah parti kel yang terdapat dalam kotak dengan dinding tegar
Pada gambar di atas, hal ini timbul sebagai akibat bahwa gelombang pada tali yang terpentang dan gelombang yang menyatakan sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh persamaan bentuk sama, sehingga jika dikenakan persyaratan yang sama pada masing-masing gelombang, hasil formulanya sama.
Contoh Soal 1. Carilah peluang untuk mendapatkan partikel antara 0,45 L dan 0,55 L untuk keadaan dasar dan eksitasi pertama bagi partikel, yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L. 2. Cari harga ekspektasi yang panjangnya L.
〈 〉
dari kedudukan partikel yang terperangkap dalam kotak
Jawaban
1. Bagian kotak tersebut adalah sepersepuluh kali panjang kotak dan berpusat pada bagian tengah kotak. Secara klasik kita mengharapkan untuk mendapatkan partikel
107
Di daerah itu 10 persen dari waktunya, seperti sudah dijelaskan sebelumnya, mekanika kuantum memberikan ramalan teoritis yang sangat berbeda dan hasilnya bergantung pada bilangan kuantum keadaan partikel. Dari persamaan (6.2) dan (6.32) peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan x2 dalam keadaan n ialah Peluang = =
∫ ∫ * + dx =
dx
Dalam hal ini x1 = 0,45 L dan x2 = 0,55 L. Untuk keadaan dasar n = 1, kita dapatkan Peluang = 0.198 = 19,8% Hasil ini ialah sekitar dua kali hasil klasik. Untuk keadaan eksitasi pertama, n = 2 didapat Peluang = 0,0065 = 0,65% Dalam hal ini gambar yang rendah adalah konsisten dengan kerapatan peluang dari
2.
= 0 di x = 0,55 L (Gambar 5.4)
Dari persamaan (6.18) dan (6.32) kita mendapatkan
〈〉 ∫ ∫ [ ( )] 〈〉 () =
dx =
dx
=
Karena sin n
= 0, cos 2n
= 1 dan cos 0 =1, untuk semua harga n, maka harga
ekpektasinya ialah
=
=
Hasil ini menyatakan bahwa kedudukan rata-rata partikel adalah dititik tengah kotak untuk segala keadaan kuantum. Hal ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa
= 0 pada L/2, untuk keadaan n = 2, 4, 6, ...
108
6.7.
Potensial Penghalang Partikel tanpa energi yang cukup untuk melewati rintangan potensial masih dapat
menerobosnya. Munurut mekanika klasik, sebuah partikel yang menumbuk sebuah dinding tegar tidak berpeluang menembusnya. Mekanika kuantum menghasilkan sama, sebuah partikel berenergi kinetik berhingga tidak dapat memasuki daerah yang energi potensialnya V = Efek terobosan
.
Bagaimana untuk dinding yang tidak sedemikian hebat, dinding yang tidak keras tak berhingg, namun
diperlukan lebih banyak energi V untuk menembusnya daripada energi partikel E? Dalam kasus ini mekanika klasik menyatakan bahwa partikel akan terpental, sekarang mekanika kuantum memberikan hasil yang lain, terdapat peluang tertentu, tidak terlalu besar, namun tidak nol, bahwa partikel itu dapat melalui energi perintang walaupun E
V (Gambar 6.4).
Walaupun partikel itu tidak memiliki energi cukup untuk memanjat perintang, namun partikel itu dapat menerobos melaluinya. Lebih tinggi perintangnya dan lebih tebal perintangnya, lebih kecil peluang partikel untuk menembusnya.
Gambar 6.4. (a) sebuah partikel berenergi E
V mendekati perintang potensial. (b) dalam
mekanika klasik, partikel itu harus dipantulkan oleh perintang. (c) dalam mekanika kuantum, gelombang de Broglie yang menyatakan partikel s ebagian dipantulkan dan sebagian diteruskan (ditransmisikan). Ini berarti bahwa partikel mempunyai peluang untuk menembus perintang.
109
Peluang partikel menorobos rintangan potensial Analisis terperinci dari efek terobosan sangat menarik dan tidak terlalu sukar. Marilah kita meninjau seberkas partikel identik
Di luar perintang
masing-masing berenergi kinetik K = E. Berkas itu datang dari Kiri perintang potensial yang tingginya V dan lebarnya L, seperti Gambar 6.5. Pada kedua sisi perintang itu V = 0, ini berarti tidak ada yang beraksi pada partikel di situ. Dalam daerah ini persamaan Schrodinger untuk partikel ( semuanya diberikan oleh fungsi gelombang mengambil bentuk
Gambar 6.5. Gambaran Skematik dari penerobosan melalui perintang
+
E = 0
+
E
............................................................................................(6.33)
= 0
........................................................................................(6.34)
Pemecahan persamaan tersebut yang cocok dengan persoalan yang dibahas ialah : = A
+B
= F
Dengan
Bilangan gelombang Di luar perintang
+G
k 1 =
.....................................................................................(6.35) ....................................................................................(6.36)
√ = =
.......................................................................(6.37)
Menyatakan bilangan gelombang de Broglie memberikan partikel di luar perintang. Karena
= Cos + i Sin
= Cos - i Sin
110
Gelombang datang dan pantul
Berbagai suku dan persamaan (6.35) dan (6.36) tidak sukar ditafsirkan. Seperti yang ditunjukan secara skematik
Dalam Gambar 6.5, A
ialah gelombang dengan amplitude A yang datang dari kiri
perintang. Jadi dapat kita tulis
Gelombang datang Gelombang pantul
Sehingga :
= A
............................................(6.38)
= B
............................................(6.39)
=
............................................(6.40)
Dalam daerah II persamaan Schrodinger partikel ialah
Di dalam perintang
+
+
(E-V)
= 0
...................................................................................(6.41)
Pemecahannya ialah = C
+D
....................................................................................(6.42)
Dimana
=
...................................................................................................(6.43)
Menyatakan bilangan gelombang di dalam perintang. Karena E
V,
merupakan bilangan imaginer, dan untuk memudahkan kita
mendefenisikan bilangan gelombang lain
Bilangan gelombang di dalam peritang Dinyatakan dalam
Fungsi
= -i =
persamaan (6.42) untuk
gelombang
dalam peritang
dengan cara sebagai berikut :
di
= C
..............................................(6.44)
menjadi
+D
...........................................(6.55)
111
6.8.
Osilator Harmonik Tingkat energinya mempunyai perbedaan energi sama. Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis
Gerak Harmonik
tertentu bergetar di sekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya bisa terdiri dari benda yang digantung pada sebuah pegas atau terapung pada zat cair, molekul dwiatom, sebuah atom dalam kisi kristal terdapat contoh banyak sekali dalam dunia mikroskopik dan juga makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah terdapatnya gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke konfigurasi setimbangnya jika sistem itu diganggu. Kelembaman massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui kedudukan setimbangnya, sehingga sistem itu berosilasi terus menerus jika tidak terdapat proses disipatif. Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana,
Gerak Harmonik sederhana
gaya pemulih F pada partikel ber-massa m ialah linear. Ini berarti F berbanding lurus pada pergeseran partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya berlawanan. Sehingga : F = - kx
Hukum Hooke
.......................................................... (6.56)
Hubungan ini biasanya disebut Hukum Hooke. Menurut hukum gerak kedua, F = ma, Jadi :
-kx = m Osilator Harmonik
+
x = 0
.............................................................(6.57)
Terdapat berbagai cara untuk memecahkan persamaan (6.57). Salah satu yang mudah ialah :
x = A cos (2 vt +
)
.........................................................................................(6.58)
dengan Frekuensi osilator harmonik
v=
.............................................................(6.59)
merupakan frekuensi osilasi, A amplitudenya, dan harga harga x pada saat t = 0. Mengapa osilator harmonik sangat penting
, tetapan fase, bergantung besar
Pentingnya osilator harmonik sederhana dalam fisika klasik dan modern tidak terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya memenuhi
112
Hukum Hooke untuk pernyataan bahwa gaya pemulihnya tereduksi agar memenuhi hukum Hooke untuk pergeseran yang kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan getaran kecil terhadap kedudukan setimbangnya berperilaku seperti osilator harmonik sederhana. Fungsi energi potensial V(x) yang bersesuaian
Fungsi energi potensial untuk hukum Hooke
dengan hukum gaya Hooke dapat diperoleh dengan menghitung kerja yang diperlukan untuk membawa
partikelnya dari x = 0 ke x = x terhadap gaya semacam itu. Hasilnya ialah : V(x) = -
∫ ∫ = k
= k
..............................................................(6.60)
Dan hasil ini diplot dalam gambar 6.6. Kurva V ( x) versus x merupakan parabola. Jika energi osilator adalah E., partikelnya bergetar bolak-balik antara x = - A dan x = +A, dengan E dan A
berhubungan menurut persamaan E = k
.
Gambar 6.6. Energi potensial sebuah osilator harmonik berbanding lurus dengan
, dengan x
menyatakan pergeseran dari kedudukan setimbang. Amplitude A dari gerak itu ditentukan oleh energi total E dari osilator tersebut yang secara klasik dapat mengambil harga berapa saja.
Osilator harmonik Kuantum mekanis
Bahkan sebelum kita melakukan perhitungan terperinci kita dapat menduga terdapat tiga macam modifikasi mekanika kuantum pada gambaran klasik :
Tidak terdapat spektrum kontinu dari energi yang diizinkan, tetapi hanya ada spektrum diskrit terdiri dari harga tertentu saja.
Energi terendah yang diperbolehkan bukan E = 0, tetapi terdapat harga minimum E = E o
Terdapat peluang tertentu partikel yang dapat “menembus” sumur potensial dan melewati batas – A sampai + A 113
Persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik
Penyederhanaan persamaan Schrodinger
+
(E- k )
dengan V = ½ kx 2 ialah :
= 0
.................................................................................(6.61)
Untuk memudahkan, kita sederhanakan persamaan (6.61) dengan memperkenalkan kuantitas tak berdimensi
( √ )
y = dan
x =
=
=
..................................................................................(6.62)
...................................................................................................(6.63)
Denagn v menyatakan frekuensi klasik osilasi yang ditentukan oleh persamaan (6.59). Dalam melakukan substitusi ini, hal pokok yang kita lakukan ialah mengubah satuan x dan E dari meter dan joule, menjadi tak-berdimensi. Dinyatakan
Bagaimana tingkat energi diperoleh
+ ( +
dalam
y
Schrodinger menjadi :
)=0
∫
persamaan
....................................................................................... (6.64)
Pemecahan persamaan yang dapat diterima dibatasi oleh persamaan supaya
dan
0 ketika y
dx = 1
Jika tidak memenuhi syarat itu maka fungsi gelombangnya tidak dapat memeriksa partikel yang sesungguhnya. Sifat matematis persamaan (6.64) adalah sedemikian sehingga syarat tersebut akan dipenuhi hanya jika
Karena
= 2n + 1
n = 0, 1, 2, 3, ...
= 2 E/hv menurut Persamaan (6.63), tingkat energi osilator harmonik yang
memiliki frekuensi klasik v diberikan oleh rumus Tingkat energi osilator harmonik
( ) =
hv
n = 0, 1, 2, 3, ...
..............................(6.65)
Jadi energi sebuah osilator harmonik terkuantisasi dengan langkah hv.
114
Contoh Soal 1. Tentukan fungsi gelombang ternormalisasi bentuk tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar! Penyelesaian : Fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar adalah
|| ∫ Syarat normalisasi adalah
Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasinya adalah
115
Soal-soal 1. Nyatakan berbagai persyaratan suatu fungsi gelombang. 2. Seperti telah diperlihatkan dalam Bab ini, harga ekspektasi partikel yang terperangkap dalam kotak yang lebarnya L ialah L/2. Ini berarti kedudukan rataratanya ada di tengah kotak. Carilah harga ekspektasi
〈〉
3. Berkas elektron tiba pada perintang yang tingginya 5 eV dan lebarnya 0,2 nm. Berapakah energi elektron supaya dapat menembus perintang tersebut? 4. Tentukan fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik pada keadaan tereksitasi pertama, kemudian lakukan normalisasi terhadap fungsi gelombang tersebut 5. Apakah peranan prinsip ketaktentuan pada energi titik nol harmonik?
116
