MEKANIKA KUANTUM PENDAHULUAN
Dalam modul ini anda akan mempelajari tentang sifat dasar atom, hamburan partikel alfaa, hamburan Rutherford, dimensi inti, orbit elektron, spektrum atomik, atom Bohr, tingkat energi energi spektrum, spektrum, gerakan gerakan inti, eksitasi eksitasi atom dan penerapan penerapan dalam dalam kehidupa kehidupann sehari-hari. sehari-hari. Setelah mempelajari mempelajari modul ini anda diharapkan memiliki kemampuan kemampuan untuk dapat: 1. Menjel Menjelask askan an sifat sifat dasar dasar atom atom 2. Menjel Menjelask askan an hambu hamburan ran parti partikel kel alfa. alfa. 3. Menjel Menjelask askan an hambu hamburan ran Ruth Rutherf erford ord 4. Menj Menjel elas aska kann dimen dimensi si inti inti 5. Menjel Menjelask askan an orbit orbit elektr elektron on 6. Menjel Menjelask askan an spectr spectrum um atomik atomik.. 7. me menj njel elas aska kann ato atom m Boh Bohr r 8. menjelask menjelaskan an tingkat tingkat energi energi dan spektrum. spektrum. 9. Menj Menjel elas aska kann gera geraka kann inti inti 10. Menjelask Menjelaskan an eksitasi atomik Kemampuan tersebut sangat penting bagi mahasiswa atau sederajat karena materri ini sangat dasar dalam pembelajaran pembelajaran fisika modern. modern. Sebagai calon Guru Guru dapat mengembangkan mengembangkan materi ini sesuai dengan kebutuhan kebutuhan atau kemampuan. kemampuan. Agar anda lebih berhasil berhasil mempelajari modul ini ikuti petunjuk belajar berikut ini: 1. Baca dan dan pahami pahami konsep dasar dasar materi materi ini, lalu kaitkan kaitkan dengan dengan kehidup kehidupan an nyata. nyata. 2. Tulis Tulis peta konsep konsep tentang materi materi tersebut, tersebut, lalu coba coba jelaskan jelaskan dengan dengan kata-kata kata-kata sendiri. sendiri. 3. Kerjakan Kerjakan soal-soal soal-soal latihan latihan dengan dengan tuntas. tuntas. 4. Jika ada ada soal yang yang belum bisa bisa dikerjakan dikerjakan,, coba perhatik perhatikan an rumus dasar dasar tentang tentang materi materi tersebut. 5. Mantapka Mantapkann pemahama pemahamann anda, dengan dengan cara berdis berdiskusi kusi dengan dengan teman teman sejawat. sejawat. 5.1 Pendahuluan mekanika kuantum Mekanika kuantum dikembangakan melalui pendekatan-pendekatan oleh Erwin Schrodinger, Warner Heisenberg dan lain-lain pada tahun 1952-1926 di tempat yang terpisah. Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu menjelaskan banyaknya fakta eksperimen eksperimen yang menyangkut menyangkut perilaku sistem yang berukuran berukuran atom, bahkan teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang salah radiasi dari suatu rongga r ongga yang dipanasi. Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi prinsip ketidakte ketidaktentuan ntuan menyebutk menyebutkan an bahwa bahwa kuantitas kuantitas teramati teramati bersifat bersifat berbeda berbeda dalam dalam kawasan kawasan atomik. atomik. Dalam Dalam mekanika mekanika kuantum kedudukan kedudukan dan momentum momentum awal partikel tidak dapat dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup. Perbedaan mekanika Newton dan Mekanika Newton: Mekanika Newton 1. Kedudu Kedudukan kan awal awal dapat dapat dite ditentu ntukan kan 2. Mom Momentu ntum awa awall 3. Gaya Gaya – gaya gaya yang yang berea bereaksi ksi padan padanya ya
4. Kuatit Kuatitas as tera terama mati ti denga dengann telit telitii 5. Keadaan Keadaan awal awal dan dan akhir akhir dapat dapat ditentuk ditentukan an dengan dengan teliti teliti Mekanika Kuantum: 1. kuan kuanti tita tass dapat dapat tera terama mati ti 2. Kuantitas Kuantitas teramati teramati bersifa bersifatt berbeda berbeda dengan dengan atomik atomik 3. Keduduka Kedudukann dan momentum momentum awal awal tidak dapat dapat dipereole dipereolehh dengan dengan ketelitian ketelitian yang yang cukup Untuk suatu partikel (elektreon proton). Kedudukannya Kedudukannya tidak terukur dengan pasti.
∆ p> Xo≥
2
∆ p= m ∆ V ∆ X=∆ V t
∆ p≥ ∆ V=
X o 2 ∆ Xo ∆ p
m
=
2m∆ X o
5.2 Persamaan Gelombang Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Ψ dari benda itu. Walaupun Ψ sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak Ψ Ψ2 ( atau sama dengan Ψ Ψ * jika Ψ kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Ψ . Persoalan mekanika mekanika kuantum kuantum adalah adalah untuk untuk menentuka menentukann Ψ untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Biasanya untuk memudahkan kita ambil Ψ Ψ2 sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh Ψ , hanya berbadinng lurus dengan P. Jika Ψ Ψ2 sama dengan P, maka betul bahwa : x
∫
x −
2
dV = 1
normalisasi
karena
∫ dV = 1 x
− x
ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , Ψ harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu. Persamaan Schrodinger Schrodinger yang merupakan persamaan persamaan pokok dalam mekanika mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel Ψ .
∂2 Υ 1 ∂2 Υ = ∂ Χ2 V 2 ∂t 2
( persamaan gelombang )
Persamaan Persamaan gelomban gelombangg yang menentuka menentukann gelomban gelombangg dengan dengan kuantitas kuantitas variabel variabel menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.
y
yang
Untuk gelombang monokromatik Y= A e − i
ω
( t − xv ) =
A cos ω (t −
x v
) − i As i nω (t − xv )
y merupakan kuantitas kompleks 5.3
Persamaan Sc Schrodinger be bergantung wa waktu Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Ψ bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap Ψ dalam arah x dinyatakan oleh :
Ψ = Ae-2π I(Vt-x/λ ) sehingga :
Ψ = Ae-(i/ħ)(Et-px) Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Ψ hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas. Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Ψ dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger. Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya. Persamaan Schrodinger Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan pendekatan yang lain harus dijajaki. i
2 ∂Ψ ∂2 Ψ =− + V Ψ 2m ∂ x 2 ∂t
i
2 ∂2 Ψ ∂2 Ψ ∂2 Ψ ∂Ψ = − 2 + 2 + 2 + V Ψ (Persamaan Schrodinger ∂t ∂ y ∂ z 2 m ∂ x bergantung waktu dalam tiga
(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postu postulat lat yang yang tidak tidak dapat dapat dituru diturunka nkann dari dari bebera beberapa pa prinsi prinsipp lain, lain, dan ma masin singg – masing masing merup me rupak akan an rampat rampatan an pokok, pokok, tidak tidak lebih lebih atau atau kurang kurang sah daripa daripada da data data empiri empiriss yang yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu
ψ ~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum ψ : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur ψ = A e − i maka
ω
( t − xv )
, ω = 2π f, V =λ f x
ψ =A e −2π i ( ft − ) , λ
energi totalnya E=h ν = F=
hc
λ
h
, dengan λ = p =
2π
p
, p=
2π
λ
E E = h 2π
Persamaan gelombangnya menjadi
ψ = Ae − (
i )( Et − px ) h
∂2Ψ ∂ 2 −( = Ae ( ∂ x 2 ∂ x 2
∂Ψ = iA p e −( ∂ x
i
i
)( Et − px )
)( Et − px )
i ∂Ψ =− Ψ ∂t
Kita tahu bahwa energi total
)=−
p
2 2
[ Ae
−( i )( Et − px )
2 2 ∂ Ψ p jadi =− 2 Ψ ∂ x 2
]
E= Ek+Ep (non relativistik) p 2
+V ; dikali dengan ψ 2m ∂Ψ p 2 Ψ +V Ψ , karena Eψ = ∂t 2m
=
Eψ =
=−
iE
Ψ , maka
∂Ψ i ∂t
p 2Ψ ∂2Ψ =− 2 ∂ x 2 2 2 2 ∂ Ψ p Ψ = − ∂ x 2 2 ∂Ψ ∂2Ψ -− =− + V Ψ i ∂t 2m ∂ x 2 2 sehingga menjadi : i = −1 →
i
− (1) 2
=
i 1
2 ∂Ψ ∂2 Ψ i =− +V Ψ 2m ∂ x ∂t (persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
5.4 Persamaan Schrodinger Schrodinger tak bergantung waktu waktu Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, eksplisit, gaya yang bereaksi bereaksi padanya, padanya, jadi juga V , hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika Jika hal itu benar, benar, persam persamaan aan Schrod Schroding inger er dapat dapat dised disederh erhana anakan kan dengan dengan meniad meniadaka akann ketergantungan terhadap terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis Ψ = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x = e-(iE/ħ)t ini berarti, Ψ merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e -(iE/h)t dan fungsi yang berga bergantu ntung ng kedudu keduduka kann . Kenyata Kenyataany anya, a, perubah perubahan an terhad terhadap ap waktu waktu dari semua semua fung fungsi si partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi
∂ 2ψ + 2m ( E − V )ψ = 0 2 ∂ x 2
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ 2m + + + 2 ( E −V )ψ = 0 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Ψ yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga
tunggal tunggal dari persamaan persamaan keadaan keadaan jenuh jenuh Schroding Schrodinger. er. Jika tidak, sistem sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan dinyatakan sebagai sebagai jejak universal universal yang merupakan merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian ψ n disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen : En = -
me 32π
2
4
2 ε 0
2
1 2 n = 1,2,3…… n
Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu Ψ Ψ2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernya Pernyataa taann pelua peluang ng ini tidak tidak berten bertentan tanga gann denga dengann kenyat kenyataa aann bahwa bahwa eksper eksperime imenn yang yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak. Persamaan gelombang partikel bebas −(
i
Ψ = A e
−( = Ae A e
i
)( et − px )
) Et
= Ψ e−(
iE
) t
ip
+
e
( ) x
, dengan ψ = Ae
Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu, i
2 ∂Ψ ∂2 Ψ =− + vΨ 2m ∂ x 2 ∂t
E Ψe
−( iE )t
=−
2
2m
2 ∂ Ψ E Ψ = − 2m ∂ x 2 2
e
−( iE )t
=−
2
e 2m + V Ψ → X 2m2
−(
iE ) t
∂ 2Ψ 2 x
2
+ V Ψe
−(
iE ) t
∂ 2 Ψ 2m + 2 ( E − V )Ψ = 0 , tidak bergantung waktu ∂ x 2 Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang keduanya terikat.
∂ 2 Ψ = 1 ∂ 2 Ψ , Ψ = Y ∂ x 2 V 2 ∂t 2 λ n
=
2 L
, n=0,1,2,…
n +1
Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen E n
=−
me
4
2
32π to
2
2
(
1 n
2
n=1,2,3…..
),
Momentum sudut ditentukan , l = 0,1,2,….. Li Li = (l (l +1)) dengan harga ekspektasi 1/ 2
~
∫ GΙ ΨΙdx , Ψ
2
−~
5.5 HARGA EKSPESTASI ψ (x,y,z,t): Mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan oleh prinsip ketidaktentuan.Informasi ketidaktentuan.Informasi ini dinyatakan dalam satu peluang dan bukan merupakan kuantitas yang sudah pasti. Misal, mencari kedudukan rata-rata x dari sejuml;ah partikel identik yang terdistribusi sehingga terdapat N1 partikel X1 dan seterusnya. −
x =
N 1 XI + N 2 X 2 + ..... N 1 + N 2 + .....
=
∑ NiXi ∑ Ni
Ganti bil;angan Ni dari partikel Xi dengan pelung Pi yang bisa diperoleh dalam selang dx di Xi . Pi Pi
= Ι ΨΙ2 dx , sehinggaP
( x)dx
2 dx =Ι Ψ ( x ) Ι
Probabilitas untuyk menemukan partikel antara X1 dengan X2 x 2
x 2
∫ p( x)dx = ∫ Ι Ψ( x)Ι
x1
2
dx 1
x1
Jika suatu partikel dapat tentukan 100% maka; x 2
∫ Ι Ψ( x)Ι
2
dx = 1
x1
Harga ekspestasi kedudukan partikel tunggal ~
=
∫ xΙ ΨΙ dx ∫ Ι ΨΙ dx 2
−~
~
2
−~
~
dari persamaan
∫ Ι ΨΙ dx 2
−~
partikel akan ditemukan antara x=-~ dan x=~ sehingga;
~
∫ Ι ΨΙ dx =1 2
−~
~
< x >av =
~
∫ xΙ ΨΙdx = ∫ Ι ΨΙ xdx , 2
2
−~
−~
Harga ekspensi dari suatu kuatitas seperti energi potensial ~
= ∫ G ( x)Ι ΨΙ2 dx −~
5.6 Partikel dalam kotak Daerah bebas : partikel tersebut bergerak dalam medan potensial V = 0, dalam koordinat kartesis memenuhi persamaan harga eigen. ÔΨ =λ ψ , dimana : Ô = Operator eigen Ψ = Fungsi eigen λ = Nilai eigen dari Ô terhadap ψ 2 2 ∂2Ψ ∂Ψ ∂2 Ψ ∂Ψ − + Ψ = → + + =0 V i i ∂t ∂t 2m ∂ x 2 2m 2 x 2
∂ Ψ + 2m E Ψ = 0 ∂ x 2
2
2
Solusi umumnya berbentuk iEt / Ψ( x, t ) = Ψ E ( x)e −iEt Solusi persamaan harga eigen Ψ E ( X ) Ψ E ( X ) = e IKX Energinya 2
K 2
E=
2mo
, k=
1
(2moE )1 / 2
Hal ini dapat dibuktikan E= K + V =0 P 2 2m
= ½ mV 2 = P=
h
, λ =
h mv
atauv
=
Jadi K= ½ mv2=1/2 m ( K = k =
h
2
2mλ 2 2
n h
2
8mL
E=
k
λ 2
2
2
2mλ
2m
2 L
n 2
8mL2
2
=
n (2π )
(2π )
E = k = 2
=
,
mλ h
mλ n
→
=
h
2 L
dengan λ =
)2
=
(2π )
1 λ 2
2mλ 2
, dengank =
2π λ
2 L
n
Jadi
k =
1
( 2mE )
1/ 2
Menurut Einstein E=hv, maka bentuk fungsi f ungsi gelombang geraknya xt ) = e i ( kx −ω t ) , untuk t = 0 ψ = ( xt ψ ( x) = e ikx
=
2me
A cos
x + b sin
2me
x
Pada x = 0 ψ ( x ) = 0 , tetapi suku kedua tidak sama dengan nol maka b sama dengan nol Tetapi ψ hanya akan enjadi nol di X = L hanya jika : 2me
L
= nπ : dimana n:1,2,3……….
Energi yang dapat diiliki partikel mempunyai harga tertentu yaitu eigen yang membentuk tingkat energi system besar yaitu E n
=n
2
π
2
2
, dengan n= 1,2,3….(partikel dalam kotak)
2
2mL
Jadi tingkat energi yang dimiliki oleh partikel yang terperangkap dalam kotak adalah E=n2Eo, jadi E1=Eo, E2 =4E0, E3=9Eo dst Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenrgi En adalah ψ n
= A sin
ψ n
= A sin sin
2mE n
X
E n
=
2
n π
2
2 2
2mL
nπ x L
Dengan ψ n adalah fungsi eigen yang sesuai dengan harga eigen Jika keadaan suatu partikel berada x= 0 samapai x=L , maka 2 L L nπ x dx 2 ψ n dx = A ∫ sin 2 ∫ L O O A =
2
L
E n
