Pengantar Fisika Kuantum - Sutopo.pdf.pdf

= p0 dan = p0. Dengan demikian diperoleh nilai p = 0. Hasil perhitungan tadi menunjukkan bahwa jika momentum partikel dapat ditentukan secara pasti (ditunjukkan dengan p = 0) maka ketidakpastian posisi partikel menjadi tak berhingga besar.

Contoh Soal 3.6 Dapatkan nilai xp bagi osilator harmonis yang memiliki energi sebesar ћ. Fungsi gelombang untuk menyajikan keadaan tersebut adalah  ( x )  C e

- 12  2 x2

dengan

 

(ketergantungan fungsi

m ω /

gelombang terhadap waktu tidak diperhatikan) Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah

( x )  C * C e - 

2 x2

.

Dengan fungsi rapat peluang tersebut diperoleh 

 x  dan

Pengantar Fisika Kuantum

  C * C x e   

 2 x2 2

2

dx

C * C e   x dx

0

Asas ketakpastian Heisenberg 

x

2

73

  2 x2

2

dx ( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) 1  C *C x e     :  3   2 x2 2 2 2 2 dx  C * C e

sehingga diperoleh ketakpastian posisi sebesar

x   x 2    x  2 

1

1



2

.

Penyelesaian integrasi tersebut memanfaatkan tabel integral: 2



m  ax 0 x e dx 

((m  1)/2))

.

2 a (m  1)/2

Fungsi gelombang dalam ruang momentum diperoleh dengan menggunakan Persamaan (3.22). Hasilnya adalah

~ ( p )  

1 2 2C 2

1   2 x2  2 C e e ipx /    0

1   2 x2 e 2

dx

2 2 2 cos( px /  ) dx  C  e  p /( 2   )



dengan C suatu tetapan baru. Integral di atas diselesaikan dengan menggunakan rumus integral





0

2

e  ax cos bx dx 

1  b 2 /( 4 a ) . e 2 a

Dengan demikian fungsi rapat peluang momentum linear partikel adalah

~ ( p)  C  

2

2 2 2 e  p /(   ) .

Dengan fungsi rapat peluang tersebut diperoleh 

  p  

  

C 2 p e  p C 2 e  p

2

2

/  2 2

/  2 2

dp  0, dp

dan

Bab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

74

Asas ketakpastian Heisenberg 

p

2

2

2

 p2 / 2 2

dp ( 3 / 2 ) ( 1 / 2 )  2  2  C p e     :  2 p 2 /  2  2 2 2 ( 1 /(   )) 3 2 /(  ) dp  C  e

.

sehingga diperoleh ketakpastian momentum linear sebesar

 p   p 2    p  2  

1 2

.

Berdasarkan nilai x dan p tersebut diperoleh nilai xp =  / 2 . Perhitungan tersebut menunjukkan bahwa pengukuran serempak momentum linear dan posisi partikel yang berperilaku sebagai osilator harmonis yang berenergi ½  akan menghasilkan ketakpastian sebesar  / 2 . Merujuk pada asas ketakpastian Heisenberg, maka nilai ketakpastian tersebut adalah yang terkecil. Marilah kita cermati bentuk fungsi gelombang yang menghasilkan ketakpastian minimum ini, yaitu  ( x )  C e

- 21  x2

. Fungsi gelombang ini meru-

pakan salah satu contoh, atau anggota, dari kelompok fungsi yang disebut 2

fungsi Gaussan. Bentuk umum fungsi Gaussan adalah f ( x )  C e a x dengan a sebarang bilangan positif. Pada analisis di contoh soal tadi Anda dapat melihat bahwa transformasi Fourier fungsi Gaussan juga merupakan fungsi Gaussan. Jika prosedur pada Contoh 3.6 tadi diterapkan pada sebarang fungsi Gaussan maka akan didapatkan nilai xp =  / 2 , berapa pun nilai tetapan a. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika fungsi gelombangnya berupa fungsi Gaussan maka ketakpastian xp akan mencapai minimum, yaitu sebesar  / 2 . Contoh Soal 3.7 Dapatkan nilai xp untuk osilator harmonis yang berenergi 3  / 2 . Fungsi gelombang partikel ini adalah  ( x )  A xe



1 2 2  x 2

dengan

  mω / dan A suatu tetapan. (Seperti pada contoh sebelumnya, ketergantungan fungsi gelombang terhadap waktu tidak diperhatikan)

Pengantar Fisika Kuantum

Asas ketakpastian Heisenberg

75

Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah 2

( x )  A  2 x 2 e - 

2 x2

Dengan fungsi rapat peluang tersebut diperoleh

 x 



2 2 A 2  2 x 3 e   x dx

 

2 2 A 2  2 x 2 e   x dx



0

dan 

2

 x 

 



2 2 A 2  2 x 4 e   x dx 2 2

A 2  2 x 2 e   x dx



(5 / 2) (3 / 2) 3 , :  5 3 2 2 2 2

sehingga diperoleh ketakpastian posisi sebesar

x   x 2    x  2 

1

3



2

.

Fungsi gelombang dalam ruang momentum linear diperoleh dengan menggunakan Persamaan (3.22). Hasilnya adalah

~ ( p ) 

1 2



 A x e

1   2 x2 2 e ipx /



dx  B 0 x e

dengan B suatu tetapan baru yang nilainya

1   2 x2 2

sin( px /  ) dx

 i 2 A . Dengan meng2

gunakan rumus integral





0

2

e  ax cos bx dx 

1  b 2 /( 4 a ) , e 2 a

integrasi tadi dapat kita selesaikan sebagai berikut.

Bab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

76

Asas ketakpastian Heisenberg 1

d    2 x2 ~ ( p )  B  0 e 2 cos ( px / ) dx dp B

d  1   p2 /( 2  2  2 )  e dp  2 a

 2 2 2   C p e  p /( 2   )  

dengan C suatu tetapan baru. Dengan demikian fungsi rapat peluang momentum partikel adalah

~ ( p)  C 

2

2 2 2 p 2 e  p /(   ) .

Dengan fungsi rapat peluang tersebut diperoleh

  p  



 



C 2 p3 e  p C

2

2

/(  2 2 )

2

/(  2  2 )

p2 e p

dp  0, dp

dan 

p

2

    

C 2 p 4 e p C 2 p2 e

2 /  2 2

 p2 /  2 2

dp dp



( 5 / 2 ) ( 3 / 2 ) 3  2  2 :  5 2 (1 /(   )) 2 /(  )3 2

sehingga diperoleh ketakpastian momentum linear sebesar

 p   p 2    p  2  

3 2

.

Berdasarkan nilai x dan p tersebut diperoleh nilai xp = 3  / 2 .

Contoh tadi menunjukkan salah satu kasus di mana ketakpastian posisi dan momentum linear partikel, jika diukur serempak, nilainya lebih dari  / 2 . Pada Tabel 3.1 berikut disajikan hasil perhitungan xp untuk osilator harmonis dengan berbagai tingkat energi. Dengan mengamati data ini diharapkan Anda lebih meyakini bahwa nilai minimum xp adalah  / 2 dan dicapai jika fungsi gelombang yang dibicarakan berupa fungsi Gaussan.

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman

77

Tabel 3.1 Nilai xp Untuk Beberapa Fungsi Gelombang Osilator Harmonis

Fungsi Gelombang C0 exp(½x2 ) C1 x exp(½x2) C2 (x2 – 1) exp(½x2) C3 (2x3 – 3x) exp(½x2) C4 (4x4 –12x2 +3) exp(½x2) C5 (4x5 –20x3 +15x) exp(½x2) Catatan: Cn merupakan tetapan

Nilai xp (dalam satuan  ) 0,500 1,500 2,500 3,500 4,500 5,500

RANGKUMAN 1.

2.

3.

4.

Berdasarkan telaah efek fotolistrik dan radiasi benda-hitam disimpulkan bahwa cahaya yang semula diyakini sebagai gelombang ternyata juga berwatak sebagai partikel. Dengan kata lain, cahaya memiliki watak ganda: sebagai partikel dan juga sebagai gelombang. Watak ganda yang dimiliki cahaya ini oleh de Broglie diberlakukan pula pada partikel. Menurut de Broglie, setiap entitas yang dalam kehidupan sehari-hari kita kenal sebagai partikel juga dapat memiliki watak gelombang. Hipotesis de Broglie menyatakan bahwa terhadap setiap partikel yang memiliki momentum linear p dan energi total E terdapat gelombang yang diasosiasikan dengannya. Gelombang ini disebut gelombang materi, atau gelombang de Broglie. Gelombang ini memiliki panjang gelombang sebesar   h / p dan frekuensi sebesar   E / h, dengan h menyatakan tetapan Planck yang nilainya 6,634  10 J.s. Gelombang de Broglie akan signifikan jika gelombang tersebut memiliki panjang gelombang minimal dalam orde angstrom. Hal ini tidak mungkin dicapai untuk partikel makroskopis, atau partikel yang kita kenal seharihari. Tetapi, bagi partikel mikroskopik (yang berskala atomik), seperti elektron, proton, inti, dan partikel-partikel elementer lainnya, pemunculan watak gelombang itu sangat dimungkinkan. Percobaan Davisson dan Germer membuktikan kebenaran munculnya watak gelombang ini. Gelombang de Broglie dapat diungkapkan sebagai fungsi gelombang. Berdasarkan hipotesis de Broglie, fungsi gelombang tersebut mestinya berbentuk gelombang monokromatis dengan panjang gelombang dan frekuensi seperti dinyatakan pada butir 2 di atas. Namun demikian, Bab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

78

5.

Rangkuman

berdasarkan berbagai pertimbangan yang sangat masuk akal, kita menyimpulkan bahwa fungsi gelombang tersebut tidak mungkin berupa gelombang monokromatis; melainkan harus berupa grup gelombang. Fungsi gelombang dapat disajikan dalam ruang posisi (koordinat) maupun dalam ruang momentum linear. Bentuk eksplisit fungsi gelombang dalam kedua penyajian tersebut saling berkait menurut hubungan

 ( x) 

1 2



~

   ( p ) e

i px / 

dp ,

dan

~ ( p )  6.

7.

8.

9.

1 2



   ( x ) e

- i px /  dx .

Fungsi gelombang yang mendeskripsikan gelombang de Broglie tidak memiliki arti fisis secara langsung. Artinya, tidak ada besaran fisis yang bergelombang terkait dengan fungsi gelombang itu. Oleh karena itu perlu cara tertentu untuk menafsirkan fungsi gelombang secara fisis. Max Born menafsirkan fungsi gelombang secara statistik sebagai berikut. Dari fungsi gelombang  ( x, t ) didefinisikan fungsi rapat peluang posisi partikel, dilambangi ( x , t ) , sebagai ( x, t )   * ( x, t )  ( x, t ) . Fungsi rapat peluang posisi memberikan informasi tentang berapa peluang pada saat t partikel berada di posisi x. Pernyataan ini identik dengan ungkapan: ( x , t ) dx menyatakan besarnya peluang bahwa pada saat t partikel berada dalam interval x sampai x + dx. Penafsiran Born tentang fungsi gelombang yang disajikan dalam ruang momentum linear serupa dengan butir 7 di atas. Dari fungsi gelombang ~  ( p , t ) didefinisikan fungsi rapat peluang momentum linear partikel ~ ~ ~ sebagai ( p, t )   * ( p, t )  ( p, t ) . Fungsi rapat peluang ini memberikan informasi tentang berapa peluang pada saat t partikel memiliki momen~ ( p, t ) dp tum linear sebesar p. Pernyataan ini identik dengan ungkapan:  menyatakan besarnya peluang bahwa pada saat t partikel memiliki momentum linear antara p sampai p + dp. Berdasarkan penafsiran Born dapat dideduksi Asas Ketakpastian Heisenberg. Asas ini menyatakan bahwa pengukuran serempak terhadap posisi dan momentum linear tidak mungkin menghasilkan ketelitian mutlak secara serempak. Ketelitian terbaik adalah yang menghasilkan nilai

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman

79

x p   / 2 dengan  menyatakan tetapan Planck dibagi 2. Ketelitian terbaik ini dicapai jika fungsi gelombangnya berupa fungsi Gaussan. 10. Prosedur penghitungan x p berdasarkan penafsiran Born adalah sebagai berikut. Dari fungsi gelombang  ( x, t ) dapat ditentukan fungsi gelom~ bang  ( p , t ) melalui teknik transformasi Fourier. Dari kedua fungsi gelombang ini selanjutnya didefinisikan fungsi rapat peluang seperti pada butir 7 dan 8. Akhirnya, dari kedua fungsi rapat peluang itu dapat dihitung nilai x dan p berdasarkan Persamaan (3.29) sampai (3.34).

PERLATIHAN Pertanyaan Konsep 1.

2.

3.

4. 5.

6. 7.

Perhatikan silogisme berikut. Pernyataan pertama: Partikel adalah segala sesuatu yang memiliki massa dan memerlukan ruang. Pernyataan kedua: Foton termasuk partikel. Kesimpulan: Foton memiliki massa dan memerlukan ruang. Apa yang salah dalam silogisme itu? Bagaimana Anda memperbaikinya sehingga menjadi silogisme yang benar? Dapatkah hipotesis de Broglie digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang yang layak? Jika dapat, bagaimana caranya? Jika tidak, lalu apa peranan hipotesis itu? Menurut Anda, mana yang lebih luas cakupannya antara teori yang dibangun berdasarkan anggapan bahwa partikel dan gelombang sebagai entitas yang sama sekali terpisah dengan teori yang dibangun berdasarkan anggapan bahwa partikel dan gelombang merupakan dua aspek yang dapat dimiliki oleh suatu entitas? Berdasarkan hipotesis de Broglie apakah partikel yang diam dapat berwatak sebagai gelombang? Kita telah memahami bahwa keadaan diam atau bergerak bersifat relatif. Berdasarkan kenyataan ini, apakah panjang gelombang de Broglie bergantung pada keadaan gerak pengamat? Sebutkan sekurang-kurangnya dua alasan mengapa fungsi gelombang materi tidak dapat berupa gelombang monokromatis! (a) Dalam fisika klasik sudah banyak dirumuskan berbagai gejala gelombang. Pada setiap gejala gelombang yang dirumuskan itu kita selalu dapat menentukan besaran apa yang bergelombang. Besaran apakah yang bergelombang dalam: (i) gelombang tali? (ii) gelombang bunyi? (iii) gelombang permukaan air? dan (iv) gelombang elektromagnet? (b). BerBab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

80

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Perlatihan

kaitan dengan gelombang de Broglie, adakah besaran fisis yang bergelombang? Menurut dinamika Newtonan, jika kita mengetahui posisi dan momentum linear partikel pada saat tertentu, maka kita dapat pula mengetahui posisi dan momentum linear partikel pada saat berikutnya, bahkan di masa lampau. Dapatkah kesimpulan itu diterapkan dalam alam mikroskopis? Menurut Asas Ketakpastian Heisenberg, dapatkah kita menentukan keadaan gerak suatu partikel secara lengkap, meskipun pada saat tertentu saja? (Petunjuk: keadaan gerak dapat diketahui secara lengkap berdasarkan informasi tentang posisi dan momentum linear partikel). Buat daftar gejala alam yang Anda kenal. Terhadap masing-masing gejala itu, tentukan entitas apa yang menghasilkannya (gelombang atau partikel)! Kritisilah pernyataan berikut: “Jika panjang gelombang de Broglie suatu partikel cukup besar maka perilaku partikel tersebut tidak dapat dijelaskan berdasarkan mekanika Newton.” Sering dikatakan bahwa fisika klasik hanya berlaku untuk partikel makroskopis. Berikan kriteria untuk membedakan partikel mikroskopis dan partikel makroskopis. Usahakan kriteria Anda tadi selain bersifat kualitatif juga bersifat kuantitatif. Jika (x ) merupakan fungsi rapat peluang posisi, apa arti pernyataan berikut: (a) ( x0 )  0,5 ,

(b) ( x  x0 )  0,4 ;

(c)



x2

x1

( x ) dx  0,6 ?

14. Untuk memasukkan bola bilyard ke dalam lubangnya, kecepatan dan arah sodokan harus diatur seteliti mungkin. Kritisilah kesahihan asas ketakpastian Heisenberg berdasarkan kenyataan bahwa jika sodokan kita tepat maka bola bilyard selalu sukses dimasukkan! 15. Apakah variabel x dalam ungkapan fungsi gelombang  ( x, t ) menyatakan posisi partikel pada t tertentu? 16. Cermatilah kebenaran pernyataan berikut: “Berdasarkan hipotesis de Broglie, partikel yang bergerak akan menghasilkan gelombang di sekitar lintasannya” 17. Benarkah pernyataan: “Nilai fungsi gelombang de Broglie di suatu titik menyatakan besarnya gangguan yang dihasilkan oleh partikel di titik itu”? 18. Jika sebutir batu dijatuhkan ke kolam yang tenang, maka pada permukaan kolam akan timbul gelombang air (riak). Apakah pasangan batu dan riak tersebut sepadan dengan pasangan partikel dan gelombang materi sebagaimana dihipotesiskan de Broglie?

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

81

19. Jelaskan bahwa temuan Davisson dan Germer merupakan salah satu bukti kebenaran hipotesis de Broglie! Pertanyaan Analitis 1. 2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

Berapa  gelombang de Broglie bagi elektron yang dipercepat hingga berenergi 100 eV? (a) Berapa  gelombang de Broglie bagi elektron yang berenergi 0,5 keV? (b) Berapa energi kinetik neutron (massanya 1839 kali massa elektron) agar memiliki  gelombang de Broglie seperti pada pertanyaan (a)? Berapa energi kinetik elektron agar jika dijatuhkan pada suatu kisi difraksi menghasilkan pola defraksi yang sama dengan yang dihasilkan sinar kuning ( = 6000Å)? Gelombang de Broglie yang diasosiasikan dengan partikel yang memiliki energi kinetik tertentu sebesar 1 . Berapa  gelombang de Broglie-nya jika energi kinetiknya dilipatduakan? Sebuah mikroskop elektron digunakan untuk mengamati objek yang berukuran sekitar 100 Å. Berapa energi kinetik minimum berkas elektron yang digunakan untuk melihat objek tersebut secara jelas? Pada t = 0, posisi partikel bebas diukur dengan ketakpastian  x 0 . Berapa ketakpastian hasil ukur jika dilakukan pada sebarang t berikutnya? Buktikan kebenaran Persamaan (3.29). (Petunjuk: urai dulu bentuk kuadrat (x  ) pada Persamaan 3.28 kemudian selesaikan integralnya dan gunakan definisi rerata pada Persamaan 3.27. Ingat bahwa adalah bilangan sehingga bisa dikeluarkan dari tanda integral). p2 Dengan menggunakan hubungan E  dan definisi kecepatan sebagai 2m laju perubahan posisi terhadap waktu, turunkan hubungan ketakpastian energi dan waktu: E t   / 2 . (Petunjuk: gunakan asas ketakpastian Heisenberg untuk posisi dan momentum linear.) Atom dalam keadaan tereksitasi pertama memiliki waktu hidup 12 ns. Waktu hidup keadaan tereksitasi berikutnya adalah 23 ns. Berapa ketakpastian energi yang dipancarkan atom ketika bertransisi dari kedua keadaan itu?

10. Pada t = 0, fungsi gelombang osilator harmonis adalah  ( x )  N xe

1   2x2 2

dengan N tetapan normalisasi. (a) Dapatkan N, (b) dapatkan fungsi rapat peluang posisinya, (c) hitung peluang partikel berada di x > 0, (d) hitung peluang partikel berada di x < 0, (e) tentukan titik yang memiliki peluang Bab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

82

11.

12. 13. 14.

Perlatihan

terbesar ditempati partikel, (f) tentukan titik yang memiliki peluang terkecil ditempati partikel! Jika fungsi gelombang yang diasosiasikan dengan suatu partikel telah diketahui dan dinyatakan dalam ruang posisi, bagaimana Anda menghitung perkalian ketakpastian posisi dan momentum linear partikel itu? Seperti soal nomor 11, tetapi fungsi gelombang yang diketahui dinyatakan dalam ruang momentum linear. Apakah hasil perhitungan pada soal nomor 11 dan 12 tersebut berbeda? Jelaskan! Jika fungsi gelombang yang diasosiasikan dengan suatu partikel telah diketahui, manakah dari dua pernyataan berikut yang benar? (a) Hasil kali ketidakpastian momentum linear dan posisi partikel memiliki nilai tertentu, dan pasti lebih dari atau sama dengan  / 2. (b) Hasil kali ketidakpastian momentum linear dan posisi partikel tersebut merupakan sebarang nilai, minimal sebesar  / 2.

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

83

15.

A Apertur terkecil 56 Apertur, optik 55, 56, 57 Asas ketakpastian Heisenberg berdasarkan penafsiran Born69– 71 B Born, Max 53, 65, 68, 69, 70, 78, 79 Born, penafsiran fungsi gelombang dalam ruang momentum 68, 78 dalam ruang posisi 65 Born, Penafsiran fungsi gelombang 64–69 D Davisson 58, 77 de Broglie hipotesis 53, 54, 77, 80 de Broglie, hipotesis 54 Dirac 72 E Efek fotolistrik Elektron, massa

54, 77 57

H Heisenberg, W asas ketakpastian 53, 69, 70, 78, 80, 81 pelopor mekanika kuantum 58 K Kecepatan fase Kecepatan grup Ketakpastian momentum linear posisi posisi-momentum, minimum

59 62 70 70 74

M

F Foton, partikel tak bermassa Fourier, transformasi

54 68

G Gaussan, fungsi

Gelombang de Broglie 54, 55, 56, 58, 77, 78, 80 eksistensi 55 untuk debu 56 untuk elektron 57 untuk neutron termal 57 Gelombang monokromatis 59 Germer 58, 77 Grup gelombang kecepatan grup 62 pembentukan 60, 63 sebagai gelombang de Broglie 63

74, 76, 79

Maxwell

64

N Newton Nilai harap

53, 80 70

Bab 3: Gelombang Materi &Asas Ketakpastian …

84

Perlatihan

O

S

Optika fisik Optika geometri

55 55

P Parseval, teorema Partikel vs gelombang Planck-Einstein, kaitan

69 54 54

Schrödinger pelopor mekanika kuantum 58 SI 65, 68 SI (square integrable), definisi 65 T Thomson, J.J Thomson, P.G.

58 58

R Rapat peluang momentum linear posisi Relativitas, asas Ruang momentum Ruang posisi

V 69 65 59 68, 75, 78 78

Pengantar Fisika Kuantum

Varians vektor gelombang

70 55, 58

Y Young

55

BAB 4

POKOK-POKOK METODOLOGI FISIKA KUANTUM

Melalui pembahasan tiga bab sebelum ini, kita mulai menyadari perlunya teori baru untuk menjelaskan perilaku entitas fisis yang tidak dapat dipastikan apakah sebagai gelombang atau sebagai partikel. Sebab, teori-teori yang telah ada (mekanika Newton maupun teori gelombang, baik yang diturunkan dari mekanika Newton maupun dari teori Maxwell) masing-masing hanya dapat digunakan untuk entitas fisis yang dapat dipastikan sebagai partikel atau sebagai gelombang. Kita juga telah memiliki suatu kriteria yang jelas untuk menyatakan apakah suatu entitas fisis dapat digolongkan ke dalam salah satu golongan (gelombang atau partikel) itu atau tidak. Kriteria tersebut adalah panjang gelombang de Broglie. Jika suatu entitas yang mula-mula kita kenali sebagai partikel ternyata memiliki panjang gelombang de Broglie cukup besar (sekurang-kurangnya dalam orde angstrom) maka entitas tersebut tidak dapat dipastikan sebagai partikel. Pada Bab 3 kita juga telah mendiskusikan bahwa hipotesis de Broglie tidak dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang yang diasosiasikan dengan partikel. Berdasarkan kenyataan ini maka timbullah suatu pertanyaan penting tentang bagaimana cara mendapatkan fungsi gelombang itu. Jika fungsi gelombang telah kita dapatkan, pertanyaan penting berikutnya adalah bagaimana cara mendapatkan informasi tentang keadaan partikel berdasarkan fungsi gelombang itu. Jawaban atas pertanyaan pertama akan kita bahas di Bab 5, sedangkan pertanyaan kedua akan kita diskusikan pada bab ini. Pada bab ini akan kita pelajari pokok-pokok metodologi dalam fisika kuantum, atau mekanika gelombang, yaitu suatu cabang fisika teori yang menelaah perilaku entitas fisis yang tidak dapat dipastikan apakah sebagai Sutopo

Pengantar Fisika Kuantum

83

84

Pendeskripsian keadaan

gelombang ataupun sebagai partikel. Pokok-pokok tersebut meliputi: pendeskripsian keadaan sistem, pendeskripsian besaran fisika, dan pendeskripsian pengukuran beserta aspek-aspeknya. Pada bagian akhir bab ini juga akan dibahas bagaimana mendeduksi asas ketakpastian Heisenberg berdasarkan prinsip pengukuran dalam fisika kuantum. 4.1 PENDESKRIPSIAN KEADAAN Pada bagian akhir Bab 3 kita telah mengkaji makna fungsi gelombang. Kesimpulan yang kita peroleh adalah: berdasarkan fungsi gelombang tersebut kita dapat mengetahui keberadaan (posisi) partikel dan besarnya momentum linear yang dimilikinya, meskipun secara probabilistik. Mengingat semua besaran dinamis yang kita kenal dalam fisika klasik (misalnya energi kinetik, energi potensial, gaya, momentum sudut, dan sebagainya) selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi momentum linear dan/atau posisi, maka dapat diharapkan bahwa dari fungsi gelombang tersebut dapat diketahui berbagai informasi tentang keadaan gerak partikel yang kita bicarakan. Berdasarkan pemikiran tersebut maka sangatlah masuk akal untuk mempostulatkan: keadaan gerak sistem dideskripsikan dengan fungsi gelombang. Pernyataan ini harus pula dimaknai secara berbalikan. Artinya, sebagai pendeskripsi keadaan maka fungsi gelombang tersebut harus memuat semua informasi tentang sistem yang dibicarakan; misalnya: posisi, momentum linear, energi, momentum sudut, dan besaran-besaran dinamis lain yang kita perlukan. Sebagaimana telah kita bahas di Bab 3, fungsi gelombang dapat kita tampilkan dalam dua cara, yaitu dalam ruang posisi (dilambangi  ( x , t ) ) ~ atau dalam ruang momentum linear (dilambangi  ( p , t ) ). Perlu segera dicatat bahwa variabel x dalam fungsi gelombang tersebut bukan menyatakan posisi partikel, melainkan menyatakan sederetan posisi yang mungkin ditempati partikel. Demikian pula dengan variabel p, harus dipahami sebagai sederetan nilai momentum linear yang mungkin dimiliki partikel. Berdasarkan postulat tersebut maka pekerjaan penting dalam fisika kuantum adalah menemukan fungsi gelombang. Sebab dengan mengetahui fungsi gelombang kita dapat mengetahui semua informasi yang kita perlukan tentang sistem. Peranan fungsi gelombang ini, jika dianalogikan dengan fisika klasik, analog dengan peranan trayektori partikel. Dengan diketahuinya trayektori, yaitu posisi partikel pada sebarang waktu, kita dapat mengetahui nilai berbagai besaran fisika yang dimiliki partikel itu pada setiap saat. Pengantar Fisika Kuantum

Pendeskripsian besaran fisika

85

Mengingat pentingnya fungsi gelombang dalam fisika kuantum, maka diperlukan cara tertentu untuk mendapatkan fungsi gelombang tersebut. Salah satu cara untuk mendapatkan fungsi gelombang adalah dengan menyelesaikan Persamaan Schrödinger. Tentang persamaan Schrödinger akan kita bicarakan lebih lanjut pada Bab 5. Untuk sementara kita lanjutkan dulu membahas aspek penting lainnya dalam metodologi fisika kuantum. 4.2 PENDESKRIPSIAN BESARAN FISIKA Jika keadaan sistem dideskripsikan dengan fungsi gelombang, bagaimanakah kita harus mendeskripsikan besaran fisika dalam fisika kuantum? Jawaban atas pertanyaan itu dapat kita peroleh berdasarkan definisi besaran, yaitu segala atribut yang dapat diukur dan dimiliki oleh suatu sistem fisis. Berdasarkan definisi itu, ada dua aspek penting tentang besaran fisika, yaitu dapat diukur dan dimiliki oleh sistem fisis. Dapat diukur berarti nilainya (hasil ukurnya) harus real. Dimiliki oleh sistem fisis berarti untuk mendapatkan nilainya kita harus mengerjakan sesuatu pada sistem itu. Kedua aspek inilah yang akan memandu kita dalam mendeskripsikan besaran fisika tersebut. Karena keadaan sistem dideskripsikan sebagai fungsi gelombang, sedangkan perangkat yang dapat dikerjakan pada fungsi gelombang adalah operator, maka satu-satunya pilihan untuk menyajikan besaran fisika adalah operator. Selanjutnya, karena hanya operator Hermitean yang nilai harapnya pasti real (lihat bagian 4.4.4) maka dipostulatkan bahwa besaran fisika dinyatakan sebagai operator Hermitean. Lebih lanjut tentang operator dapat Anda pelajari pada bagian 4.4 bab ini. Sebagaimana telah disebut, semua besaran dinamis di fisika klasik selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi posisi dan/atau momentum linear. Oleh karena itu perlu segera kita pelajari operator yang mewakili besaran posisi dan momentum linear. 4.2.1 Operator Posisi

ˆ , dan yang meOperator yang mewakili besaran posisi r dilambangi R wakili komponen Cartesannya (yaitu x, y, dan z) masing-masing dilambangi Xˆ , Yˆ , dan Zˆ . Mulai sekarang, untuk membedakan operator dengan besaran padanannya, operator kita lambangi dengan huruf besar bertopi.

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

86

Pendeskripsian besaran fisika

Cara kerja operator posisi bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan. Dalam ruang posisi, di mana fungsi gelombang berbentuk  (r, t ) , operasi operator posisi dipostulatkan sebagai berikut. ˆ ( r , t )  r ( r , t ) , R

(4. 1)

yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan posisi r. Dalam bentuk komponen-komponennya, Persamaan (4.1) identik dengan

Xˆ ( r , t )  x ( r , t ) , Yˆ ( r , t )  y ( r , t ) ,

(4. 2)

Zˆ ( r , t )  z ( r , t ) . Jadi, cara kerja operator komponen vektor posisi dalam ruang posisi adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen vektor posisi pada arah yang bersesuaian. Bagaimana cara kerja operator posisi di ruang momentum linear? Da~ lam ruang momentum linear, fungsi gelombang berbentuk  ( p , t ) yang merupakan transformasi Fourier dari ( r , t ). Dengan demikian, operasi operaˆ ~ ( p, t ). Untuk penyetor posisi dalam ruang momentum dituliskan secara R derhanaan, tanpa mengurangi generalisasinya, kita gunakan kasus satu di~ mensi sehingga operasi tersebut dapat dituliskan secara Xˆ  ( p , t ). Dengan menggunakan transformasi Fourier, ungkapan yang terakhir ini dapat diubah menjadi

 1  i px /  ~ Xˆ ( p , t )  Xˆ  ( x , t ) dx   e  2  1  i px /  ˆ  X ( x , t ) dx  e 2  1  i px /   x ( x , t ) dx .  e 2 

Integran dalam integral tersebut dapat diubah menjadi i sebab

(4. 3)

  ipx/ (x, t), e

p 



  ipx / ipx / ( x , t )   (  i x /  ) e ( x , t ). Dengan demikian, Persae   p

maan (4.3) menjadi

Pengantar Fisika Kuantum

87

Pendeskripsian besaran fisika

   1 ~  ipx /  Xˆ  ( p , t )  i  ( x, t ) dx    e p  2   ~  i  ( p , t ). p

(4. 4)

Ungkapan itu menunjukkan bahwa, dalam ruang momentum, operator po sisi berbentuk i . p Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hasilnya: operator yang mewakili komponen vektor posisi dalam ruang momentum linear masing-masing berbentuk:

 Xˆ  i  p x  Yˆ  i  p y

(4. 5)

 Zˆ  i  p z atau dalam bentuk vektor: ˆ  i  , R p

(4. 6)

dengan p  (i /px + j /py + k /pz).

4.2.2 Operator Momentum Linear Operator yang mewakili besaran momentum linear p dilambangi Pˆ sedangkan operator yang mewakili komponen Cartesannya (yaitu: px, py, dan pz) masing-masing dilambangi Pˆx , Pˆy , dan Pˆz . Cara kerja operator momentum linear bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan. Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelom~ bang berbentuk  ( p , t ), operasi operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut.

~ ~ Pˆ Ψ ( p, t )  p Ψ ( p, t ),

(4. 7)

yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

88

Pendeskripsian besaran fisika

Dalam bentuk komponen-komponennya, Persamaan (4.7) identik dengan ~ ~ Pˆx  (p, t )  p x  (p, t ) , ~ ~ Pˆ  (p, t )  p  (p, t ) , (4. 8) y

y

~ ~ Pˆz  (p, t )  p z  (p, t ) . Jadi, cara kerja operator komponen vektor momentum linear dalam ruang momentum adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah yang bersesuaian. Bagaimana cara kerja operator momentum linear dalam ruang posisi? Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk ( r , t ). Dengan demikian, ˆ ( r , t ). operasi operator momentum dalam ruang posisi dituliskan secara P ~ Karena  (r, t ). merupakan pasangan Fourier dari  (p, t ), yaitu  ~ ( p , t )  2  3 /2  e  i p.r / ( r , t ) d 3 r ,

(4. 9)

 ~ ( r , t )  2  3 /2  e i p.r / ( p , t ) d 3 p ,

(4. 10)

dan

dengan dr  dx dy dz dan dp  dpx dpy dpz , maka dengan prosedur yang sama dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang momentum, kita peroleh hubungan

Pˆ  (r, t )   i  r  (r, t ),

(4. 11)

dengan r  (i /x + j /y + k /z). Ini berarti, dalam ruang posisi, operator momentum linear berbentuk:

Pˆ   i  r ,

(4. 12)

atau, dalam bentuk komponen-komponen Cartesannya:  Pˆx   i  , x  Pˆy   i  , y  Pˆz   i  . z

Pengantar Fisika Kuantum

(4. 13)

Pendeskripsian besaran fisika

89

4.2.3 Operator Besaran Lain Berikut akan kita rumuskan bagaimana menentukan operator besaranbesaran lain, khususnya yang sudah kita kenal di dalam fisika klasik. Misalnya: energi kinetik, energi potensial, Hamiltonan (jumlahan energi kinetik dan energi potensial), dan momentum sudut. Besaran-besaran tersebut selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi posisi dan/atau momentum linear. Karena kita telah memiliki operator yang mewakili posisi dan momentum linear, maka kita dapat merumuskan operator bagi besaran-besaran tersebut. Prosedur yang kita lakukan adalah dengan mengikuti kaedah pengkuantuman sebagai berikut. 1. Nyatakan definisi klasik besaran tersebut sebagai fungsi posisi r dan atau momentum linear p. 2. Jika dalam ungkapan tersebut termuat perkalian skalar antara posisi dan momentum linear, ganti p.r dengan ½(p.r + r.p). Setelah itu, ganti setiap variabel posisi dengan operator posisi, dan setiap variabel momentum linear dengan operator momentum linear. 3. Jika dalam ungkapan tersebut tidak termuat perkalian skalar antara posisi dan momentum linear, ganti setiap variabel posisi dengan operator posisi, dan setiap variabel momentum linear dengan operator momentum linear.

Contoh soal 4.1 Dapatkan operator energi kinetik dalam: (a) ruang posisi, dan (b) dalam ruang momentum linear. Analisis Definisi energi kinetik, yaitu ½ m v, jika dinyatakan dalam fungsi p

2

momentum (p  mv) berbentuk Ek  . Dengan demikian, secara 2m Pˆ 2

umum, operator energi kinetik berbentuk Eˆ k  . 2m Dalam ruang posisi, mengingat Pˆ   i  , maka operator energi kinetik berbentuk

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

90

Pendeskripsian besaran fisika

2 2 2  2 2 2  2  2  2 Eˆ k     2m 2 m  x y z

  . 

p2 Dalam ruang momentum, mengingat Pˆ  p , maka Eˆ k  . 2m

Contoh soal 4.2 Dapatkan operator momentum sudut dan komponen-komponennya dalam ruang posisi. Analisis Definisi momentum sudut L adalah L  r  p, dengan r menyatakan vektor posisi dan p momentum linear. Dengan demikian, secara umum, operator yang mewakili momentum sudut adalah ˆ  Pˆ . Dalam ruang posisi, operator ini berbentuk Lˆ  R

Lˆ  r   i     i  r   . Komponen momentum sudut pada sumbu X, Y, dan Z masingmasing:

L x  yp z  zp y , L y  zp x  xp z , Lz  xp y  yp x . Dengan demikian, secara umum, operator yang mewakili komponen momentum sudut dinyatakan sebagai berikut. Lˆ x  Yˆ Pˆz  Zˆ Pˆy , Lˆ y  Zˆ Pˆx  Xˆ Pˆz , Lˆ z  Xˆ Pˆy  Yˆ Pˆx .

Dalam ruang posisi, operator-operator tersebut berbentuk:           Lˆ x  i   z  y  , Lˆ y  i   x  z  , Lˆ z  i   y  x  .  y  z  z  x  x  y     

Pengantar Fisika Kuantum

Pendeskripsian pengukuran

91

4.3 PENDESKRIPSIAN PENGUKURAN Dari uraian tentang pendeskripsian keadaan sistem dan besaran fisika di depan tampaklah bahwa fisika kuantum bersifat teoretis. Metode yang dikembangkan didasarkan pada postulat-postulat yang diyakini dapat digunakan untuk membangun teori yang cocok dengan eksperimen. Bandingkan dengan metode fisika klasik yang pada umumnya bersifat induktif yang didasarkan pada gejala-gejala yang telah teramati. Berdasarkan kenyataan itu, dapatlah diduga bahwa dalam hal pengukuran pun, fisika kuantum akan mendeskripsikannya secara teoretis pula. Ada beberapa aspek yang perlu kita pahami tentang bagaimana fisika kuantum mendeskripsikan pengukuran. Aspek-aspek yang dimaksud meliputi: proses pengukuran, dampak pengukuran, dan hasil pengukuran. 4.3.1 Proses Pengukuran Dalam laboratorium, mengukur didefinisikan sebagai proses membandingkan nilai (ukuran) suatu besaran dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuannya. Bagaimana fisika kuantum mendefinisikan pengukuran? Mengingat keadaan sistem disajikan dalam bentuk fungsi gelombang, sedangkan besaran fisika disajikan dalam bentuk operator, maka pengukuran didefinisikan (secara matematis) sebagai proses pengerjaan operator terhadap fungsi gelombang. Tentu saja operator yang dimaksud haruslah operator yang mewakili besaran fisika yang diukur. Dengan demikian, jika ˆ menyatakan operator yang mewakili besaran yang diukur A dan  A menyatakan fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem saat pengukuran, maka proses pengukuran tersebut dilambangi Aˆ  . Pengukuran besaran fisis A pada saat keadaan sistem

Aˆ   dideskripsikan dengan fungsi gelombang .

Pengukuran dua besaran atau lebih dapat digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu pengukuran serempak dan pengukuran tidak serempak. Pengukuran dikatakan serempak jika pengukuran besaran kedua dilakukan tepat setelah pengukuran besaran pertama. Pengukuran dikatakan tidak serempak jika pengukuran besaran yang kedua dilakukan setelah selang waktu yang cukup lama dari pengukuran pertama.

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

92

Pendeskripsian pengukuran

Penulisan proses pengukuran serempak dua besaran, misalnya A dan B, bergantung pada urutannya. Jika A diukur terlebih dahulu, maka proses pengukurannya dilambangi Pengukuran besaran A yang segera diikuti pengukuran besarBˆ Aˆ   an B pada saat keadaan sistem dinyatakan dengan fungsi .

dengan operator Aˆ dan Bˆ secara berurutan mewakili besaran A dan B. Jika B diukur terlebih dahulu, maka proses pengukurannya dilambangi Pengukuran besaran B yang segera diikuti pengukuran besarAˆ Bˆ   an A pada saat keadaan sistem dinyatakan dengan fungsi .

Nanti akan kita lihat bahwa kedua proses tersebut tidak sama. 4.3.2 Dampak Pengukuran Memperhatikan pengungkapan matematis proses pengukuran sebagaimana diuraikan di depan segera dapat dipahami bahwa proses pengukuran pada umumnya akan mengubah keadaan sistem. Pemahaman seperti itu mudah didapatkan mengingat pengerjaan operator pada fungsi gelombang pada umumnya akan mengubah fungsi gelombang tadi. Perhatikan pengoperasian operator Aˆ terhadap fungsi gelombang :

Aˆ     .

(4. 14)

Pada umumnya Ψ   Ψ. Berdasarkan postulat pertama, yaitu fungsi gelombang mendeskripsikan keadaan sistem, dapatlah dipahami bahwa keadaan tepat setelah pengukuran pada umumnya tidak sama dengan keadaan tepat sebelum pengukuran. Perlu dicatat bahwa perbedaan antarfungsi gelombang tidak cukup dilihat dari wujud masing-masing fungsi gelombang itu. Dua fungsi gelombang dikatakan berbeda apabila fungsi gelombang pertama tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian fungsi gelombang kedua dengan suatu bilangan. Sebagai contoh, ketiga fungsi gelombang berikut ini:  1  e i kx ,

 2  e e i kx , dan  3  k e i kx , dengan k dan  suatu tetapan, merupakan fungsi gelombang yang sama; meskipun secara tersurat semuanya berbeda.

Pengantar Fisika Kuantum

Pendeskripsian pengukuran

93

Di lain pihak, fungsi  1  A sin (kx) dan  2  A cos ( kx ) merupakan dua fungsi yang berbeda, sebab tidak ada cara untuk menyatakan  1    2 dengan  berupa tetapan.

Contoh soal 4.3 Selidikilah apakah pengukuran momentum linear akan mengubah keadaan partikel jika keadaan partikel saat pengukuran dinyatakan oleh fungsi gelombang: (a)  1  A e

i p0 x / 

,

(b)  2  A sin ( p 0 x /  ) dengan A dan p0 suatu tetapan. Analisis Pengukuran momentum linear dinyatakan sebagai Pˆ  . Karena fungsi gelombang disajikan dalam ruang posisi satu dimensi maka operator momentum berbentuk Pˆ   i (a) Pˆ  1   i

d . dx

d 1 d   i A e i p0 x /   p 0 A e i p0 x /   p 0  1 . dx dx









Berarti keadaan partikel setelah pengukuran sama dengan keadaan partikel sebelum pengukuran. Dengan kata lain, pengukuran ini tidak mengubah keadaan partikel.

d 2 d (b) Pˆ  2   i   i  A sin ( p 0 x /  )    i p 0  A cos ( p 0 x / ) . dx dx Fungsi gelombang setelah pengukuran tersebut berbeda dengan fungsi gelombang sebelum pengukuran. Ini berarti pengukuran tadi telah mengubah keadaan partikel.

Jika fungsi gelombang tidak berubah akibat pengoperasian suatu operator, dikatakan bahwa fungsi gelombang tadi merupakan fungsi eigen (fungsi karakteristik) bagi operator tersebut. Bilangan yang muncul sebagai faktor kesebandingan tadi disebut nilai eigen (nilai karakteristik) bagi ope-

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

94

Pendeskripsian pengukuran

rator tersebut. Pada contoh (a) tadi,  1 merupakan fungsi eigen bagi momentum linear dengan nilai eigen sebesar p0. Contoh soal 4.4 Tunjukkan bahwa keadaan akhir akibat pengukuran momentum linear dan posisi partikel secara serempak bergantung pada urutan pengukurannya. Analisis Tanpa mengurangi generalisasinya, kita asumsikan keadaan partikel disajikan dalam ruang posisi, sehingga operator posisi dan d momentum linear masing-masing berbentuk: Xˆ  x dan Pˆ   i . dx

Urutan pertama: pengukuran posisi diikuti pengukuran momentum. d( x ) d  d   Pˆ Xˆ   Pˆ x    i    i    x    i  1 x  . dx dx  dx   

Urutan kedua: pengukuran momentum diikuti pengukuran posisi. d Xˆ Pˆ   Xˆ   i  dx 

   i  x d .  dx 

Jelaslah bahwa keadaan akhir kedua proses pengukuran tadi tidak sama. Bahwa keadaan sistem pada umumnya berubah akibat pengukuran, sesungguhnya telah kita kenal dalam pemikiran klasik maupun dalam pengukuran praktis di laboratorium. Contoh pengukuran yang tidak mengubah keadaan sistem adalah pengukuran panjang meja dengan mistar. Contoh pengukuran yang mengubah keadaan sistem adalah pengukuran suhu suatu zat dengan termometer zat cair. Pada pengukuran ini, kita harus mencelupkan (jika yang diukur zat cair) atau menempelkan (jika yang diukur zat padat) termometer pada zat yang diukur. Pada saat pengukuran, pasti terjadi pertukaran panas antara zat yang diukur suhunya dengan zat cair pengisi termometer. Kejadian ini tentu mengubah keadaan termodinamik zat yang diukur.

Pengantar Fisika Kuantum

Pendeskripsian pengukuran

95

4.3.3 Hasil Pengukuran Mengingat keadaan sistem pada umumnya berubah akibat pengukuran, maka pengukuran berulang-ulang akan menghasilkan hasil ukur yang berbeda-beda. Hal ini disebabkan karena keadaan pada pengukuran pertama dan keadaan pada pengukuran berikutnya pada umumnya berlainan. Berkaitan dengan perubahan keadaan sistem akibat pengukuran itu, ternyata kita tidak memiliki cara untuk mengetahui ke keadaan mana sistem akan berubah akibat pengukuran itu. Dengan demikian, satu-satunya cara yang paling logis adalah dengan menggunakan prinsip statistik. Dalam hal ini, keadaan yang dituju sistem setelah pengukuran dipostulatkan bersifat probabilistik. Dengan demikian, hasil pengukuran yang kita peroleh juga bersifat probabilistik. Akibatnya, jika kita melakukan pengukuran secara berulang-ulang, hasil yang kita dapatkan berupa sekumpulan nilai yang tersebar secara random atau acak. Dengan menggunakan prinsip statistik maka hasil pengukuran dapat kita nyatakan sebagai nilai harap (expectation value), atau nilai rata-rata statistik, beserta ketakpastiannya. Nilai harap Nilai harap hasil pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan sebagai fungsi gelombang  didefinisikan sebagai berikut. Dalam ruang posisi satu dimensi didefinisikan sebagai 

  Aˆ dx , A     dx  

*

(4. 15)

*



dan dalam ruang momentum satu dimensi didefinisikan sebagai  ~* ~   Aˆ  dp A ~   .  ~* ~   dp

(4. 16)

Tanda bintang menyatakan “konjugat kompleks dari”, artinya  * adalah konjugat kompleks dari  . Penulisan lambang nilai harap dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu A atau Aˆ . Karena perbedaan ruang penyajian secara fisik tidak membedakan keadaan sistem maka hasil penghitungan nilai harap seharusnya tidak bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan. Dengan demikian, keBab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

96

Pendeskripsian pengukuran

dua cara penghitungan tadi harus menghasilkan nilai yang sama. Pembuktian tentang ini diharapkan dilakukan sendiri oleh pembaca. Lihat bagian Perlatihan di akhir bab ini. Jika fungsi gelombang sudah ternormalkan, yaitu integral ke seluruh ruang dari kuadrat modulusnya bernilai satu, maka penyebut pada kedua persamaan terakhir tadi bernilai satu. Dengan demikian, jika fungsi gelombang telah ternormalkan, penghitungan nilai harap tadi menjadi A    ψ * Aˆ ψ dx ,

(4. 17)

atau A ~  ~ * Aˆ ~ dp .

Ketakpastian hasil ukur Ketakpastian hasil ukur didefinisikan sebagai deviasi standar atau akar varians. Yang dimaksud varian adalah rerata dari kuadrat perbedaan nilai ukur terhadap nilai harapnya. Berdasarkan pengertian umum varians di atas, maka varians hasil pengukuran besaran A pada saat sistem memiliki keadaan  adalah:

 A2  ( Aˆ  A  ) 2 





-

 





-

 *( Aˆ  A  ) 2 dx

   *Aˆ 2 dx  2 A    *Aˆ  dx  A  2   * dx

 Aˆ 2  Aˆ 2

-

-

2



 2 A A  A



 A.

2

dengan A menyatakan varians hasil ukur A,



menyatakan rata-rata

dari kuadrat nilai A, dan menyatakan kuadrat dari nilai harap A. 

Dengan demikian, ketakpastian hasil pengukuran besaran A adalah: A   A2 

A2  A

2

.

(4. 18)

Contoh soal 4.5 Dapatkan nilai harap beserta ketakpastian hasil pengukuran momentum linear suatu entitas yang keadaannya dinyatakan sebagai Pengantar Fisika Kuantum

Pendeskripsian pengukuran

97

fungsi gelombang A e i p0 x /  dengan A dan p0 suatu tetapan. Berdasarkan hasil pengukuran ini, apa arti fisik dari p0 tersebut? Analisis Fungsi gelombang tersebut belum ternormalkan, sebab 



-   *  dx  A * A-  (e

i p0 x / 

) (e i p0 x /  ) dx  A * A- dx  1 .

Dengan demikian kita harus menggunakan Rumusan (4.15) dalam semua perhitungan nilai harap. Berdasarkan Rumusan (4.15) tadi, nilai harap momentum pada pengukuran ini adalah

- A * e 

 i po x / 

  i ddx Ae

  A * A  dx

P 

i po x / 

 dx   A * A   dx   p0  p0 .  A * A   dx

Jadi nilai harap pengukuran momentum ini sebesar p0. Untuk mendapatkan ketakpastian hasil ukur, kita harus menghitung dulu , yaitu

P2 

 -



A * e

 i po x / 

  i ddx 

2

   A * A  dx

Ae i po x / dx



 ( p 0 )2

A * A  dx 

A * A  dx

 ( p 0 )2 .

Dengan menggunakan Rumusan (4.18) didapatkan P 

P2  P

2

 ( p 0 )2  ( p 0 )2  0 .

Jadi ketakpastian hasil ukur ini sebesar 0. Hal ini menunjukkan bahwa hasil ukur bersifat pasti. Ini berarti bahwa pada setiap pengulangan pengukuran selalu didapatkan hasil ukur yang sama, dan nilai itu sama dengan nilai harapnya. Karena nilai harapnya sebesar p0, berarti p0 yang ada di ungkapan fungsi gelombang tadi menyatakan nilai momentum linear partikel. i p x/

Contoh tadi menunjukkan bahwa fungsi gelombang A e 0 menyatakan keadaan sistem yang memiliki momentum pasti sebesar p0. KesimBab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

98

Pokok-pokok matematika

pulan ini cocok dengan pembahasan Contoh Soal 4.3 a. Berdasarkan analisis Contoh Soal 4.3 a dan 4.5 ini dapat disimpulkan bahwa keadaan eigen bagi suatu besaran adalah suatu keadaan di mana nilai besaran tadi bersifat pasti. Dengan demikian, pada keadaan eigen: (a) hasil ukur pada setiap pengukuran berulang selalu tetap dan nilainya sama dengan nilai harapnya, dan (b) ketakpastian hasil ukur sebesar nol. 4.4 POKOK-POKOK MATEMATIKA Pada bagian ini akan disajikan secara singkat perihal operator dan operasi-operasi dasar yang melibatkan fungsi gelombang dalam ruang fungsi kompleks variabel real. Pembahasan singkat ini diharapkan dapat membantu pembaca memahami berbagai operasi matematika yang diperlukan dalam fisika kuantum, khususnya yang melibatkan fungsi gelombang dan operator. 4.4.1 Perkalian Skalar Antarfungsi-Gelombang Perkalian skalar fungsi gelombang f(x) dengan fungsi gelombang g(x), dalam urutan yang demikian, didefinisikan sebagai

 f , g   - f * g dx ,

(4. 19a)

dengan f  (x) menyatakan konjugat kompleks dari f (x). Perkalian skalar menghasilkan suatu bilangan, yang pada umumnya tergolong bilangan kompleks. Jika urutan perkalian dibalik, maka hasilnya merupakan komplek konjugate dari hasil semula. Jadi perkalian skalar fungsi gelombang g(x) dengan fungsi gelombang f(x), dalam urutan yang demikian, adalah 

*



g , f    g * f dx    f * g dx    f , g * . 



(4. 20b)

Perkalian skalar suatu fungsi dengan dirinya sendiri, (f, f), disebut norm, atau kuadrat modulus fungsi itu, dan biasanya dilambangi |f|. Norm suatu fungsi selalu berupa bilangan real positif. Jika |f| = 1, dikatakan bahwa f(x) telah ternormalkan. Jika (f, g) = 0, dikatakan fungsi f(x) dan g(x) ortogonal (tegak lurus). Secara khusus, jika kedua fungsi f(x) dan g(x) keduanya telah ternormalkan dan (f, g) = 0, maka f(x) dan g(x) dikatakan ortonormal. Berdasarkan definisi pada Persamaan (4.19) tadi dapat dibuktikan beberapa hubungan penting berikut: Pengantar Fisika Kuantum

Pokok-pokok matematika

99

 f ( x ), ag ( x )  bh( x )   a  f ( x ), g ( x )   b  f ( x ), h( x ) 

(4. 21 a)

ag ( x )  bh( x ), f ( x )   a * g ( x ), f ( x )  b* h( x ), f ( x ) 

(4. 22b)

dengan a dan b sebarang bilangan kompleks. Disarankan agar Anda membandingkan konsep-konsep tadi dengan konsep-konsep serupa yang ada di ruang vektor biasa. Sebagai misal, di ruang vektor biasa ada konsep: (1) perkalian skalar antara vektor a dan b yang didefinisikan sebagai a.b  ab cos, (2) jika a.b = 0 maka a dan b dikatakan saling ortogonal, (3) norm a adalah a.a, dan sebagainya. 4.4.2 Ketaksamaan Schwarz Pada perkalian skalar dalam ruang vektor biasa, kita mengenal ketaksamaan: |a| |b|  (a.b). Serupa dengan itu, dalam ruang fungsi kompleks juga berlaku ketaksamaan |f| |g|  |(f, g)|, yang disebut ketaksamaan Schwarz. Karena komponen real bagi bilangan kompleks (f, g) dapat diperoleh dari hubungan: Re(f, g) = ½ {(f, g)+(g, f)} dan |(f, g)| |Re(f, g)| maka ketaksamaan Schwarz tersebut dapat dinyatakan sebagai |f | |g|  | { (f, g) + (g, f) }|

(4. 23)

4.4.3 Operator Operator pada dasarnya merupakan perangkat matematika yang digunakan untuk memanipulasi bilangan dan atau fungsi. Jadi penjumlah (+), pengurang (), dan penderivatif (d/dx) merupakan beberapa contoh operator. Operasi operator terhadap suatu fungsi pada umumnya akan menghasilkan fungsi baru. Operator yang tidak mengubah suatu fungsi disebut operator identitas, dilambangi Iˆ . Jadi, terhadap sebarang fungsi f, operator identitas bersifat

Iˆ f  f .

(4. 24)

Operator yang berfungsi membuat sebarang fungsi menjadi fungsi nol disebut operator nol, dilambangi Oˆ . Jadi, terhadap sebarang fungsi f, operator nol bersifat Oˆ f  0 .

(4. 25)

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

100

Pokok-pokok matematika

4.4.4 Operator Hermitean Definisi Perkalian skalar antara fungsi  dan    Aˆ  (dalam urutan yang demikian) menghasilkan bilangan kompleks

 , Aˆ     *Aˆ  dx .

(4. 26a)

Jika urutannya dibalik, kita dapatkan bilangan

Aˆ  ,    Aˆ  * dx ,

(4.24b)

yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya. Jika kedua bilangan itu sama, operator Aˆ yang muncul pada persamaan itu dikatakan bersifat Hermitean. Jadi, jika Aˆ merupakan operator Hermitean maka berlaku hubungan

 

*    *Aˆ  dx   Aˆ   dx

(4. 27)

untuk sebarang fungsi  yang square integrable. Contoh Soal 4.6 Selidikilah apakah pˆ x   i  / x bersifat Hermitean! Analisis pˆ x    i 

  * *  pˆ x    i  x x

Jika Aˆ pada Persamaan (4.25) kita isikan pˆ x   i  / x , maka ruas kiri menghasilkan









 * Aˆ  dx    * ( i  

  ) dx   i    *d ,   x

(i)

dan ruas kanan menghasilkan 



*  ( Aˆ  )  dx   ( i 

 *  ) dx  i   d * . x

Melalui teknik integrasi parsial, ruas terakhir Persamaan (ii) dapat Pengantar Fisika Kuantum

(ii)

101

Pokok-pokok matematika

diubah menjadi





i  d *  i   *

 





*  d

  i  





 * d

yang ternyata sama dengan hasil di Persamaan (i). Ini berarti bahwa pˆ x   i  / x bersifat Hermitean! Kesimpulan ini seharusnya memang demikian, sebab pˆ x   i  / x adalah operator yang mewakili besaran fisika, yaitu momentum linear.

Nilai Harap Operator Hermitean Sebagaimana telah kita sebutkan di bagian sebelumnya, nilai harap seˆ pada sistem yang menduduki keadaan ternormalkan  , barang operator A didefinisikan sebagai ˆ   *A ˆ  dx . A (4. 28a) 

-

Konjugat kompleks nilai harap tersebut adalah





* * ˆ  dx    Aˆ  * dx . Aˆ    * A - - 

 

(4. 26b)

Jika Aˆ bersifat Hermitean maka, menurut Persamaan (4.25), ruas terakhir Persamaan (4.26b) sama dengan ruas kanan Persamaan (4.26a). Ini berarti ruas kiri kedua persamaan tersebut harus sama. Jadi

ˆ Hermitean maka A ˆ jika A



ˆ  A

*



.

(4. 29)

Bilangan yang konjugat kompleksnya sama dengan dirinya sendiri adalah bilangan real. Dengan demikian disimpulkan bahwa nilai harap operator Hermitean selalu bersifat real. Atas dasar inilah mengapa operator yang mewakili besaran fisika harus bersifat Hermitean. 4.4.5 Aljabar Operator Penjumlahan operator Dua operator atau lebih dapat dijumlahkan atau saling dikurangkan. Hasilnya juga merupakan operator. Penjumlahan operator bersifat komutatif. ˆ  Bˆ  Bˆ  A ˆ. A (4. 30) Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

102

Pokok-pokok matematika

Perkalian operator Perkalian antara dua sebarang operator akan menghasilkan operator baru. Pada umumnya perkalian operator bersifat tidak komutatif. Pada umumnya: Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ .

(4. 31)

Jika Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ , dikatakan bahwa kedua operator tersebut rukun (kompatibel atau berkomutasi) 4.4.6 Komutator Komutator antara operator Aˆ dan Bˆ ,dilambangi [ Aˆ , Bˆ ], didefinisikan sebagai berikut

[ Aˆ , Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ .

(4. 32)

Berdasarkan definisi tersebut dapat dibuktikan identitas-identitas berikut. 1) [ Aˆ , Bˆ ] +[ Bˆ , Aˆ ] = 0 2) [ Aˆ , Aˆ ] = 0 3) [ Aˆ , Bˆ + Cˆ ] = [ Aˆ , Bˆ ] + [ Aˆ , Cˆ ] 4) [ Aˆ + Bˆ , Cˆ ]= [ Aˆ , Cˆ ] + [ Bˆ , Cˆ ] 5) [ Aˆ , Bˆ Cˆ ] = [ Aˆ , Bˆ ] Cˆ + Bˆ [ Aˆ , Cˆ ]

(4. 33)

6) [ Aˆ Bˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ] Bˆ + Aˆ [ Bˆ , Cˆ ] ˆ ] = 0ˆ 7) [ Aˆ , [ Bˆ , Cˆ ]] + [ Cˆ , [ Aˆ , Bˆ ]]+ [ Bˆ , [ Cˆ , A

4.5 ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG Pada Bab 3 kita telah mendeduksi asas ketakpastian Heisenberg untuk pasangan (x, px) berdasarkan prinsip penafsiran Born. Informasi awal yang kita perlukan pada saat itu adalah tentang fungsi gelombang. Jika kita telah mengetahui fungsi gelombang dalam ruang posisi misalnya, maka dengan menggunakan transformasi Fourier kita dapat mengetahui bentuk fungsi gelombang tadi dalam ruang momentum. Demikian pula sebaliknya sehingga kita memiliki fungsi gelombang yang disajikan dalam ruang posisi dan dalam ruang momentum. Prosedur berikutnya adalah menentukan fungsi rapat peluang yang diikuti dengan menghitung ketakpastian posisi Pengantar Fisika Kuantum

Asas ketakpastian Heisenberg

103

dan momentum. Pada bab itu kita juga menyadari bahwa proses penghitungan secara analitik tidak selalu mudah dilakukan. Pada bab ini, dengan prosedur lain, kita akan mendeduksi lagi asas ketakpastian Heisenberg tersebut. Prosedur yang akan kita lakukan adalah berdasarkan prinsip pengukuran dalam fisika kuantum, yaitu berdasarkan Persamaan (4.15) sampai Persamaan (4.18). Penerapan prinsip pengukuran untuk mendeduksi asas ketakpastian Heisenberg ini juga akan memperkokoh keyakinan kita tentang kesahihan prinsip pengukuran tersebut. Berikut akan kita gunakan prosedur itu untuk menghitung xp untuk beberapa keadaan. 4.5.1 Penghitungan xp untuk beberapa keadaan Keadaan dengan momentum pasti Pada Contoh Soal 4.5 kita telah mendapatkan fungsi gelombang bagi partikel yang momentum linearnya pasti, sebesar p0, yaitu  (x) = A e i p0 x /  . Kita juga telah menghitung nilai p pada keadaan itu, yaitu sebesar nol. Berapa nilai x pada keadaan itu? Untuk menghitung x, kita hitung dulu dan . Karena fungsi gelombang belum ternormalkan dan dinyatakan dalam ruang posisi maka untuk menghitung nilai-nilai tersebut kita gunakan Persamaan (4.15). Jadi x

   * x dx - A * e - ip0 x / x Ae ip0 x / dx       - ip x / ip x / - *  dx - A * e 0 Ae 0 dx

 0,

dan x

2

   * x 2 dx - A * e - ip0 x /  x 2 Ae ip0 x / dx       - ip0x / Ae ip0x /dx - *  dx - A * e

.

Dengan demikian kita peroleh x, berdasarkan Persamaan (4.18), sebesar x 

x2  x

2

 .

Penghitungan ini menunjukkan bahwa jika momentum dapat ditentukan secara pasti maka posisi partikel sama sekali tidak dapat diramalkan. Hal ini sesuai dengan asas ketakpastian Heisenberg.

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

104

Asas ketakpastian Heisenberg

Keadaan dengan posisi partikel bersifat pasti Penghitungan untuk keadaan di mana posisi partikel bersifat pasti diharapkan dilakukan sendiri oleh pembaca. Hasilnya: x = 0 dan p =  . Partikel terikat di sumur potensial kotak tak berhingga dalam Fungsi gelombang yang menyajikan keadaan partikel terikat di sumur potensial kotak tak berhingga berbentuk:  2 sin ( nx / a )   ( x)   a  0 

;0 x  a ; x  0 atau x  a

dengan a menyatakan lebar sumur dan n bilangan asli {1, 2, 3, …}. Penjabaran fungsi gelombang tersebut diuraikan tersendiri di Bab 6. Karena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka kita dapat menggunakan Persamaan (4.17) untuk menghitung nilai harap. Jadi 

x  - ψ* x ψ dx 0

a



 - ψ* x ψ dx  0 ψ* x ψ dx  a ψ* x ψ dx a

 0  0



 

2 /a sin (nx / a) x



2 /a sin ( nx/a) dx  0

2 2 a 2 a a  0 x sin 2 (nx/a) dx    , a a 4 2

dan



x 2  - * x 2 dx 

2 a



- x

2

1 1 sin 2 (nx / a) dx  a 2   2 3 2 n 2 

 ,  

sehingga diperoleh

x 

x2  x

2

a

1 1  2 2 . 12 2 n 

Ketakpastian momentum dihitung dengan tahapan sebagai berikut. Menghitung

berdasarkan Persamaan (4.17), yaitu i n 2  d p  - *   i  dx   dx  a a 

a

0 sin ( 2nx / a ) dx  0 .

Menghitung berdasarkan Persamaan (4.17), yaitu

Pengantar Fisika Kuantum

(4. 34)

Asas ketakpastian Heisenberg

  d2   2 n 2 2 2 p 2  - *    2 2  dx  dx  a2 a 

a

0 sin

2

( nππ / a ) dx 

105

 2n 2 π 2 . a2

Dengan demikian kita peroleh nilai ketakpastian momentum sebesar p 

p2  p

2



nπ . a

(4. 35)

Akhirnya kita peroleh nilai perkalian xp sebesar

x p  n

1 1   12 2n 2 2

n 2 2 1  . 12 2

(4. 36)

Nilai xp, berdasarkan Persamaan (4.34), hanya bergantung pada n. Karena nilai n terkecil adalah 1, maka nilai minimum xp adalah 0,57  , yang berarti masih lebih besar dari  /2. Kesimpulan ini juga cocok dengan asas ketakpastian Heisenberg. Persamaan (4.34) juga menunjukkan bahwa xp tidak bergantung pada lebar sumur (a), meskipun ketakpastian posisi dan momentum linear masing-masing bergantung pada lebar sumur (lihat Persamaan (4.32) dan (4.33)). Untuk n tertentu, berdasarkan kedua persamaan tadi, x berbanding lurus terhadap lebar sumur dan p berbanding terbalik terhadap lebar sumur. Ini berarti: semakin besar nilai x akan menyebabkan semakin kecilnya nilai p, dan sebaliknya. Kesimpulan ini juga cocok dengan asas ketakpastian Heisenberg. Osilator harmonis pada keadaan dasar Fungsi gelombang untuk osilator harmonis pada keadaan dasar adalah ( x )  A e

1   2 x2 2

dengan A suatu tetapan dan   m / , m menyatakan

massa osilator, dan  menyatakan frekuensi sudut osilator. Penghitungan x Berdasarkan Persamaan 4.15 kita peroleh 

x



  2 x2

dx   * x dx   A * A x e   0, 2 2   *  dx  A * A e   x dx

dan

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

106

Asas ketakpastian Heisenberg 

x

2



2

  2 x2

2

dx ( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) 1   * x  dx   A * A x e    :  2. 3 /2 1 /2    2 x2 2 2 2 dx   *  dx  A * A e

Dengan demikian, berdasarkan Persamaan (4.18), diperoleh x 

x2  x

2



2 2

.

Penghitungan nilai p Berdasarkan Persamaan (4.15) diperoleh

p 

d 





 *   i dx  dx 

 *  dx

  2 x2



dx  A * Axe  i   0.   2 x2 dx  A * A e

dan  2 d 2  *     dx 2  2 p    *  dx 



 2  2

2

 2 2  dx  A * A(  2  2 )( 1   2 x 2 )e   x dx     

 A * A e 2

  2 x2

 ( 1   x ) e    2 x2 dx  e

dx

 2 x 2

dx

  2 ( 3 /2 ) ( 1 / 2 )   2  2    2  2  1  : . 2 2  3 /2 2  1 / 2  

Dengan demikian, berdasarkan Persamaan (4.18) diperoleh

p 

p2  p

2



 . 2

Akhirnya kita peroleh nilai perkalian x p sebesar

 1      xp   2   2  .  2  2  2

(4. 37)

Merujuk pada asas ketakpastian Heisenberg, nilai tersebut merupakan nilai minimum bagi perkalian xp. Perhatikan bahwa fungsi gelombang yang menghasilkan nilai terkecil xp ini termasuk kelompok fungsi Gaussan. Keseluruhan contoh perhitungan di atas hasilnya sama dengan yang kita lakukan dengan menggunakan prinsip penafsiran Born sebagaimana Pengantar Fisika Kuantum

Asas ketakpastian Heisenberg

107

telah kita lakukan di Bab 3. Sangat disarankan kepada pembaca untuk membandingkan sekali lagi proses dan hasil penghitungan di bab ini dengan yang telah dilakukan di Bab 3. Metode mana yang lebih mudah/ sederhana? 4.5.2 Rumusan umum asas Ketakpastian Heisenberg Berdasarkan prinsip pengukuran dapat diturunkan rumusan umum asas ketakpastian Heisenberg untuk pasangan x dan p. Berdasarkan definisi varians sebagaimana diuraikan di depan kita peroleh hubungan 2

 x2  p2     * x  x 



2   d   dx     *   i  p   dx   dx   

(4. 38)

Untuk penyederhanaan perhitungan, tanpa mengurangi generalisasinya, kita andaikan  (x) berupa fungsi genap sehingga dan

= 0. (Lihat pertanyaan analitis di bagian Perlatihan). Dengan demikian Persamaan (4.36) menjadi

 x2 p2    2

2

-  * x  dx -  * ddx dx . 



2



2





(4. 39)



Integran pada integral pertama persamaan ini dapat diubah menjadi ( * x )( x ) , sedangkan integral kedua dapat diubah menjadi 

- *

d 2 dx  dx 2



- * d

d d  * dx dx







 -

 d d * d d *   - dx . dx dx dx

Dengan demikian, Persamaan (4.37) dapat diubah menjadi





 d * d   x2 2p   2 - ( * x)( x ) dx  - dx . dx dx  

Dengan mendefiniskan f  x dan g  samaan (4.38) tidak lain adalah f

2

d dx

(4. 40)

, maka integral pertama Per2

dan integral keduanya adalah g .

Selanjutnya, berdasarkan ketaksamaan Schwarz f

2

2

g 



1 2

( f , g)  ( g , f ) 

maka Persamaan (4.38) dapat diganti dengan pernyataan

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

2

108

Rangkuman

2   d  d *     ( * x ) dx  - x dx     4  dx dx  2 x

2

2 p

2

2 2    d d *      * x )  x  d x  .     4  -  dx dx 4  

Penyelesaian integral di atas dapat dilakukan dengan teknik integral parsial (Lihat pertanyaan analisis no 4). Persamaan terakhir di atas identik dengan x p   x2 2p   / 2 .

(4. 41)

Itulah pernyataan umum asas ketakpastian Heisenberg untuk pasangan x dan px.

RANGKUMAN 1.

2.

3.

4.

Fisika kuantum dibangun untuk mendeskripsikan secara teoretis perilaku entitas fisis yang memiliki sifat ganda, yaitu sebagai partikel dan juga sebagai gelombang. Dengan kata lain, fisika kuantum dibangun untuk menyempurnakan teori-teori dalam fisika klasik yang pada dasarnya bersifat parsial, yaitu ada sekelompok teori yang khusus mempelajari perilaku partikel dan ada sekelompok teori yang secara khusus mempelajari perilaku gelombang. Pada bab ini kita telah membahas tiga postulat dasar dalam fisika kuantum, yaitu postulat tentang pendeskripsian keadaan sistem, postulat tentang pendeskripsian besaran fisika, dan postulat tentang pendeskripsian pengukuran beserta aspek-aspeknya. Postulat tentang pendeskripsian keadaan sistem menyatakan bahwa keadaan sistem disajikan dalam bentuk fungsi gelombang. Sebagai penyaji keadaan sistem maka fungsi gelombang harus memuat semua informasi tentang sistem. Artinya, berdasarkan fungsi gelombang itu kita harus dapat mengetahui berbagai nilai besaran fisika yang dimiliki oleh sistem yang dibicarakan. Fungsi gelombang dapat disajikan dalam ruang posisi maupun dalam ruang momentum. Keduanya merupakan pasangan Fourier. Postulat tentang pendeskripsian besaran fisika menyatakan bahwa besaran fisika disajikan dalam bentuk operator Hermitean, yaitu suatu operator yang nilai harapnya selalu berupa bilangan real. Operator-

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman

109

operator yang mewakili besaran dinamis fundamental yaitu posisi dan momentum linear telah kita rumuskan. Bentuk eksplisitnya bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan seperti ditunjukkan pada tabel berikut. Lambang dan wujud operator yang mewakili posisi dan momentum linear

Besaran Posisi r = (x, y, z)

Momentum linear p = (px, py, pz)

Lambang operator

Xˆ Yˆ

y

i

 p y

Zˆ

z

i

 p z

Pˆx

 i

Pˆy Pˆz

5.

Bentuk eksplisit dalam ruang dalam ruang posisi momentum linear x  i p x

 x   i y   i z

px py pz

Berdasarkan kedua operator besaran dinamis fundamental tersebut dapat dirumuskan operator-operator bagi besaran lainnya, utamanya yang definisi klasiknya sudah diketahui. Prosedurnya mengikuti kaedah pengkuantuman besaran fisika sebagai berikut.  



Nyatakan definisi besaran tersebut sebagai fungsi posisi dan/atau momentum linear. Jika dalam ungkapan tersebut termuat perkalian skalar antara posisi dan momentum linear, ganti p.r dengan ½ (p.r + r.p). Setelah itu, ganti setiap variabel posisi dengan operator posisi, dan setiap variabel momentum linear dengan operator momentum linear. Jika dalam ungkapan tersebut tidak termuat perkalian skalar p.r, langsung ganti setiap variabel posisi dengan operator posisi, dan setiap variabel momentum linear dengan operator momentum linear.

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

110 6.

Rangkuman

Postulat tentang pengukuran menyatakan hal-hal berikut. 







Mengukur, secara matematis, didefinisikan sebagai proses mengerjakan operator yang mewakili besaran yang diukur pada fungsi gelombang yang menyatakan keadaan sistem saat pengukuran. Keadaan sistem pada umumnya berubah akibat pengukuran. Pengukuran tidak akan mengubah keadaan sistem jika dan hanya jika keadaan sistem saat pengukuran merupakan keadaan eigen bagi besaran itu. Keadaan akhir setelah pengukuran serempak dua besaran yang berbeda pada umumnya bergantung pada urutan pengukurannya. Keadaan akhir akan sama jika dan hanya jika kedua operator yang mewakili besaran yang diukur itu saling berkomutasi. Nilai ukur dari suatu proses pengukuran tidak dapat diprediksi sebelumnya. Hal ini disebabkan karena setiap pengukuran akan mengubah keadaan sistem sehingga hasil dari sederetan pengukuran berulang tidak akan sama. Karena keadaan akhir setiap pengukuran bersifat acak, maka hasil ukur berulang-ulang akan membentuk sederetan data yang bersifat acak. Dengan demikian, hasil ukur hanya dapat ditentukan secara probabilistik atau statistik. Nilai harap pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang  didefinisikan sebagai berikut. 

Aˆ







~

~

  * Aˆ  dx - * Aˆ  dp  -  . 

- * dx

~ ~



- *  dp

Ruas kedua digunakan dalam ruang posisi, sedangkan ruas terakhir digunakan dalam ruang momentum linear. Ketidakpastian nilai ukur pada pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang  didefinisikan sebagai berikut.

A2  A

A 

2

,

dengan

  * Aˆ  dx  -~ * Aˆ ~ dp .  -   - *  dx -~ * ~ dp 

ˆ2 A

Pengantar Fisika Kuantum

2



2

Perlatihan

7.

8.

111

Berdasarkan postulat pengukuran tersebut dapat dihitung nilai xp pada berbagai keadaan. Hasilnya ternyata cocok dengan asas ketakpastian Heisenberg. Nilai xp akan minimal (yaitu =  / 2 ) jika fungsi gelombangnya berupa fungsi Gaussan.

PERLATIHAN Pertanyaan Konsep 1. 2.

3.

4.

5. 6.

7.

8.

9.

Dalam fisika klasik, bagaimanakah kedaan sistem dideskripsikan? Mengapa dalam fisika kuantum keadaan sistem disajikan dalam bentuk fungsi gelombang? Tidak dapatkah dideskripsikan dengan menyebutkan semua nilai besaran fisik yang dimiliki? Berdasarkan peranannya sebagai penyaji keadaan sistem, berikanlah syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang! (Petunjuk: ingatlah bahwa dari fungsi gelombang itu kita dapat mendefinisikan fungsi rapat peluang, baik untuk posisi maupun untuk momentum linear partikel!) Haruskah fungsi gelombang secara lengkap memuat semua informasi tentang sistem? Apakah informasi itu tampak secara eksplisit dalam ungkapan matematis fungsi gelombang? Perlukah besaran massa dan waktu dirumuskan operatornya? Dalam perkuliahan fisika dasar kita mengenal 7 besaran pokok, yaitu massa, waktu, panjang, temperatur, intensitas cahaya, kuat arus listrik, dan jumlah zat. Mengapa yang diangkat sebagai besaran pokok (fundamental) dalam dinamika kuantum adalah posisi dan momentum linear? Bukankah momentum linear merupakan besaran turunan? Apakah pandangan dalam fisika kuantum yang menyatakan bahwa pengukuran pada umumnya mengubah keadaan sistem merupakan pernyataan yang mengubah pandangan klasik? Pernyataan: “Mengukur merupakan proses mengerjakan operator terhadap fungsi gelombang”, dapat dikatakan sebagai mematematiskan proses pengukuran. Apakah mematematiskan proses pengukuran juga ada di fisika klasik, walaupun mungkin dalam bentuk yang berbeda? Menurut fisika kuantum, hasil pengukuran bersifat statistik atau probabilistik. Menurut Anda, apakah cara pandang seperti itu dapat menghasilkan teori yang dapat diuji kebenarannya di laboratorium?

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

112

Perlatihan

10. Operator yang mewakili besaran fisika harus bersifat Hermitean karena nilai harap operator Hermitean selalu real. Apakah nilai besaran fisika itu memang harus real? Pertanyaan Analisis 1.

Tiga fungsi gelombang berikut  1  e i kx ,  2  e e i kx , dan  3  k e i kx dengan k dan  suatu tetapan, menyatakan suatu keadaan yang sama. Ujilah pernyataan itu dengan: (a) menentukan fungsi rapat peluang posisi partikel, dan (b) menghitung nilai harap momentum linear partikel. 1   2 x2 2

2.

Hitung tetapan penormalan A pada fungsi gelombang  ( x )  A e

3.

Jika  (x ) merupakan fungsi genap, tunjukkan bahwa =

= 0.

4.

Buktikan bahwa

d * x  dx   1 (Petunjuk: lakukan dx  integrasi secara parsial dan ingat bahwa  bernilai nol di x    serta 

d



-   * x dx





- * dx  1 ). Pˆ 2 , b) Xˆ  x, dan c) Eˆ k  Hermitean! 2m p x

5.

 Buktikan bahwa: a) Xˆ  i

6.

(a). Tunjukkan bahwa: (i) Xˆ Pˆx dan Pˆx Xˆ keduanya tidak Hermitean, te-

7.

8. 9.

tapi (ii) Xˆ Pˆx  Pˆx Xˆ  bersifat Hermitean. (b) Berdasarkan pertanyaan (a) tersebut, jelaskan mengapa dalam merumuskan operator yang mewakili p.r kita harus terlebih dahulu mengubah p.r menjadi ½ (p.r + r.p)? (Petunjuk: (i) ingat bahwa p.r = xpx + ypy + zpz, (ii) kaitkan persoalan ini dengan postulat tentang pendeskripsian besaran fisika) (a) Rumuskan bentuk eksplisit operator yang mewakili kuadrat momentum sudut dalam ruang posisi! (b) Rumuskan bentuk eksplisit operator yang mewakili energi potensial osilator harmonis dalam ruang: (i) posisi, dan (ii) dalam ruang momentum linear!









Tunjukkan bahwa: a) Xˆ,Pˆx  XˆPˆx  Pˆx Xˆ  i , b) Pˆ 2 , Xˆ   2i Pˆ Apakah pengukuran momentum linear pada osilator harmonis dalam keadaan dasar akan mengubah keadaan sistem? Bagaimana jika yang kita ukur posisinya? energi kinetiknya? energi potensialnya?

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

113

10. Tunjukkan bahwa antarkomponen momentum sudut tidak saling berkomutasi, yaitu: [ Lˆ x , Lˆ y ]  i Lˆ z , [ Lˆ y , Lˆ z ]  i Lˆ x , [ Lˆ z , Lˆ x ]  i Lˆ y tetapi setiap komponen momentum sudut komut dengan kuadrat momentum sudut, yaitu [Lˆ 2 , Lˆ y ]  0 , [Lˆ 2 , Lˆ z ]  0 , [ Lˆ 2 , Lˆ x ]  0 . 11. (a). Buktikan semua identitas komutator pada Persamaan (4.31). (b). Jika [ Aˆ , [ Aˆ , Bˆ ]]  0 dan Bˆ , [ Aˆ , Bˆ ]]  0 tunjukkan bahwa (i) [ Aˆ , Bˆ n] = n Bˆ

n1

[ Aˆ , Bˆ ] ,

(ii) [ Aˆ n , Bˆ ] = n Aˆ n1 [ Aˆ , Bˆ ]

(c). Kapan berlaku hubungan: ˆ [A ˆ , Bˆ ] A ˆ A ˆ 2 [A ˆ , Bˆ ] ? (i) Aˆ Cˆ Aˆ  Aˆ 2 Cˆ ? (ii) A ˆ   a dengan a suatu bilangan, merupakan contoh 12. Persamaan: A persamaan nilai eigen. Dalam hal ini,  disebut fungsi eigen bagi Aˆ

dengan nilai eigen sebesar a. Berdasarkan peristilahan pada persamaan nilai eigen tersebut, tunjukkan bahwa jika Aˆ dan Bˆ saling berkomutasi dan  merupakan fungsi eigen bagi Bˆ dengan nilai eigen b maka Aˆ  juga fungsi eigen bagi Bˆ dengan nilai eigen b juga. ˆ dan Bˆ memenuhi hubungan Aˆ Bˆ   Bˆ Aˆ  dengan  me13. Jika operator A rupakan sebarang fungsi gelombang, manakah pernyataan-pernyataan berikut yang benar? a. Dampak pengukuran serempak besaran A dan B tidak bergantung pada urutan pengukurannya. b. Dimungkinkan menghasilkan ketakpastian serempak (A B) = 0 ˆ , Bˆ ]  0 . c. [ A 14. Manakah pernyataan-pernyataan berikut yang benar perihal pendeskripsian pengukuran dalam fisika kuantum? a. Pengukuran selalu mengubah keadaan sistem. b. Hasil ukur bersifat probabilistik. c. Hasil pengukuran suatu besaran di ruang momentum linear berbeda dengan hasil pengukuran di ruang posisi. 15. Operasi matematika berikut melibatkan unsur-unsur: fungsi (dilambangi huruf-huruf yunani, operator (dilambangi huruf besar bertopi), dan bilangan (dilambangi huruf-huruf biasa). Manakah operasi berikut yang syah? a. (,) = c b. Aˆ   c c. [ Aˆ , Bˆ ]  c

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

114

Perlatihan

definisi posisi dan momentum

A Asas ketakpastian Heisenberg berdasar postulat pengukuran 102–3 rumusan umum 107 B Born, Max

102, 106

de Broglie hipotesis

83

F Fungsi eigen Fungsi gelombang norm perkalian skalar Fungsi gelombang, analogi dengan trayektori klasik

113 98 98 84

G 106, 111 83

H Heisenberg, W asas ketakpastian 84, 102, 103, 105, 106, 108, 111 K kaedah pengkuantuman 89, 109 Komutator antarkomponen momentum sudut 113

Pengantar Fisika Kuantum

M Maxwell Metodologi Fisika Kuantum

83 84

N

D

Gaussan, fungsi Gelombang de Broglie

102 112

Newton Nilai eigen persamaan Nilai harap

83 113 95

O Operator besaran lain, kaedah pengkuantuman 89 energi kinetik 89 Hermitean 85, 108, 112 Hermitean definisi 100 nilai harap 101 identitas 99 momentum linear dalam ruang momentum 87 dalam ruang posisi 88 momentum sudut 90 nol 99 operator-operator kompatibel 102 penjumlahan 101 posisi dalam ruang momentum 86 dalam ruang posisi 86 Ortogonal 98, 99 Ortonormal 98 osilator harmonis 105, 112

Perlatihan

P Pendeskripsian keadaan Pengukuran dampak deskripsi kuantum hasil, probabilistik pengukuran serempak proses Persamaan Schrödinger Postulat Fisika Kuantum Pendeskripsian besaran Pendeskripsian keadaan

115

R 84 92 91 95 91 91 85 85 84

Ruang momentum 84, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 102, 108, 109, 110, 112, 113 Ruang posisi 84, 86, 88, 89, 90, 93, 94, 95, 102, 103, 108, 109, 110, 112, 113 S Schrödinger persamaan Schwarz ketaksamaan SI 100

85 99, 107

Bab 4: Pokok-pokok Metodologi Fisika Kuantum

BAB 5

PERSAMAAN SCHRÖDINGER

Dalam bab 4 kita sudah membahas tiga postulat penting dalam fisika kuantum, yaitu postulat tentang pendeskripsian keadaan sistem, postulat tentang pendeskripsian besaran fisika, dan postulat tentang pengukuran beserta aspek-aspeknya. Ada satu lagi postulat penting dalam fisika kuantum yang harus kita pahami, yaitu postulat tentang perubahan keadaan sistem terhadap waktu. Selain digunakan untuk mengetahui bagaimana keadaan sistem berubah terhadap waktu, postulat tersebut juga digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang. Sebagaimana disinggung di Bab 4, fungsi gelombang tidak dapat dibangun hanya dengan menggunakan hipotesis de Broglie semata. Untuk mendapatkan fungsi gelombang, Edwin Schrödinger, pada tahun 1926, telah berhasil merumuskan caranya. Sebagai penghormatan atas karya besarnya itu, formula yang dirumuskan Schrödinger tersebut dinamai Persamaan Schrödinger. Dalam bab ini kita akan membahas persamaan Schrödinger tersebut dan menerapkannya pada kasus-kasus sederhana. Melalui contoh-contoh penerapan pada kasus yang sederhana itu diharapkan Anda dapat membangun intuisi Anda tentang perilaku sistem mikroskopis sebagaimana Anda dapat membangun intuisi Anda tentang perilaku sistem makroskopis melalui penerapan mekanika Newton dalam berbagai kasus. Untuk menunjukkan terpenuhinya asas kesepadanan teori Schrödinger dan mekanika Newton, pada bab ini juga akan kita bahas bagaimana teori Schrödinger dihubungkan dengan mekanika Newton tersebut. 5.1 PERUMUSAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER Sebagimana telah disinggung di depan, persamaan Schrödinger diperlukan untuk menemukan fungsi gelombang bagi suatu sistem mikroskopis. Sutopo

Pengantar Fisika Kuantum

115

116

Perumusan persamaan Schrödinger

Berikut kita bahas bagaimana bentuk persamaan itu dan bagaimana mendapatkannya. Bentuk paling umum suatu persamaan yang penyelesaiannya berupa suatu fungsi adalah persamaan diferensial. Karena fungsi yang akan dihasilkan dari persamaan Schrödinger adalah fungsi gelombang (x,t), yang merupakan fungsi dua variabel, yaitu x dan t, persamaan Schrödinger harus merupakan persamaan diferensial parsial. Ini merupakan petunjuk umum yang kita miliki untuk mendapatkan persamaan Schrödinger. Petunjuk yang lebih khusus dapat kita peroleh dari postulat-postulat fisika kuantum sebagaimana telah kita bahas di Bab 4. Berdasarkan postulat tentang pendeskripsian keadaan sistem, yaitu keadaan sistem dideskripsikan sebagai fungsi gelombang (x,t), kita dapatkan petunjuk bahwa fungsi gelombang (x,t) yang dihasilkan oleh persamaan Schrödinger harus dapat digunakan untuk mengetahui nilai berbagai besaran fisika yang dimiliki sistem. Cara mengetahui nilai besaran fisika adalah dengan melakukan pengukuran. Menurut postulat tentang pengukuran, mengukur adalah mengerjakan operator (yang mewakili besaran fisika yang diukur) pada fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem saat pengukuran. Marilah kita gunakan petunjuk itu dengan menerapkan pada kasus khusus, yaitu pengukuran energi total bagi sistem konservatif. Pada sistem konservatif berlaku hukum kekekalan energi, yaitu jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal: artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi. Sebagaimana kita ketahui, hukum kekekalan energi tersebut telah dapat dijelaskan secara baik oleh fisika klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang lebih baru, persamaan Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi tersebut. Secara matematis hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan: p2  V ( x)  E . 2m

(5. 1)

Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya kita sebut sebagai energi total. Untuk mendapatkan rumusan kuantum bagi hukum kekekalan energi tersebut, kita ubah Persamaan (5.1) menjadi persamaan operator. Berdasarkan postulat pendeskripsian besaran fisika, khususnya yang berkaitan de-

Pengantar Fisika Kuantum

Perumusan persamaan Schrödinger

117

ngan kaedah pengkuantuman besaran fisika, persamaan operator yang sepadan dengan Persamaan (5.1) adalah Pˆ 2  V ( Xˆ )  Eˆ . 2m

(5.1b)

Dalam ruang posisi, cara kerja operator Pˆ dan V ( Xˆ ) sudah kita dapatkan di Bab 4, yaitu Pˆ   i  / x dan V ( Xˆ )  V ( x) . Jika ungkapan ini kita isikan pada Persamaan (5.1b) kemudian masing-masing ruas persamaan tersebut kita kerjakan pada sebarang fungsi gelombang (x,t) kita dapatkan persamaan 

 2  2  (x,t)  V( x ) ( x , t )  Eˆ  ( x , t ) . 2m x 2

(5. 2)

Sejauh ini kita belum mengetahui cara kerja operator Eˆ terhadap fungsi (x,t). Oleh sebab itu kita harus menemukan dahulu cara kerja operator

Eˆ tersebut. Untuk keperluan ini kita gunakan postulat pengukuran, khususnya yang berhubungan dengan dampak pengukuran terhadap keadaan sistem. Menurut postulat ini, fungsi gelombang tidak berubah akibat pengukuran jika fungsi gelombang tersebut merupakan fungsi eigen bagi besaran yang diukur. Marilah kita gunakan postulat itu untuk menemukan cara kerja operator Eˆ . Perhatikan fungsi gelombang  ( x , t )  e i ( kx  t ). Fungsi gelombang ini memiliki frekuensi sudut sebesar . Berdasarkan kaitan Planck-Einstein E   (lihat Persamaan 2.5 di Bab 2), dapat disimpulkan bahwa fungsi gelombang tadi mendeskripsikan keadaan partikel yang memiliki energi sebesar E   . Dengan kata lain, fungsi gelombang tadi merupakan fungsi eigen bagi operator energi Eˆ dengan nilai eigen E   . Dengan demikian maka fungsi gelombang tadi harus memenuhi persamaan nilai eigen:

Eˆ  ( x, t )    ( x, t ) .

(5. 3)

Jadi, dengan menggunakan fungsi gelombang  ( x, t )  e i (kx  t ) ini dapat disimpulkan bahwa operator Eˆ berbentuk Eˆ  i  / t , sebab

i

( x , t )  i ( kx  t ) i  e    e i ( kx  t )    ( x , t ) . t t









Bab 5: Persamaan Schrödinger

118

Perumusan persamaan Schrödinger

Dengan telah ditemukannya cara kerja operator Eˆ tadi maka Persamaan (5.2) menjadi 

 ( x, t )  2  2  ( x, t )  V ( x) ( x, t )  i  . 2 2m t x

(5. 4)

Persamaan (5.4) merupakan persamaan diferensial parsial yang jika diselesaikan akan menghasilkan fungsi gelombang (x,t). Persamaan ini telah memenuhi harapan kita sebagaimana diungkapkan di depan. Namun masih ada keterbatasan yang dimiliki oleh persamaan itu, yaitu hanya berlaku untuk sistem yang energi potensialnya secara eksplisit tidak bergantung pada waktu t. Keterbatasan ini dapat dihilangkan dengan mempostulatkan bahwa persamaan tersebut juga berlaku untuk sistem yang energi potensialnya secara eksplisit bergantung pada waktu. Untuk itu, perubahan yang kita lakukan cukup mengubah V(x) menjadi V(x,t). Dengan demikian kita dapatkan persamaan akhir: 

 ( x, t )  2  2  ( x, t )  V ( x, t )  ( x, t )  i  . 2 2m t x

(5. 5)

Inilah persamaan yang kita cari, yaitu persamaan Schrödinger (dalam satu dimensi). Dalam 3 dimensi, persamaan Schrödinger tersebut berbentuk 

 (r , t ) 2 2   (r, t )  V (r, t ) (r, t )  i  , 2m t

(5. 6)

dengan  2 merupakan operator Laplacean yang dalam sistem koordinat Cartesan berbentuk

2 x 2



2 y 2



2 z 2

. Sangat disarankan agar Anda menye-

garkan kembali pengetahuan Anda tentang bentuk operator Laplacean pada sistem koordinat lainnya.

5.2 TINJAUAN UMUM Sekarang marilah kita lakukan tinjauan secara umum terhadap persamaan Schrödinger di atas, khususnya dari segi variasi bentuk eksplisitnya dan struktur matematisnya.

Pengantar Fisika Kuantum

Tinjauan umum

119

5.2.1 Bentuk Eksplisit Persamaan Schrödinger Bentuk umum persamaan Schrödinger telah kita temukan sebagaimana dinyatakan oleh Persamaan (5.5) atau (5.6). Pertanyaan selanjutnya adalah apa yang membedakan persamaan Schrödinger bagi suatu sistem dengan persamaan Schrödinger bagi sistem lainnya? Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan semua unsur yang muncul pada Persamaan (5.5) atau (5.6). Unsur i   1 dan  keduanya merupakan tetapan. Jadi kedua unsur itu akan selalu muncul pada semua sistem. Unsur-unsur operator matematis (operator derivatif ke posisi, yaitu  2 / x 2 dan operator derivatif ke waktu, yaitu  / t ) juga tidak bergantung pada sistem yang dibicarakan. Unsur m (massa partikel) secara numerik memang berbeda antara partikel yang satu dengan partikel lainnya, tetapi lambangnya tetap sama, yaitu m. Maka unsur m akan muncul dalam persamaan Schrödinger dengan cara yang sama, apapun sistem/partikel yang dibicarakan. Dengan demikian, satu satunya unsur yang membedakan satu sistem dengan sistem lainnya adalah V(x,t), yaitu ungkapan matematis energi potensial sistem. Ini berarti bahwa faktor energi potensiallah yang membedakan bentuk eksplisit persamaan Schrödinger untuk sistem fisis yang satu dengan persamaan Schrödinger untuk sistem fisis lainnya. Berdasarkan uraian di atas jelaslah bahwa dalam membangun persamaan Schrödinger suatu sistem, hal pokok yang perlu kita ketahui adalah variasi energi potensial terhadap posisi dan waktu. Variasi itu selanjutnya kita nyatakan dalam bentuk fungsi V(x,t) untuk kasus satu dimensi, atau V(r,t) untuk kasus 3 dimensi. Contoh Soal 5.1 Dapatkan persamaan Schrödinger untuk osilator harmonis satu dimensi. Analisis Osilator harmonis memiliki energi potensial V(x,t) = ½ kx, dengan k suatu tetapan yang dinamai tetapan pegas. Subsitusi V(x,t) = ½ kx ke dalam Persamaan (5.5) kita peroleh persamaan Schrödinger untuk osilator harmonis: 

 ( x, t )  2  2  ( x, t ) 1  k x 2  ( x, t )  i  . 2 2m 2 t x Bab 5: Persamaan Schrödinger

120

Tinjauan umum

Contoh Soal 5.2 Dapatkan persamaan Schrödinger untuk sebuah elektron yang berada dalam medan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik q yang ditempatkan pada pusat koordinat. Analisis Dalam medan listrik tersebut elektron memiliki energi potensial yang dihasilkan oleh interaksi Coulomb sebagai berikut V( x , y , z ) 

qe 4 π

x2  y 2  z2

dengan e dan  secara berurutan menyatakan muatan elektron dan permitivitas medium di mana elektron berada. Dengan demikian, persamaan Schrödinger untuk elektron tersebut adalah 

2 2   ( x, y, z , t )  2m 4 π

qe 2

 ( x, y, z , t )  i  2

x y z

2

 ( x, y , z , t ) . t

5.2.2 Struktur Matematis Persamaan Schrödinger Beberapa aspek penting pada struktur matematis persamaan Schrödinger adalah sebagai berikut. 1. Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial dalam ruang kompleks Adanya bilangan imajiner i dalam persamaan Schrödinger menunjukkan bahwa persamaan tersebut merupakan persaman diferensial dalam ruang kompleks. Akibatnya, penyelesaian persamaan Schrödinger pada umumnya merupakan fungsi kompleks dengan variabel real (posisi dan waktu). Itulah sebabnya mengapa fungsi gelombang tidak memiliki arti fisis secara langsung. 2. Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial linear Persamaan Schrödinger termasuk persamaan diferensial linear, baik terhadap ruang maupun waktu. Akibatnya, jika fungsi gelombang 1 Pengantar Fisika Kuantum

Tinjauan umum

121

dan 2 merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk suatu sistem tertentu, maka sebarang kombinasi linear kedua fungsi gelombang itu, yaitu 3 = 1 + 2 dengan  dan  merupakan tetapan, juga merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem tersebut. Hal ini dengan mudah dapat dibuktikan sebagai berikut. Subtitusi 3 = 1 + 2 ke ruas kiri Persamaan (5.5) diperoleh 

2 2  2  3  2  ( 1  β2 )  V ( x , t )     V( x , t )( 1  β2 ) 3 2m  x 2 2m  x2

  2  2 1       V( x , t ) 1   2  2m  x 

  2  2 2  β    V( x , t ) 2  . 2  2m  x 

(5. 7)

Sekarang perhatikan faktor yang dikurung pada ruas kanan Persamaan (5.7). Karena 1 dan 2 telah diasumsikan merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger, maka Persamaan (5.7) itu menunjukkan kepada kita bahwa kedua faktor dalam tanda kurung tadi masing masing memenuhi hubungan 

 ( x, t )  2  2 1 ( x, t )  V ( x, t ) 1 ( x, t )  i  1 , 2m t  x2

dan 

2 ( x, t )  2  2 2 ( x , t )  V ( x , t ) 2 ( x , t )  i  . 2 2m t x

Subsitusi kedua persaman terakhir itu ke dalam Persamaan (5.7) menghasilkan 

2      2  2  3  V ( x, t ) 3    i  1   β  i  2 2m  x t  t    (  1  β2 )  i t

 i

  

3 , t

yang menunjukkan bahwa 3 benar-benar merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem yang sama.

Bab 5: Persamaan Schrödinger

122

Tinjauan umum

3. Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial orde satu terhadap waktu (variabel t ) Kenyataan ini menunjukkan bahwa perubahan fungsi gelombang terhadap waktu bersifat deterministik. Artinya jika kita mengetahui fungsi gelombang pada t tertentu, misalnya t = t0, maka fungsi gelombang pada t berikutnya dapat diketahui secara pasti. Hal penting yang perlu dicatat adalah: meskipun hasil pengukuran bersifat probabilistik (non deterministik) dan informasi tentang nilai semua besaran fisika terkandung dalam fungsi gelombang, ternyata perubahan fungsi gelombang terhadap waktu bersifat deterministik. Contoh Soal 5.3 Tunjukkan bahwa fungsi gelombang berikut  2 nπx i E n t /  sin e   ( x, t )   a a 0 

; x a /2 ; x a/2

dengan n = 1, 2, 3, …, merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger bagi partikel bermasa m yang hanya bebas bergerak dalam interval –a/2 ≤ x ≤ a/2. Tentukan batasan nilai En yang diijinkan! Analisis Pernyataan bahwa “partikel hanya dapat bergerak bebas dalam interval a/2 ≤ x ≤ a/2” memiliki arti bahwa partikel tidak mungkin berada di luar interval itu. Dengan kata lain, peluang mendapatkan partikel di luar interval itu sebesar nol. Hal ini hanya dipenuhi jika fungsi gelombang di luar interval – a/2 ≤ x ≤ a/2 bernilai nol. Partikel bebas bergerak dalam interval – a/2 ≤ x ≤ a/2 menunjukkan bahwa partikel tidak mengalami gaya apapun dalam interval itu. Jadi, energi potensialnya konstan. Jika potensial ini dilambangi V0 maka persamaan Schrödinger dalam interval –a/2 ≤ x ≤ a/2 berbentuk 

 ( x, t )  2  2  ( x, t )  V 0  ( x, t )  i  . 2 2m  x t

Pengantar Fisika Kuantum

Tinjauan umum

123

Untuk menguji apakah benar fungsi gelombang yang diketahui tadi merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger, kita subtitusikan fungsi gelombang itu ke dalam persamaan terakhir di atas. Subsitusi ke ruas kiri menghasilkan 

 n2 π 2 2  2  2  2 ( x , t ) nx iEnt /   V  ( x , t )   V0  sin e  0 2 2 2m  x 2 ma a a    n2 π 2 2    V0  ( x , t ). 2  2ma 

Subsitusi ke ruas kanan menghasilkan i

 ( x , t ) 2 nx  iEnt /     i   - i En /  sin e  t a a    En

2 nx iEnt /  sin e  En ( x , t ) . a a

Dengan demikian kita dapat hubungan  n 2 π 2  2   V0  ( x, t )  E n  ( x, t ) .   2ma 2 

Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang tadi dijamin sebagai penyelesaian persamaan Schrödinger bagi partikel yang bebas bergerak dalam interval – a/2 ≤ x ≤ a/2 asalkan tetapan En dalam fungsi gelombang itu memenuhi hubungan

En 

n 2 π 2 2 2ma 2

 V0 .

Ungkapan ini sekaligus memberikan batasan nilai yang harus dipenuhi oleh En.

5.3 PERUBAHAN NILAI HARAP TERHADAP WAKTU Perubahan fungsi gelombang terhadap waktu telah terumuskan, yaitu mengikuti persamaan Schrödinger. Mengingat fungsi gelombang berkaitan erat dengan hasil pengukuran, maka timbul pertanyaan tentang bagaimana hasil pengukuran berubah terhadap waktu. Perlu dicatat bahwa hasil pengBab 5: Persamaan Schrödinger

124

Perubahan nilai harap terhadap waktu

ukuran di sini harus kita artikan sebagai nilai harap (rerata) pengukuran. Hal ini disebabkan karena hasil pengukuran bersifat probabilistik sehingga tidak mungkin bagi kita untuk menyelidiki perilaku hasil ukur secara individual. Dengan menggunakan persamaan Schrödinger, kita akan menemukan jawaban atas pertanyaan tadi. Selanjutnya, untuk penyederhanaan penulisan, kita definisikan 2 2 Hˆ    V ( x ,t ) . 2 m x 2

(5. 8 )

Dengan menggunakan definisi di atas, persamaan Schrödinger dapat ditulis dalam bentuk

 , Hˆ   i  t

(5. 9)

dengan  merupakan penyingkatan dari (x,t). Nilai harap pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan oleh fungsi gelombang ternormalkan  adalah, lihat Persamaan (4.17) di Bab 4, Aˆ



  * Aˆ  dx .

(5. 10)

Untuk mengetahui bagaimana nilai harap berubah terhadap waktu, kita ambil derivatif Persamaan (5.10) terhadap waktu, yaitu





d ˆ d  *ˆ A    A dx .  dt   dt

(5. 11)

Karena integrasi dilakukan terhadap x maka operator derivatif terhadap t dapat dimasukkan ke dalam integral. Jadi ruas kanan Persamaan (5.11) dapat diubah menjadi









d  *ˆ   *   A dx     Aˆ  dx . dt   t

(5. 12)

Perhatikan bahwa kita telah mengubah derivatif biasa (d/dt) menjadi derivatif parsial (/t). Ini harus kita lakukan mengingat pengambilan deˆ pada umumnya rivatif dilakukan terhadap t saja sedangkan , *, dan A merupakan fungsi x dan t. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan deri-

Pengantar Fisika Kuantum

Perubahan nilai harap terhadap waktu

125

vatif untuk perkalian dua fungsi atau lebih, integral di ruas kanan Persamaan (5.12) dapat diubah menjadi 

 

*  *ˆ Aˆ     A dx    Aˆ  dx     *  dx t t t     * Aˆ dx . t





 

(5. 13)

Berdasarkan persamaan Schrödinger, derivatif fungsi gelombang pada suku pertama dan suku terakhir ruas kanan persamaan tersebut masingmasing dapat diganti dengan ungkapan *

*  *  1 ˆ  1 ˆ   H     H . t i  i   

(5. 14a)

 1 ˆ  H , t i

(5.14b)





dan

Subtitusi Persamaan (5.14) ke dalam Persamaan (5.13) menghasilkan



1

  t  Aˆ  dx   i   Hˆ  Aˆ  dx     

*

*





*

ˆ 1  A ˆH ˆ dx.  dx    * A t i

 

ˆ Hermitean maka berlaku  Hˆ  * Aˆ  dx     * Hˆ Aˆ  dx (lihat Karena H   pertanyaan 12) sehingga persamaan terakhir tadi dapat diubah menjadi 

 

ˆ  1  * ˆ ˆ ˆˆ  * A  * Aˆ  dx   dx . (5. 15)    AH  HA  dx     t i t









Suku pertama ruas kanan Persamaan (5.15) menyatakan nilai harap bagi





komutator [ Aˆ , Hˆ ]  Aˆ Hˆ  Hˆ Aˆ dan suku kedua menyatakan nilai harap dari Aˆ / t . Dengan demikian, Persamaan (5.15) tadi dapat diubah lagi menjadi 

 

 1 Aˆ  * Aˆ  dx  [ Aˆ , Hˆ ]  Ψ t i t





.

(5. 16)

Ψ

Bab 5: Persamaan Schrödinger

126

Perubahan nilai harap terhadap waktu

Subtitusi Persamaan (5.16) ke Persamaan (5.12) kemudian hasilnya disubtitusikan ke Persamaan (5.11) menghasilkan ungkapan akhir rumusan perubahan nilai harap terhadap waktu sebagai berikut. d 1 AΨ  dt i

[ Aˆ , Hˆ ]

 Ψ

Aˆ t

(5. 17)

. Ψ

Persamaan (5.17) menunjukkan bahwa perubahan terhadap waktu nilai harap hasil ukur besaran A bergantung pada dua hal, yaitu: hubungan komutasi [ Aˆ , Hˆ ] dan kebergantungan secara eksplisit Aˆ terhadap waktu. Jika Aˆ secara eksplisit tidak bergantung waktu, maka suku terakhir persamaan itu bernilai nol. Kebergantungan terhadap fungsi gelombang bersifat implisit dan baru nampak ketika kita menghitung [ Aˆ , Hˆ ] dan Aˆ / t . Persamaan (5.17) sering disebut sebagai Persamaan Gerak Heisenberg.

Contoh Soal 5.4 Dapatkan cara nilai harap: (a) posisi x, dan (b) momentum linear p berubah terhadap waktu! Analisis Untuk mengetahui bagaimana nilai harap posisi dan momentum linear berubah terhadap waktu kita gunakan rumusan umum sebagaimana dinyatakan pada Persamaan (5.17). Untuk pertanyaan (a), kita ganti Aˆ dengan Xˆ dan untuk pertanyaan (b) kita ganti Aˆ dengan Pˆ . Sekarang kita selesaikan persoalan tadi satu per satu. (a) Perubahan nilai harap posisi terhadap waktu Berdasarkan Persamaan (5.17), perubahan nilai harap posisi terhadap waktu mengikuti hubungan d ˆ 1 X   dt i

[ Xˆ , Hˆ ]





Xˆ t

.

(5. 18)



Komutator yang dibentuk oleh operator posisi dan hamiltonan adalah

Pengantar Fisika Kuantum

127

Perubahan nilai harap terhadap waktu

Xˆ , Hˆ   Xˆ , 2Pˆm  V( Xˆ )  Xˆ , 2Pˆm   Xˆ , V(Xˆ ) . 2

2







(5. 19a)



Komutator suku terakhir merupakan operator nol, sebab [ Xˆ , Xˆ ]  0 sehingga [ Xˆ ,V( Xˆ )]  0 . Komutator suku pertama dapat diselesaikan sebagai berikut.  ˆ Pˆ 2  i Pˆ 1 ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ X, P  X , P P  Pˆ Xˆ , Pˆ  . X ,  2m  2 m 2m m 













Dengan demikian, Persamaan (5.19a) dapat diubah menjadi

Xˆ , Hˆ   i mPˆ

.

(5.19b)

ˆ secara eksplisit tidak bergantung waktu Selanjutnya, karena X ˆ / t  0 sehingga X ˆ / t  0. Subtitusi nilai ini dan Persamaka X maan (5.19b) ke dalam Persamaan (5.18) diperoleh ungkapan tentang perubahan nilai harap posisi terhadap waktu sebagai berikut i Pˆ m

d ˆ 1 X   dt i

Pˆ m

 

.

(5. 20)



a) Perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu Berdasarkan Persamaan (5.17), perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu mengikuti hubungan d ˆ P dt





1 i

ˆ] [ Pˆ , H



ˆ P t



.

(5. 21)



Komutator yang dibentuk oleh operator momentum linear dan hamiltonan adalah ˆ2

ˆ2

Pˆ , Hˆ    Pˆ , P2m  V ( Xˆ )   Pˆ , P2m   Pˆ , V ( Xˆ ) . 





(5. 22a)



Komutator suku pertama merupakan operator nol, sebab [ Pˆ , Pˆ ]  0 sehingga [ Pˆ , Pˆ 2 ]  0 . Komutator suku terakhir dapat diselesaikan

Bab 5: Persamaan Schrödinger

128

Perubahan nilai harap terhadap waktu

sebagai berikut. Jika komutator tersebut dikerjakan pada sebarang fungsi gelombang  (x), maka diperoleh hubungan

Pˆ , V ( Xˆ )  Pˆ V ( Xˆ )  V ( Xˆ )Pˆ    i  x V ( x)  V ( x)   i  x   



 V( x )      V( x )  i   V( x )  V( x ) .  i x x  x  x

 V( x ) Ini berarti bahwa Pˆ , V( Xˆ )   i  . x





Dengan demikian, Persamaan (5.22a) menjadi

Pˆ , Hˆ   i   Vx( x) .

(5.22b)

Selanjutnya, karena Pˆ secara eksplisit tidak bergantung pada waktu maka Pˆ / t  0 sehingga nilai harap Pˆ / t  0 .Subtitusi nilai ini dan Persamaan (5.22b) ke Persamaan (5.21) diperoleh ungkapan tentang perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu sebagai berikut.

d ˆ P dt





1 dV ( x) dV ( x ) i  . i dx dx

(5. 23)

Marilah kita telaah sejenak Persamaan (5. 20) dan (5.23) di atas. Persaˆ maan (5.20) dapat diubah menjadi  Pˆ   m d dXt  . Jika setiap operator da-

lam persamaan ini kita ganti dengan besaran fisik yang diwakilinya, kita dapatkan hubungan  p   m d dxt  . Dalam fisika klasik, momentum linear didefinisikan sebagai p  m ddxt , yang ternyata sangat mirip dengan yang kita dapatkan tadi. Sekarang kita perhatikan Persamaan (5.23). Dalam fisika klasik terdapat hubungan F  dp / dt (Hukum ke-2 Newton) dan untuk gaya konser vatif berlaku hubungan F   dV / dx . Jadi dalam fisika klasik, khususnya untuk sistem konservatif, berlaku hubungan

Pengantar Fisika Kuantum

129

Perubahan nilai harap terhadap waktu

dp dV  . dt dx

(5. 24)

Jika kita bandingkan Persamaan (5.23) dan (5.24) maka dapat kita simpulkan bahwa Persamaan (5.23) merupakan pernyataan Hukum ke-2 Newton dalam formulasi fisika kuantum. Telaah tadi menunjukkan kepada kita adanya kesepadanan antara fisika kuantum dengan fisika klasik. Kesepadanan rumusan kuantum dan rumusan klasik tentang Hukum ke-2 Newton ini dikenal sebagai Teorema Ehrenfest. Contoh Soal 5.5 Tunjukkan bahwa persamaan Schrödinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi. Analisis Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonan (energi kinetik ditambah energi potensial) sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonan sistem tidak berubah terhadap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan Schrödinger menjamin berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, kita selidiki bagaimana nilai harap hamiltonan sistem berubah terhadap waktu. Berdasarkan Persamaan (5.17), perubahan nilai harap hamiltonan terhadap waktu mengikuti formulasi dasar sebagai berikut. d ˆ 1 H   dt i

[ Hˆ , Hˆ ]





Hˆ t

.

(5. 25)



Karena [ Hˆ , Hˆ ]  0 dan untuk sistem konservatif Hˆ / t  0 maka Persamaan (5.25) menjadi

d ˆ H dt



 0, atau Hˆ  konstanta.

(5. 26)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonan sistem konservatif bersifat kekal. Ini berarti bahwa persamaan Schrödinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi..

Bab 5: Persamaan Schrödinger

130

Rapat arus peluang

5.4 RAPAT ARUS PELUANG Pada Bab 3 telah didefinisikan fungsi rapat peluang yang diasosiasikan dengan fungsi gelombang sebagai( r , t )   * ( r , t ) ( r , t ) sedemikian rupa sehingga (r , t ) d 3 x menyatakan besarnya peluang menemukan partikel di dalam unsur volume d3x di sekitar r pada saat t (lihat Persamaan 3.12). Kita juga sudah menyatakan bahwa untuk  (r , t ) yang telah ternormalkan berlaku 3 V (r, t ) d x  1 ,

(5. 27)

dengan integrasi meliputi seluruh ruang V (Lihat Persamaan 3.13). Persamaan (5.27) menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran partikel meliputi seluruh ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya kita pasti menemukan partikel tersebut. Persamaan itu juga menunjukkan bahwa rapat peluang global (dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal. Bagaimana jika rapat peluang tersebut dihitung secara lokal (meliputi ruang yang terbatas)? Apakah juga tidak bergantung pada waktu? Untuk menjawab pertanyaan itu, marilah kita selidiki apa yang terjadi jika rapat peluang lokal, yaitu(r , t )   * (r , t )  (r , t ) , kita ambil derivatifnya terhadap waktu t. Hasilnya adalah (r, t )  (r, t )  * (r, t )  *  . t t t

(5. 28)

Menurut persamaan Schrödinger (Persamaan 5.6), kedua derivatif fungsi gelombang terhadap waktu di ruas kanan Persamaan (5.28) tersebut masing-masing bernilai   (r, t ) i 2 i    (r, t )  V (r, t )  (r, t ) , t 2m 

(5. 29a)

  * (r , t ) - i  2 * i    (r, t )  V (r, t )  * (r, t ) . t 2m 

(5. 29b)

dan

Subtitusi Persamaan (5.29) ke dalam Persamaan (5.28) menghasilkan

Pengantar Fisika Kuantum

Rapat arus peluang

131

( r , t ) i i   * 2    2  *     *     * , (5. 30) t 2m 2m





 



dengan  menyatakan vektor operator (nabla) yang dalam sistem koordi  ˆ  nat Cartesan berbentuk i j k . x y z Persamaan (5.30) dapat diubah menjadi ( r , t )    J( r , t )  0 , t

(5. 31)

dengan vektor rapat arus peluang J(r,t) didefinisikan sebagai

J (r, t ) 

  *     * . i 2m





(5. 32)

Persamaan (5.31) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kontinuitas yang sudah kita kenal dalam fisika klasik. Sebagai misal, dalam  ρ( r , t ) elektrodinamika, adalah    J( r , t )  0 , dengan   rapat muatan t (per satuan volume) dan J  vektor rapat arus muatan (per satuan luas). Persamaan kontinuitas ini menyatakan bahwa jika rapat muatan listrik dalam suatu volume tertutup berubah (berkurang atau bertambah) terhadap waktu maka harus ada aliran muatan listrik (keluar atau masuk) yang menembus luasan yang membatasi ruang tertutup tersebut secara tegaklurus. Persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika ini merupakan manifestasi dari hukum kekekalan muatan listrik. Pemaknaan secara fisik Persamaan (5.31) tersebut dapat dilakukan dengan mengambil analogi dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika. Jika dalam elektrodinamika  sebagai rapat muatan dan J sebagai vektor rapat arus muatan, maka dalam konteks Persamaan (5.31):  sebagai rapat peluang (sudah didefinisikan sebelumnya) dan J sebagai vektor rapat arus peluang (sebagai hasil analogi). Kembali ke pertanyaan awal kita, yaitu apakah rapat peluang secara lokal bergantung pada waktu. Jawaban atas pertanyaan ini sudah kita dapatkan sebagaimana dinyatakan pada Persamaan (5.31), yaitu bahwa rapat peluang lokal bergantung pada waktu. Lebih lanjut, Persamaan (5.13) menunjukkan bahwa jika rapat peluang dalam suatu volume terbatas berubah terhadap waktu maka harus ada “aliran” peluang yang menembus secara tegaklurus luasan yang membatasi volume tadi. Analog dengan persamaan Bab 5: Persamaan Schrödinger

132

Rapat arus peluang

kontinuitas dalam elektrodinamika, Persamaan (5.31) dapat juga dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal. Apakah besaran J yang didefinisikan menurut Persamaan (5.32) tersebut sungguh-sungguh memiliki arti sebagai rapat arus? Untuk menjawab ini, marilah kita ungkap kembali makna J dalam elektodinamika. Dalam elektrodinamika, J didefinisikan sebagai rapat kuat arus listrik (I) per satuˆ dengan n ˆ menyatakan vektor satuan pada arah tegak an luas (A): J = I/A n lurus luasan. Dengan mengganti I  dQ/dt = A dx/dt diperoleh hubungˆ menyaan J =  v, dengan  menyatakan rapat muatan dan v  dx/dt n takan rerata kecepatan hanyut (drift velocity) partikel-partikel pembawa muatan yang menghasilkan arus listrik tersebut. Berdasarkan uraian tersebut, jika benar bahwa J yang didefinisikan menurut Persamaan (5.32) tersebut sungguh-sungguh memiliki arti sebagai rapat arus maka harus dapat ditunjukkan bahwa J (r , t ) (r ,t ) v dengan v menyatakan kecepatan grup gelombang yang diasosiasikan dengan partikel yang dibicarakan. Contoh berikut memberikan bukti untuk itu. Contoh Soal 5.6 Dapatkan rapat arus peluang yang diassosiasikan dengan fungsi gelombang bidang ( r , t )  A e i ( k.r - ωt ) , dengan A merupakan tetapan penormalan. Analisis Dengan fungsi gelombang seperti itu kita dapatkan:

 (r , t )  i k A e i (k.r - ωt )  i k  (r, t ) sehingga

 * (r, t ) (r , t )  i k(r, t ) ,

dan

 * (r, t )   i k A e  i ( k.r  ωt )   i k  * (r, t )

sehingga

 (r, t ) * (r, t )   i k(r, t ) .

Subtitusi kedua hasil perhitungan ini ke dalam Persamaan (5.32) menghasilkan

J (r, t ) 

  k  *    *  2 ik(r, t )  (r, t ) . i 2m i 2m m





(5. 33)

Karena k / m adalah kecepatan gelombang, maka kita peroleh hubungan J (r ,t ) (r , t ) v .

Pengantar Fisika Kuantum

Persamaan Schrödinger bebas waktu

133

5.5 PERSAMAAN SCHRÖDINGER BEBAS WAKTU 5.5.1 Penjabaran Persamaan Schrödinger Bebas Waktu Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial dapat diubah menjadi sistem persamaan diferensial biasa melalui teknik pemisahan variabel. Untuk itu, fungsi gelombang (x,t) kita nyatakan sebagai perkalian fungsi posisi, misalnya  (x), dan fungsi waktu, misalnya F(t). Jadi (x,t) =  (x)F(t). Dengan cara ini maka persamaan Schrödinger menjadi 

2 d 2 ( x) dF (t ) F (t )  V ( x , t ) F (t ) ( x )  i   ( x ) 2m dt dx 2

(5. 34)

Jika kedua ruas kita bagi dengan  (x) F(t) diperoleh



 2 1 d 2 ( x) 1 dF (t )  V ( x, t )  i  2 2m  ( x ) dx F (t ) dt

(5. 35)

Ruas kanan Persamaan (5.35) merupakan fungsi t, sedangkan ruas kiri merupakan fungsi x dan t. Satu-satunya suku yang memuat x dan t adalah V(x,t). Ini berarti bahwa pemisahan variabel hanya akan berhasil jika V hanya bergantung pada x saja, atau hanya bergantung pada t saja. Mengingat x merupakan variabel dinamis fundamental dalam fisika kuantum, kita pilih yang pertama. Jika V hanya bergantung pada x maka Persamaan (5.28) dapat dinyatakan sebagai berikut. 

 2 1 d 2 ( x) 1 dF (t )  V ( x)  i  2m  ( x ) dx 2 F ( t ) dt

(5. 36)

Ruas kiri persamaan ini merupakan fungsi x saja, sedangkan ruas kanannya merupakan fungsi t saja. Jadi persamaan tersebut menyatakan kesamaan antara suatu fungsi yang hanya bergantung pada x dengan fungsi lain yang hanya bergantung pada t. Kesamaan semacam itu hanya akan terpenuhi untuk semua x dan t jika masing-masing ruas berupa suatu tetapan, yaitu suatu bilangan yang tidak bergantung pada x maupun t. Arti fisik dari tetapan tersebut dapat dideduksi sebagai berikut. Suku kedua di ruas kiri adalah energi potensial. Oleh karena itu, suku-suku lainnya, baik yang di ruas kiri maupun yang di ruas kanan, juga harus berdimensikan energi. Lebih lanjut, karena ruas kiri persamaan tersebut menya-

Bab 5: Persamaan Schrödinger

134

Persamaan Schrödinger bebas waktu

takan jumlah energi kinetik ditambah energi potensial, maka tetapan yang kita gunakan nanti memiliki arti fisik sebagai energi total, atau hamiltonan, sistem. Selanjutnya tetapan itu kita lambangi E. Dengan menggunakan tetapan E tersebut Persamaan (5.36) dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut.



 2 1 d 2 ( x )  V ( x)  E , 2m  ( x ) dx 2

(5. 37)

1 dF (t )  E. F (t ) dt

(5. 38)

dan i

Persamaan (5.37) menghasilkan penyelesaian  (x) sedangkan Persamaan (5.38) menghasilkan penyelesaian F(t )  e  i E t /  . Dengan demikian penyelesaian akhir Pesamaan Schrödinger berbentuk  ( x,t )  ( x) e i E t /  .

(5. 39)

Persamaan (5.37) dapat diubah menjadi 

 2 d 2 ( x)  V ( x ) ( x )  E  ( x ) . 2 m dx 2

(5. 40)

Persamaan tersebut identik dengan persamaan Schrödinger, bedanya bahwa persamaan itu tidak bergantung pada t. Oleh karena itu, persamaan tersebut sering disebut sebagai persamaan Schrödinger bebas waktu (timeindependent Schrödinger equation). Persamaan (5.40) dapat pula ditulis dalam bentuk   2 d 2   V ( x)  ( x)  E  ( x)   2m dx 2 

(5. 41)

Faktor dalam kurung di ruas kiri tidak lain menyatakan operator hamiltonan sistem, yaitu operator yang mewakili jumlahan energi kinetik (suku pertama) dan energi potensial (suku kedua). Jika operator itu kita lambangi

Hˆ maka Persamaan (5.41) dapat ditulis menjadi Hˆ ( x)  E  ( x) .

Pengantar Fisika Kuantum

(5. 42)

Persamaan Schrödinger bebas waktu

135

Persamaan (5.42) merupakan contoh dari persamaan nilai eigen (eigenvalue equation), sebab operasi Hˆ terhadap fungsi  (x ) tidak menghasilkan fungsi baru melainkan hanya mengalikan fungsi itu dengan suatu bilangan (E). Dengan menggunakan peristilahan dalam persamaan nilai eigen, Persamaan (5.42) dapat diungkapkan sebagai berikut:  (x) merupakan fungsi eigen (fungsi karakteristik) bagi operator Hˆ dengan nilai eigen (nilai karakteristik) sebesar E. Adanya persyaratan bahwa E harus memenuhi persamaan nilai eigen mengakibatkan bahwa E tidak boleh bernilai sebarang. Dikatakan bahwa energi total (E) bersifat diskret. Uraian lebih lanjut tentang hal ini disajikan di bagian 5.6, yaitu di sub-bab Pengkuantuman Energi. Pada umumnya terdapat sejumlah besar pasangan  (x) dan E yang memenuhi Persamaan (5.42) untuk Hˆ tertentu. Oleh karena itu, untuk membedakan antara pasangan yang satu dengan lainnya kita gunakan indeks diskret n. Jadi Persamaan (5.42) dapat diperluas menjadi

Hˆ  n( x )  E n  n( x) ,

(5. 43)

dan penyelesaian umum persamaan Schrödinger (Persamaan 5.39) diperluas menjadi n ( x , t )  n ( x) e  iEn t /  .

(5. 44)

Bilangan n disebut bilangan kuantum (quantum number). Nilai terendah n, biasanya 0, menyatakan keadaan dasar (ground state). Nilai berikutnya: 1, 2, dst, menyatakan keadaan tereksitasi (terbangkit) pertama, kedua, dan seterusnya. Persamaan (5.44) menunjukkan bahwa ada sejumlah fungsi gelombang yang semuanya merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem yang sama. Mengingat persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial linear maka kombinasi linear dari semua fungsi gelombang itu juga merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem tersebut. Kombinasi linear tersebut merupakan penyelesaian umum yang dapat diungkapkan secara

 ( x, t )   c n n ( x, t )   c n n ( x) e i En t /  . n

(5. 45)

n

dengan cn merupakan tetapan.

Bab 5: Persamaan Schrödinger

136

Persamaan Schrödinger bebas waktu

Penting untuk dicatat bahwa persamaan Schrödinger bebas waktu bukan merupakan versi (jenis) lain persamaan Schrödinger. Melainkan hanya merupakan persamaan yang digunakan sebagai tahapan untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger. Ingat bahwa persamaan Schrödinger menghasilkan fungsi gelombang  ( x, t ) sedangkan persamaan Schrödinger bebas waktu menghasilkan fungsi eigen  (x) . Penting pula untuk dicatat bahwa persamaan Schrödinger bebas waktu hanya dapat digunakan jika potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung waktu. Pada bab berikutnya kita akan membahas lebih lanjut penerapan persamaan Schrödinger bebas waktu. 5.5.2 Keadaan stasioner Jika potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu maka bagian ruang dan waktu penyelesaian persamaan Schrödinger memiliki bentuk seperti dinyatakan pada Persamaan (5.44). Fungsi gelombang itu 2

2

menghasilkan fungsi rapat peluang posisi: ( x, t )  n ( x, t )   n ( x) , yang ternyata tidak bergantung pada waktu. Oleh karena itu, fungsi gelombang seperti dinyatakan pada Persamaan (5.44) tersebut disebut sebagai fungsi gelombang stasioner atau penyelesaian stasioner persamaan Schrödinger, dan sistem yang bersangkutan dikatakan dalam keadaan stasioner. Segera akan kita lihat bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dengan energi pasti. Sesungguhnya, sifat kepastian energi inilah yang biasa dipakai untuk mencirikan keadaan stasioner. Perhatikan bahwa fungsi gelombang tersebut hanya memuat satu nilai E. Karena hanya ada satu macam nilai E maka pengukuran berulang terhadap energi sistem selalu menghasilkan nilai ukur yang sama, yaitu sebesar E tadi. Ini berarti bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan di mana energi sistem bernilai pasti (tertentu). Contoh soal 5.7 Fungsi gelombang yang menyatakan keadaan dasar suatu partikel yang terkungkung di dalam potensial “kotak” 1 dimensi adalah  π2 π x i 2 ma 2 t  2 ; 0  x a sin e  a  ( x, t )   a   0 ; x  0 atau x  a  Pengantar Fisika Kuantum

Persamaan Schrödinger bebas waktu

137

dengan m dan a suatu tetapan (lihat Persamaan (6.56) di Bab 6). Selidikilah apakah fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner atau tidak. Hitung nilai harap energi total partikel beserta ketakpastiannya. Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah  2 2 πx  a sin  a    ( x , t )    0

; 0xa ; x  0 atau x  a

Ternyata fungsi rapat peluang posisi tersebut tidak bergantung pada waktu. Dengan demikian disimpulkan bahwa fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner Nilai harap energi total Karena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka nilai harap energi total dihitung dengan prosedur sebagai berikut.  Eˆ   -  * Eˆ  dx π 2  π x i 2 ma 2 t    sin e i  a  a  t  



2

   



 2 π 2 i    i 2 a  2ma

π 2   π x  i 2 ma 2 t   2  a sin a e  dx    

  2 π 22 a π 22  πx    sin 2     dx   a 2ma 2 2 2ma 2  a  

Ketakpastian energi total Untuk mendapatkan ketakpastian ini kita hitung dulu nilai harap kuadrat energi total, yaitu  Eˆ 2   -  * Eˆ 2  dx π 2  π x i 2 ma 2 t     2  sin e   i  t  a  a   



   

2

π 2   π x  i 2 ma 2 t   2  a sin a e  dx    

Bab 5: Persamaan Schrödinger

138

Persamaan Schrödinger bebas waktu



2  2 a



2

   2πma 

2

2

  2  π 22  πx   sin 2   dx   a  2ma 2  a  

2

 a  π 2 2    2  2  2 ma

  

2

Dari nilai harap energi total dan nilai harap kuadrat energi total tersebut didapatkan nilai ketakpastian energi total sebagai berikut. ΔE 

2 Eˆ 2  Eˆ  0.

π 2 2 de2ma 2 ngan ketakpastian sebesar nol, Karena ketakpastiannya nol berarti nilai energi total partikel bersifat pasti. Contoh ini kiranya dapat memperjelas pernyataan sebelumnya bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan di mana energi partikel bernilai pasti. Jadi nilai harap energi total pada keadaan itu adalah

5.5.3 Kombinasi linear beberapa fungsi gelombang stasioner Untuk sebarang nilai n, fungsi gelombang pada Persamaan (5.44) merupakan fungsi gelombang stasioner. Sekarang marilah kita selidiki apakah kombinasi linear fungsi-fungsi gelombang stasioner tersebut akan menghasilkan fungsi gelombang stasioner pula. Sebagai contoh, marilah kita kombinasikan dua fungsi gelombang stasioner n(x,t) dan m(x,t) dengan m dan n = 1, 2, 3, yaitu  ( x, t )  c n  n ( x) e i Ent /   c m  m ( x ) e i Emt /  .

(5. 46)

Fungsi gelombang tersebut menghasilkan fungsi rapat peluang posisi

( x , t )   * ( x , t )  ( x , t )  { c n n ( x ) e  i En t /   c m m ( x) e  i Em t /  }  kk  c n n

2

 c m m

2

 c *n c m n ( x ) e i ( Em  En )t / 

(5.47)

 c n c *m  n ( x ) e i ( Em  En )t / 

(kk, pada baris pertama, menyatakan penyingkatan dari kompleks konjugate dari faktor yang ditulis di dalam kurung besar). Persamaan (5.47) menunjukkan bahwa fungsi rapat peluang posisi bergantung pada waktu (ditunjukkan oleh dua suku terakhir). Lebih lanjut, kedua suku terakhir tersebut menunjukkan bahwa peluang posisi partikel tersebut berosilasi terhadap waktu dengan frekuensi sudut E E  m n , (5. 48) 

Pengantar Fisika Kuantum

Persamaan Schrödinger bebas waktu

139

yang ternyata mirip dengan frekuensi foton yang dipancarkan atau yang diserap atom ketika ada transisi elektron dari keadaan bertingkat energi Em ke keadaan bertingkat energi En. Perhatikan lagi fungsi gelombang hasil kombinasi (Persamaan 5.46) tersebut. Dalam fungsi gelombang itu terdapat dua macam nilai energi yaitu En dan Em. Berarti fungsi gelombang tersebut mendeskripsikan keadaan partikel yang energinya tidak pasti, apakah En ataukah Em. Analisis tadi menunjukkan bahwa kombinasi linear dua fungsi gelombang stasioner tidak menghasilkan fungsi gelombang yang stasioner. 5.5.4 Persyaratan Fungsi eigen  (x) Di depan telah kita pelajari bahwa fungsi eigen  (x) membentuk fungsi gelombang (x,t) menurut Persamaan (5.39) atau (5.44). Dengan demikian, sebagai pembentuk fungsi gelombang maka fungsi eigen tersebut harus memenuhi beberapa persyaratan santun (well-behaved) sebagai berikut. d ( x )  harus bernilai berhingga di semua x  ( x ) dan dx d ( x )  harus bernilai tunggal di semua x  ( x ) dan dx d ( x )   ( x ) dan harus kontinu di semua x dx   (x) bukan fungsi nol (tidak bernilai nol meliputi seluruh x) Untuk memperjelas makna persyaratan tersebut, dalam Gambar 5.1 berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi persyaratan tersebut. Khususnya tiga persyaratan pertama. f(x)

f(x)

X

X Bernilai takhingga di x  

Bernilai takhingga di x  

Gambar 5.1a Beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi syarat sebagai fungsi eigen

Bab 5: Persamaan Schrödinger

140

Pengkuantuman energi

f(x)

f(x)

x1 x2

X

X

Tidak bernilai tunggal di x1  x  x2

Tidak kontinu di x = 0

Gambar 5.1b Beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi syarat sebagai fungsi eigen

5.6 PENGKUANTUMAN ENERGI Salah satu konsep penting dalam fisika kuantum adalah pengkuantuman energi, yaitu bahwa energi partikel pada umumnya tidak boleh sebarang. Khusus pada keadaan terikat, energi partikel harus terkuantisasi. Pada bagian ini, melalui penerapan persamaan Schrödinger bebas waktu, akan kita temukan konsep itu. Perhatikan sekali lagi persamaan Schrödinger bebas waktu (Persamaan 5.40). Secara matematis, parameter E pada persamaan tersebut dapat bernilai sebarang, artinya berapapun nilai E yang kita isikan, persamaan tersebut selalu dapat kita selesaikan untuk menghasilkan  (x). Namun demikian, fungsi  (x) yang dihasilkan belum tentu memenuhi persyaratan sebagaimana disebutkan di depan. Sebaliknya, jika (x) harus memenuhi persyaratan tersebut maka E tidak boleh bernilai sebarang. Dengan kata lain, untuk menghasilkan  (x) yang memenuhi syarat maka E harus bernilai tertentu. Untuk memahami penalaran ini, perhatikan contoh berikut. Contoh Soal 5.8 Sebuah partikel bermassa m memiliki energi potensial sebagai berikut. 0 ;0 x a V ( x)    ; x  a atau x  0

Pengantar Fisika Kuantum

Pengkuantuman energi

141

Dapatkan energi total yang mungkin dimiliki partikel tersebut. Analisis Keadaan partikel tersebut secara kualitatif dideskripsikan sebagai berikut. Partikel tidak mungkin berada di luar interval: 0  x  a, sebab di daerah itu energi kinetik partikel bernilai negatif. Ingat bahwa energi kinetik sama dengan energi total dikurangi energi potensial, sehingga jika energi potensialnya tak berhingga maka energi kinetiknya pasti negatif. Padahal, jika energi kinetik negatif maka kecepatannya imajiner. Ini jelas melanggar definisi besaran. Berdasarkan argumen itu maka fungsi gelombang di luar interval 0 x a harus selalu nol. Demikian pula dengan fungsi eigennya. Fungsi eigen di dalam interval 0  x  a dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah itu. Karena potensial partikel nol maka persamaan Schrödinger bebas waktunya berbentuk 

 2 d 2 ( x )  0  E ψ ( x) , 2m dx 2

atau d 2 ( x) dx

2

2mE  k 2 ( x)  0 ; dengan k 2  . 2

(i)

Penyelesian umum persamaan tersebut adalah

 ( x )  A sin ( kx   )

(ii)

dengan A dan  suatu tetapan yang dapat ditentukan nilainya dengan cara sebagai berikut. Agar fungsi eigen tersebut kontinu di semua tempat, sedangkan kita tahu bahwa fungsi eigen  (x) bernilai nol di x = 0 dan di x = a, maka nilai A dan  harus dipilih sehingga  (x) bernilai nol di x = 0 dan di x = a. Agar  (x) bernilai nol di x = 0 maka  harus sama dengan nol. Selanjutnya agar  (x) bernilai nol di x = a maka haruslah k = n /a dengan n = 1,2,3 … (nilai n = 0 tidak dipakai sebab akan menghasilkan  (x) = 0 di semua x). Dengan menggunakan nilai k tersebut maka nilai E yang mungkin Bab 5: Persamaan Schrödinger

142

Pengkuantuman energi

adalah E

n 2 π 2 2 2 ma 2

(iii)

.

Jadi energi yang mungkin dimiliki partikel harus memenuhi Persamaan (iii) tersebut. Untuk lebih memahami analisis pada Contoh Soal 5.8 tadi, perhatikan Gambar 5.2 berikut. Pada gambar tersebut ditunjukkan empat macam nilai E yang berkisar dari E = E0 sampai E = 4 E0 dengan E 0 

π 2 2 2 ma 2

. Terlihat bah-

wa untuk menghasilkan fungsi eigen yang kontinu di mana-mana, nilai E tidak boleh sebarang. Dalam rentang nilai E tersebut, hanya dua nilai E yang memenuhi syarat, yaitu E = E0 dan E = 4 E0. Perhatikan bahwa dua nilai E tersebut menghasilkan fungsi yang kontinu di mana-mana, sedangkan dua nilai E lainnya menghasilkan fungsi yang tidak kontinu di x = a.

 (x) E = E0 E = 1,2 E0

a

0 E = 4E0

E = 1,5 E0 Gambar 5.2 Grafik fungsi  (x) yang dihasilkan oleh persamaan Schrödinger bagi partikel terikat pada potensial sumur tak berhingga untuk 4 macam nilai parameter E. Terlihat bahwa hanya E yang merupakan kelipatan bulat dari E0 yang menghasilkan fungsi yang kontinu di mana-mana.

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman

143

RANGKUMAM 1.

2.

Persamaan Schrödinger merupakan perangkat utama dalam fisika kuantum. Peran penting persamaan Schrödinger dalam fisika kuantum setara dengan peran penting hukum kedua Newton dalam fisika klasik. Persamaan Schrödinger, dalam sistem koordinat Cartesan, berbentuk 

  ( x, t )  2  2  ( x, t )  V ( x, t )  ( x, t )  i  , 2 2m t x

(untuk kasus 1 dimensi), sedangkan untuk 3 dimensi berbentuk



3.

4.

5.

6.

 (r , t ) 2 2   (r, t )  V (r , t ) (r, t )  i  , 2m t

dengan m  massa partikel,   tetapan Planck dibagi 2 dan V(x,t)  energi potensial partikel. Bentuk eksplisit persamaan Schrödinger ditentukan oleh fungsi energi potensial partikel yang dibicarakan. Oleh sebab itu, untuk merumuskan persamaan Schrödinger bagi suatu sistem, kita harus mengetahui terlebih dahulu energi potensial sistem. Rumusan klasik dapat kita gunakan untuk keperluan ini. Misalnya, untuk osilator harmonis:V(x,t)  ½kx2 . Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial parsial dalam ruang fungsi kompleks variabel real. Akibatnya, fungsi gelombang yang dihasilkan pada umumnya berupa fungsi kompleks variabel real. Persamaan Schrödinger merupakan persamaan diferensial linear. Akibatnya, kombinasi linear beberapa fungsi penyelesaiannya juga merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem yang sama. Dengan persamaan Schrödinger kita dapat melakukan berbagai hal, antara lain seperti tersebut di bawah ini.  Mendapatkan fungsi gelombang. Sebagaimana telah dibahas di Bab 4, dari fungsi gelombang itu kita dapat mengetahui berbagai hal tentang keadaan sistem yang dibicarakan.  Mengetahui bagaimana fungsi gelombang (keadaan sistem) berubah terhadap waktu.  Mengetahui bagaimana nilai harap besaran fisis berubah terhadap waktu. Formulasi yang telah kita rumuskan untuk keperluan ini adalah

Bab 5: Persamaan Schrödinger

144

Rangkuman

d 1 A  [ Aˆ , Hˆ ] dt i





Aˆ t



dengan A menyatakan besaran fisika yang dibicarakan dan [ Aˆ , Hˆ ]



7.

adalah komutator yang dibentuk oleh Aˆ dan Hˆ , yaitu operator yang mewakili besaran A dan hamiltonan sistem H. Persamaan itu dikenal sebagai persamaan gerak Heisenberg. Mengetahui spektrum energi (kumpulan nilai energi) yang dimiliki partikel.

Penerapan formula perubahan nilai harap besaran fisis terhadap waktu pada besaran posisi, momentum linear, dan hamiltonan sistem konservatif menunjukkan bahwa persamaan Schrödinger memenuhi asas kesepadanan dengan fisika klasik. Perhatikan tabel berikut. Konsep Momentum dan kecepatan

Rumusan Klasik

pm

Hukum ke-2 Newton

Hukum Kekekalan Energi 8.

dx dt

dp x dV ( x )  dt dx dp    V (r ) dt H  Ek + Ep = konstanta

Rumusan Kuantum

p m d px dt dp dt

d x dt



dV ( x) dx

   V (r )

H = konstanta

Jika energi potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu, maka penyelesaian umum persamaan Schrödingernya merupakan kombinasi linear dari fungsi-fungsi gelombang stasioner yang masing-masing berbentuk  ( x, t )   ( x) e i E t /  ,

dengan  (x) dan E harus memenuhi persamaan Schrödinger bebas waktu:

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman



145

 2 d 2 ( x)  V ( x) ( x)  E  ( x) . 2 m dx 2

9.

Persamaan Schrödinger bebas waktu hanya dapat digunakan jika potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu. Persamaan ini bukan versi lain dari persamaan Schrödinger, melainkan hanyalah suatu persamaan yang diperlukan untuk mendapatkan bagian ruang bagi fungsi gelombang lengkap pada keadaan stasioner. 10. Persamaan Schrödinger bebas waktu disebut juga sebagai persamaan nilai eigen (eigenvalue equation) bagi hamiltonan sistem, dan dapat ditulis dalam bentuk Hˆ  ( x)  E  ( x )

 dengan Hˆ  

2

d2

2 m dx 2

 V ( x) . Dalam hal ini,  (x) disebut fungsi eigen

dan E disebut nilai eigen 11. Fungsi eigen  (x) harus memenuhi syarat: (1)  (x) dan derivatifnya terhadap x harus kontinu di mana-mana (di semua x), (2)  (x) dan derivatifnya terhadap x harus berhingga di mana-mana (di semua x), (3)  (x) dan derivatifnya terhadap x harus bernilai tunggal di manamana (di semua x), dan (4)  (x) dan derivatifnya harus dapat dinormalkan (jadi harus tergolong fungsi SI). 12. Dengan adanya persyaratan yang harus dipenuhi fungsi eigen tersebut maka nilai E (dalam hal ini menyatakan energi total sistem) tidak boleh bernilai sebarang. 13. Fungsi gelombang  ( x, t )  ( x) e iEt /  menghasilkan rapat peluang posisi yang tidak bergantung pada waktu. Oleh karena itu, fungsi gelombang itu dikatakan sebagai fungsi gelombang stasioner. Keadaan sistem yang dideskripsikan disebut keadaan stasioner. 14. Pengukuran energi pada fungsi gelombang stasioner menghasilkan ketidakpastian sebesar nol. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dengan energi pasti. 15. Hasil kombinasi linear beberapa fungsi gelombang stasioner dengan energi berbeda bukan merupakan fungsi gelombang stasioner.

Bab 5: Persamaan Schrödinger

146

Perlatihan

PERLATIHAN Pertanyaan konsep 1.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Bandingkan struktur persamaan Schrödinger dengan persamaan-persamaan gelombang yang Anda kenal dalam fisika klasik. Adakah perbedaan atau kesamaannya? Daftar dan deskripsikan perbedaan dan kesamaan yang Anda temukan itu. Dalam fisika klasik seringkali kita menggunakan fungsi kompleks untuk menyelesaikan persamaan fisika yang berupa persamaan diferensial, misalnya pada persoalan osilator, arus bolak-balik, atau gelombang elektromagnet. Tetapi ketika memaknai fungsi tersebut kita tidak menggunakannya secara utuh melainkan hanya mengambil bagian real atau bagian imajinernya saja. Mengapa demikian? Menurut Anda, apakah cara tersebut juga harus kita gunakan dalam memaknai fungsi gelombang hasil penyelesaian persamaan Schrödinger? Dapatkah persamaan Schrödinger digunakan untuk partikel immaterial (partikel tak bermassa) seperti foton misalnya? Dapatkah persamaan Schrödinger digunakan untuk sistem non konservatif? (Petunjuk: Pecahkan dulu pertanyaan “dapatkah Anda mendefinisikan/merumuskan energi potensial bagi sistem non konservatif?”). Apakah persamaan Schrödinger mengakomodasi prinsip superposisi gelombang seperti halnya persamaan gelombang lainnya? Dalam mekanika Newton, keadaan gerak partikel dapat diketahui dari trayektorinya (biasanya diwujudkan dalam bentuk fungsi yang menyatakan bagaimana posisi partikel berubah terhadap waktu), dan trayektori itu didapatkan dengan menyelesaikan hukum ke-2 Newton: d2 x F m 2 . dt Jadi, untuk mendapatkan trayektori kita harus mengetahui terlebih dahulu gaya yang bekerja pada partikel itu. Apakah untuk mengetahui fungsi gelombang yang diasosiasikan dengan suatu partikel kita juga harus mengetahui gaya yang bekerja pada partikel itu? Informasi apakah yang nilainya tetap (tidak bergantung pada waktu) yang terkandung dalam fungsi gelombang stasioner? Kapan Anda diperbolehkan menggunakan persamaan Schrödinger bebas waktu?

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

147

9.

Suatu partikel bermassa m berada pada medan gravitasi yang dihasilkan oleh benda lain yang bermassa M. Dapatkah Anda menggunakan persamaan Schrödinger bebas waktu untuk kasus itu? Adakah persyaratan yang harus dipenuhi? 10. Kesepadanan (kesetaraan) antara rumusan fisika kuantum dan rumusan mekanika Newton akan dicapai jika ungkapan-ungkapan dalam rumusan kuantum tersebut dinyatakan dalam nilai harap. Mengapa demikian? Pertanyaan Analisis 1.

Tuliskan persamaan Schrödinger dalam sistem koordinat (a) bola, (b) silinder!

2.

Diketahui fungsi gelombang ( x , t )  A x e  x e dengan A suatu tetapan. (a) Jika fungsi gelombang tersebut merupakan penyelesaian persamaan Schrödinger, dapatkan potensial partikel yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang itu. (b) Adakah hubungan antara E dan ? Selidikilah apakah fungsi gelombang pada soal nomor 2 di atas memenuhi syarat sebagai fungsi gelombang yang menyajikan keadaan suatu sistem? (Petunjuk: Selidiki apakah fungsi gelombang tersebut kontinu, bernilai tunggal, dan berhingga di mana-mana) Selidikilah apakah fungsi gelombang pada nomor 2 tersebut mendeskripsikan keadaan stasioner? Dengan menggunakan fungsi gelombang pada nomor 2 di atas hitung: (a) nilai harap posisi partikel, (b) nilai harap momentum linear partikel, dan (c) nilai harap energi total partikel. Selidiki apakah fungsi gelombang pada nomor 2 di atas menyatakan keadaan sistem konservatif? (a) Tuliskan persamaan Schrödinger untuk partikel yang dipengaruhi  1 1  oleh potensial Lenard-Jones V( r , t )   k  6  12  . (b) Dapatkah Anda r  r menggunakan persamaan Schrödinger bebas waktu pada kasus itu? Tuliskan persamaan Schrödinger bagi partikel yang dipengaruhi oleh potensial periodik dengan periode (a + b) jika dalam interval 0 < x < b potensial tersebut berbentuk

3.

4. 5.

6. 7.

8.

2

- i Et / 

 0 ; 0 x a V(x)   . V0 ; a  x  b

Bab 5: Persamaan Schrödinger

148

Perlatihan

9.

Selidikilah apakah setiap fungsi gelombang (untuk nilai n tertentu) berikut  2 nπx  i Et /  ; x  a/2 sin e   a a  ( x, t )     0 ; x  a/2 (n merupakan bilangan asli) menyatakan keadaan stasioner? Apakah kombinasi 2 atau lebih fungsi gelombang itu (misalnya antara n = 1 dan n = 2) menyatakan keadaan stasioner? 10. Dengan menggunakan fungsi gelombang pada nomor 9 di atas, dapatkan rumusan tentang (a) kebergantungan nilai harap posisi terhadap waktu, (b) kebergantungan nilai harap momentum linear terhadap waktu. 11. Tunjukkan bahwa pada osilator harmonis satu dimensi dengan frekud2  x  ensi sudut  berlaku hubungan  2  x   0 . dt2 12. Mengingat operator hamiltonan Hˆ bersifat Hermitean, tunjukkan bah-

 

* wa  Hˆ  Aˆ  dx    * Hˆ Aˆ  dx .

m merupa2 kan penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu bagi osilator harmonis, tentukan berapa energi E osilator harmonis tersebut! 2

13. Jika fungsi  ( x )  A e ax dengan A suatu tetapan dan a 

2 m m merupakan penyelesaian x e ax dengan a    persamaan Schrödinger bebas waktu bagi osilator harmonis, tentukan berapa energi E osilator harmonis tersebut! 15. Untuk merumuskan persamaan Schrödinger bagi suatu sistem, apakah yang harus Anda ketahui terlebih dahulu tentang sistem itu? (Petunjuk: apakah fungsi gelombangnya, atau energi kinetiknya, atau energi totalnya, atau energi potensialnya, atau massanya?)

14. Jika fungsi  ( x ) 

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

B Bilangan kuantum

135

D Deterministik

122

E Ehrenfest, teorema

136 138 135 132 127 126

L 129

F Fisika kuantum kesepadanan dengan fisika klasik 129 kesepadanan dgn mekanika Newton 147 fungsi eigen 135 Fungsi eigen persyaratan 139 Fungsi eigen, persyaratan santun 139 Fungsi kompleks 120 G Gelombang stasioner kombinasi linear

energi pasti Keadaan stasioner, energi pasti Keadaan tereksitasi Kecepatan hanyut (drift velocity) Komutator mometum dan Hamiltonan posisi dan Hamiltonan

149

138

H Hamiltonan 126, 127, 129, 134, 144, 145, 148 Heisenberg persamaan gerak 126 hukum kekekalan energi 116 Hukum kekekalan energi persamaan operator 116 Hukum kekekalan muatan listrik 131 K keadaan dasar (ground state) 135 Keadaan stasioner 136, 137

Laplacean Lenard-Jones

118 147

N Newton 115, 128, 129, 143, 144, 146, 147 nilai eigen 135 Nilai harap perubahan terhadap waktu 123, 126 O Operator energi total Operator Hermitean Operator Laplacean

117 148 118

P Pengkuantuman energi 135, 140 berdasarkan Pers. Schrödinger 140 persamaan nilai eigen Hamiltonan 135 Persamaan nilai eigen energi total 117 Persamaan Schrodinger bebas waktu syarat berlakunya 136 dan Hukum Newton 143 Persamaan Schrödinger 3 dimensi 118 bebas waktu 133, 134 dan hukum kekekalan energi 129

Bab 5: Persamaan Schrödinger

150

Perlatihan

kesepadanan dengan mekanika Newton 115 satu dimensi 118 untuk elektron dalam medan Coulomb 120 untuk osilator harmonis 119 Perubahan nilai harap momentum 127 posisi 126 Planck-Einstein, kaitan 117 R Rapat arus peluang definisi

Pengantar Fisika Kuantum

131, 132 131

kekekalan lokal Persamaan kontinuitas Rapat peluang kekalan global

132 131 130

S Schrodinger, Persamaan bentuk eksplisit Schrödinger, persamaan bebas waktu penjabaran Schrödinger, Persamaan struktur matematis

119 133–34 115–18 120

BAB 6

KEADAAN STASIONER PARTIKEL DALAM POTENSIAL KOTAK SATU DIMENSI

Pada Bab 5 telah kita bicarakan persamaan Schrödinger bebas waktu. Kita telah mendapati bahwa persamaan tersebut sangat berguna untuk mendapatkan penyelesaian persamaan Schrödinger, khususnya dalam kasus di mana potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung waktu. Dalam bab itu juga telah kita definisikan apa yang dimaksud dengan keadaan stasioner. Pada bab ini kita akan berlatih menyelesaikan persamaan Shrödinger bebas waktu dan menelaah arti fisik dari penyelesaian yang didapatkan tersebut. Persamaan Schrödinger bebas waktu pada umumnya sulit diselesaikan secara analitik. Namun untuk potensial yang nilainya konstan, penyelesaian analitik itu tidak sulit dilakukan. Oleh sebab itu, pada bab ini kita akan membatasi diri pada potensial semacam itu. Dengan cara ini diharapkan Anda mulai akrab dengan teknik penyelesaian persamaan Schrödinger. Setelah Anda akrab dengan persoalan tersebut, pada bab berikutnya Anda akan diajak berlatih menyelesaikan persaman Schrödinger yang potensialnya bukan merupakan konstanta. 6.1 TINJAUAN UMUM Jika energi potensial partikel merupakan suatu konstanta, artinya tidak bergantung pada posisinya, maka partikel tersebut dalam keadaan bebas dalam arti tidak mengalami gaya. Dalam hal ini ada dua kemungkinan keadaan gerak partikel, yaitu diam atau bergerak lurus beraturan. Kasus pertama, yaitu partikel dalam keadaan diam tidak penting untuk ditelaah

Sutopo

Pengantar Fisika Kuantum 149

150

Tinjauan Umum

lebih lanjut sehingga kita hanya akan membicarakan kasus kedua saja, yaitu partikel dalam keadaan bergerak lurus beraturan. Tidak ada partikel yang dalam keadaan bebas di seluruh ruang. Yang ada adalah ia bebas dalam ruang yang terbatas. Ini berarti bahwa potensial konstan hanya ada dalam interval ruang tertentu. Potensial yang dalam interval tertentu berupa suatu konstanta dan dalam interval lainnya berupa konstanta lain disebut potensial kotak. Jika hanya ada satu kali perubahan (misal di x < 0 bernilai V0 dan di x > 0 bernilai V1 ) disebut potensial undak. Jika ada dua kali perubahan disebut potensial tanggul atau potensial sumur, bergantung apakah plotnya berupa tanggul atau berupa sumur. Potensial kotak seperti disebutkan tadi sebenarnya tidak ada di alam. Namun potensial semacam itu merupakan penghampiran yang sangat baik bagi potensial yang berubah secara mendadak dari suatu konstanta ke konstanta yang lain. Gambar 6.1 berikut memperjelas pernyataan ini. Penghampiran potensial nyata (Gambar 6.1a) menjadi potensial undak (Gambar 6.1b) tidak berdampak besar jika interval jarak di mana potensial berubah secara mendadak itu sangat kecil. V(x)

V(x)

V1

V1 V0

V0 X

0

0

Gambar 6.1a Energi potensial sistem berubah secara mendadak di sekitar x = 0 dari V0 ke V1

X

Gambar 6.1b Plot potensial undak yang merupakan hampiran potensial pada Gambar 6.1a

Dalam kasus potensial undak seperti pada Gambar 6.1b, persamaan Schrödinger bebas waktunya dapat ditulis sebagai berikut. d 2 ( x) dx Pengantar Fisika Kuantum

2

 k 2  ( x)  0

(6. 1a)

Tinjauan Umum

dengan k 2 

151

2m ( E  V ) merupakan suatu konstanta positif. 2

atau d 2 ( x) dx

2

  2  ( x)  0

(6.1b)

2m (V  E ) merupakan suatu konstanta positif. 2 Nilai V dalam k atau  di atas harus diisikan sesuai dengan nilai potensial pada daerah yang diperhatikan. Sebagai misal, menurut Gambar 6.1b, untuk x > 0 maka V = V1, dan untuk x < 0 maka V = V0 . Persamaan (6.1a) cocok untuk kasus di mana E>V, sedangkan Persamaan (6.1b) cocok untuk kasus di mana E
dengan  2 

 ( x )  A e ik x  B e - ik x

(6. 2a)

 ( x )  C sin k x  D cos k x

(6. 2b)

atau

sedangkan penyelesaian umum Persamaan (6.1b) adalah

 ( x)  E e  x  F e  x

(6.3a)

 ( x )  G sinh  x  H cosh  x

(6. 3b)

atau

dengan A, B, … H merupakan tetapan integrasi. Berikut diajukan langkah-langkah yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger bebas waktu untuk potensial undak. 1. Bagi sumbu-X menjadi beberapa daerah sesuai dengan variasi nilai potensial. Sebagai contoh, untuk potensial seperti pada Gambar 6.1b, bagi sumbu-X menjadi dua daerah, yaitu x < 0 dan x > 0. 2. Isikan nilai potensial yang sesuai ke dalam persamaan Schrödinger bebas waktu sesuai masing-masing daerah. Maka kita memiliki beberapa bentuk eksplisit persamaan Schrödinger bebas waktu. Sebagai contoh, untuk potensial seperti Gambar 6.1b, kita memiliki dua bentuk eksplisit persamaan Schrödinger bebas waktu, yaitu

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

152

Tinjauan Umum

d 2 ( x ) dx

2



2m 2

( E  V0 ) ( x)  0 ; di x  0 ,

(6. 4a)

( E  V1 ) ( x)  0 ; di x  0 .

(6.4b)

dan d 2 ( x) dx

2



2m 2

3. Tentukan parameter E. Karena E menyatakan energi total maka nilai E minimal sama dengan nilai terendah energi potensial sistem. Sebab, jika E kurang dari nilai itu maka energi kinetik partikel akan negatif di mana-mana. Negatifnya energi kinetik ini menyebabkan momentum linear partikel berupa bilangan imajiner. Suatu hal yang melanggar definisi suatu besaran. Hal penting lain yang harus diperhatikan dalam menentukan parameter E adalah bahwa nilai yang kita isikan nanti harus mencakup semua nilai yang mungkin dimiliki partikel, yaitu E ≥ Vmin . Jika perkiraan nilai E telah kita tetapkan, isikan nilai itu pada persamaan Schrödinger bebas waktu di setiap interval yang sudah kita tetapkan sesuai langkah nomor 2. Maka ada dua kemungkinan yang terjadi, yaitu E < V, atau E > V. Pada daerah di mana E > V, persamaan Schrödinger bebas waktunya memiliki bentuk yang sama dengan Persamaan (6.1a) dengan penyelesaian umum seperti dinyatakan pada Persamaan (6.2). Pada daerah di mana E < V, persamaan Schrödinger bebas waktunya memiliki bentuk yang sama dengan Persamaan (6.1b) dengan penyelesaian umum seperti dinyatakan pada Persamaan (6.3). 4. Hilangkan komponen fungsi gelombang yang dapat bernilai tak berhingga dengan cara memberi nol pada koefisien (tetapan) yang terkait. 5. Gunakan syarat kontinuitas  (x) dan d (x)/dx di setiap titik di mana energi potensial diskontinu. Maka kita akan mendapatkan  (x) yang berlaku di semua x. Sekarang marilah kita gunakan prosedur tersebut untuk menelaah perilaku partikel yang plot energi potensialnnya berbentuk kotak. Kita mulai dengan potensial yang paling sederhana, yaitu potensial undak, kemudian secara bertahap kita lanjutkan untuk potensial yang lebih rumit.

Pengantar Fisika Kuantum

Potensial Undak

153

6.2 POTENSIAL UNDAK Kita telaah perilaku partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial undak:

 0, x  0 (daerah I) V ( x)    V0 , x  0 (daerah II) Dalam hal ini partikel tidak mungkin memiliki energi total E < 0, sebab jika E < 0 energi kinetiknya negatif di mana-mana. Jadi hanya ada dua macam nilai E yang mungkin dimiliki partikel, yaitu E > V0 dan 0 < E < V0. Marilah kita telaah satu per satu dua kemungkinan keadaan ini. a. Energi Total Kurang dari V0 Gambar 6.2 menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x untuk 0 < E < V0. Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I memiliki bentuk seperti Persamaan (6.1a), sedangkan di daerah II seperti Persamaan (6.1b). V(x) V0 E I

II X

0

Gambar 6.2 Plot potensial undak V(x) dan energi total E terhadap x

Dengan demikian, penyelesaian umum persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I berbentuk:

 I ( x )  A1 e ik x  A2 e ik x , k 

2mE 2

,

(6. 5)

dan penyelesaian umum persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah II berbentuk

 II ( x)  B1 e  x  B2 e  x ,  

2m 2

(V0  E ) .

(6. 6)

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

154

Potensial Undak

Penyelesaian umum di daerah I sudah memenuhi syarat kelayakan (berhingga dan kontinu). Perhatikan bahwa meskipun e ikx = e i di x = ∞, fungsi ini masih berhingga, sebab nilai maksimum fungsi ini adalah 1. Ingat bahwa fungsi e ikx merupakan kombinasi sinus dan cosinus. Sekarang perhatikan penyelesaian umum di daerah II. Karena di daerah ini nilai x merupakan bilangan positif dari 0 sampai tak berhingga, maka suku pertama ( e x ) dapat menyebabkan  (x) bernilai tak berhingga. Karena  (x ) harus berhingga di mana-mana maka suku ini tidak boleh muncul dalam penyelesaian. Dengan demikian kita harus memilih B1 = 0. Jadi, penyelesaian di daerah II adalah  ( x )  B2 e  x . Kombinasi penyelesaian di daerah I dan II harus menghasilkan fungsi yang kontinu di mana-mana, dari ∞ sampai + ∞. Untuk sebarang nilai A dan B, fungsi tersebut telah memenuhi syarat kontinuitas kecuali di x = 0. Dengan memaksa  (x ) dan d (x) /dx kontinu di x = 0 kita dapatkan hubungan A1 + A2

= B2 ,

ik (A1 – A2) =  B2 .

(6. 7a) (6.7b)

Persamaan (6.7a) diperoleh dari pengkontiuan  (x ) , yaitu  I ( 0)  II ( 0) , sedangkan Persamaan (6.7b) diperoleh dari pengkontinuan d (x ) /dx, yaitu

d I ( x ) dx

 x 0

d II ( x ) dx

. Dari kedua Persamaan (6.7) tersebut diperoleh x 0

hubungan

A2 A1



k  i , k  i

dan

B2 2k .  A 1 k  i

(6. 8)

Dengan demikian penyelesaian akhir persamaan Schrödinger bebas waktu sistem ini adalah   ikx k  i   e ikx  , x  0  A1  e   k  i   ( x)   2 k   x A e , x0  1 k  i

Pengantar Fisika Kuantum

(6. 9)

Potensial Undak

155

Tetapan integrasi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan  (x ) , yaitu membuat



   ( x )

2

dx  1 . Gambar 6.3 berikut menyajikan plot komponen

real fungsi eigen tersebut.

 (x) V0

0

X

Gambar 6.3 Plot komponen real fungsi eigen  (x) bagi partikel berenergi E < V0 yang bergerak di bawah pengaruh potensial undak yang tingginya V0.

Fungsi eigen di x  0 merupakan kombinasi linear gelombang bidang yang merambat ke kanan ( e ikx ) dan gelombang bidang yang merambat ke kiri ( e  i kx ). Jika diandaikan partikel datang dari kiri (dari x<0) maka fungsi

e ikx menyajikan keadaan gerak partikel saat menuju undakan potensial (di x = 0) dan fungsi e  i kx menyajikan keadaan gerak partikel akibat terpantul oleh undakan potensial. Dalam kedua keadaan gerak ini partikel memiliki momentum linear yang sama besar yaitu p  k . Fungsi eigen di daerah II, x  0 berbentuk e x . Fungsi seperti ini sering disebut sebagai fungsi gelombang sekejab (evanescent wave). Dikatakan demikian karena fungsi ini segera bernilai nol akibat bertambahnya x. Kehadiran gelombang di daerah ini menarik untuk dibicarakan mengingat secara klasik partikel tidak mungkin sampai di x  0 . Berdasarkan fungsi eigen (Persamaan 6.9) di depan dapat disimpulkan bahwa ada peluang bagi partikel untuk menembus daerah yang secara klasik terlarang, yaitu x  0 . Besarnya peluang kehadiran partikel di titik x sebanding dengan e 2 x , yang berarti bahwa semakin besar nilai x semakin Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

156

Potensial Undak

kecil peluangnya. Untuk x > 1/, peluang tersebut menjadi sangat kecil (kurang dari 1 / e dari nilai maksimumnya). Selanjutnya, nilai x=1/ disebut jarak penembusan (skin depth) dan dilambangi x. Dengan mengganti  sebagaimana didefinisikan di Persamaan (6.6) diperoleh hubungan antara besarnya jarak penembusan dengan energi partikel sebagai berikut.



 x

2m(V0  E )

.

(6. 10)

Menurut persamaan itu, semakin besar energi partikel semakin besar jarak penembusannya. Suatu prediksi yang sangat logis. Pertanyaan selanjutnya adalah, apakah partikel dapat berada di daerah terlarang itu untuk selamanya? Pertanyaan tersebut dapat dijawab dengan menghitung terlebih dahulu peluang partikel dipantulkan oleh undakan potensial. Argumentasinya adalah sebagai berikut. Jika peluang partikel dipantulkan adalah 1 (berarti partikel pasti dipantulkan) maka jawaban pertanyaan tadi adalah “tidak”. Dalam hal ini berarti kehadiran partikel di daerah terlarang tersebut hanya sementara, sebab akhirnya ia harus kembali lagi ke x < 0. Sebaliknya, jika peluang partikel dipantulkan kurang dari 1 berarti partikel dapat berada di daerah terlarang untuk selamanya. Besarnya peluang partikel dipantulkan dinyatakan oleh suatu besaran yang dinamai koefisien refleksi (koefisien pantul), dilambangi R. Koefisien refleksi didefinisikan sebagai perbandingan rapat arus peluang partikel terpantul terhadap rapat arus peluang partikel datang. (Tentang rapat arus peluang, lihat bagian 5.4, khususnya Persamaan 5.32 dan Contoh Soal 5.6). Rapat arus peluang partikel datang kita hitung dengan menggunakan fungsi gelombang A1 e ikx , hasilnya adalah ( k / m ) A1 2 . Rapat arus peluang partikel pantul kita hitung dengan menggunakan fungsi gelombang 2 A2 e  i kx , hasilnya adalah ( k / m ) A2 . Dengan demikian besarnya koe-

fisien refleksi pada persoalan kita tadi adalah R

( k / m) A 2

2

( k / m) A1

2

A  2 A1

2



k  i k  i

2

1

(6. 11)

Karena R = 1 berarti partikel pasti dipantulkan. Dengan kata lain, kehadiran partikel di daerah terlarang hanyalah sementara.

Pengantar Fisika Kuantum

Potensial Undak

157

b. Energi Total Lebih dari V0 Gambar 6.4 menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x untuk E>V0 . V(x) E V0

I

II X

0

Gambar 6.4 Plot potensial undak V(x) dan energi total E untuk E>V0

Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I maupun di daerah II memiliki bentuk seperti Persamaan (6.1a). Dengan demikian penyelesaian umum di daerah I berbentuk:

 I ( x)  A1 e i k x  A2 e  i k x , k 

2 mE

,

(6.12)

( E  V0 ) .

(6.13)

2

dan penyelesaian umumnya di daerah II berbentuk

 II ( x)  B1 e i  x  B2 e  i x ,  

2m 2

Semua suku yang muncul dalam kedua persamaan tersebut merupakan fungsi gelombang bidang. Andaikan gelombang yang bereksponen positif menyatakan keadaan partikel yang bergerak ke kakan maka gelombang yang bereksponen negatif menyatakan keadaan partikel yang bergerak ke kiri. Selanjutnya kita asumsikan bahwa partikel bergerak ke kanan dari suatu titik di x < 0. Kehadiran gelombang pantul di daerah I, yaitu A2 e ikx , dapat dijelaskan sebagai berikut. Ketika partikel sampai di dekat x = 0, partikel mendapat gaya pembalik sebesar

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

158

Potensial Undak

F 

dV V  0  V   V (x   ) V ( x   )    lim     lim  0 .    lim  0 dx      0   0   0   

Akibatnya, walaupun energi partikel cukup untuk mengatasi tinggi potensial di x > 0, ada peluang bagi partikel itu untuk dipantulkan. Bagaimana dengan kehadiran gelombang yang bergerak ke kiri di daerah II? Karena di sepanjang x > 0 tidak ada perubahan potensial maka partikel tidak mungkin dipantulkan. Dengan demikian di daerah ini harus tidak ada gelombang yang merambat ke kiri. Oleh sebab itu kita harus membuang gelombang ini dari penyelesaian di daerah II. Caranya adalah dengan memilih B2 = 0. Selanjutnya, untuk mendapatkan penyelesian yang kontinu di manamana, kita paksa penyelesaian di kedua daerah tersebut kontinu di x = 0. Pemaksaan ini menghasilkan hubungan A1 + A2

= B1 ,

(6.14a)

k (A1 – A2) = B1 .

(6.14b)

Persamaan (6.14a) diperoleh dari pengkontiuan  (x ) , yaitu  I (0)  II (0) , sedangkan Persamaan (6.14b) diperoleh dari pengkontinuan d (x) /dx, yaitu

d I ( x ) dx

 x 0

d II ( x) dx

. Dari kedua Persamaan (6.14) tersebut x 0

diperoleh hubungan

A2 A1



k , k

dan

B1 2k  A1 k  

(6.15)

Dengan demikian penyelesaian akhir persamaan Schrödinger bebas waktu sistem ini adalah   ikx k    i kx   , x  0  e  A1  e   k   ( x)   (6. 16) 2 k i  x A e , x0  1 k   Tetapan integrasi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan  (x) , yaitu membuat



    ( x)

2

dx  1 . Gambar 6.5 berikut menyajikan plot komponen

real fungsi eigen tersebut. Pengantar Fisika Kuantum

159

Potensial Undak

 (x) E V0

0

X

Gambar 6.5 Plot komponen real Fungsi eigen  (x) bagi partikel berenergi E > V0 yang bergerak di bawah pengaruh potensial undak yang tingginya V0.

Sekarang kita hitung berapa peluang partikel dipantulkan. Untuk itu kita hitung koefisien refeksinya. Dengan argumen seperti sebelumnya, besarnya koefisien refleksi pada sistem ini adalah (k / m) A 2

2

A R  2 2 A1 (k / m) A1

2

 1

4k

  k 2

(6. 17)

Perhitungan tersebut menyatakan bahwa koefisien refleksi tidak sama dengan 1. Ini berarti ada peluang bagi partikel untuk diteruskan. Patut diduga bahwa besarnya koefisien transmisi tersebut adalah sebesar suku yang mengurangkan angka 1 tadi, yaitu suku terakhir Persamaan (6.17). Marilah kita hitung besarnya koefisien transmisi tersebut dengan prosedur yang sama dengan yang kita gunakan untuk menjabarkan koefisien refleksi di depan. Koefisien transmisi (T) didefinisikan sebagai perbandingan rapat arus peluang bagi pertikel terteruskan terhadap rapat arus peluang bagi partikel datang. Dalam kasus ini rapat arus peluang bagi partikel terteruskan adalah (   / m) B1

2

dengan (   / m) menyatakan kecepatan gelombang terterus-

2

kan dan B1 menyatakan rapat peluang yang diasosiasikan dengan gelombang terteruskan itu. Dengan demikian besarnya koefisien transmisi adalah

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

160

Potensial Undak

T

( / m) B1

2

(k / m) A1

2

 B1  k A1

2



4k

  k 2

,

(6. 18)

yang ternyata sama dengan yang telah kita duga. Pada perhitungan tadi kita telah menggunakan Persamaan (6.15) untuk nilai B1/A1. Persamaan (6.17) menunjukkan bahwa ada peluang bagi partikel untuk dipantulkan kembali ke daerah I. Adanya peluang partikel dipantulkan ini tentu bertentangan dengan fisika klasik. Sebab, menurut fisika klasik partikel pasti diteruskan karena gaya pembalik yang dirasakan partikel terlalu kecil dibandingkan energi totalnya. Pertentangan itu dapat dipertemukan pada kasus E >> V0. Untuk menunjukkan hal ini kita ubah Persamaan (6.17) ke dalam bentuk yang secara eksplisit memuat E. Dengan menggunakan definisi k dan  sebagaimana dinyatakan pada Persamaan (6.12) dan (6.13), maka Persamaan (6.17) menjadi 2

 1  1  V0 / E   . R  1 1 V / E  0  

(6. 19)

Ungkapan itu menunjukkan bahwa semakin besar E semakin kecil nilai R. Jika E >> V0 sehingga V0/E  0, maka R = 0. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa tinjauan kuantum sama dengan tinjauan klasik jika energi partikel jauh lebih besar daripada tinggi potensial undak.

6.3 POTENSIAL TANGGUL Sekarang kita telaah gerak partikel di bawah pengaruh potensial konstan yang memiliki diskontinuitas di dua titik. Lebih khusus kita pilih potensial yang berbentuk tanggul seperti dilukiskan pada Gambar 6.6 berikut. Berdasarkan gambar itu, hanya ada dua kemungkinan perkisaran nilai E yang memiliki arti fisis, yaitu E > V0 atau 0 < E < V0, sebab jika E < 0 maka energi kinetik partikel akan negatif di mana-mana. Marilah kita telaah masing-masing rentangan nilai E itu.

Pengantar Fisika Kuantum

161

Potensial Tanggul

V(x)

x  0 (daerah I)  0,  V ( x)   Vo , 0  x  a (daerah II) 0, x  a (daerah III) 

V0 I

III

II

I 0

a

X

Gambar 6.6 Plot potensial V(x) yang berbentuk tanggul kotak, lebar tanggul a dan tinggi tanggul V0

a. Energi Total Lebih dari V0 : Resonansi Transmisi Untuk E > V0, persamaan Shrödinger bebas waktu di daerah I, II, dan III sama bentuknya, yaitu seperti Persamaan (6.1a). Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Shrödinger bebas waktu di daerah I, II, dan III semuanya merupakan fungsi harmonis kompleks sebagai berikut.

 I ( x)



A1 e i k1x  A2 e  i k1x

 II ( x )



B1 e i k 2 x  B 2 e  i k 2 x ; C1 e i k1x  C 2 e  i k1x ;



III

( x) 

x 0

;

0 x  a

(6. 20)

xa

dengan k1 

2mE 

2

dan

k2 

2 m ( E  V0 ) 2

.

(6. 21)

Jika diandaikan partikel bergerak ke kanan dari x < 0 maka, dengan argumen seperti yang kita gunakan pada kasus potensial undak, kita harus mengisikan C2 = 0. Selanjutnya, dengan menerapkan syarat kontinuitas  (x) dan d (x ) /dx di x = 0 diperoleh A1 + A2 = B1 + B2

(6. 22a)

k1(A1  A2) = k2 (B1  B2)

(6.22b)

B1 e i k 2 a  B2 e i k2 a  C1 e i k 1 a ,

(6. 23a)



(6.23b)

dan di x = a diperoleh



k 2 B1 e i k2 a  B 2 e i k 2 a  k1 C1 e i k 1 a .

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

162

Potensial tanggul

Dari Persamaan (6.22a) sampai (6.23b) tersebut diperoleh hubungan

  ik a k 2  k22 A1  C1  cos k 2 a  i 1 sin k 2 a  e 1 ,   2 k1 k 2   2 2  k  k1  ik a A 2  C1  i 2 sin k 2 a  e 1 ,  2 k1 k 2    k k i k  k  a B 1  C1 2 1 e 1 2 , 2 k2  k k B 2  C1  1  2 1 e 2 k2 

ik1a

  e 





i k 1  k2 a

.

(6. 24a)

(6.24b) (6.24c) (6.24d)

Persamaan (6.24) memberikan batasan untuk nilai A sampai C, semua tetapan dinyatakan dalam C1. Dengan menggunakan Persamaan (6.24) tersebut penyelesaian umum (Persamaan 6.20) berubah menjadi penyelesaian khusus sebagai berikut. A  A C 1  1 e i k1x  2 e  i k1x  ; x 0 C C 1  1  B  B (6. 25)  ( x )  C1  1 e i k2 x  2 e  i k2x  ; 0  x  a C1  C1  C 1 e i k1x ; xa dengan A1/C1, A2/C1, B1/C1, dan B2/C1 berturut-turut mengikuti Persamaan 6.24a, 6.24b, 6.24c, dan 6.24d. Gambar 6.7 menyajikan plot komponen real fungsi eigen, Persamaan (6.25), tersebut.

 (x) E V0

(x)

a

X

Gambar 6.7 Plot komponen real fungsi eigen bagi partikel di bawah pengaruh potensial tanggul kotak, tinggi tanggul V0, lebar tanggul a, energi total partikel E > V0 Pengantar Fisika Kuantum

Potensial Tanggul

163

Sekarang kita hitung koefisien transmisi dan refleksinya. Dari Persamaan (6.24a) dan (6.24b) diperoleh koefisien refleksi sebesar

A2

R

A1

k

2 2

1



2

 k22

 sin 2



2

k2a

 sin

2

 sin

2

2 2

4 k1 2 k 2 2  k12  k 2

,

(6. 26)

.

(6. 27)

k2a

dan koefisien transmisi sebesar

T 

C1 A1

2 2

4 k1 2 k 2 2

 2

4 k1 k 2

2



2

 k1  k 2

2 2

k2a

Dengan mengisikan nilai k1 dan k2 sebagaimana didefinisikan pada Persamaan (6.21) diperoleh T 

4 E ( E  V0 ) . a  4 E ( E  V0 )  V0 2 sin 2  2 m ( E  V0 )   

(6. 28)

Persamaan (6.28) menunjukkan bahwa, untuk nilai E dan V0 tertentu, koefisien transmisi bergantung secara periodik terhadap lebar tanggul a. n Nilai maksimum T adalah 1, dan ini terjadi jika a  2m (E  V0 ) dengan  n sebarang bilangan bulat positif. Dikatakan bahwa pada kondisi ini terjadi resonansi dalam arti bahwa partikel yang datang mengenai tanggul dengan mudah (pasti) diteruskan. Nilai minimum koefisien transmisi sebesar 4 E ( E  V0 ) , 4 E (E  V0 )  V0 2

yang menunjukkan bahwa selalu ada peluang bagi partikel untuk diteruskan. Ketika tidak terjadi resonansi transmisi, gelombang yang merambat ke kanan (yang diteruskan dari x = 0) dan gelombang yang merambat ke kiri (yang dipantulkan di titik x = a) saling melemahkan. Akibatnya amplitudo gelombang yang sampai di daerah III menjadi berkurang. Perhatikan Gambar 6.7 di depan. Gambar 6.8 berikut melukiskan bagaimana koefisien transmisi T berubah terhadap lebar tanggul a tersebut.

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

164

Potensial tanggul

T 1

4E(EV0) 4E(EV0) V02

.

0

/2

a/k2

3 /2



2

5/2

Gambar 6.8 Variasi koefisien transmisi T terhadap lebar tanggul a

b. Energi Total Kurang Dari V0: Efek Penerowongan Penyelesaian persamaan Shrödinger bebas waktu di daerah I dan III sama dengan untuk kasus E > V0. Di daerah II, karena di daerah ini E < V0, penyelesaiannya seperti penyelesaian di daerah II pada kasus potensial undak dengan E < V0, yaitu Persamaan (6.6). Untuk kasus yang kita bicarakan sekarang, kedua suku pada Persamaan (6.6) tersebut semuanya berhingga, sebab daerah berlakunya hanya dibatasi dalam interval 0 < x < a. Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Shrödinger bebas waktu di daerah I, II, dan III adalah sebagai berikut.

 I ( x)



 II ( x)   III ( x) 

A1 e i k1 x  A2 e  i k1 x B1 e

x

 B2 e

C1 e i k1x

 x

;

x 0 0 x  a

;

(6. 29)

xa

;

dengan k1 

2 mE 

2

dan  

2 m (V0  E ) 2

.

(6. 30)

Selanjutnya, dengan menerapkan syarat kontinuitas  ( x ) dan d ( x ) /dx di x = 0 diperoleh

Pengantar Fisika Kuantum

A1 + A2 = B1 + B2

(6. 31a)

i k1(A1  A2) =  (B1  B2)

(6.31b)

Potensial Tanggul

165

dan di x = a diperoleh B1 e  a  B2 e   a  C1 e i k 1 a ,



(6. 32a)



 B1 e  a  B2 e   a  i k1 C1 e i k 1 a .

(6.32b)

Dari keempat Persamaan (6.31a) sampai (6.32b) di atas diperoleh hubungan   k 2  2 A1  C 1  cosh  a  i 1 sinh  a  e  2 k1      2  k 12  A 2  C 1  i sinh  a  e  2 k1   

B 1  C1 B 2  C1 e

a

ik1 a

ik 1a

,

(6.33b)

,

  i k1 i k1 a  a e e , 2    i k1  1  2 

  e 

(6. 33a)

(6.33c)

i k1 a

.

(6.33d)

Persamaan (6.33) memberikan batasan untuk nilai A sampai C. Pada persamaan itu telah ditunjukkan bahwa semua tetapan telah dinyatakan dalam C1. Dengan menggunakan Persamaan (6.24) tersebut, penyelesaian umum (Persamaan 6.29) menjadi penyelesaian khusus sebagai berikut.   A1 i k1x A2  i k1x   e  e  C1  C1  C1     B1 x B 2 x   ;  ( x )   C1  e  e C1  C1    C e i k1 x 1  

;

x 0 0 x  a

(6. 34)

xa

dengan A1/C1, A2/C1, B1/C1, dan B2/C1 berturut-turut mengikuti Persamaan 6.33a, 6.33b, 6.33c, dan 6.33d. Gambar 6.9 berikut menyajikan plot komponen real fungsi eigen, Persamaan (6.34), tersebut.

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

166

Potensial tanggul

 (x) V0

E

0

X

a

Gambar 6.9 Plot komponen real fungsi igen bagi partikel di bawah pengaruh potensial tanggul kotak, energi total partikel kurang dari tinggi tanggul (E
Berikutnya marilah kita hitung besarnya koefisien refleksi dan transmisi partikel. Dari Persamaan (6.33a) dan (6.33b) diperoleh koefisien refleksi sebesar

R

A2 A1

2 2

2  k1 2   2  sinh 2  a  , 2 2 2 2 2 2   4 k1   k1   sinh k 2 a

(6. 35)

dan koefisien transmisi sebesar T 

C1 A1

2 2

4 k1 2  2

 2

4 k1 

2



 k1

2



 sinh

2 2

. 2

(6. 36)

a

Persamaan ini menunjukkan adanya peluang bagi partikel untuk sampai di daerah III melalui daerah II, suatu daerah yang secara klasik tidak mungkin dilewati partikel. Gejala suksesnya partikel menembus daerah yang secara klasik terlarang ini disebut efek penerowongan (tunneling effect). Seperti pada kasus E > V0, berdasarkan Persamaan (6.36) tersebut kita juga mendapati bahwa besarnya koefisien transmisi juga bergantung pada lebar tanggul, meskipun cara bergantungnya kini secara hiperbolis. Untuk memudahkan menafsirkan arti fisik Persamaan (6.36) tersebut, kita perha-

Pengantar Fisika Kuantum

Potensial Tanggul

167

tikan kasus di mana nilai  sangat besar. Dalam kasus ini, nilai sinha akan bernilai sangat besar sehingga sumbangan suku pertama pada penyebut persamaan tersebut dapat diabaikan. Selain itu, pada limit ini nilai fungsi sinh  a  12 e  a  e   a menjadi  21 e  a dan k 12   2   2 . Dengan demikian pada kasus ini koefisien transmisinya sebesar





T

16 k12



2

2m

e

 2 a

16 E (V0  E )  2 a  2 (V0  E )  e . V0 2

(6. 37)

Ruas terakhir pada persamaan tersebut diperoleh dengan mengisikan nilai k dan  sebagaimana didefinisikan pada Persamaan (6.30). Persamaan (6.37) menunjukkan bahwa nilai koefisien transmisi berkurang secara eksponensial terhadap bertambahnya lebar tanggul. Dalam banyak kasus, nilai  memang besar. Ingat bahwa E dan V0 dalam orde eV ( 10 J), m dalam orde 10 kg, dan h dalam orde 10 J.s, sehingga nilai  dalam orde 10/m. Bagi sistem yang energi dan massanya lebih dari nilai-nilai tadi, nilai  akan lebih besar lagi. Secara kualitatif, kebergantungan peluang penerobosan terhadap lebar tanggul tersebut dapat dipaparkan sebagai berikut. Fungsi gelombang di daerah II merupakan kombinasi fungsi-fungsi hiperbolis e  x dan e   x sebagaimana dinyatakan pada baris kedua ruas kanan Persamaan (6.34). Dalam persamaan itu, fungsi e  x lebih dominan daripada fungsi e  x . Sebab, berdasarkan Persamaan (6.33 c) dan (6.33d) kita peroleh hubungan B2 B1



  i k 1 2 a e   i k1

(6. 38)

yang menunjukkan bahwa amplitudo fungsi e  x (yaitu B2) lebih besar daripada amplitudo fungsi e  x (yaitu B1 ). Karena fungsi e  x lebih dominan daripada fungsi e  x maka perilaku fungsi gelombang di daerah II ditentukan oleh perilaku fungsi e  x . Kehadiran fungsi ini hanya efektif di daerah x < 1/, sebab untuk x > 1/ amplitudonya dapat diabaikan. Jika lebar tanggul a kurang dari 1/ maka amplitudo gelombang di tepi kanan tanggul masih cukup besar. Akibatnya fungsi gelombang di daerah III juga memiliki amplitudo yang cukup besar. Hal ini berdampak pada besarnya peluang bagi partikel untuk sampai di daerah III. Sebaliknya, jika lebar tanggul cukup besar dibandingkan 1/ maka amplitudo gelombang Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

168

Potensial tanggul

di tepi kanan tanggul menjadi kecil. Akibatnya fungsi gelombang di daerah III juga memiliki amplitudo yang kecil. Hal ini berdampak pada kecilnya peluang bagi partikel untuk sampai di daerah III. Perhatikan Gambar 6.10 berikut. V0

V0 III

III

E

E a

a (a)

(b)

Gambar 6.10 Komponen real fungsi eigen partikel di bawah pengaruh potensial tanggul. Lebar tanggul di gambar (a) kurang dari yang di gambar (b). Perhatikan amplitudo gelombang di daerah III pada (a) dan (b)

6.4 POTENSIAL SUMUR: KEADAAN TERIKAT a. Kedalaman Sumur Berhingga Sekarang kita telaah perilaku partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial kotak yang berbentuk sumur seperti dilukiskan pada Gambar 6.11. V(x)

a/2

a/2 X

I

III

II V0

 V ;  1 a  x  1 a 2 2 V ( x)   0 0; di x lainnya 

Gambar 6.11 Potensial sumur kotak: bernilai nol di luar interval [a/2, a/2] dan bernilai –V0 di dalam interval [a/2, a/2] Pengantar Fisika Kuantum

Potensial Sumur

169

Telaah kita batasi pada keadaan terikat, artinya gerak partikel dibatasi pada ruang tertentu. Berdasarkan plot potensial di Gambar 6.11, keadaan terikat terjadi jika energi total partikel memenuhi ketaksamaan V0 < E < 0. Dalam hal ini partikel hanya mungkin bergerak di sekitar interval x = a/2 sampai x = a/2. Jika energi partikel lebih dari nol maka partikel dapat bergerak dari  sampai dengan +, dan partikel dikatakan dalam keadaan bebas. Persamaan Schrödinger bebas waktu di masing-masing daerah adalah sebagai berikut. Di daerah I dan III: d 2 ( x) dx 2

2mE   2 ( x)  0 ;  2   . 2

(6. 39)

2m  k 2 II ( x)  0 ; k 2  ( E  V0 ) . 2

(6. 40)

Di daerah II: d 2

II

dx

( x)

2

Penyelesaian umum kedua persamaan tersebut adalah

 I ( x)  A1 e  x  A2 e  x ; x   a / 2 ,

(6. 41a)

 II ( x)  B1 e i k x  B2 e  i k x ;  a / 2  x  a / 2 ,

(6.41b)

 III ( x )  C1 e  x  C 2 e  x ; x  a / 2 .

(6.41c)

Agar fungsi eigen yang didapat berhingga di mana-mana maka kita harus menetapkan A2 = C1 = 0. Selanjutnya, dari syarat kontinuitas di x = a/2 didapatkan hubungan

A1 e  a / 2  B1 e  i k a / 2  B 2 e

ik a/ 2



A1  e  a / 2  i k B1 e  i k a / 2  B2 e

,

ik a/2

(6. 42a)

,

(6.42b)

dan dari syarat kontinuitas di x = a/2 didapatkan hubungan

B1 e



i k B1 e

ika/2

ik a/2

 B2 e

 B2 e

ik a / 2

ik a / 2

 C 2 e  a / 2 ,

   C

2

e  a / 2 .

(6. 43a) (6.43b)

Dari Persamaan (6.42) didapatkan hubungan Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

170

Potensial Sumur

ik   ik  i k a / 2   1   B2 e i k a / 2  0 , 1   B1 e      

(6. 44)

dan dari Persamaan (6.43) didapatkan hubungan

ik   ik  ik a/ 2   1   B2 e  i k a / 2  0 . 1   B1 e     

(6. 45)

Akhirnya, dari Persamaan (6.44) dan (6.45) diperoleh hubungan 2

  i k     e 2ika .    ik 

(6. 46)

Ungkapan tersebut menunjukkan bahwa agar penyelesaian persamaan Schrödinger memenuhi syarat sebagai fungsi eigen (bernilai berhingga dan kontinu di mana-mana) maka tetapan  dan k harus memenuhi Persamaan (6.46). Karena kedua tetapan itu bergantung pada E maka ungkapan tadi juga menunjukkan bahwa energi total partikel tidak boleh sebarang. Sekarang marilah kita hitung berapa saja energi yang diijinkan tersebut. Pesamaan (6.46) memiliki dua penyelesian (akar), yaitu

  ik  e ika ,   ik

(6. 47)

 ik   e ika .   ik

(6.47b)

dan

Marilah kita uraikan lebih lanjut masing-masing pnyelesaian tersebut.

Untuk

 ik   e ika .   ik

Ungkapan itu dapat diubah menjadi  1 i / k   i k 1 i / k   ika   e ika   e ika  ln   ik 1  i /k  1  i /k 

atau

1  1  i  / k  ka  . ln  2 i  1  i /k  2 Pengantar Fisika Kuantum

(6. 48)

Potensial Sumur

Dengan menggunakan identitas bilangan kompleks

171

 1 i z    tan 1 z , ln  2i 1  i z   1

Persamaan (6.48) identik dengan

  tan ( 21 ka ) . k Dengan menggunakan identitas trigonometri cos 2 A 

(6. 49) 1 , dari Pertan A  1 2

samaan (6.49) diperoleh cos ( 12 ka ) 

k k0

(6. 50)

2 mV0 dengan k 0  k 2   2  . Selanjutnya, karena  dan k keduanya po2

sitif maka nilai tan(ka/2) juga positif. Dengan demikian Persamaan (6.47b) identik dengan sistem persamaan k , k0

(6. 51a)

tan ( 12 ka )  0 .

(6.51b)

cos ( 12 ka ) 

dan

Nilai k yang memenuhi sistem Persamaan (6.51) dapat ditemukan secara grafik atau dengan program numerik berbantuan komputer. Secara grafik, Ditentukan dengan mencari titik potong antara grafik G(k)  k/k0 dengan grafik F (k )  cos ( 12 ka ) pada daerah di mana tan ( 12 ka )  0 . Gambar 6.12 menyajikan contoh penyelesaian secara grafik untuk k0 tertentu, yaitu 4 5  k0  a a

. Perhatikan bahwa, dalam contoh ini, terdapat 3 nilai k yang

memenuhi sistem Persamaan (6.51).

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

172

Potensial Sumur tan (ka/2)< 0

1 G(k) = k/k0 F(k) = |cos(ka/2)|

k 0

k1 /a

2/a

k3

3/a

4/a k5 k0

5/a

Gambar 6.12a Penyelesaian secara grafik untuk mendapatkan nilai k yang memenuhi sistem Persamaan (6.51) untuk

Untuk

4 5  k0  a a

 ik   e ika   ik

Dengan prosedur seperti sebelumnya dapat ditunjukkan bahwa persamaan   ik   e ika identik dengan sistem persamaan   ik k , k0

(6. 52a)

tan ( 12 ka )  0 .

(6.52b)

sin ( 12 ka ) 

dan

Penyelesaian secara grafik dilakukan dengan mencari titik potong antara

k

grafik k/k0 dan grafik sin ( 12 ka )  di daerah di mana tan ( 12 ka )  0 . Unk o

tuk k0 yang digunakan pada Gambar 6.12a terdapat 2 nilai k seperti ditunjukkan pada Gambar 6.12b berikut.

Pengantar Fisika Kuantum

173

Potensial Sumur

tan (ka/2)< 0 1 G(k) = k/k0

F(k) =|sin (ka/2)|

/a

0

k2 2 /a

3 /a

k4

4/a

k0

k

5/a

Gambar 6.12b Penyelesaian secara grafik untuk mendapatkan nilai k yang memenuhi sistem Persamaan (6.52) untuk

4 5  k0  a a

Berdasarkan analisis secara grafik tadi terlihat bahwa terdapat 5 nilai k (yang berarti juga nilai E) yang diizinkan jika nilai k berada dalam interval 4 5  k0  a a

.

Gambar 6.13 berikut melukiskan contoh diagram tingkat energi beserta fungsi eigen untuk dua keadaan terendah pertama. a/2

a/2

-a/2 a/2 (c)

(a)

-a/2

a/2

(b)

Gambar 6.13 (a) Diagram tingkat energi, (b) Komponen real fungsi eigen untuk keadaan berenergi terendah pertama, (c) Komponen real fungsi eigen untuk keadaan berenergi terendah kedua.

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

174

Potensial Sumur

Pada contoh tadi terdapat 5 tingkat energi. Pertanyaan yang pantas diajukan adalah: besaran apakah yang menentukan cacah tingkat energi pada partikel terikat dalam sumur potensial kotak? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan Gambar 12 (a dan b). Menurut gambar itu, ada dua hal yang menentukan cacah titik potong, yaitu gradien (kelandaian) garis G(k) = k/k0 dan ukuran lebar sumur a. Pada gambar tersebut ditunjukkan bahwa semakin landai (semakin kecil gradien) garis G(k) = k/k0 semakin banyak titik potong yang terjadi. Ini berarti semakin banyak pula tingkat energinya. Karena gradien garis itu 1 2  berarti semakin besar V0 (semakin dalam sumur) se2 mV0 k0 makin landai garis itu. Dengan kata lain, semakin besar V0 semakin banyak cacah tingkat energi. Bagaimana pengaruh lebar sumur? Berdasarkan Gambar 12 (a) dan (b) terlihat bahwa semakin besar a semakin cepat pengulangan fungsi F(k). Ini berarti semakin banyak titik potong. Dengan kata lain semakin lebar sumur semakin banyak tingkat energinya. Gambar 6.14 berikut memperjelas uraian tersebut. Gambar (a) dan (b) berbeda dalam hal lebar sumur tetapi sama dalam hal kedalaman sumur. Terlihat bahwa cacah tingkat energi pada Gambar (b) lebih banyak daripada pada Gambar (a). Gambar (c) dan (d) berbeda dalam hal kedalaman sumur tetapi sama dalam hal lebar sumur. Terlihat bahwa cacah tingkat energi pada Gambar (d) ebih banyak daripada pada Gambar (c).

adalah

Gambar 6.14 Kebergantungan cacah tingkat energi terhadap lebar sumur a dan kedalaman sumur V0 Pengantar Fisika Kuantum

175

Potensial Sumur

b. Kedalaman Sumur Tak Berhingga Jika V(x) bernilai nol dalam interval 0 < x < a dan tak berhingga di luar interval itu maka partikel praktis hanya dapat bergerak di dalam interval itu. Coba jelaskan mengapa demikian! Di dalam sumur, penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu berbentuk

 ( x )  A e ikx  B e ikx , dengan k 

(6. 53)

2 mE . Penyelesaian di luar sumur harus memiliki amplitudo 2

nol sebab potensial di luar sumur tak berhingga besar. Dengan demikian Persamaan (6.53) juga harus bernilai nol di x = 0 dan x = a. Agar  (0) = 0 maka A = B. Dengan demikian fungsi eigen (Persamaan 6.53) menjadi

 ( x )  N sin kx ,

(6. 54)

dengan N  i2A. Selanjutnya agar  (a) = 0 maka harus dipenuhi hubungan

k

n , a

(6. 55)

dengan n merupakan bilangan asli (1, 2, 3 … .). Nilai N dapat ditentukan dengan menormalkan  (x), hasilnya adalah 2 / a . Akhirnya, dengan memasukkan Persamaan (6.55) ke dalam Persamaan (6.54) diperoleh fungsi eigen

 n ( x) 

n x 2 sin . a a

(6. 56)

Indeks n digunakan untuk membedakan suatu fungsi eigen dengan fungsi eigen lainnya. Setiap fungsi eigen itu menyatakan keadaan partikel saat energinya sebesar n 2 2  2 En  , (6. 57) 2ma 2 yang diperoleh dengan mengisikan Persamaan (6.55) ke dalam definisi k

2 mE . Indeks n tadi juga untuk menandai keadaan kuantum partikel. 2

Jika n = 1, dikatakan dalam keadaan dasar (ground state), dan jika n = m >1 dikatakan dalam keadaan tereksitasi tingkat m. Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

176

Rangkumam

RANGKUMAN 1.

2.

Potensial kotak didefinisikan sebagai potensial yang nilainya berubah dari suatu konstanta dalam suatu interval tertentu ke konstanta lain dalam interval lainnya. Jika perubahan itu terjadi hanya sekali disebut potensial undak, jika berubah dua kali disebut potensial tanggul atau potensial sumur, bergantung pada bentuknya. Potensial kotak merupakan penghampiran dari potensial fisis yang memiliki sifat: (1) bernilai konstan dalam interval tertentu, dan (2) berubah secara sangat cepat di sekitar titik tertentu. Untuk potensial undak, persamaan Schrödinger bebas waktu berbend 2 ( x )

2m  k 2  ( x)  0 dengan k 2  2 (E  V ) merupakan konstan dx ta positif, atau tuk

2

d 2 ( x ) 2

  2  ( x)  0 dengan  2 

dx positif.

2m (V  E) merupakan konstanta 2

Penyelesaian umum kasus pertama adalah

 ( x)  A e ik x  B e  i k x atau  ( x)  A sin k x  B cos k x sedangkan penyelesaian umum kasus kedua adalah

 ( x)  A e  x  B e  x atau

3.

4.

 ( x)  A sinh α x  B cosh α x

dengan A dan B merupakan tetapan integrasi. Penyelesaian khusus persamaan Schrödinger bebas waktu diperoleh dengan menerapkan syarat kontinuitas dan keberhinggaan fungsi  (x) beserta derivatif pertamanya terhadap x. Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus potensial undak yang tingginya kurang dari energi total partikel menghasilkan kesimpulan bahwa ada peluang bagi partikel untuk dipantulkan. Menurut tinjauan klasik, seharusnya partikel tidak mungkin dipantulkan. Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus potensial undak yang tingginya lebih dari energi total partikel menghasilkan kesimpulan bahwa ada peluang untuk menemukan partikel di daerah yang secara klasik tidak mungkin ditempati partikel. Namun demikian peluang partikel dipantulkan adalah 1, artinya partikel pasti dipantulkan.

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkumam

5.

6.

7.

8.

177

Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus potensial tanggul yang tingginya lebih dari energi total partikel menghasilkan kesimpulan bahwa ada peluang bagi partikel untuk lolos menerowong tanggul. Gejala ini dikenal sebagai efek penerowongan (tunneling effect). Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus potensial tanggul yang tingginya kurang dari energi total partikel menghasilkan kesimpulan bahwa peluang partikel diteruskan bergantung secara periodik terhadap lebar tanggul. Pada lebar tangggul tertentu, peluang partikel diteruskan adalah 1. Gejala ini disebut resonansi transmisi. Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus partikel terikat pada potensial sumur kotak yang kedalamannya berhingga menghasilkan kesimpulan bahwa energi partikel terkuantumkan. Banyaknya tingkat energi bergantung pada kedalaman sumur dan lebar sumur. Semakin lebar sumur semakin banyak cacah tingkat energi itu. Semakin dalam sumur semakin banyak cacah tingkat energi itu. Penerapan persamaan Schrödinger pada kasus partikel terikat pada potensial sumur kotak yang kedalamannya tak berhingga menghasilkan kesimpulan bahwa energi partikel harus memenuhi hubungan n 2 2  2 dengan n = 1, 2, 3 …, dan a menyatakan lebar sumur. 2ma 2 Fungsi eigen yang berkaitan dengan masing-masing energi En tersebut n x 2 adalah  n ( x)  . sin a a En 

9.

PERLATIHAN Pertanyaan Konsep 1. Jelaskan mengapa fungsi eigen berupa fungsi harmonis di daerah di mana V(x) = V0 < E, dan berupa fungsi hiperbolis di daerah di mana V(x) = V0 > E. 2. Jelaskan mengapa kita harus membuang fungsi yang berbentuk e  x , dengan  sebarang bilangan real positif, di daerah yang memuat x =  dan juga membuang fungsi yang berbentuk e  x di daerah yang memuat x = + .

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

178

Perlatihan

3. Menurut fisika klasik, partikel tidak mungkin berada di daerah di mana V(x) > E; sedangkan menurut fisika kuantum masih ada peluang untuk mendapatkan partikel di tempat itu. Bagaimana pendapat Anda tentang hal itu? 4. Ketika partikel menembus suatu daerah yang secara klasik dilarang, (a) tepatkah jika kita katakan bahwa pada saat itu partikel memiliki energi kinetik negatif? (b) tepatkah jika kita katakan bahwa pada saat itu partikel kehilangan sifat kepartikelannya? 5. Perhatikan penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu untuk partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial undak yang tingginya V0 > E. Dalam kasus ini ternyata koefisien refleksinya sebesar 1, tetapi fungsi glombang di daerah di mana V(x) = V0 tidak beramplitudo nol. Jelaskan bagaimana keberadaan partikel di daerah tersebut! 6. Apakah ada tafsiran probabilistik tentang koefisien transmisi dan koefisien refleksi (pantulan). ?Jika ada, bagaimana tafsiran itu? 7. Andaikan koefisien transmisi partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial undak adalah 0,6. (a)Apa yang dapat Anda simpulkan tentang perkiraan energi total partikel dibandingkan dengan tinggi undakan potensial? (b) Jika ada 1000 partikel identik datang pada potensial itu, tafsirkan berapa banyak partikel yang dipantulkan dan berapa banyak partikel yang diteruskan! 8. Gambar berikut adalah plot komponen real fungsi eigen bagi partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial E tanggul yang tingginya V0 kurang dari energi total partikel. Perhatikan gelombang di daerah I, II, I II III dan III. Bagaimana perbandingan periode gelombang di ketiga daerah itu? Mengapa demikian? 9. Berdasarkan gambar pada pertanyaan 8 di atas, bandingkan besarnya momentum partikel di ketiga daerah itu! Jelaskan temuan Anda berdasarkan hukum kekekalan energi. 10. Amatilah analisis penghitungan energi partikel yang terikat dalam potensial sumur kotak, baik yang kedalamannya berhingga maupun tidak berhingga, sebagaimana diuraikan dalam naskah. (a) Dengan mengPengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

179

amati sederetan energi yang mungkin dimiliki partikel, bagaimana nilai terendah energi total partikel dibandingkan dengan nilai minimum dari V(x)? (b) Jelaskan secara kualitatif bahwa tidak mungkin energi partikel kurang dari atau sama dengan nilai minimum dari V(x) tersebut. Pertanyaan Analisis 1. Jika E dan V0 dinyatakan dalam satuan elektron-volt (eV), tunjukkan bahwa jarak penembusan elektron dan proton (massa proton kira-kira 1840 massa elektron) ke dalam daerah yang secara klasik terlarang adalah: untuk elektron:  x  untuk proton:  x  2.

3.

4.

5.

1, 96 V0  E 1, 96



A dan 

A

1840 V0  E  Sebuah elektron dan sebuah proton, masing-masing berenergi 1 eV, mencoba menembus potensial undak yang tingginya 2 eV. Perkirakan jarak penembusan masing-masing partikel tersebut. Sebuah proton dan sebuah deutron mencoba menembus potensial tanggul yang tingginya 10 MeV dan tebalnya 10 m. Jika masing-masing partikel tersebut memiliki energi yang sama, misalnya 3 MeV, (a) jelaskan partikel mana yang lebih berpeluang sukses menembus tanggul tersebut! (b) Hitung peluang kesuksesan masing-masing! Elektron yang berenergi 2 eV bergerak ke kanan dari x < 0 melalui potensial: V(x) = 1 eV di 0 < x < x0 dan nol di tempat lainnya. Tentukan (a) momentum linear elektron di: (i) x < 0, (ii) 0 < x < x0, dan (iii) x > x0; (b) nilai x0 agar elektron pasti diteruskan sampai di x > x0, (c) peluang minimum elektron diteruskan sampai x > x0. Perhatikan penyelesaian secara grafik untuk mendapatkan energi partikel terikat dalam sumur potensial kotak sebagaimana diuraikan dalam naskah. Lebih khusus, amati Gambar 6.12. Berdasarkan gambar itu, (a): tentukan besaran yang menentukan cacah tingkat energi partikel. (b) untuk lebar sumur tertentu, bagaimana pengaruh kedalaman sumur terhadap cacah tingkat energi? (c) untuk kedalaman sumur tertentu, bagaimana pengaruh lebar sumur terhadap cacah tingkat energi? (d)

jika V0 

 22 2ma 2

, berapa cacah tingkat energi partikel?

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

180

Perlatihan

6. Berdasarkan Gambar 6.12, (a) tentukan cacah tingkat energi untuk nilainilai k0 berikut: (i) /a  k0< 2/a, (ii) 2/a  k0< 3/a, (iii) 3/a  k0< 4/a. (b) Berdasar jawaban Anda pada pertanyaan (a) tadi, jelaskan bagaimana kebergantungan cacah tingkat energi partikel terhadap k0. (c) Perhatikan bahwa jika k0 sangat besar maka garis G(k) = k/k0 hampir mendatar sehingga absis titik-titik potong antara G(k) dan F(k) hampir sama dengan n/a dengan n = 1, 2, 3, …, dst. Tunjukkan bahwa, dalam hal ini, energi partikel memenuhi hubungan E n 

 n  2 2 ma 2

 V0 .

7. Dapatkan, secara grafik, tingkat-tingkat energi yang mungkin dimiliki partikel yang bermassa m dan terikat dalam sumur potensial  6 2 ; x a  2  ma V( x )    0 ; x a   (Petunjuk: nyatakan fungsi eigen di dalam sumur sebagai fungsi sinus (paritas ganjil) dan fungsi cosinus (paritas genap) kemudian dapatkan tingkat-tingkat energi untuk masing-masing paritas itu). 8. Perhatikan pasangan fungsi eigen dan nilai eigen partikel dalam potensial sumur sebagaimana dinyatakan pada Persamaan (6.56) dan (6.57). Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi eigen tersebut saling ortonormal. (Petunjuk: selidiki bahwa antar-fungsi eigen tersebut memenuhi hubungan  n , m  0 jika n  m dan bernilai 1 jika n=m) 9. Berdasarkan soal nomor 8 tersebut, jika sebarang fungsi  (x ) dapat dinyatakan dalam fungsi eigen tersebut melalui hubungan

 ( x )  i c i  i ( x ) , 2

2

tunjukkan bahwa  i ,   c i , dan   i c i . 10. Jika energi terendah partikel terikat dalam potensial sumur yang sangat dalam sebesar 4 eV, berapa energi partikel itu jika dalam keadaan tereksitasi tingkat 5? 11. Elektron yang berenergi total 3,1 eV mencoba menerowong potensial tanggul yang tingginya 6 eV dan tebalnya 10 m. (a) Untuk menghitung koefisien transmisi pada kasus ini, dapatkah kita menggunakan Persamaan (6.37)? (b) Jika dapat, berapa besarnya koefisien transmisi itu?

Pengantar Fisika Kuantum

Perlatihan

E efek penerowongan

166

G gelombang sekejab (evanescent wave) 155 J Jarak penembusan skin depth 156 K Keadaan dasar 175 Keadaan kuantum 175 Keadaan stasioner dalam potensial kotak 149–75 Keadaan tereksitasi 175 Koefisien refleksi definisi 156 pada potensial tanggul 163 pada potensial undak 156, 159

tafsiran probabilistik koefisien transmisi pada potensial undak Koefisien transmisi definisi pada potensial tanggul pada potensial undak tafsiran probabilistik

181

178 159 159 163 159 178

L Tingkat energi potensial sumur

174

O Ortonormal

180

R Rapat arus peluang Resonansi transmisi

159 161

Bab 6: Keadaan stasioner partikel …

BAB 7

OSILATOR HARMONIS

Pada Bab 6 kita telah berlatih menggunakan persamaan Schrödinger bebas waktu untuk sistem yang potensialnya sangat sederhana, yaitu berupa suatu konstanta dalam interval tertentu dan konstanta lain dalam interval lainnya. Pada bab ini kita akan berlatih menggunakan persamaan Schrödinger untuk sistem yang potensialnya tidak lagi berupa suatu konstanta, namun masih cukup mudah diselesaikan secara analitik. Sistem yang kita maksud adalah osilator harmonis sederhana (simple harmonic oscillator). Osilator harmonis adalah suatu entitas fisis yang memiliki energi potensial

1 V ( x)  k x 2 2

(7. 1)

dengan k suatu konstanta (biasanya disebut konstanta pegas), dan x menyatakan posisi partikel terhadap kedudukan setimbangnya. Entitas seperti itu akan bergerak secara harmonis dengan frekuensi   k / m dengan m menyatakan massa (inersial) partikel. Ada beberapa alasan pentingnya membahas osilator harmonis secara kuantum, antara lain sebagai berikut.  Osilator harmonis merupakan penghampiran (pendekatan) yang sangat wajar bagi gerakan sebarang benda di sekitar posisi setimbangnya, yaitu posisi di mana potensial partikel bernilai minimum.  Perilaku sebagian besar sistem fisis kontinu, seperti getaran atom-atom pada medium kontinu (misalnya dinamika fonon dalam kristal, dan perambatan bunyi dalam zat padat maupun zat cair); dan medan elektromagnet dalam rongga, dapat dideskripsikan dengan teori osilator harmonis.

Sutopo

Pengantar Fisika Kuantum

181

182 





Tinjauan klasik

Osilator harmonis memainkan peran penting dalam pendeskripsian suatu himpunan partikel identik yang secara kuantum semuanya memiliki keadaan yang sama. Kita akan melihat bahwa tingkat-tingkat energi osilator harmonis terpisah secara seragam: beda antartingkat energi yang berurutan selalu sama yaitu sebesar  . Osilator yang berenergi n  , dengan n bilangan bulat, dapat kita pandang sebagai sekumpulan n buah partikel identik yang masing-masing memiliki energi  . Prosedur penyelesaian persamaan nilai-eigen osilator harmonis memberi kita suatu ilustrasi bagaimana mendapatkan nilai-nilai eigen dengan memanfaatkan perilaku yang harus dipenuhi oleh fungsi eigen di tempat yang sangat jauh (di x    ). Postulat Planck tentang pengkuantuman energi osilator harmonis telah mengantarkan lahirnya fisika kuantum di mana persamaan Schrödinger sebagai alat utamanya. Kita akan melihat bahwa penerapan persamaan Schrödinger pada osilator harmonis akan menghasilkan kesimpulan yang sama dengan yang dipostulatkan oleh Planck. Ini menunjukkan kepada kita betapa kokohnya metode yang dikembangkan dalam fisika kuantum.

7.1 TINJAUAN KLASIK Secara klasik, persamaan gerak osilator harmonis mengikuti hukum Newton:

F m

d2 x dt 2

(7. 2)

Karena osilator harmonis merupakan sistem konservatif maka gaya F dalam persamaan di atas dapat diturunan dari energi potensialnya. Untuk osilator harmonis kita dapatkan

F 

dV d   (1 / 2 kx 2 )   kx . dx dx

(7. 3)

Dengan demikian Persamaan (6.2) menjadi

m

d2 x  kx  0 . dt 2

Penyelesaian persamaan tersebut adalah

Pengantar Fisika Kuantum

(7. 4)

Tinjauan klasik

183 (7. 5)

x(t )  A sin( t ) ,

dengan A menyatakan tetapan, biasanya dipilih sebagi amplitudo osilasi, dan   k /m . Berdasarkan Persamaan (7.5) kita dapat merumuskan energi osilator harmonis pada sebarang t sebagai berikut. Energi kinetik osilator pada sebarang waktu t adalah 2

1 1  dx  1 T (t )  m v 2  m    m  2 A 2 cos 2 ( t ) . 2 2  dt  2

(7. 6)

Energi potensial osilator pada sebarang waktu t adalah V (t ) 

1 2 1 k x ( t )  m 2 A 2 sin 2 ( t ) . 2 2

(7. 7)

Energi total osilator pada sebarang waktu t adalah 1 E( t )  T( t )  V(t )  m 2 A 2 . 2

(7. 8)

Ternyata energi total sistem tidak bergantung waktu. Dengan kata lain, energi total osilator harmonis adalah konstan. Ini sesuai dengan kenyataan bahwa osilator harmonis merupakan sistem konservatif. Untuk osilator tertentu, artinya massa dan konstanta pegasnya tertentu, Persamaan (7.8) menunjukkan bahwa energi total osilator harmonis hanya bergantung pada amplitudo osilasi A. Karena A dapat bernilai sebarang, artinya berapapun amplitudo yang diberikan sistem tetap berosilasi, maka energi total osilator harmonis dapat memiliki nilai sebarang, dari nol sampai takhingga, bergantung nilai amplitudonya. Inilah kesimpulan penting dari analisis secara klasik. Kita akan melihat bahwa kesimpulan ini akan dikoreksi oleh fisika kuantum. 7.2 PERSAMAAN SCHRÖDINGER Karena energi potensial osilator harmonis secara eksplisit hanya bergantung pada posisi x, lihat Persamaan 7.1, maka kepadanya berlaku persamaan Schrödinger bebas waktu. Persamaan Schrödinger bebas waktu osilator harmonis dapat ditulis dalam bentuk

Bab 7: Osilator Harmonis

184

Persamaan Schrödinger 2

d 2 ( x) 2mE m  2  2  ( x )    x  ( x)  0 . 2 dx    

(7. 9)

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan mendefinisikan variabel-variabel tak berdimensi  dan  sebagai berikut. (7. 10)

  x dengan  suatu tetapan yang dimensinya berbalikan dengan posisi x.

(7. 11)

  E0 E

dengan E0 suatu tetapan yang dimensinya berbalikan dengan dimensi energi E. Subtitusi Persamaan (7.10) dan (7.11) ke dalam Persamaan (7.9) diperoleh d 2 ( ) d 2

2

2 m

 m  2    ( )  0 .  ( )   2 2  E0    2 



(7. 12)

Jika tetapan-tetapan E0 dan  masing-masing diberi nilai



m 

(7. 13)

E0 

2 

(7. 14)

dan

maka Persamaan (7.12) menjadi d 2 ( ) d

2

 (   2 ) ( )  0 .

(7. 15)

Persamaan (7.15) merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu osilator harmonis yang akan kita pecahkan selanjutnya. Bandingkan persamaan hasil modifikasi ini dengan persamaan semula, yaitu Persamaan (7.9). Dalam Persamaan (7.9), variabel x dan E merupakan variabel berdimensi; sedangkan dalam Persamaan (7.15), variabel  dan parameter  semuanya tidak berdimensi. Dengan menggunakan nilai tetapan pada Persamaan (7.13) dan (7.14) maka variabel  dan parameter  yang didefinisikan di Persamaan (7.10) dan (7.11) tadi masing-masing menjadi Pengantar Fisika Kuantum

Persamaan Schrödinger

185



m x 

(7. 16)



2 E. 

(7. 17)

dan

Selanjutnya, persamaan Schrödinger osilator harmonis yang akan kita pecahkan adalah yang dinyatakan dalam Persamaan (7.15). Tentu saja untuk menafsirkan secara fisik berbagai kesimpulan yang didapatkan kita harus mengolahnya kembali. Untuk mendapatkan E kita harus mengolahnya dari  dengan menggunakan Persamaan (7.17), seagai contoh lihat Persamaan (7.32). Demikian juga jika kita ingin mendapatkan fungsi eigen dalam x, yaitu  (x) kita harus mengolahnya dari  (). Bagaimana cara mendapatkan  (x) dari  () akan diuraikan kemudian di bagian lain bab ini. Marilah kita telaah lebih lanjut persamaan Schrödinger sebagaimana dinyatakan pada Persamaan (7.15) di depan. Perlu diingat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan nilai-eigen bagi hamiltonan (energi total) osilator harmonis. Fungsi  () disebut fungsi eigen dan parameter  disebut nilai eigen. Selanjutnya, kita fokuskan telaah kita pada fungsi eigen dan nilai eigen tersebut.

7.3 PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER Untuk menyelesaikan Persamaan (7.15) kita gunakan kenyataan bahwa gerakan osilator adalah terbatas di sekitar titik setimbangnya. Ini berarti bahwa peluang kehadiran partikel di x    haruslah nol. Kesimpulan ini memberi petunjuk bahwa  ( x   )  0 , atau setara dengan pernyataan bahwa  (   )  0 . Kita andaikan bahwa  ( ) dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi F ( ) dan H ( ), yaitu:

 ( )  F ( ) H ( ) .

(7. 18)

Bentuk kedua fungsi itu haruslah sedemikian rupa sehingga dipenuhi persyaratan  (   )  0 . Dengan demikian, kedua fungsi itu juga harus nol di     meskipun kecepatannya menuju nol tidak harus sama.

Bab 7: Osilator Harmonis

186

Penyelesaian persamaan Schrödinger

Jika F( ) kita pilih lebih cepat menuju nol dibandingkan H( ), maka perilaku  ( ) di     lebih banyak ditentukan oleh F( ) . Jika pilihan ini yang kita ambil maka di     Persamaan (7.15) menjadi d 2 F( )  (   2 ) F ( )  0 . d 2



(7. 19)



Karena pada     berlaku    2    2 maka Persamaan (7.19) dapat disederhanakan lagi menjadi d 2 F( )   2 F ( ) . d 2

(7. 20) 2

Penyelesaian persamaan itu berbentuk F( )  e c dengan c merupakan suatu tetapan yang nilainya dapat ditentukan sebagai berikut. Subtitusi 2

F ( )  e  c ke Persamaan (7.20) menghasilkan  2c (1  2c 2 )   2 .

(7. 21)

Karena pada limit     berlaku 1  2c 2   2 c 2 maka Persamaan (7.21) setara dengan ungkapan

4c 2 2   2



1 c . 2

(7. 22)

Kita tidak mungkin menggunakan nilai c =  ½, sebab hal ini menyebabkan F ( ) bernilai tak hingga di     . Dengan demikian hanya nilai c =+ ½ yang akan kita gunakan. Dengan nilai c tersebut maka kita dapatkan bentuk akhir dari F ( ) sebagai F ( ) 

1  2 e 2

(7. 23)

Selanjutnya, fungsi H ( ) dapat kita temukan dengan cara sebagai berikut. Subtitusi Persamaan (7.23) ke dalam (7.18), kemudian hasilnya disubtitusikan ke dalam Persamaan (7.15), akan menghasilkan persamaan d 2 H( ) dH( )  2  (  1 ) H ( )  0 . d 2 d

Pengantar Fisika Kuantum

(7. 24)

Penyelesaian persamaan Schrödinger

187

Jadi H( ) harus memenuhi Persamaan (7.24) dengan syarat tambahan harus bernilai nol di     . Persamaan (7.24) dapat diselesaikan dengan metode deret sebagai berikut. Andaikan H ( ) dinyatakan dalam bentuk deret pangkat 

H( )   a j ξ

j

(7. 25)

j 0

maka d H( )  a 1  2 a 2 ξ  3 a 3 ξ d

2



 .....    j  1a j  1 ξ

j

j0

sehingga

2

 d H( )  2  ( j  1) a j 1 ξ d j 0

j 1



2  j aj ξ

j

(7. 26)

j 0

dan d2 H( )  2 a 2  3  2  a 3   4  3  a 4  d 2

2

 .....

(7. 27)



  ( j  2)( j  1) a j  2 j . j 0

Subtitusi Persamaan (7.25 s.d 7.27) ke dalam Persamaan (7.24) menghasilkan 





j0

j0

j 0

 ( j  1)( j  2 ) a j  2  j  2  j a j  j  (  1)  a j  j  0 ,

atau 

 ( j  1)( j  2) a j 2  2 j  1   a j  j  0 .

(7. 28)

j0

Agar Persamaan (7.28) berlaku untuk semua  j maka harus dipenuhi hubungan

a j 2 

2 j  1 ε aj ( j  1)( j  2)

(7. 29)

Persamaan (7.29) memberikan resep hubungan antarkoefisien dalam deret pangkat pada H( ) agar fungsi H( ) tersebut memenuhi Persamaan (7.24). Dengan demikian, penyelesaian umum Persamaan (7.15) adalah

Bab 7: Osilator Harmonis

188

Penyelesaian persamaan Schrödinger

 ( )  H( ) e

1  2 2

,

(7. 30)

dengan H ( ) berupa polinom (deret pangkat) yang hubungan antar-koefisien sukunya mengikuti Persamaan (7.29). 7.3.1 Nilai Eigen Ada beberapa hal penting yang dapat dikemukakan dari penyelesaian persamaan Schrödinger di atas. 1. Persamaan (7.29) menghubungkan koefisien suku berpangkat genap dengan koefisien suku berpangkat genap berikutnya, atau antara koefisien suku berpangkat ganjil dengan koefisien suku berpangkat ganjil berikutnya. Jadi, antara koefisien suku berpangkat ganjil dan koefisien suku berpangkat genap tidak ada hubungan sama sekali. 2. Koefisien suku berpangkat genap, yaitu aj dengan j bilangan genap, semuanya dapat dihubungkan dengan a0. Jadi jika a0 = 0 maka semua koefisien suku berpangkat genap bernilai nol. Berarti H ( ) merupakan deret berpangkat ganjil dan H( ) bersifat sebagai fungsi ganjil. Karena F( ) merupakan fungsi genap maka fungsi eigen  ( ) merupakan fungsi ganjil. Dalam hal ini  ( ) disebut fungsi eigen varitas ganjil. 3. Koefisien suku berpangkat ganjil, yaitu aj dengan j bilangan ganjil, semuanya dapat dihubungkan dengan a. Jadi jika a = 0 maka semua koefisien suku berpangkat ganjil bernilai nol dan H ( ) merupakan deret berpangkat genap. Akibatnya  ( ) merupakan fungsi genap dan selanjutnya disebut fungsi eigen varitas genap. 4. Dalam setiap varitas, fungsi H ( ) merupakan deret divergen. Oleh karena itu harus dihentikan sampai suku tertentu agar menghasilkan  ( ) yang bernilai nol di     . Prosedur penghentiannya diuraikan pada butir-butir berikut. 5. Untuk menghentikan deret sampai suku tertentu, misalnya suku yang memuat  n, maka kita harus menetapkan aj = 0 untuk j > n. Hal ini dapat kita lakukan dengan membuat koefisien aj+2 = 0 untuk j = n. Jadi, berdasarkan Persamaan (7.29), agar deret berhenti di suku  n, maka harus dipenuhi hubungan 2n  1  ε n a n 2  an  0 , (n  1)( n  2) atau

Pengantar Fisika Kuantum

Penyelesaian persamaan Schrödinger

2n + 1 =  n.

6.

189

(7. 31)

Indeks n perlu kita bubuhkan pada  sebab untuk memenuhi hubungan 2n+1 =  maka nilai  harus disesuaikan dengan nilai n. Berdasarkan catatan nomor 2 dan 3 di depan, Persamaan (7.31) hanya dapat menghentikan salah satu dari deret yang berpangkat ganjil saja atau deret yang berpangkat genap saja; jadi tidak dapat menghentikan keduanya sekaligus. Jika n merupakan bilangan genap, maka deret yang dapat dihentikan dengan persamaan itu adalah deret yang berpangkat genap. Sebaliknya jika n merupakan bilangan ganjil, deret yang dapat dihentikan adalah deret yang berpangkat ganjil. Oleh sebab itu untuk menjamin agar  ( ) bernilai nol di     kita gunakan ketentuan tambahan: jika n genap maka a harus diberi nilai nol sehingga semua koefisien berpangkat ganjil pada H (  ) bernilai nol; sebaliknya jika n ganjil maka a harus diberi nilai nol sehingga semua koefisien berpangkat genap pada H ( ) bernilai nol.

Marilah kita telaah lebih lanjut ungkapan dalam Persamaan (7.31). Berdasarkan persamaan itu, agar  ( ) berhingga maka parameter  tidak boleh bernilai sebarang, melainkan harus memenuhi hubungan n = 2n+1 dengan n sebarang bilangan cacah (0, 1, 2, …). Subtitusi nilai  ke dalam Persamaan (7.17) menghasilkan ungkapan

En 

 1   n   n    2 2 

(7. 32)

Persamaan (7.32) menunjukkan bahwa energi total osilator harmonis yang berfrekuensi anguler  tidak boleh sebarang, melainkan harus merupakan kelipatan bulat (tepatnya kelipatan ganjil) dari ½  . Kesimpulan ini berbeda dengan kesimpulan klasik yang menyatakan bahwa energi osilator dapat bernilai sebarang. Perhatikan pula bahwa energi terendahnya bukan nol, melainkan di atas nilai terendah energi potensialnya, yaitu ½  . . Gambar 7.1 berikut menyajikan diagram tingkat energi yang diijinkan pada osilator harmonis. Plot fungsi potensialnya juga ditunjukkan. E 6

V(x)

5 4 3

Bab 7: Osilator Harmonis

2 1 x Gambar 7.1 Plot energi potensial dan tingkat energi osilator harmonis.

190

Penyelesaian persamaan Schrödinger

7.3.2 Fungsi eigen Berdasarkan Persamaan (7.29) sampai (7.31) dapat disimpulkan bahwa setiap nilai  n tertentu akan menghasilkan fungsi  ( ) yang tertentu pula. Selanjutnya, fungsi  ( ) yang diasosiasikan dengan nilai n tertentu tersebut kita lambangi dengan  n ( ) . Mengingat adanya keterkaitan yang sangat erat antara n dan  n ( ) , maka akan lebih menguntungkan jika Persamaan (7.15) kita modifikasi menjadi

d 2 n ( ) d

2

 ( n   2 ) n ( )  0 .

(7. 33)

Ungkapan tersebut menunjukkan bahwa n dan  n ( ) merupakan pasangan antara fungsi eigen dan nilai eigen, yaitu n merupakan nilai eigen dan  n ( ) merupakan fungsi eigen. Untuk memperjelas pernyataan itu, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 7.1 Dapatkan fungsi eigen osilator harmonis yang memiliki energi total ½  . Analisis Berdasarkan Persamaan (7.32), energi tersebut bersesuaian dengan nilai n = 0. Karena n merupakan bilangan genap, maka berdasar-

Pengantar Fisika Kuantum

Penyelesaian persamaan Schrödinger

191

kan catatan nomor 6 di depan, a1 harus kita beri nilai nol sehingga semua koefisien suku berpangkat ganjil bernilai nol. Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (7.31), jika n = 0 maka  = 1. Dengan mengetahui nilai  ini kita dapat menentukan nilai koefisien-koefisien berpangkat genap yang tidak nol dengan menggunakan Persamaan (7.29). Untuk j = 0, kita dapatkan

a2 

2  0  1 1 a0  0 . (0  1)(0  2)

Karena a2 = 0 maka koefisien suku berpangkat genap di atasnya juga bernilai nol. Dengan demikian, polinom H() yang cocok dengan keadaan ini adalah H() = a0 = konstanta, dan fungsi eigen yang kita cari (lihat Persamaan 7.30) adalah

 0 ( )  a 0 e

1  2 2 .

Tetapan a0 biasanya dipilih sedemikian rupa sehingga fungsi eigen  0 ternormalkan. Nilainya dapat ditentukan sebagai berikut. Agar  0 ternormalkan maka harus dipenuhi: 

  0 (ξ )

2

d  1 .



Atau 

2



2

2

2

   a 0 e d  2  a0 e d  2 a 0

0



1 Jadi a0    

2

( 1 / 2 ) 2

 a0

2

  1.

1/ 4

.

Dengan demikian, kita dapatkan fungsi eigen yang telah ternormalkan: 1  0 ( )     

1/ 4  1  2 e 2 .

Gambar berikut adalah plot fungsi eigen untuk tingkat nol (terendah) Bab 7: Osilator Harmonis

192

Penyelesaian persamaan Schrödinger

tersebut.

0()

V()



nilai eigen

Contoh Soal 7.2 Dapatkan fungsi eigen osilator harmonis yang memiliki energi total 3/2  . Analisis Berdasarkan Persamaan (7.32), energi tersebut bersesuaian dengan nilai n = 1. Karena n merupakan bilangan ganjil, maka berdasarkan catatan nomor 6 di depan, a0 harus kita beri nilai nol sehingga semua koefisien suku yang berpangkat genap bernilai nol. Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (7.31), jika n = 1 maka  = 3. Dengan mengetahui nilai  ini kita dapat menentukan nilai koefisienkoefisien berpangkat ganjil yang tidak nol dengan menggunakan Persamaan (7.29). Untuk j = 1, kita dapatkan a 3 

2  1 1  3 (1  1)( 1  2 )

a1  0 .

Karena a = 0 maka koefisien suku berpangkat ganjil di atasnya akan bernilai nol. Dengan demikian, polinom H() yang cocok dengan keadaan ini adalah H() = a, dan fungsi eigen yang kita cari adalah

 1 ( )  a1 

1  2 e 2 .

Pengantar Fisika Kuantum

Penyelesaian persamaan Schrödinger

193

Tetapan a1 biasanya dipilih sedemikian rupa sehingga fungsi eigen  () ternormalkan. Nilainya ditentukan sebagai berikut. Agar  () ternormalkan maka harus dipenuhi: 

2

  1 ( ) d  1



Atau 

 2 2 2 2 2  (3 / 2) 2  a1  2 e  d  2  a1  2 e  d  2 a1  a1 1 . 2 2  0



4 Jadi a1     

1 /4

.

Dengan demikian kita dapatkan fungsi eigen yang telah ternormalkan: 1/ 4

4  1 ( )     

 e

1  2 2 .

Gambar berikut menyajikan plot fungsi eigen untuk tingkat energi tersebut.

1() V()

 nilai eigen

Contoh Soal 7.3 Dapatkan fungsi eigen osilator harmonis yang memiliki energi total 5/2  . Bab 7: Osilator Harmonis

194

Penyelesaian persamaan Schrödinger

Analisis Energi tersebut bersesuaian dengan nilai n = 2. Karena n merupakan bilangan genap, maka a1 harus kita beri nilai nol sehingga semua koefisien suku berpangkat ganjil bernilai nol. Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (7.31), jika n = 2 maka  = 5. Dengan mengetahui nilai  ini kita dapat menentukan nilai koefisienkoefisien berpangkat genap yang tidak nol dengan menggunakan Persamaan (7.29). Untuk j = 0, kita dapatkan

a2 

2  0 1  5 a0   2 a0 . (0  1)(0  2)

Untuk j = 2, kita dapatkan

a4 

2  2 1  5 a2  0 . (2  1)(2  2)

Karena a4 = 0 maka koefisien suku pangkat genap di atasnya akan bernilai nol. Dengan demikian, polinom H() yang cocok dengan keadaan ini adalah





H 2 ( )  a 0 (1  2  2 )  N 2  2  1 ,

dan fungsi eigen yang kita cari adalah 2

 2 ( )  N ( 2   1)

1  2 e 2 .

Tetapan N dipilih sedemikian rupa sehingga  2() ternormalkan. Dengan prosedur seperti pada contoh sebelumnya, besarnya 1 /4 1  tetapan normalisasi ini adalah N   .   4  Perhatikan bahwa nilai a0 pada contoh ini berbeda dengan nilai a0 pada contoh sebelumnya. Dengan demikian, fungsi eigen yang sudah ternormalkan adalah 1   2 ( )     4 

1/4

2

2

Pengantar Fisika Kuantum



1 e

1  2 2 .

Penyelesaian persamaan Schrödinger

195

Gambar berikut menyajikan plot fungsi eigen ternormalkan tersebut.

2() V()

 nilai eigen

Contoh Soal 7.4 Dapatkan fungsi eigen osilator harmonis yang memiliki energi total 7/2  . Analisis Energi tersebut bersesuaian dengan nilai n = 3. Karena n merupakan bilangan ganjil, maka a = 0 sehingga semua koefisien suku berpangkat genap bernilai nol. Koefisien suku berpangkat ganjil ditentukan sebagai berikut. Berdasarkan Persamaan (7.31), jika n = 3 maka  = 7. Subtitusi  = 7 ke dalam Persamaan (7.29) kita dapatkan koefisien suku berpangkat ganjil sebagai berikut. Untuk j = 1, kita dapatkan a 3  Untuk j = 3, kita dapatkan a 5 

2 11  7 (1  1)(1  2 ) 2 31 7 ( 3  1)( 3  2 )

a1   4 / 6 a 1 . a1  0 .

Karena a = 0 maka koefisien suku pangkat ganjil di atasnya akan bernilai nol. Dengan demikian, polinom H() yang cocok dengan keadaan ini adalah

Bab 7: Osilator Harmonis

196

Penyelesaian persamaan Schrödinger





H 3 ( )  a 1 (  23  3 )  N 2  3  3 ,

dan fungsi eigen yang kita cari adalah



3

 3 ( )  N 2   3



1  2 e 2 .

Tetapan N dipilih sebagai tetapan normalisasi bagi  3(). Berdasarkan contoh-contoh sebelumnya diharapkan pembaca mencari sendiri berapa nilai tetapan normalisasi ini. Berikut adalah plot fungsi eigen tersebut. V() nilai eigen

 3() 

Contoh Soal 7.5 Dapatkan fungsi eigen osilator harmonis yang memiliki energi total 9/2  . Analisis Energi tersebut bersesuaian dengan nilai n = 4, dan  = 9. Karena n merupakan bilangan genap maka aj = 0 untuk j ganjil. Nilai aj untuk j genap dicari dengan menggunakan Persamaan (7.29) sebagai berikut. Untuk j = 0, kita dapatkan a 2 

Pengantar Fisika Kuantum

2  01  9 (0  1)( 0  2 )

a0   4 a0 .

Penyelesaian persamaan Schrödinger

Untuk j = 2, kita dapatkan a 4  Untuk j = 4, kita dapatkan a6 

221 9 ( 2  1)( 2  2 ) 2  41 9 ( 4  1)( 4  2 )

197

a 2   13 a 2  43 a 0 . a4  0

Karena a = 0 maka koefisien suku pangkat genap di atasnya akan bernilai nol. Dengan demikian polinom H() yang cocok dengan keadaan ini adalah H 4 ( )  a0 ( 1  4  2  43  4 )  N ( 3  12  2  4  4 )

dan fungsi eigen yang kita cari adalah 4

2

 4 ( )  N ( 4  12   3)

1  2 e 2

.

Tetapan N dipilih sebagai tetapan normalisasi bagi  4(). Berikut adalah plot fungsi eigen tersebut.

nilai eigen

V()

 4() 

7.4 POLINOM HERMITE Fungsi eigen osilator harmonis merupakan perkalian fungsi polinom orde tertentu, yaitu Hn(), dan fungsi eksponensial exp( ½ ). Beberapa

Bab 7: Osilator Harmonis

198

Polinom Hermite

polinom sudah kita dapatkan melalui contoh-contoh di depan. Seperti yang Anda lihat, polinom-polinom tersebut tidak lain adalah polinom Hermite. Untuk itu, ada baiknya kita menelaah kembali secara singkat tentang polinom tersebut. 7.4.1 Definisi Polinom Hermite Polinom Hermite merupakan penyelesaian persamaan diferensial: d 2 H n ( ) dH n ( )  2  2 n H n ( )  0 , d 2 d

(7. 34)

dengan n merupakan bilangan cacah (0, 1, 2, … ). Perhatikan bahwa persamaan diferensial tersebut sama dengan Persamaan (7.24) setelah kita gantikan n dengan 2n +1 seperti dinyatakan pada Persamaan (7.31). Polinom Hermite orde n dapat ditemukan dengan menggunakan rumus pembangkit polinom Hermite sebagai berikut. H n ( )  (1) n e

2

dn d n

2

e  .

(7. 35)

(Lihat, misalnya: Spiegel, M.R. 1968: Mathematical Handbook Formula and Tables, hal. 151. Schaum’ Outline Series). Berikut beberapa contoh polinom yang didapat dari rumus tersebut. H 0 ( )  1 ,

H 1 ( )  2 ,

H 2 ( )  4 2  2 ,

H 3 ( )  8 3  12 ,

H 4 ( )  16 4  48 2  12 ,

H 5 ( )  32  5  160 3  120 .

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut semuanya sama dengan yang telah kita dapatkan di depan asalkan nilai koefisiennya kita bagi dengan faktor persekutuan terbesarnya. Misalnya, jika koefisien pada H () di atas kita bagi dengan 4 (yaitu faktor persekutuan terbesar dari bilangan 8 dan 12) kita dapatkan polinom yang sama dengan yang kita dapatkan pada Contoh 7.4 di depan. Mengingat faktor Hn() dalam fungsi eigen osilator harmonis ternyata merupakan polinom Hermite, kita dapat menemukan fungsi Hn() tersebut tanpa melalui prosedur menghitung koefisien  n seperti yang kita lakukan di depan. Sebagai gantinya, kita dapat menggunakan Persamaan (7.35). Pengantar Fisika Kuantum

Polinom Hermite

199

7.4.2 Beberapa Sifat Polinom Hermite Berikut beberapa sifat penting polinom Hermite yang akan kita gunakan dalam pembahasan berikutnya. Hubungan antarpolinom yang berdekatan ordenya: H n 1 ( )  2 H n ( )  2n H n 1 ( ) .

(7. 36)

Derivatif polinom Hermite

d H n ( )  2n H n 1 ( ) . d

(7. 37)

Keortogonalan Polinom Hermite Hal penting lainnya yang berkaitan dengan polinom Hermite adalah sifat keortogonalannya. Antara dua sebarang polinom Hermite, misalnya Hn() dan Hm(), berlaku hubungan: 

 H n ( ) H m ( ) e 

 2

; nm 0  d   .  2 n n!  ; n  m 

(7. 38)

7.5 FUNGSI EIGEN OSILATOR HARMONIS Setelah kita melihat adanya hubungan antara fungsi eigen osilator harmonis dengan polinom Hermite, dan mengingat kembali beberapa sifat penting polinom tersebut, marilah kita kembali menelaah fungsi eigen osilator harmonis. Hal-hal yang akan kita bahas lebih lanjut adalah sifat keortogonalan fungsi eigen osilator dan bagaimana mendapatkan fungsi eigen dalam variabel x, yaitu  n(x), berdasarkan fungsi eigen yang dinyatakan dalam variabel tak berdimensi , yaitu  n().

Bab 7: Osilator Harmonis

200

Fungsi eigen osilator harmonis

Jika Persamaan (7.38) kita ubah cara penulisannya menjadi ; nm 0 1 1   2    2     H n ( ) e 2   H m ( ) e 2  d        2 n n!  ; n  m  

(7. 39)

maka dapat kita maknai sebagai keortogonalan antara sebarang pasangan fungsi eigen  n() dan  m(). Baris kedua Persamaan (7.39) tersebut juga menunjukkan bahwa fungsi eigen  n() yang polinom Hn()-nya kita dapatkan dari Persamaan (7.35) adalah belum ternormalkan. Untuk mendapatkan fungsi eigen yang ternormalkan, fungsi eigen yang belum ternormalkan tersebut kita tuliskan sebagai berikut.

 n ( )  N H n ( )

1  2 e 2 ,

(7. 40)

dengan N tetapan normalisasi bagi  n(). Norm fungsi tersebut adalah 

2

  n ( ) d  N



2



2

2   H n ( )  e d .

(7. 41)



Berdasarkan baris kedua Persamaan (7.39), integral di ruas kanan Persamaan (7.41) di atas bernilai 2 n n! π . Jadi agar norm dari  n() bernilai 1 maka



tetapan N harus kita beri nilai 2 n n!  eigen yang telah ternormalkan adalah



n

 n ( )  2 n! 



1 / 2

1/ 2 . Dengan demikian fungsi

H n ( )

1  2 e 2 .

(7. 42)

Tabel 7.1 berikut menyajikan beberapa fungsi eigen ternormalkan yang didapat dari Persamaan (7.42) tersebut.

Pengantar Fisika Kuantum

Fungsi eigen osilator harmonis

201

Tabel 7.1. Beberapa Fungsi Eigen Ternormalkan Osilator Harmonis

n

n = 2n+1

0

1

 1    

3

 1   4 

2

5

 1   64  

3

7

 1   2304  

1

 n() 1/4

e

   

1  2 2

1/4

2 e

   

1  2 2

4     

1/4 2

( 4  2 )

   

1/4

1  2 e 2

1 /4

8

3

 e



 12 e

1  2 2

 1 =   4

1  2 2

   

1/4

1      9 

( 2 2  1) e

1/4

2

3

1  2 2



 3 e

1  2 2

Bagaimanakah cara mendapatkan fungsi  n (x ) yang telah ternormalkan? Apakah cukup dengan menggantikan setiap variabel  pada Persamaan (7.42) dengan x sebagaimana didefinisikan di Persamaan (7.10)? Tentu saja tidak, sebab tetapan normalisasi  n (x) dihitung melalui proses pengintegralan terhadap    x , lihat Persamaan (7.39), sedangkan tetapan normalisasi untuk  n (x) harus dihitung melalui proses pengintegralan terha

2

dap x, yaitu:   n ( x) dx. 

Jika  n (x ) ternormalkan maka berlaku hubungan 

2

(7. 43)

  n ( x) dx 1. 

Di pihak lain, jika  n (   x) ternormalkan maka juga berlaku 

2



2

  n ( ) d    n ( x) dα x   1.





Bab 7: Osilator Harmonis

202

Fungsi eigen osilator harmonis

atau 



2

  n (   x) dx  1 .

(7. 44)



Dengan membandingkan Persamaan (7.44) terhadap Persamaan (7.43) kita peroleh kesimpulan bahwa

 n ( x)    n (  x ) .

(7. 45)

Persamaan (7.45) itulah yang menghubungkan fungsi eigen ternormalkan dalam variabel  dengan fungsi eigen ternormalkan dalam variabel x. Secara eksplisit, fungsi eigen yang telah ternormalkan tersebut berbentuk 1/ 2

     n ( x)    2 n n!    

H n (x)

1  x 2 e 2 .

(7. 46)

Antara dua fungsi eigen ternormalkan berlaku hubungan

0 , n  m

   n ( x ) m ( x) dx  

(7. 47)

1, n  m 

7.6 KETAKPASTIAN POSISI DAN MOMENTUM Pada Bab 3 kita telah menghitung perkalian ketakpastian posisi dan momentum linear osilator harmonis berdasarkan penafsiran Born tentang fungsi gelombang. Pada Bab 4, dengan prosedur yang berbeda, kita juga telah melakukan penghitungan serupa meskipun hanya untuk beberapa keadaan eigen (untuk beberapa fungsi eigen) saja. Pada bab ini, dengan menggunakan beberapa sifat polinom Hermite, kita akan melakukan lagi penghitungan itu. Prosedur yang kita gunakan sama dengan yang kita pakai di Bab 4. Namun demikian, jika pada Bab 4 kita hanya dapat menghitung untuk setiap keadaan eigen, pada bab ini kita akan dapat menghitung sekaligus untuk semua keadaan eigen, yaitu untuk sebarang fungsi eigen  n (x) dengan n sebarang.

Pengantar Fisika Kuantum

Ketakpastian posisi-momentum

203

7.6.1 Ketakpastian Posisi Ketakpastian posisi dihitung dari nilai harap posisi dan nilai harap kuadrat posisi sebagai berikut.

x  n 

x2

2

n

 x .

(7. 48)

n

Nilai harap posisi pada sebarang keadaan eigen, x  adalah n x  n   n ( x ) x n ( x) dx  0 .

(7. 49)

Perhitungan tersebut mudah dilakukan mengingat kuadrat  n (x ) merupakan fungsi genap sehingga x  n (x) 2 merupakan fungsi ganjil. Akibatnya, karena integrasi meliputi daerah yang simetris terhadap x=0 maka hasilnya nol. Nilai harap kuadrat posisi pada sebarang keadaan eigen,

x2

n

adalah x 2  n   n ( x) x 2  n ( x) dx  2      2    

1/ 2

    1/ 2    

1 2 n n!



 e

1 / 2(x ) 2

2

H n (x) x 2 e 1 / 2(x ) H n (x) dx

(7. 50)

1

1  (x ) 2 e x H n (x )2 dx . n 3  2 n! 

Integral pada persamaan di atas bernilai  n! 2n (n + 1/2). (Lihat pertanyaan 6 pada bagian Pertanyaan Analisis di akhir bab ini.) Dengan demikian kita dapatkan:

x2

n



1



2

n  1 / 2 

 n  1 / 2 . m

(7. 51)

(Lihat Persamaan (7.13) tentang definisi ). Subtitusi Persamaan (7.49) dan (7.51) ke dalam Persamaan (7.48) menghasilkan

( x ) n 

 n  1 / 2  m

(7. 52)

Jadi, ketakpastian posisi berbanding lurus terhadap akar n, yaitu keadaan kuantum osilator harmonis. Bab 7: Osilator Harmonis

204

Ketakpastian posisi-momentum

7.6.2 Ketakpastian Momentum Ketakpastian momentum dihitung dari nilai harap momentum dan nilai harap kuadrat momentum sebagai berikut.

p  n 

p2

n

 p

2

n

.

(7. 53)

Nilai harap momentum pada sebarang keadaan eigen, p  adalah n p

d    n ( x)   i  n ( x ) dx  0 . dx  

n

(7. 54)

(Lihat pertanyaan 7 pada bagian Pertanyaan Analisis di akhir bab ini.) Nilai harap kuadrat momentum pada sebarang keadaan eigen,

p2

n

adalah

p2

n

 d2    n ( x ) dx   n ( x )    2 dx 2  

(7. 55)

=  2  2 ( n  1 /2 )  m( n  1 / 2 ) (Lihat pertanyaan 8 pada bagian Pertanyaan Analisis di akhir bab ini.) Subtitusi Persamaan (7.55) dan (7.54) ke dalam Persamaan (7.53) menghasilkan

(p) n 

m n  1 / 2 .

(7. 56)

Jadi ketakpastian momentum juga berbanding lurus terhadap n, seperti halnya dengan ketidakpastian posisi. 7.6.3 Perkalian Ketakpastian Posisi dan Momentum Berdasarkan hasil perhitungan tentang ketakpastian posisi dan momentum di depan kita peroleh hubungan

( px ) n 

m n  1 / 2 

 n  1 / 2   n  1 / 2  m

(7. 57)

Bandingkan hasil tersebut dengan tabel nilai ( p x) untuk osilator harmonis sebagaimana dinyatakan pada bagian akhir Bab 3.

Pengantar Fisika Kuantum

Rangkuman

205

Karena n  0 maka ( p x )   / 2 . Kesimpulan ini cocok dengan asas ketakpastian Heisenberg. Lebih lanjut, nilai terkecil ( p x ) dicapai untuk n = 0, pada saat fungsi eigen osilator harmonis tergolong sebagai fungsi Gaussan. Suatu kesimpulan yang juga cocok dengan yang sudah kita dapatkan pada bab sebelumnya.

RANGKUMAN 1. 2.

Analisis klasik tentang osilator harmonis menyimpulkan bahwa energi osilator harmonis dapat bernilai sebarang. Analisis kuantum terhadap osilator harmonis didasarkan pada persamaan Schrödinger bebas waktu yang berbentuk: d 2 n ( x) dx 2

3.



2mE n 2

2

 m  2  n ( x)    x  n ( x)  0 . .   

dengan m = massa osilator,  = frekuensi sudut osilator, En energi total osilator, dan  n(x) = fungsi eigen osilator yang memiliki energi total En. Penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu tersebut menghasilkan kesimpulan bahwa energi total osilator harmonis harus memenuhi hubungan En  ( n  1 / 2 )  , n = 0, 1, 2, … . .

4.

Jadi, spektrum nilai energi total bersifat diskret. Hal ini berbeda sekali dengan kesimpulan klasik sebagaimana disebutkan sebelumnya. Penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu tersebut juga menghasilkan kesimpulan bahwa keadaan eigen osilator harmonis yang berenergi total En dinyatakan oleh fungsi eigen .

     n ( x)   n  2 n !   

1 /2

H n (x) e



1 x 2 2 ,

dengan  

m 

dan Hn adalah polinom Hermite orde n yang dapat diturunkan dengan menggunakan rumus

H n ( )  ( 1)n e

2

d n  2 e , d n

atau dengan menentukan bentuk eksplisit polinom Bab 7: Osilator Harmonis

206

Rangkuman n

H n ( )   a j

j

j 0

berdasarkan ketentuan sebagai berikut. o Antarkoefisien suku yang berdekatan mengikuti hubungan

a j 2  o

2 j  1  εn aj . ( j  1)( j  2 )

Nilai  n bergantung pada n berdasarkan hubungan

 n = 2n + 1 Jika n berupa bilangan genap maka a diberi nilai nol dan jika n berupa bilangan ganjil maka a diberi nilai nol Himpunan fungsi eigen seperti dinyatakan pada rangkuman nomor 4 tersebut bersifat ortonormal dalam arti bahwa . o

5.

0 , n  m   ( x )  ( x ) d x    n m 1 , n  m   

5.

Berdasarkan fungsi eigen tersebut, pengukuran posisi dan momentum partikel akan menghasilkan nilai ukur sebagai berikut. Pengukuran posisi

6.

Nilai harap posisi: = 0 untuk semua keadaan. o

Ketakpastian posisi: ( x ) n 

 n  1 / 2  . m

Pengukuran momentum linear 7.

o Nilai harap: