Werner ner Heisenberg (1901 – 1976), war warga Jerm Jerman, sangat terke rkenal karena asas Ketidakpastiannya, ia juga mengembangkan ngembangkan suatu rumusan lengkap mengenai teori kuantum yang didasarkan pada matriks.
OPERATOR MEK MEK ANIK ANIK A KUANT K UANTU UM
256
FISIKA KUANTUM
6.1. 6.1. Pendahu luan
Operator yang merepresentasikan variabel dinamik dalam suatu sistem mekanika kuantum memainkan peran yang penting dalam mekanika kuantum. Hal tersebut dapat disimpulkan dari perangkat postulat yang menjadi landasan mekanika gelombang. Bab ini khusus mempelajari sifat-sifat operator mekanika kuantum dan hubungan dengan operator-operator dengan beberapa kaedah penting. Kesimpulan tentang perilaku suatu sistem mekanika kuantum seringkali dapat ditarik melalui hubungan dan sifat-sifat operatornya tanpa harus memecahkan persamaan diferensial parsial yang berkaitan dengan sistem itu. Itulaah pula alasan mengapa perlu disajikan satu Bab khusus untuk keperluan ini Apakah operator liner itu? Secara umum batasan operator linier bilamana kerjanya terhadap suatu kombinasi linier dua fungsi dalam ruang fungsi diberikan oleh: A op 1 1 2 2 1 A op 1 2 A op 2
(6.1)
Dalam hubungan di atas 1 dan 2 merupakan tetapan yang boleh berharga kompleks. Berpangkal dari operator linier tertentu dapat dibuat operator linier yang baru melalui operasi aljabar sebagai berikut. a. perkalian operator operator dengan suatu tetapan tetapan c: cA op c A op b. jumlah jumlah dua operator Aop dan Bop Sop A op Bop c. hasil kali kali dua operator operator Aop dan Bop Pop A opBop op A op Bop Khusunya tentang butir c di atas dapat dinyatakan disini bahwa tidak selamanya A op Bop =Bop Aop. BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
257
6.2. Harga Ekspektasi dan Persoalan Nilai Eigen
Apakah ada syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum?. Karena operator linier A op berkaitan dengan variabel dinamika A, maka tentunya diinginkan agar harga ekspektasi A yang diperoleh dengan mempergunakan operator Aop adalah riel, jadi Persamaan (9.2) harus riel. A
A op
(6.2)
A adalah riel apabila harga tersebut sama dengan kompleks konjugatenya, yakni: A = A * (6.3)
Maka ini berarti bahwa : A
*
A
(6.4)
*
J elas bahwa
*
* * * karena d d d *
Arti daripada A op A op adalah A op
*
* A op d
*
*
*
*
A op d A op
*
d
A op
J adi syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum adalah bahwa: A op A op (6.5) 258
FISIKA KUANTUM
Operator yang mempunyai sifat semacam ini dinamakan operator Hermite. Andaikan bahwa suatu keadaan dinyatakan dengan fungsi gelombang yang merupakan kombinasi linier: ; apakah syarat yang harus dipenuhi agar harga ekspektasi suatu variabel dinamik itu berharga riel?. Perhatikan berikut ini. A op A op A op * A op * A op adalah riel dengan adalah tetapan yang mungkin kompleks, oleh karena itu dipresentasikan saja sebagai oei ; dimana o adalah riel Sekarang masalahnya adalah syarat agar riel untuk : ei A op ei A op Agar riel maka harus sama dengan kompleks konjugetnya: ei A op ei A op = ei A op ei A op
J adi : ei
A op
A op
ei
A op A op
Ini berlaku untuk setiap harga , jika dan hanya jika : A op
A op dan
A op
A op
(6.6)
Atau A op
*
A op dan
A op
*
(6.7) Dari mekanika kuantum telah diketahui bahwa pengukurannya berlandaskan kebolehjadian, sehingga kita harus berbicara tentang harga ekspektasi dan statistik harga variabel dinamiknya. Dalam statistik maka ukuran yang penting adalah A op
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
259
A=A- A ,
1 2
2 2 2 A A atau A A
dan
apabila dijabarkan maka diperoleh bahwa: 2 2 (6.8) A A 2 A Pertantayaan sekarang adalah: Apakah ada situasi dengan ΔA = 0?, artinya tidak ada fluktuasi statistik untuk harga
variabel dinamika A? A2 A
2
A 2op A op
2
2
Apabila tidak fluktuasi ΔA = 0, maka A
A
2 op
2
A
2
2
A op
Tetapi karena Aop operator Hermite : 2 A op
A op
Oleh karena itu: A op A op A op A op Kesimpulan yang dapat diambil adalah: A op (6.9) Andaikan bahwa faktor perbandingan adalah a, maka : A op =a (6.10) Persamaan (6.10) adalah suatu persamaan nilai eigen untuk operator Aop, dimana merupakan fungsi eigen operator itu dengan nilai eigen a. J adi kita sampai pada suatu kesimpulkan yang sangat penting, yakni besaran dinamik A memiliki harga yang pasti (kebolehjadian =1) tertentu, sistem fisiknya dipresentasikan
260
FISIKA KUANTUM
oleh fungsi eigen a dari operator hermit A op. Harga yang dimiliki A untuk keadaan yang dinyatakan dengan a itu adalah
a: A op =a . Kesimpulan tersebut di atas sangat penting. Hal ini antara lain dapat dilihat dari operator Hamilto H op yang menyatakan energi total dari suatu sistem. Untuk kasus sistem konservatif, seperti umpamanya sistem atom hidrogen, kita mengandaikan bahwa energi total sistem memiliki harga tertentu E apabila sistem berada dalam keadaan stationer. Contoh 6.1.
Momentum linier suatu partikel yang bergerak dalam ruang bebas, momentumnya berharga pasti dan tertentu, yakni: 1 r 2 p hk dengan k 2mE o .
6.3. Sifat-sifat Operato r Mekanika Kuant um
Untuk memudahkan penyajiannya maka sifat-sifat operator mekanika kuantum ditampilkan dalam seperangkat teorema. Teorema I : Operator Hamilton untuk parikel tunggal dalam medan potensial V(r) adalah operator Hermit.
Bukti: V(r) adalah operator perkalian saja, oleh karena itu bersifat Hermit.
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
261
Conto h 6.2.
Apakah operator 2 bersifat Hermit? Penyelesaian:
Andaikanlah bahwa dan merupakan fungsi gelombang untuk H. Perhatikan operasi di bawah ini:
* * 2 * * * *2
Pengurangan dan integrasi ruas kiri: r
r
r
*
*r
d
2 * *2d
Integrasi di atas meliputi seluruh ruang konfigurasi; integrasi ruang ruas kiri dapat dikembalikan pada integrasi permukaan batas ruang tersebut. * * * * d ds
Integral ini sama dengan nol, karena baik maupun berharga nol di kedudukan tek-berhingga. J adi dapat dinyatakan sebagai.
Atau Oleh karena :
2 * * 2 d 0
2 d 2 * d
*
2 2
2 ,
Maka : 2 adalah operator Hermit. Teorema II Operator momentum ih bersifat operator Hermit. Bukti:
262
FISIKA KUANTUM
* * * x x x
Intregral memberikan:
* * * x d x d x d
Perhatikan ruas pertama
x * * x dxdydz dydz x 0
Karena dan * sama dengan nol di daerah tak berhingga (solusi persamaan gelombang). Oleh karena itu ruas kanan sama dengan nol, sehingga:
* x d x d Perkalikan dengan ih : * * ih x d ih x d *
Karena ini berlaku juga untuk koordinat y, maupun z, maka persamaan tersebut dapat diluaskan menjadi: r r * * ih d ih d
J adi ih adalah merupakan operator Hermit. Conto h 6.3.
Apakah operator L2op adalah operator Hermit?. Penyelesaian Oleh karena pxop , pyop , dan Pzop operator Hermit dan xop, yop , zop selain operator juga riel, maka operator momentum Lxop , Lyop , Lzop operator Hermit, maka L2op juga operator Hermit. Teorema III Andaikanlah bahwa himpunan
i merupakan
fungsi eigen
dari suatu operator Aop dengan nilai eigen yang berlainan BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
263
ai maka i
merupakan fungsi ortogonal meliputi seluruh
daeah dimana Aop operator Hermit.
Bukti: Pandanglah dua fungsi eigen k dan l . Karena Aop operator Hermit, maka: A op k l ak* k l ak k l Tetapi juga: k A opl al k l Aop operator Hermit, oleh karena itu: A op k l k A opl Darimana diperoleh bahwa: ak k l al k l (6.11)
ak al
k l
0
Hubungan di atas benar, apabila k l 0 untuk setiap kasus dimana indeks k dan l tidak sama. (ingat bahwa ak al . J adi i merupakan himpunan fungsi yang ortogonal. Teorema IV: Apabila fungsi gelombang suatu sistem mekanika kuantum secara simultan merupakan fungsi eigen dari operator A op dan operator Bop, maka baik
A maupun B secara simultan dapat
diukur dengan kepastian.
Bukti: Andaikan bahwa i merupakan fungsi eigen yang dimaksud, maka: Aopi ai i
dan Bopi bi i
Darimana diperoleh: 264
FISIKA KUANTUM
A i Aop i ai
(6.12)
B i Bop i bi
Keduanya mempunyai harga yang pasti (dianggap bahwa i dinormalisasikan, sehingga i i 1). Teorema V: Apabila dua operator Aop dan Bop mempunyai perangkat fungsi eigen yang sama maka:
Aop Bop Bop Aop
Bukti: Aop Bopi Aopbii bi Aopi ba i i i
Bop Aopi Bopaii ai Bopi ab i i i
Oleh karena itu: Aop Bopi Bop Aop i
(6.13)
Karena i 0, maka Aop Bop Bop Aop . Diktehui bahwa Aop dan Bop
Aop Bop Bop Aop ,
berkomutasi.
AopBop Bop Aop 0.
Aop
dan
Bop
berarti
berkomutasi,
bahwa berarti
Aop , Bop 0. Teorema VI. Apabila Aop dan Bop berkomutasi, maka fungsi eigen kedua operator tersebut adalah perangkat yang sama.
Bukti: Andaikan i merupakan fungsi eigen dari operator A op, maka: Aopi ai i
Kalikan dengan Bop dari sebelah kiri:
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
265
Bop Aopi Bopai i = ai Bop i
Sekarang AopBop beroperasi pada i : AopBopi Aop Bop i
Aop dan Bop berkomutasi, maka : Aop Bop Bop Aop
J adi:
AopBop Bop Aop 0 Atau
AopBop Bop Aop i 0 Aop Bopi Bop Aop i
Darimana diperoleh bahwa: A op Bopi ai Bop i (6.14) Dengan demikian karena ai adalah nilai eigen A op untuk fungsi eigen i, maka: Bopi bi i (6.15) Dimana i juga fungsi eigen dari Bop. Teorema VII Apabila Aop dan Bop berkumutasi, maka harga nilai ekspektasi
A dan B dapat diukur secara serentak dengan kepastian.
Bukti: Menurut teorema VI karena Aop dan Bop berkomutasi maka kedua operator itu mempunyai perangkat fungsi eigen yang sama i .
A opi ai i Bopi bi i
266
FISIKA KUANTUM
Darimana diperoleh bahwa: A i Aopi ai i i
(6.16)
B i Bopi bi i i Kedua besaran dinamiknya dapat ditetapkan dengan pasti secara serentak. 6.4. Komut ator d an Prinsip Ketidakp astian
Andaikanlah Aop dan Bop, bagaimanakah sifat operator Aop , Bop ? Aop dan Bop Hermit. Bataskan : Dop A op,Bop . Andaikanlah bahwa dan merupakan fungsi dari ruang fungsi dimana Aop dan Bop beroperasi. Dop Aop , Bop = AopBop Bop Aop
Dop AopBop Bop Aop
= Bop Aop Aop Bop = Bop Aop AopBop Darimana diperoleh bahwa:
Dop
(6.17) Dop mempunyai sifat yang lain, operator yang memiliki sifat seperti ini dinamakan operator anti-Hermit (karena ada perubahan tanda aljabar pada saat dibuat kompleks konjugatenya). Hal ini sangat berguna untuk menentukan prinspi ketidakpastian. Dop
Teorema VIII Komutator dua buah operator Hermit, A op dan Bop, adalah antiHermit. Bila [A op,Bop] ingin ditulis sebagai operator Hermit C op, maka haruslah dibataskan sebagai:
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
267
(6.18)
iCop = [Aop,Bop]
Bukti: Apabila dibataskan Dop= [Aop,Bop}, maka Dop adalah operator anti-Hermit. Bila dibataskan [Aop,Bop] = iCop, maka Dop =iCop. Subsitusi memberikan (sifat anti-Hermit) iCop iCop
Atau
i Cop i
Cop
Atau Cop Cop
J adi iCop =[Aop,Bop] adalah operator Hermit. Conto h 6.4.
Andaikan bahwa [A op,Bop] = iCop ; Aop dan Bop operator Hermit. Hubungan apakah yang ada diantara A ; B ; dan C ? Penyelesaian: Perhatikan sifat operator Fop Aop i Bop dengan Aop dan Bop operator Hermit. J elas bahwa apabila merupakan fungsi dari ruang fungsi dimana baik A op dan Bop beroperasi: Fop Fop
Darimana diperoleh bahwa:
F
2
d 0
op
A i B A i B 0 op
op
op
op
Karena baik Aop , maupun Bop operator-operator Hermit, maka: Aop i Bop Aop i Bop 0 2 2Bop2 Cop Aop
0
Ungkapan di atas dapat dijabarkan menjadi: 268
FISIKA KUANTUM
A2 2 B2 C 0
Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua . Ruas kiri mempunyai harga terkecil apabila:
C
2 B2
; diangga B2 0, untuk mana
A2 2 B2 C 0 , dengan harga
tersebut diperoleh: A2
2
C
2
4B
2
C 2
2B
C 0
Atau A2
B2
C
2
4 Sehingga secara umum apabila [A op,Bop]=iCop, maka : 1 A2 B2 C 2 4 Conto h 6.5.
Apakah yang dapat disimpulkan suatu hubungan antara A ; B ; dan C , apabila [Aop,Bop]=iCop. Penyelesaian: Bataskan simpangan harga adalah : 2
1 2
2
1 2
B B B , dengan B= B A A A , dengan A=
A
Oleh karena:
Aop , Bop iCop dan A 2 B2 1 C 4 BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
269
Sehingga:
A B
1 C 2
Kesimpulan: Apabila 2 operator, yang masing-masing bertautan dengan variabel dinamik suatu sistem mekanika kuantum, tidak berkomutasi, maka hasil perkalian ketidakpastian dalam harga dua besaran itu apabila diukur secara serentak, adalah lebih besar dari suatu harga minimum tertentu.
Ini adalah prinsip Heisenberg dalam bentuknya yang paling umum. Conto h 6.6.
Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut di atas dapat diterapkan untuk menentukan hubungan : h x px 2 Penyelesaian: Operator : pxop ih
; operator xop x , sehingga: x
x i h x x ih x x x x
xop pxop pxopxop ih x J adi :
xop , pxop ih Dengan menerapkan persamaan A B diperoleh: x px
270
1 C , maka 2
h . 2
FISIKA KUANTUM
Conto h 6.7.
J ika diketahui dan L z Tunjukkan bahwa dengan 1 menerapkan persamaan A B C , maka diperoleh: 2 h Lz 2 Penyelesaian:
dimana : op . Sehingga : op, Lzop ih = ih 1 ih Lzop ih
Dengan demikian akan diperoleh:
h 2
Lz .
6.5. Komutator u ntuk Momentum An gu ler
Seperti telah diketahui bahwa H op; L2op; dan L zop untuk sistem atom hidrogen memiliki fungsi eigen yang sama. Oleh karena itu operator-operator termaksud saling berkomutasi: H op, L2op 0 ; L2op, Lzop 0; Hop, Lzop 0 Dalam hal ini berlaku hubungan-hubungan antara L xop; Lyop; dan Lzop sebagai berikut.
Lxop , Lyop ihLzop
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
271
Lyop, Lzop ihLxop
(6.19)
Lzop , Lxop ihLyop Sedangkan hubungan antara L zop dan L2op adalah sebagai berikut. L2op, Lzop L2op, Lyop L2op , Lxop 0 (6.19) Karena H setangkup terhadap x,y, dan z dalam kasus atom hidrogen: 2 2 2 H op , Lzop H op , Lyop H op , Lxop 0 (6.20)
6.6. Turunan untu k Harga Ekspektasi
Andaikan bahwa Q op merupakan suatu operator yang bertautan dengan variabel dinamik Q suatu sistem mekanika kuantum. Bagaimanakah perubahan harga ekspektasi dengan waktu? Perhatikan :
d d d d Q Qop Qop Qop = dt dt dt dt
Diketahui bahwa: d * d ih Hop dan -ih H op * dengan Hop dt dt
adalah operator Hamilton. Sehingga diperoleh: d 1 Q H op Qop Qop Hop dt ih Karena Hop merupakan operator Hermit, maka berlaku: Hop Qop H opQop
Darimana diperoleh:
272
FISIKA KUANTUM
d 1 Q Qop Hop Qop Hop dt ih 1 = Qop , H op ih
J adi perubahan ekspektasi terhadap waktu adalah : d 1 Q Qop , H op (6.21) dt ih Apabila Qop berkomutasi dengan Hop maka jelaslah bahwa
d Q 0, Q tidak berubah dengan waktu. dt
Teorema IX Harga ekspektasi suatu operator yang berkomutasi dengan operator Hamilton suatu sistem mekanika kuantum, tidak berubah dengan waktu.
6.7. Huk um Kekekalan
Andaikanlah bahwa Hop dari persamaan SchrÖdinger bebas waktu suatu sistem mekanika kuantum dapat dipisahkan perubahannya menjadi: H op H1op H 2op
Andaikan bahwa fungsi eigen Hop: H op E
Sedangkan dan merupakan fungsi eigen, masing-masing dari H1op dan H 2op : H1op E1
(6.22)
H 2op E2
sehingga berlaku : BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
273
dan E = E 1 +E 2
Karena merupakan fungsi H op; H1op , dan H 2op maka berlaku:
eigen
baik
untuk
H op, H1op 0; Hop, H 2op 0; dan H1op, H 2op 0 Maka berkomutasi H1op , H2op dengan Hop, memberikan bahwa H1 dan H2 tidak berubah dengan waktu.
Apabila Hop merupakan operator Hamilton untuk suatu sistem mekanika kuantum dengan V (r ) tak bergantung dari waktu, maka apabila dapat dilakukan pemisahan variabel H1 dan H2 sehingga: H op H1op H 2op , maka tidak berubah dengan waktu.
6.8. Paritas
Perhatikan persamaan Schrodinger bebas waktu untuk partikel tunggal dalam potensial V (r ) : h2 2 r r r V (r ) (r ) E (r ) 2mo Dengan melakukan inversi (refleksi terhadap titik asal koordinat (0,0,0)), maka persamaan di atas menjadi: h2 2 r r r (6.23) V (r ) (r ) E (r ) 2mo Apabila V (r ) = V (r ) , maka kedua persamaan SchrÖdinger tersebut di atas setara, artinya bahwa fungsi eigen (r ) hanya berbeda suatu tetapan dibandingkan dengan (r ) . (r ) (r ) Apabila ( r ) diinversikan kembali, maka diperoleh (r ) (r ) 2 274
FISIKA KUANTUM
Darimana diperoleh bahwa: 2 1 atu =+1 atau =-1 (6.24) Dari sini diperoleh bahwa apabila potensial V (r ) setangkup terhadap (0,0,0) maka fungsi eigen (r ) memiliki paritas tertentu, dapat berparitas ganjil, artinya : (r ) (r ) (6.25) Atau dapar berparitas genap, paritas genap, yakni (r ) (r )
(6.26) Disini dianggap bahwa keadaan tidak degerate. Untuk membedakan antara dua paritas tersebut, maka fungsi diberi indeks, untuk : Fungsi berparitas genap : (r ) Fungsi berparitas ganjil : (r ) (6.27) Andaikanlah P op menggambarkan operator melakukan inversi maka: Pop (r ) (r ) Pop (r ) (r )
(6.28)
Disini terlihat bahwa P op mempunyai nilai eigen +1 atau -1 Conto h 6.8.
Tunjukkan bahwa paritas tidak berubah dengan waktu, yakni d P 0. dt
Penyelesaian: Untuk itu harus dikaji apabila Pop, Hop 0. PopH op (r ) Pop E (r ) EPop (r ) E (r )
Diketahui bahwa potensial V (r ) V (r ) , maka H op ( r ) E (r ) , sehingga diperoleh: PopH op (r ) E ( r ) H op (r ) H opPop (r )
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
275
Darimana diperoleh bahwa: Pop, Hop 0 sehingga J adi paritas kekal, apabila V (r ) V (r )
d P 0 dt
A. Pemahaman K onsep
1. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan komut dua buah operator? 2. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan paritas? 3. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan hukum ketidak pastian? 4. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan nilainilai eigen yang berdegenerasi 2. 5. Tuliskan hubungan antara kumutator dan prinsip ketidakpastian. 6. Apakah yang dimaksud dengan harga ekspektasi? B. Penerapan Kon sep
ˆ ˆ ˆ adalah tiga operator riel. Tunjukkan bahwa: 1. J ika A,B,danC ˆ B,C ˆ ˆ B,C ˆ ˆ A,C ˆ ˆ a. A+
ˆ ˆ ˆ Aˆ B,C ˆ ˆ B ˆ ˆ A,C ˆ b. AB,C
ˆ keduanya Hermitian, 2. J ika Aˆ dan B ˆ ˆ ˆ ˆ adalah Hermitian jika A,B AB 0
tunjukkan
bahwa
ˆ yang fungsi-fungsinya di dalam ˆ dan p 3. Diberikan operator x ˆ ih, tunjukkan ruang Hilber dan sesuai dengan xˆ, p bahwa jika xˆ =x (yakni perkalian dengan x), maka ˆ menyatakan p
276
FISIKA KUANTUM
ˆ ih p
f ( x) x
4. Sebuah partikel di dalam potensial satu dimensi V(x), tunjukkan bahwa h px Ex 2m ˆ ˆ dan C ˆ , jika 5. Andaikan tiga operator yang terukur, A,B diketahui bahwa: ˆ dan A,C ˆ ˆ Bˆ ˆ ˆ A B,C Tunjukkan bahwa: 1 2 A B2 2 6. Apabila g(x) adalah fungsi terhadap x, tunjukkan bahwa : dg ˆ p g i , h x dx 7. J ika g(x) dan f(x) adalah fungsi-fungsi analitik, tunjukkan bahwa: ˆ) f ( ) g(a) f ( ) dimana Aˆ a g( A ˆ adalah Hermitian, maka 8. Buktikan bahwa jika Aˆ dan B Aˆ, Bˆ adalah Hermitian jika dan hanya jika Aˆ, Bˆ 0
(AB)C
9. Tunjukkan bahwa operator momentum liner adalah Hermit. 10. Tunjukkan satu contoh operator anti-Hermit. 11. Tunjukkan bahwa apabila Lzop ih
d dan op , maka d
h . 2 12. Buktikan bahwa harga ekspektasi bukan merupakan funsgi d X 0, dimana X adalah terhadap waktu, yakni dt harga ekspektasi.
berlaku Lz
BAB VI : Operator Mekanika Kuantum
277
