Tugas Kelompok
PROBABILITAS Oleh : KELOMPOK 2 Halimatus Sakdiah Jeperis Nahampun Nova Irwan Jurusan
: Pendidikan Fisika
Prodi
: Magister Pendidikan Fisika
Mata Kuliah
: Fisika Statistika
Dosen
: Prof. Dr. Sahyar, M.S
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2013
BAB I PENDAHULUAN
Mengapa kita belajar fisika statistik? Karena...? Jika kita perhatikan di alam semesta ini, materi atau benda makroskopik terdiri dari benda-benda mikroskopik seperti molekul,
”Fisika Statistik”, kita dapat menyimpulkan bahwa ada dua komponen yang penting yaitu ”fisika” atom dan yang lebih keci lagi, elektron. Dengan melihat nama mata kuliah
yang berkaitan dengan dinamika atom atau molekul, pada khususnya dengan energi dan
”statistik” yang berhubungan dengan konsep peluang atau probabilitas. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah-istilah dalam bahasa latin modern
(“dewan negara”) dan bahasa Italia statista (“negarawan” atau menggunakan statistika dalam bahasa “politikus”). Pada tahun 1749, Gottfried Achenwall menggunakan statistika
statisticum collegium
Jerman sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya
sebagai “ilmu tentang negara ( State)”. Pada awal abad ke -19 telah terjadi pergeseran arti Sinclair dalam menjadi “ilmu pengumpulan dan klasifikasi data” yang dibawa oleh Sir John Sinclair dalam bahasa Inggris yang dikenal dengan dengan statistics statistics.. Sebagai suatu ilmu, kedudukan statistika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika terapan. Oleh karena itu untuk memahami statistika pada tingkat yang tinggi, terebih dahulu diperlukan pemahaman ilmu matematika. Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. l inguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya
lahirlah
ilmu-ilmu
gabungan
seperti ekonometrika, biometrika (atau
biostatistika), dan psikometrika. Sebelum kita mempelajari Fisika statistika lebih lanjut, maka kita perlu mengetahui beberapa konsep statistika yang akan dipelajari dalam Fisika Statistika. Beberapa konsep tersebut antara lain: konsep probabilitas, aturan peluang, distribusi peluang, nilai ekspentasi dan varians dan simpangan baku.
BAB II ISI 1. KONSEP PROBABILITAS I. Pengertian Probabilitas dan Manfaat Probabilitas A. Pengertian Probabilitas
Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 dan dinyatakan dalam desimal (misalnya: 0,65) atau dalam persentase (65%). Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi. Probabilitas satu menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. Maka probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian .
B. Manfaat Probabilitas
Membantu dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna. Contoh : -
Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.
-
Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak ) Dalam Probabilitas ada 3 hal yang penting yaitu percobaan (experiment), hasil (out
come) dan peristiwa (event). Percobaan adalah aktivitas yang menghasilkan suatu peristiwa. Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka. Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan tersebut, yaitu muncul gambar atau angka. Sedangkan peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadian.
II. Pendekatan Terhadap Probabilitas
Untuk menentukan tingkat probabilitas ada 3 pendekatan yaitu : pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif. A. Pendekatan Klasik
Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally (equally likely). likely). Probabilitas suatu peristiwa dinyatakan sebagai ratio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan total kemungkinan hasil Jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) Probabilitas suatu peristiwa = -----------------------------------------------Jumlah total kemungkinan hasil
Percobaan Kegiatan melempar uang Mahasiswa belajar
Kemungkinan Hasil 1 muncul gambar 1 muncul angka 1 lulus memuaskan 1 lulus sangat memuaskan 1 lulus terpuji
Jumlah Total 2 3
Probabilitas 0,5 0,5 0,33 0,33 0,33
Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa lain tidak terjadi pada waktu yang sama. Pada suatu percobaan yang mempunyai hasil lebih dari satu, dan semua hasil mempunyai probabilitas sama serta hanya satu peristiwa terjadi, maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif (collective exhaustive).
B. Pendekatan Relatif
Besar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Jumlah peristiwa yang terjadi Probabilitas kejadian relatif = -----------------------------------------Jumlah total percobaan/kegiatan
Pada kegiatan AFI 3 didapatkan 1000 pemirsa TV yang mengirim SMS untuk memilih bintang idolanya, sehingga didapatkan probabilitas relatif sebagai berikut : Bintang idola Arif Tyas jumlah
SMS 600 400 1000
Probabilitas relatif 0,6 0,4
Jadi pendekatan relatif mendasarkan besarnya probabilitas pada banyaknya suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan, kegiatan atau pengamatan yang dilakukan. C. Pendekatan Subyektif
Pendekatan Subyektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.
Penilaian Subyektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan. Contoh : Menurut
masyarakat, penggemar AFI
mulai
menurun pada tahun 2006.
III. KONSEP DASAR dan HUKUM PROBABILITAS
Probabilitas kejadian dilambangkan dengan P, apabila kejadian jual saham dinyatakan dengan huruf
A, maka probabilitas jual saham dinyatakan dengan P(A).
Sebaliknya apabila kejadian beli saham adalah B, maka probabilitas beli saham dinyatakan dengan P(B). Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.
A. Hukum Penjumlahan
Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas atau mutually exclusive yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Apabila kejadian menulis berita P(A) , maka kejadian menyiarkan berita P(B) tidak terjadi pada waktu yang bersamaan.
Jika kejadian A dan B saling lepas hukum penjumlahan menyatakan : P ( A B ) = P(A atau B) = P(A) + P(B) Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n, yaitu : P(A atau B atau ...... n) = P(A) + P(B) + ........... P(n). Contoh : Kegiatan jual-beli saham di BEJ untuk 3 perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi. Jenis transaksi
Volume transaksi
Jual saham (A)
120
Beli saham (B)
80
Jumlah
200
Dari tabel di atas diketahui bahwa : P(A) = 120/200 = 0,60 P(B) = 80/200 = 0,40 Sehingga probabilitas A atau B : P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,4 = 1,0
B. Peristiwa atau Kejadian Bersama
Contohmya dalam kegiatan jual saham pastilah diketahui sa ham apa yang dijual atau beli saham, saham apa yang dibeli. Jadi kegiatannya ada 2 jenis yaitu (a) kegiatan jual saham dan (b) sahamnya adalah saham BCA. Oleh sebab itu ada kegiatan bersama joint ( event ), seperti kejadian jual saham dilambangkan P(A) dan sahamnya BCA adalah P(D)
atau kejadian beli P(B) dan sahamnya BCA P(D). Probabilitas kejadian bersama dilambangkan P(AD) untuk kejadian jual saham BCA dan P(BD) untuk kejadian beli saham BCA Contoh : Hitung berapa probabilitas jual saham BCA : P(AD) dan probabilitas beli saham BCA : P(BD) dari Tabel berikut.
Tabel 1. Kegiatan Jual-Beli Saham dari Perusahaan BCA, BLP dan BNI Kegiatan
Perusahaan
Jumlah
BCA (D)
BLP (E)
BNI (F)
Jual (A)
30
50
40
120
Beli (B)
40
30
10
80
Jumlah
70
80
50
200
Kegiatan jual saham dan sahamnya BCA ada 30 transaksi. Kegiatan beli saham dan sahamnya BCA ada 40. Sehingga probabilitas P(AD) dan P( BD) adalah : P(AD) = 30/200 = 0,15 P(BD) = 40/200 = 0,20
DIAGRAM VENN
Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa , lebih mudah dilihat dengan diagram Venn. Pada diagram Venn terlihat adanya perhitungan ganda yaitu kejadian AD. Kejadian AD tersebut masuk dihitung ke dalam kejadian A dan kejadian D, maka rumus penjumlahan probabilitas dirumuskan sebagai berikut : P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD)
P ( A D ) = P (A ) + P ( D ) – P (A D) Berapa probabilitas kejadian jual saham atau saham BCA : P( A atau D) P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD)
= 0,6 + 0,35 – 0,15 = 0,80
A
AD
D
C. Peristiwa Kejadian Saling Lepas ( Mutually Exclusive)
Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut : A
B
Pada diagram Venn terlihat bahwa peristiwa A (jual saham) dan peristiwa B (beli saham ) saling lepas. P(AB) = 0 Maka P(A atau B) = P(A) + P(B) – P (AB) = P(A) + P(B) - 0 P (A atau B) = P(A) + P(B)
Contoh : Hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham : P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BLP dan BNI : P(DEF). Data lihat Tabel 1. P (A atau B)
= P(A)+ P(B) – P(AB) = 0,6
+ 0,4 - 0
=1 D. Hukum Perkalian
Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian yaitu kejadian bebas ( independent event ) dan tak bebas ( dependent event ) a). Hukum perkalian untuk probabilitas kejadian A dan B yang saling bebas (independen) dinyatakan sebagai berikut : P ( A B ) = P(A dan B) = P(A) x P(B) Contoh :
Saudara diminta melemparkan uang logam dua kali ke udara. Berapa probabilitas ke dua lemparan tersebut menghasilkan gambar ? Jawab : Pada lemparan pertama, probabilitas muncul gambar = ½ dan pada lemparan ke dua, probabilitas muncul angka = ½. Maka P(A dan B) = P(A) x P(B) = ½
x ½
=¼
b). Probabilitas Bersyarat ( Conditional Probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan P(A|B) yaitu probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi. P(Adan B) = P(A) x P(B|A)
Tabel 1. Kegiatan Jual-Beli Saham dari Perusahaan BCA, BLP dan BNI Kegiatan
Perusahaan
Jumlah
BCA (D)
BLP (E)
BNI (F)
Jual (A)
30
50
40
120
Beli (B)
40
30
10
80
Jumlah
70
80
50
200
Contoh : Dengan melihat data pada Tabel 1, berapakah probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) dan probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) ? Jawab : Probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) : Saham BCA yang terjual 30 dan jumlah transaksi jual saham 120 maka P(D|A) = 30/120 = 0,25 Probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) Jumlah transaksi saham BCA ada 70 dan saham BCA yang terjual ada 30, maka P(A|D) = 30/70 = 0,43 Dari nilai di atas terlihat bahwa probabilitas P(A|D) dan P(D|A) bisa berbeda, namun bisa saja sama.
F. Peristiwa Pelengkap ( Complementary Event)
Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga apabila peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
Dinyatakan dengan diagram Venn sebagai berikut :
A
B
Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen. Contoh : kegiatan jual beli saham menghasilkan dua hasil yaitu kegiatan jual P(A) atau kegiatan beli P(B). Apabila diketahui P(A) = 0,8, maka P(B) = 1 – 0,8 = 0,2
IV. DIAGRAM POHON PROBABILITAS
Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon, dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. Berguna dalam membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. Diagram ini sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan. Tahapan – tahapan tersebut adalah sebagai berikut : 1. Langkah awal kegiatan, dimulai dengan tanda bulatan dengan angka 1. Tahap 1 diumpamakan sebagai pohon utamanya berupa kegiatan di bursa saham. Nilai probabilitas pada tahap1 adalah = 1. 2. Membuat cabang . Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan kegiatan beli saham. Probabilitas jual saham = 0,6 dan probabilitas beli saham = 0,4. Nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0. 3. Membuat ranting. Pada setiap cabang, baik jual maupun beli ada 3 ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1,0. 4. Menghitung probabilitas bersama ( joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian ke dua D, E dan F. Kita dapat menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1,0.
V. BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG Beberapa prinsip menghitung yang bermanfaat dalam mempelajari probabilitas yaitu Faktorial, Permutasi dan Kombinasi .
A. Faktorial
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok Contohnya adalah berapa cara menyusun urutan ke tiga bank BCA, BLP dan BNI ? Urutan ke tiga bank tersebut adalah :
BCA BLP BNI
BCA BNI BLP
BLP BCA BNI
BLP BNI BCA
BNI BCA BLP
BNI BLP BCA
Jadi ada 6 cara untuk mengurutkan nama bank.
Pola untuk menjawab pertanyaan tersebut adalah untuk meletakkan urutan pertama dari 3 bank, saudara mempunyai 3 pilihan yaitu BCA, BLP atau BNI. Apabila urutan pertama saudara tentukan BCA maka urutan ke dua tinggal 2 pilihan yaitu BLP dan BNI. Apabila urutan ke dua memilih BLP maka urutan ke tiga hanya ada satu pilihan yaitu BNI. Dengan demikian banyaknya urutan adalah perkalian dari pilihan tersebut yaitu 3 x 2 x 1 = 6.
Dengan demikian mudah untuk mengetahui berapa banyak cara yang
mungkin dalam memilih presiden dari 5 pilihan yang ada.
Dalam matematika perhitungan tersebut dikenal dengan “faktorial” yang biasa dilambangkan dengan (!), yang perlu diketahui bahwa 0! didefinisikan dengan 1, sedangkan n! = n x (n – 1 ) x ( n – 2 )x ( n – 3 )x ( n – 4 ) x …………. 1.
Contoh : Ada berapa cara menyusun urutan dari 5 perusahaan yang memberikan dividen yang terbesar ? Penyelesaian : Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara
B. PERMUTASI
Permutasi digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan ( arrangement ) jika terdapat satu kelompok obyek. Pada Permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari obyek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :
nPr = n! / (n - r)!
Keterangan : P
: Jumlah permutasi atau cara obyek disusun
n
: Jumlah total obyek yang disusun
r
: Jumlah obyek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil
!
: tanda dari faktorial
Contoh : 1 Ada berapa susunan yang mungkin dari 3 bank yang ada, apabila tiap susunan terdiri dari 2 bank. Penyelesaian:
P 2 3!/(3 2)! 3!/ 1! (3 x 2 x1) / 1 6
3
Susunan tersebut adalah : BCA BLP, BCA BNI, BLP BCA, BLP BNI, BNI BCA, BNI BLP
Contoh : 2 Apabila ada 20 perusahaan yang memberikan dividen tahun 2003 dan disusun berdasarkan kinerja perusahaan dimana tiap kelompok terdiri 5 perusahaan, ada berapa cara susunan perusahaan tersebut. Penyelesaian : 20 P 5
20!/(20 5)! 20 x19 x18 x17 x16x15!/15! 1.860.48
C. KOMBINASI
Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan obyek tanpa memperhatikan urutannya. Misalkan ada 10 bank dan kita hanya mengambil 3 bank, mak ada berapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memperhatikan urutannya atau susunannya .
Catatan : Apabila dalam permutasi dibedakan susunan seperti BCA BNI dengan BNI BCA, maka dalam kombinasi tidak dibedakan susunannya sehingga susunan BCA BNI dianggap sama dengan BNI BCA.
Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut : nCr = n! / r!(n - r)!
Contoh 3. Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia . Sementara itu Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja . Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh bank Indonesia ? Penyelesaian : nCr = n! / r!(n - r)! = 5!/2!(5-2)! = 5!/2!x3! = 5x4x3!/2x1x3! = 5x2 = 10
Jadi ada 10 kombinasi dan probabilitas setiap kombinasi terpilih adala 1/10
Misalkan nama Bank adalah A, B, C, D, E maka 10 kombinasinya adalah : AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE
Rin gkasan : Konsep dasar perhitungan dalam probabilitas ada 3 yaitu faktorial, permutasi dan
kombinasi. a.
Faktorial (n!) untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok.
b.
Permutasi untuk mengetahui seberapa banyak susunan dari n objek diambil r objek dengan memperhatikan urutan susunan nya. nPr = n! / (n - r)!
c.
Kombinasi untuk mengetahui susunan yang mungkin terjadi dari n objek yang diambil r objek tanpa memperhatikan urutan susunannya nCr = n! / r!(n - r)!
2. PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG 1.1. Peluang 1.1.1. Definisi Peluang
Peluang berarti kemungkinan dan bagaimana kemungkinan itu terjadi dapat di definisikan sebagai berikut : 1. Definisi secara klasik Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling ekslusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka peluang peristiwa E terjadi adalah n/N dan ditulis dalam notasi
P ( E )
n N
P ( E )
n N
Contoh : Dadu memiliki enam sisi sehingga, 1 sisi mata 1, 1sisi mata 2, 1 sisi mata 3, 1 sisi mata 4, 1 sisi mata 5 dan satu sisi mata 6 Peluang munculnya mata 1 adalah 1/6
2. Definisi secara empirik Jika diperhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan, maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan di perbesar sampai tak hingga banyaknya dan ditulis dalam notasi P ( E ) Lim N
n N
P ( E ) Lim N
n N
Contoh : Coin mempunyai 2 sisi sehingga peluang muncul salah satu sisi jika di lempar sabanyak 1 kali adalah ½. Jika dilempar sebanyak 2 kali, belum tentu kedua sisi muncul bergantian, tetapi jika pelemparan dilakukan semakin banyak, maka peluanggnya akan semakin mendekati ½.
1.1.2. Aturan Peluang
Ada beberapa aturan peluang : 1. Peluang sebuah kejadian E selalu berkisar antara 0 sampai 1. Tidak mungkin lebih kecil dari 0 dan tidak mungkin lebih besar dari 1
0 ≤ P(E) ≤ 1 Contoh : Peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = 1/6
2. Jumlah total peluang pada sebuah kejadian keseluruhan sama dengan 1 P ( E ) P ( E ) 1 Contoh : Jika peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = P(1) = 1/6 Dan peluang munculnya mata bukan 1 (mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 dan mata 6) adalah 5/6, maka total peluang pada pelemparan dadu adalah 1/6 + 5/6 = 1
3. Kejadian yang saling ekslusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) Contoh
: Jika peluang terambil satu kartu „hati‟ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu „wajik‟ adalah 13/52. Maka peluang terambil kartu „hati‟ atau „wajik‟ adalah 13/52 + 13/52 = 26/52 atau sama dengan peluang terambil kartu yang merah, artinya
kalau tidak „hati‟ berarti „wajik‟yang terambil. Jika yang satu sudah terambil maka yang lain tidak akan terambil.
P(♥ U ♦) = P(♥) + P(♦) = 13/52 + 13/52 = ½
4. Kejadian yang saling inklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain masih mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) Contoh
: Jika peluang terambil satu kartu „hati‟ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu „As‟ adalah 4/52. Maka peluang terambil kartu „hati‟ atau „As‟ adalah 13/52 + 4/52 – 1/52 =
16/52. Disini perhitungan di kurangi 1/52 karena pada pengambilan
kartu „hati‟ atau „As‟ ada kemungkinan terambil kartu „hati‟ yang „As‟ dengan peluang 1/52 P(♥ U As) = P(♥) + P(As) – P((♥ ∩ As) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52
5. Kejadian yang saling independen, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu tidak berhubungan dengan kejadian yang lain P(E1 ∩ E2) = P(E1). P(E2) Contoh : Dilakukan pelemparan dua buah dadu. Jika peluang munculnya
mata 1 pada dadu pertama = 1/6 dan peluang munculnya mata 1 pada dadu kedua = 1/6. Maka peluang dalam satu kali pelemparan 2 dadu akan muncul mata 1 pada dadu pertama dan mata 1 pada dadu kedua adalah 1/6 x 1/6 = 1/36
P(1│I ∩ 1│II) = P(1│I). P(1│II) = 1/6 x 1/6 = 1/36
6. Kejadian yang mempunyai hubungan bersyarat, yaitu sebuah kondisi dimana kejadian yang satu menjadi syarat untuk kejadian berikutnya. Jadi kejadian kedua terjadi setelah kejadian satu terjadi. P(E1 ∩ E2) = P(E1). P(E2|E1) Contoh :Sebuah kotak berisi 3 buah bola berwarna kuning, 4 buah bola
berwarna merah dan 5 buah bola berwarna biru, yang sama ukurannya.
3 K 4M 5B
Peluang terambil bola K = P(K) = 3/12, peluang terambil bola M = P(M) = 4/12 dan peluang terambil bola B = P(B) = 5/12 Jika diambil dua buah bola berurutan, maka peluang terambil pertama bola merah dan ke dua bola biru adalah 4/12 x 5/11 = 0,79.
Disini peluang terambil bola biru 5/11 karena bola pertama sudah terambil sehingga jumlah bola keseluruhan tinggal 11
P(M ∩ B) = P(M). P(B|M) = 4/12 x 4/11 = 0,79
1.1.3. Permutasi dan Kombinasi
Kombinasi Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek tersebut tanpa menghiraukan urutan objek itu sendiri Definisi : Suatu himpunan yang terdiri dari r objek yang mungkin dipilih dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek
yang berbeda dimana r ≤ n, dinyatakan n P r
n! r !( n r )!
P r
n
n! r !( n r )!
Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk di
susun dengan tidak memperhatikan urutan, maka kemungkinan susunannya : ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
Atau jika dihitung 5 P 3
5! 3!(5 3)!
5.4.3.2.1 3.2.1.2.1
10 5 P 3
5! 3!(5 3)!
5.4.3.2.1 3.2.1.2.1
10
Jadi ada 10 susunan yang mungkin.
Permutasi Permutasi sejumlah objek ialah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu
Definisi : Pengaturan atau penyusunan sebanyak r objek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda secara matematis dinamakan
permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana r ≤ n, dinyatakan n
P r
n! ( n r )!
P r
n
n! (n r )!
Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk di
susun dengan memperhatikan urutan, maka jumlah sususnan yang mungkin ada 5 P 3
5! (5 3)!
5.4.3.2.1 2 .1
60 5 P 3
5! (5 3)!
5.4.3.2.1 2.1
60
Jadi ada 60 susunan yang mungkin
1.1.4. Teorema Bayes Jika kita mengamati k buah kejadian B 1, B2, kejadian itu masing-masing P(B1),
…, Bk dengan peluang terjadinya P(B2), …, P(Bk ) kemudian kita mengamati
sebuah kejadian A dalam masing masing kejadian tadi dengan peluang
P(A│B1), P(A│B2), …, P(A│Bk ),
maka peluang terjadi kejadian A adalah :
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + … + P(Bk ) P(A|Bk )
Dan peluang kejadian A tersebut berasal dari kejadian B r adalah
P (Br | A )
P (Br )P ( A | Br )
P(B1 ) P(A | B1 ) P(B 2 ) P(A | B 2 ) P(Bk ) P(A | Bk )
P (Br | A)
P (Br )P ( A | Br )
P(B1) P(A | B1 ) P(B 2 ) P(A | B2 ) P(Bk ) P(A | Bk )
Contoh :
Tiga orang telah dicalonkan sebagai manajer sebuah perusahaan. Peluang A terpilih adalah 0,3, peluang B terpilih adalah 0,5, dan peluang C terpilih adalah 0,2. Jika A terpilih, peluang terjadinya kenaikan gaji karyawan adalah 0,8. Jika B atau C terpilih, peluang kenaikan gaji karyawan masing-masing adalah 0,1 dan 0,4. B1 = A terpilih, B2 = B terpilih, dan B 3 = C terpilih G = kejadian gaji naik P(B1) = 0.3, P(B2) = 0.5, P(B3) = 0.2
P(G│B1) = 0.8, P(G│B 2) = 0.1, P(G│B 3) = 0.4 Peluang terjadi kenaikan gaji karyawan adalah P(G) = P(B1) P(G│B1) + P(B2) P(G│B2) + P(B3) P(G│B3) = (0.3)(0.8) + (0.5)(0.1) + (0.2)(0.4) = 0.37 Jadi peluang kenaikan gaji sebesar 0,37
Peluang kenaikan gaji terjadi jika terpilih C adalah P ( B3 | G ) P ( B3 | G)
P ( B3 | G )
P ( B3 ) P (G | B3 ) P(B1 ) P(G | B1 ) P(B 2 ) P(G | B 2 ) P(B 3 ) P(G | B 3 ) P ( B3 ) P (G | B3 ) P(B 1 ) P(G | B1 ) P(B 2 ) P(G | B 2 ) P(B 3 ) P(G | B3 )
(0,2)(0,4)
8
(0,3)0,8) (0,5)(0,1) (0,2)(0,4) 37 (0,2)( 0,4) 8 P ( B3 | G) (0,3)0,8) (0,5)( 0,1) (0,2)( 0,4) 37 Jadi peluang kenaikan gaji jika C terpilih adalah sebesar 0,23
4.1.5. Ekspektasi
Misalkan sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi dimana peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, …, pk dan untuk tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan x 1, x2, …,xk , maka ekspektasi eksperimen itu didefinisikan
ξ = Σ pi xi = p1 x1 + p2 x2 + … + pk xk
Contoh :
Sebuah undian berhadiah yang terdiri dari 1 hadiah pertama seniali 100.000, 2 hadiah kedua masing-masing 50.000 dan
3 hadiah ke tiga masing-masing
25.000. Jika jumlah kupon secara keseluruhan adalah 100, maka peluang mendapat hadiah pertama 1/100, peluang mendapat hadaiah ke dua 2/100 dan peluang mendapat hadiah ke tiga 3/100. Jika kopon di jual seharga 1000 perlembar, maka harapan untuk menang scara matematisnya adalah : p1
=
peluang mendapat hadiah pertama = 1/100 x1 = peristiwa menang hadiah pertama = 100.000 p2 = peluang mendapat hadiah pertama = 2/100 x2 = peristiwa menang hadiah pertama = 50.000 p3 = peluang mendapat hadiah pertama = 3/100 x3 = peristiwa menang hadiah pertama = 25.000 p4 = peluang mendapat hadiah pertama = 94/100 x4 = peristiwa menang hadiah pertama = (- 1000)
ξ
= 1/100 x 100.000 + 2/100 x 50.000 + 3/100 x 25.000 + 94/100 x (-1000) = 100.000 + 100.000 + 75.000 – 282.000 = - 7.000
Karena nilai ekspektasi negatif, berarti secara matematika, kemungkinan akan kalah atau tidak ada harapan untuk mendapatkan hadiah. Harapan secara matematik itu ada ketika nilai ekspektasinya positif.
3. DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak. Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit, sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu. 3.1. Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi peluang diskrit, yaitu apabila variabel acak yang digunakan adalah variabel diskrit. Syarat:
1. f(x) ≥ 0, nilai peluang selalu lebih besar dari 0 .
2.
p( x) 1 , jumlah total peluang pada sebuah kejadian sama dengan 1. i 0
Distribusi peluang diskrit dapat digambarkan dalam bentuk tabel, grafik, maupun persamaan. Contoh : Data penjualan TV di sebuak toko elektronik serta distribusi peluang nya sebagai berikut: Jumlah TV terjual 0 1 2 3 4
Jumlah hari 80 50 40 10 20 100
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.40 0.25 0.20 0.05 0.10 1.00
Atau jika digambarkan sebagai berikut :
peluang
Jumlah TV
Ada beberapa distribusi peluang diskrit : 3.1.1. Distribusi Binomial
Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli. Sifat percobaan Binomial 1. Percobaan dilakukan dalam n kali ulangan yang sama.
2. Kemungkinan yang terjadi pada tiap ulangan hanya ada 2, yaitu “sukses” atau “gagal”. 3. Probabilitas “sukses” yang dinotasikan dengan p selalu tetap pada tiap ulangan. 4. Tiap ulangan saling bebas (independent). Fungsi Peluang Binomial: p( x)
n! x! ( n x)!
p x (1 p) n x
3.1
dimana x = banyaknya sukses yang terjadi dalam n kali ulangan
p = peluang “sukses” n = banyaknya ulangan Contoh : Misalkan sebuah perusahaan asuransi mempunyai 3 calon pelanggan, dan pimpinan perusahaan yakin bahwa peluang dapat menjual produknya adalah 0,1. Berapa probabilitas bahwa 1 pelanggan akan membeli produknya? Pada kasus ini, p = 0,1 p( x 1)
p ( x 1)
3! 1! (3 1)!
3! 1!2!
n=3
x=1
0.11 (1 0.1) 31
0.11 (0.9) 2
= (3)(0,1)(0,81) = 0,243
Jadi peluang seorang pelanggan akan membeli produknya adalah 0,243 Nilai peluang distribusi Binomial dapat diperoleh dari tabel Binomial seperti contoh berikut: Pada kasus ini, p = 0,1 n = 3 x = 1 p n 3
x
,10 0
,15 ,7290
,20 ,6141
,25 ,5120
,30 ,4219
,35
,40 ,3430
,45 ,2746
,50 ,2160
,1664
,1250
1
,2430
,3251
,3840
,4219
,4410
,4436
,4320
,4084
,3 750
2
,0270
,0574
,0960
,1406
,1890
,2389
,2880
,3341
,3 750
3
,0010
,0034
,0080
,0156
,0270
,0429
,0640
,0911
,1250
Pada n = 3 dan x = 1, dibawah p = 0,10 diperoleh nilai tabel 0,2430 3.1.2. Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial adalah sebuah distribusi dimana percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian. Misalkan ada k ke jadian dalam
sebuah percobaan yaitu B1, B2, …, Bk. Jika percobaan
di ulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B adalah P(B1) = p1,
P(B2) = p2, …, P(Bk) = pk dengan jumlahnya masing masing sebanyak x1, x2,…, xk, maka fungsi distribusi multinomial nya sebagai berikut:
x1 x 2 xk p1 p 2 ...p k x ! x !... x ! 1 2 3
p( x1 , x 2 ,..., x k )
Dimana : x1, x2,…,xk n
n!
3.2
jumlah dari kejadian B1, B2,.., Bk jumlah percobaan
k
xi n i 1
p1,p2,…,pk
peluang terjadinya kejadian B1, B2, …,Bk .
3.1.3. Distribusi Poisson
Sifat percobaan Poisson : 1. Peluang suatu kejadian adalah sama untuk 2 (dua) interval yang sama. 2. Kejadian pada suatu inverval saling bebas dengan kejadian pada inverval yang lain 3. Terjadinya kejadian sangat jarang terjadi Fungsi Peluang Poisson : p( x)
x e x!
Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu
3.3
= rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu tert entu
e = 2.71828 3.1.4. Distribusi Hipergeometrik
Pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen dan peluang sukses berubah dari satu kejadian ke kejadian yang lain. Fungsi Peluang Hipergeometrik :
r N r x n x p( x) N n
3.4
Dimana : x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian n = banyaknya kejadian N = banyaknya elemen populasi r = banyaknya sukses dalam populasi 3.2. Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi peluang kontinu, yaitu apabila variabel acak yang digunakan adalah variabel kontinu. Syarat:
1. f(x) ≥ 0 , nilai peluang selalu lebih besar dari 0 .
2.
f ( x) 1 , jumlah total peluang sebuah kejadian selalu sama dengan 1.
3. Peluang dihitung untuk nilai dalam suatu interval tertentu. 4. Peluang di suatu titik = 0. 5. Peluang untuk random variabel kontinu (nilai-nilainya dalam suatu interval), misalkan antara x1 dan x2, didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva (grafik) fungsi peluang antara x1 dan x2. Distribusi peluang kontinu dapat digambarkan dalam bentuk tabel, grafik, maupun persamaan. 3.2.1. Distribusi Normal
Distribusi normal adalah sebuah distribusi yang paling luas penggunaannya. Karakterisik Distribusi Peluang Normal 1. Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.
2. Parameter , menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin besar nilainya, semakin lebar). 3. Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai ratarata= median=modus. 4. Luas total area di bawah kurva normal adalah 1.(luas bagian disebe lah
kiri μ=
sebelah kanan μ). 5. Peluang suatu variabel acak normal sama dengan luas di bawah kurva normal.
Persamaan distribusi normal tergantung pada 2 parameter, yaitu μ dan σ. Persamaannya sebagai berikut : f ( x)
1
2
e
x 12
2
3.5
Dimana : = rata-rata (mean)
= simpangan baku ( standard deviation)
= 3.14159
e = 2.71828 Jika digambarkan sebagai berikut :
Persentase nilai pada interval yang sering digunakan 1. 68,26%
nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval μ±
2. 95,46%
nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval μ±2
3. 99,74% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval μ±3 Untuk mencari peluang sebuah interval pada distribusi normal, maka fungsi distribusi itu harus diintegralkan dengan batas-batas peluang : x 2
p( x1
x x2 )
x1
1
2
e
12
x
= F(x2) – F(x1)
2
Atau luas daerah yang dibawah kurva dengan batasan dari x1 sampai x2 seperti berikut :
4. Nilai ekspektasi Nilai ekspektasi untuk sebuah variabel x dengan probabilitas P(x) didefinisikan sebagai berikut, x
N
x P x i
i
i
x1 P ( x1 ) x 2 P ( x 2 ) .... x n P ( x n ) Nilai rata-rata untuk variabel x2 didefinisikan dengan, x 2 x 2 i P x i i
4.1
Secara umum nilai rata-rata suatu kuantitas g adalah : g g i P x i i
4.2
Jika g merupakan sebuah fungsi yang kontinu, g(x), maka symbol diganti dengan integrasi dan P(x) → f(x)dx. Sebagai contoh:
f ( x)
exp( x 2 )
4.3
kita mendapatkan nilai rata-rata,
x x
4.4
x
2
exp( x 2 )dx 0
x 2
exp( x 2 )dx
1 2
4.5
Sebuah kuantitas yang sering diperlukan dalam eksperimen adalah kuantitas yang menyatakan seberapa besar hasil eksperimen berbeda dengan nilai rata-rata. Umpamanya kita mencoba mendefinisikan sebuah beda x
x x
( x
i
−
x , nilai ekspektasi beda ini adalah
x ) P ( xi ) 4.6
i
xi P ( x i ) x i
P ( xi )
i
x x 0
i
Karena nilai beda adalah nol, maka kita tidak bisa menggunakan deviasi dengan cara di atas. Metode lain yang sering digunakan adalah kuadrat beda, (x
−
x ) 2 . Ekspektasi
kuadrat beda yaitu : ( x x ) 2 x 2 2 x x x
x 2 x
2
2
var( x)
4.7
atau yang disebut variansi (x) atau disebut juga dispersi. Untuk fungsi kontinu, x2
var( x) ( x x ) 2 f ( x)dx x1
4.8
Nilai deviasi diperoleh dari nilai variansi dengan persamaan,
var( x)
4.9
Kuantitas x dan var(x) tidaklah sepenuhnya menentukan sifat sifat sistem yang kita pelajari, tetapi dua kuantitas ini menentukan sifat-sifat penting sistem tersebut. Selain nilai ekspektasi dan deviasi, kita akan menggunakan konsep nilai yang sering
muncul atau ”most probable event” atau nilai yang memiliki probabilitas tertinggi atau modus. Nilai modus diperoleh dengan menggunakan kondisi bahwa nilai kemiringan atau turunan pada titik puncak adalah nol atau df ( x) dx
0 x m
4.10
Penyeleaian persamaan 4.10 untuk mendapatkan nilai modus.
5. SIMPANGAN BAKU DAN VARIANS
a. Pengertian simpangan baku dan Varians Standar deviasi menurut kamus besar bahasa indonesia berarti simpangan baku. Dalam statistika dan probabilitas, simpangan
baku atau deviasi
standar adalah
ukuran
sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut. Dan Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat varians. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter pula. Istilah simpangan baku pertama kali diperkenakan oleh Karl Pearson pada tahun 1894, dalam bukunya On the dissection of asymmetrical frequency curves.
Gambar distribusi normal , tiap warna mewakili 1 simpangan baku
Dalam Statistik, wilayah data yang berada di antara +/- 1 simpangan baku akan berkisar 68.2%, wilayah data yang berada di antara +/- 2 simpangan baku akan berkisar 95.4%, dan wilayah data yang berada di antara +/- 3 simpangan baku akan berkisar 99.7%.
b. Rumus simpangan baku dan varians Adapun rumus simpangan baku adalah:
x1 s n 1
2
Varians merupakan jumlah kuadran semua deviasi nilai-nilai individu terhadap rata-rata kelompok sehingga adapun rumus varians adalah:
X 1 2 S n 1 Keterangan S
= simpangan baku sampel
n
= jumlah sampel
Xi = hasil pengamatan
μ
= nilai rata-rata kelompok
c. Contoh
Suatu penelitian dilakukan di RS PKU muhammadiya tentang hasil berat badan 10 perawat. Hasil penelitian adalah sebagai berikut: 60, 70, 65, 80, 70, 65, 75, 80, 70, 75. Berdasarkan data tersebut berapa variansi dan standard deviasi data berat badan perawat tersebut..?
Penyelesaian: Dari data tersebut kita dapan mencari rata – ratanya dengan:
No
Nilai
1
60
-11
121
2
70
-1
1
3
65
-6
36
4
80
9
81
5
70
-1
1
6
65
-6
36
7
75
4
16
8
80
9
81
9
70
-1
1
10
75
4
16
∑
710
0
390
X 1 2 S n 1 S
390 10
39
Jadi besar varians adalah 39 Dan simpangan bakunya adalah:
√
