TRIGONOMETRÍA tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos SnIi2t10
DESARROLLO DEL TEMA I. Identidades trigonométricas para la suma de dos arcos
II. identidades trigonométricas para la diferencia de dos arcos
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
Sen(x + y) = SenxCosy + Cosx Seny
Sen(x – y) = SenxCosy – Cosx Seny
∀ x, y ∈
∀ x, y ∈
Cos(x + y) = CosxCosxy – Senx Seny
Cos(x – y) = CosxCosy + Senx Seny
∀ x, y ∈
∀ x, y ∈
Tan(x + y) =
Tanx + Tany 1 – TanxTany
Tan(x – y) =
∀ x, y, (x – y) ≠ (2k + 1) p/2; K ∈
∀ x, y, (x + y) ≠ (2k + 1) p/2; K ∈
Ejemplo:
Ejemplo:
Calcule el valor de Sen75°
Expresamos nuestra variable que es "75°" en función de ángulos conocidos por ejemplo "45° + 30°", para luego aplicar las identidades de la suma de ángulos • Sen75° = Sen(45° + 30°) = Sen45°Cos30° + Sen30°cos45°
Sen75° =
2× 3+ 1× 2 2 2 2 2
Sen75° =
6+ 2 4
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Calcule el valor de Tan8°
Resolución
Tanx – Tany 1 + TanxTany
Resolución:
Expresaremos nuestra variable 8° en función de ángulos conocidos. •
Tan8° = Tan(45° – 37°) =
Tan45° – Tan37° 1 + Tan45° × Tan37°
3 1 4 Tan8° = = 4 3 7 1+ 4 4 1–
Tan8° =
11
1 7
TRIGONOMETRÍA
Tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos
III. demostración del seno y coseno de la suma de dos ángulos
Observación: p 4 Tana ± Tanb ± TanaTanb = 1
Del siguiente gráfico:
Si : a ± b = 45° < > y C.T.
Q
Seny 1
Senq
P
A'
R
SenxSeny x
SenyCosx T
M sy y Co SenxCosx q x Cosq CosxCosy S A
Importante:
C.T.
f(x) = aSenx ± bCosx; x ∈ a2 + b2 ≤ f(x) ≤ + a2 + b2
x
En el gráfico se observa que q ∧ (y + x) son suplementarios
" Senq = Sen(y + x)
" Cosq = –Cos(x + y)
v. propiedades para tres ángulos
Ademas QP = RS
Senq = SenxCosy + SenyCosx
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos estén relacionados bajo una condición
1. Siendo:
∴Sen(x + y) = SenxCosy + SenyCosx
También: PS = QR
Cosq + CosxCosy = SenxSeny
Cosq = SenxSeny – CosxCosy
–Cos(x + y) – CosxCosy
x + y + z = p ó kp, k ∈
Tanx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz CotxCoty + CotxCotz + CotyCotz = 1
∴Cos(x + y) = CosxCosy – SenxSeny
p ;n ∈ 2 ∀x, y, z ≠ np,n ∈
2. Siendo:
∀x, y, z ≠ (2n + 1)
iv. identidades auxiliares Sen(x ± y) = Tanx ± Tany CosxCosy
Sen(x + y)Sen(x – y) = Sen2x – Sen2y Sen(x + y)Sen(x – y) = Cos2y – Cos2x
x + y + z = p ó (2k + 1) p ;k ∈ 2 2
Cotx + Coty + Cotz = CotxCotyCotz Cos(x + y)Cos(x – y) = Cos2x – Sen2y
TanxTany + TanxTanz + TanyTanz = 1 ∀x, y, z ≠ np;n ∈
Tan(x ± y) = Tanx ± Tany ± TanxTanyTan(x ± y)
Tema 10
TRIGONOMETRÍA
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∀x, y, z ≠ (2n + 1)
p ;n ∈ 2
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PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Indique la expresión equivalente a p p p E = Cos – – x + Cosx x – + Cosx, ] 0; [ 6 2 6
A) 3Cosx
C) 3 2/2
D) –5 3/9 E) –4 3/9 UNMSM 2014–II
UNMSM 2014–Ii
D) ( 3 + 1)Cosx
Resolución:
E) (2 + 3 )Cosx UNMSM 2014–Ii
Resolución: Planteamiento Sabemos: Cos(x ± y) = Cosx.Cosy ± Senx.Seny Cos(–A – B) = Cos(A + B) Desarrollando las formulas: p p p E = Cos .Cosx – Sen Senx + Cosx.Cos + 6 6 6
E = 2Cos
B) –7 3/9 C) –7/2 3
E) 2
C) ( 3 + 3)Cosx
A) –5/ 3
B) 3 2 D) 2 3
B) 2 3Cosx
Senx.Sen
Problema 2 p Si: a + b = , halle (1 – cota)(1 – cotb) 4 A) 2/3
p + Cosx 6
Inicialmente ubicamos la propiedad p a + b = " Tana + Tanb + Tana.Tanb = 1 4 En base a esta propiedad, se procederá a indicar la forma de la incógnita.
Dividiendo miembro a miembro por " Tana.Tanb" Cotb + Cota + 1 = Cota.Cotb
•
Ángulos compuestos
•
Se observa teoría de ángulo exterior
Operación del problema:
Tana = 2 3
Trasponiendo (Cotb – Cota.Cotb) – (Cota – 1) + 1 = –1 Cotb(1 – Cota) – (Cota – 1) = 2
q = (60° + a) Cota = Cot(60° + a) Desarrollando Cotq =
Problema 3 En la figura, Tana = 2 3
E = ( 3 + 1)Cosx
q
60°
Ángulo exterior
Respuesta: E E = 3Cosx + Cosx
Planteamiento
a
Tana + Tanb + Tana.Tanb = 1
Factorizando:
p Cosx + Cosx 6
Resolución:
Cotq =
1 – ( 3)(2 3) 3 +2 3 –5 3 9
a
Respuesta: D
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Respuesta: D
q
60°
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TRIGONOMETRÍA
Tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos
PROBLEMAS de clase 8. En en gráfico, calcule 15(Tana + Tanb)
EJERCITACIÓN
B
1. Calcule el valor de: 2.Sen57° – Cos27° Sen27° B) –1 E) 2
A) 1 D) – 3
4u E C) 3
3u D 1u
2. Reduzca la expresión Senq Cos(45° + q) + Secq 2 A) 3 D) 2Tanq
B) 1 E) 2Secq
A
C) 2/2
3. Calcule el valor de M 1 1 ; x = 15° M= – Tan7x – Tan3x Cot7x – Cot3x A) 3 B) 3/3 C) 1 D) 3 – 1 E) 3 + 1
A) 1 D) 1/4
B) 1/2 E) 3/2
B) 0,4 E) 0,7
A) 12
B) 13
D) 15
E) 16
C C) 14
Calcule: Sen2 (x + y) + 2Sen2 x + Sen2 (x – y) – 2Sen2 y A) a
B) –a
D) –2a
E) ±2a
C) ±a
sistematización
C) 2
10. Si: 5Cosa = 2Cos(a – 2q)
5. Calcule el valor aproximado de: (Cos60° – Sen7°)(Cos60° + Sen7°) Sen23° A) 0,5 D) 0,6
4u
9. Si Senx.Cosy = a
4. Reduzca la expresión
1 – Sen2q 4 M= Sen(30° – q)Cos(60° – q)
b a
C) 0,3
Calcule: Cot(a – q) × Cotq A) 4/5
B) 3/4
D) 7/3
E) 7/3
C) –7/3
11. Con los datos del triángulos ABC del gráfico y Tan(q – a) = 0,4, calcule x.
PROFUNDIZACIÓN
A
6. Del gráfico, calcule Cosq A
q
B A) –16/65 D) –56/65
q a 5
D
37° 21 B) 56/65 E) –13/65
B
C) 16/65
7. Calcule el valor de:
A) 40
B) 38,5
D) 45,5
E) 42,5
Tema 10
C C) 45
3Cos10° + 2Cos40° + 3cos80°
2Sen72° – Sen27° B) 1 E) 1/2
3
12. Simplifique la expresión:
2Sen57° – 3Sen27° A) 3/2 D) 2/2
x
C
C) 2
TRIGONOMETRÍA
44
A) 2Sen70°
B) Cos50°
D) Sen50°
E) 2Cos50°
C) 4Sen70°
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