TUGAS REKAYASA IDE FISIKA KUANTUM ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON-SENTRAL POSCHLTELLER TERMODIFIKASI PLUS POTENSIAL SCARF TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN PERSAMAAN HIPERGEOMETRI
KELOMPOK IV : NATALIA PRASISKA SITANGGANG
NIM
:
4153121044
OKKY EIRENE MANIHURUK
NIM
:
4153211088
RIANDA SINAGA
NIM
:
4151121067
RIKA RUSDAYANI
NIM
:
4151121058
RINA GUNAWAN TARIGAN
NIM
:
4153121052
ROSAYANI SIREGAR
NIM
:
4152121039
FISIKA 2015 DIK D
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah rekayasa ide ini dapat kami selesaikan. Kami ucapkan terima kasih kepada Bapak dosen pengampu mata kuliah Fisika Kuantum yang telah memberi arahan dan bimbingan kepada kami sehingga terselesaikanlah makalah ini. Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas mata kuliah Fisika Kuantum, makalah ini memuat materi tentang Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang. Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan sebaik-baiknya. Namun ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi peningkatan dan penyempurnaan makalah ini. Akhirnya semoga makalah ini dapat memberi manfaat bagi para mahasiswa khususnya yang mengikuti mata kuliah Fisika Kuantum. Amin .
Medan, 01 April 2017 Penyusun Kelompok IV
i DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.......................................................................................................
ii
DAFTAR ISI ....................................................................................................................
iii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................
1
1.1
Latar Belakang .....................................................................................................
1
1.2
Rumusan Masalah ................................................................................................
1
1.3
Tujuan ..................................................................................................................
1
BAB II PERMASALAHAN……………………………………………………………..
2
BAB III PEMBAHASAN .................................................................................................
3
2.1 Persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri…………………………… 2.2 Persamaan Schrodinger potensial non-sentral......................................................
3 4
2.3 Hasil ......................................................................................................................
6
BAB III KESIMPULAN...................................................................................................
7
4.1 Kesimpulan...........................................................................................................
7
DAFTAR PUSTAKA.............................................................................
.................
ii BAB I PENDAHULUAN
8
1.1 LATAR BELAKANG Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik newtonian dan teori medan elektromagnetik .Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai suatu yang terkurung didalam ruang.Istilah terkurung secara ssederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi dengan lingungan luar dirinya.Hasil eksperiment membuktikan bahwa konsep konsep fisika yang berdasarkan hukum hukum newton tidak bisa digunakan untuk menjelaskan konsep baru yang tidak sama antara dugaan yang radikal yang di usulkan oleh teoritis dengan hasil eksperiment yang briliant yang diperoleh oleh sekelompok eksperiment yang menghasilkan teori baru dalam fisika yang disebut dengan teori kuantum. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial non-sentral dianalisis secara intensif. Persamaan hipergeometri digunakan untuk menganalisa spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial non-sentral Poschl-Teller termodifikasi dan Scarf II trigonometri. Spektrum energi dan fungsi gelombang radial yang diperoleh hanya bersifat pendekatan karena dimasukkannya faktor sentrifugal dan diperoleh dari persamaan Schrodinger bagian radial, sedangkan fungsi gelombang bagian sudut dan bilangan kuantum orbital diperoleh dari persamaan Schrodinger bagian sudut. Fungsi gelombang bagian radial dan bagian sudut yang diperoleh dinyatakan dalam polinomial hipergeometri. 1.2 RUMUSAN MASALAH Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas ,maka dapat ditulis perumusan masalah sebagai berikut: Bagaimana analisis spektrum energi dan fungsi gelombang potensial non-sentral poschl-teller termodifikasi plus potensial scarf trigonometri menggunakan persamaan hipergeometri ? 2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan hipergeometri dari analisis spektrum energi dan fungsi gelombang potensial non-sentral poschl-teller termodifikasi plus potensial scarf trigonometri ? 1.
1.3 TUJUAN REKAYASA IDE Sesuai dengan rumusan masalah ,tujuan penelitian ini antara lain adalah: Untuk mengetahui spektrum energi dan fungsi gelombang potensial non-sentral poschl-teller termodifikasi plus potensial scarf trigonometri menggunakan persamaan hipergeometri. 2. Untuk mengetahui bentuk penyelesaian persamaan hipergeometri dari analisis spektrum energi dan fungsi gelombang potensial non-sentral poschl-teller termodifikasi plus potensial scarf trigonometri . 1.
1
BAB II PERMASALAHAN
Partikel bergerak sepanjang sumbu x pada suatu waktu tertentu dinyatakan dengan fungsi gelombang Ψ(X) = Ce-x sin ax. Tentukan fungsi gelombang ternormalisasinya !
2
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Penyelesaian Persamaan menggunakan metode hipergeometri Persamaan Schrodinger satu dimensi untuk sistem kuantum yang dipengaruhi oleh medan dengan energi potensial V(x) dapat dituliskan sebagai
h 2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2vx dx 2
(1)
Persamaan Schrodinger satu dimensi untuk potensial shape invariance dapat diubah (direduksi) menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri atau confluent hypergeometry dengan substitusi variabel yang sesuai. Dengan substitusi variabel yang sesuai, x = f(s). Persamaan Schrodinger pada pers. (1) berubah menjadi persamaan perantara hipergeometri (PPH) sebagai
2 ( x ) ( s ) ( s ) ( s ) 2 (s) 0 ( a) a x 2 a
(2)
a Dengan (s) dan (s) merupakan polynomial yang pada umumnya berderajat dua, sedangkan merupakan polynomial berderajat satu, yang masing-masing dinyatakan yang dinyatakan sebagai ( s ) as 2 bs c dan ( s ) ds e (3) Persamaan (2) diubah menjadi persamaan hipergeometri dengan mengasumsikan bentuk penyelesaian dari persamaan (2) adalah
( s ) 2 (1 z ) f ( z ) (4) Dengan memasukkan persamaan (4) ke dalam persamaan (2) akan diperoleh persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri yang dinyatakan sebagai
c (1 z )
d 2 d (c (a b 1) z ) ab 0 2 dz dz
(5)
yang mula-mula diusulkan oleh Gau [2], nilai dan dapat diperoleh dengan pemisalan atau substitusi parameter potensial dan energi atau dengan mengnolkan koefisien dari fungsi z pada pers. (5) pada suku terakhir. Bentuk penyelesaian pers (5) di sekitar titik z = 0 adalah polinomial hipergeometri yang dinyatakan sebagai [2] 2
(a ) n (b) n n (a ) n (b) n n z z n 0 (1) n (c ) n n 0 n!(c ) n
F1 (a1b1c! z ) 1 ( z )
(6)
Dengan (a)n = a(a +1)(a + 2)(a + 3)......(a + n -1) dan (a)0 = 1 3 Penyelesaian persamaan diferensial fungsi hipergeometri yang dinyatakan pada persamaan (6) di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ...... Bila a = -n atau b = -n, (8) maka penyelesaian yang berupa deret pada persamaan (6) menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat n. Dari kondisi yang dinyatakan pada pers. (8) dapat diperoleh tingkat energi dari sistem.
3.2 Penyelesaian Persamaan Schrodinger potensial nonsentral Poschl-Teller termodifikasi plus Scarf IItrigonometrik menggunakan metode hipergeometri Persamaan Schrodinger tiga dimensi potensial non-sentral PTT plus SIIT dinyatakan sebagai
p Aix in
Dengan membuat pemisahan bahwa
−n =∝ , n=2 β 2
merupakan pph dan akan berubah
menjadi persamaan diferensial parsial hipergeometri seperti pada persamaan 5 bila dimisalkan penyelesaian fse gelombangnya dinyatakan sebagai n=Z
β ( z) ∝(1−z) ∫
Bila persamaan 13 dimasukkan kedalam persamaan 12 diperoleh 2 β−1 ¿ 2 β ¿ f =0 2 z +¿ 4 d2 f 1 df ( ) z 1−z + 2a+ −( 2 α +2 β+ 1 ) z +¿ 2 2 dz dz
((
)
)
r r Dengan k(k-1) + l(l+1) = k (k −1)
Dan persamaan 14 tereduksi menjadi : z ( 1−z )
d2 f 1 df + 2a+ −( 2 α +2 β+ 1 ) z 2 2 dz dz
((
s2 −(α + β)2 } f −0 4
)
)
Persamaan ini merupakan persamaan differensial fungsi hipergeometri yang penyelesaian dinyatakan sebagai : f ( z )=2 F1 (a' , b' , c ' , z) dimana 2
α+
a' =α + β +¿
s 2
' , b =α + β−¿
s 2
' , c =¿
1 2
Penyelesaian persamaan schrodinger bagian sudut Persamaan schrodinger bagian sudut dapat dinyatakan sebagai persamaan schrodinger satu dimensi secara ekspilit dengan memisalkan bahwa F=
Q √ sin θ
4 Sehingga diperoleh b2 +a ( a−1 )+ m2 − sin2 θ
1 4
( 12 ) cos θ
2b α − −
sin2 θ
(¿) d Q −¿ dθ2
Q+ l(l+1) +
1 4
)Q=0
2
√
1 2 11 (a x a ) x w 2 2 42 β= 2
√
1 2 11 (b x b ) x w 2 2 42 α= 2 Dengan mengaplikasikan prasyarat pada persamaan 8 untuk persamaan 28 diperoleh
( α + β ) + k=−π atau ( α + β ) −k=−π Dengan memilih harga
'
α =¿
( α+ β ) −k
mengkombinasikannya dengan persamaan 29 diperoleh
pada persamaan 30 dan dengan
√
√
1 2 1 1 1 2 1 1 (b+ a− ) x w 2− + (b−a ) x w2− + 1 2 4 2 2 4 2 k =l+ = + 2 2 2
Funsgsi gelombang lemgkap takternormalisasi untuk potensial non sentral Poschl-Teller hiperbolip plus Scraf II trigonometric diperoleh dari persamaan 11,21 dan 33 yang dinyatakan sebagai berikut : 2
sin h r ¿ hr ¿−n ¿ cos ¿
1 2
c ψ (r , θ , φ)= ¿ r
6
BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial non-sentral Poschl-Teller hiperbolik dan Scarf II trigonometrik dianalisa dengan menggunakan persamaan hipergeometrik. Spektrum dan fungsi gelombang bagian radial diperoleh dari persamaan Schrodinger bagian radial dan hasilnya hanya bersifat pendekatan karena hadirnya faktor
sentrifugal. Fungsi gelombang bagia sudut polar dan bilangan kuantum orbital diperoleh dari persamaan Schrodinger bagian sudut polar. Spektrum energi tereduksi menjadi energi PoschlTeller hiperbolik apabila bilangan kuantum orbital menjadi nol, demikian juga fungsi gelombang bagian radialnya. Apabila potensial non-sentral Scarf II absent fungsi gelombang sudut tereduksi menjadi fungsi gelombang bola harmonik.
7
Daftar Pustaka Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum II. Jurusan Fisika Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta. Greiner,
W.
Quantum
Mechanics
An
Introduction, S.Springer-Verlag, Berlin
Heidilberg, 1992. Suparmi. 1992. Semiclassical Quantization Rules in Supersymetric Quantum Mechanics: Desrtation. SUNNY The University at Albany Physics Departement. C S Jia, Y. Sun, Y. Li, Complexified Pöschl–Teller II potential model,Physics Letters A 305 (2002) 231–238.
8
