Trigonometria

TRIGONOMETRÍA TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS SNII2T2

DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTOS PREVIOS

Se cumple:

A. Razones Recíprocas

Triángulo ABC (Recto en B)

SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1

C

a

b

•

a y c (longitud de los catetos)

•

b (longitud de la hipotenusa)

Ejemplos: •

1 Csc20° Cos50° . Sec50° = 1

•

Tanx . Coty = 1 → x = y

Sen20° =

• B

A

c

• b > a ∧ b > c • m∠A + m∠C = 90° • a2 + c2 = b2 (teorema de Pitágoras)

B. Razones Complementarias (Co-razones) De las definiciones, en (II) se observa:

II. DEFINICIÓN

Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C

Con respecto a la m∠A • • • • • •

Sen A = Cateto opuesto = a Hipotenusa b Cateto adyacente Cos A = = c Hipotenusa b Cateto opuesto a Tan A = = Cateto adyacente c Cateto adyacente c Cot A = = Cateto opuesto a Hipotenusa Sec A = = b Cateto adyacente c Hipotenusa Csc A = = b Cateto opuesto a

m∠A + m∠C = 90°

Ejemplos: • Sen70° = Cos20° • Sec(30° + x) = Csc(60° – x) • Cos(90° – a) = Sena • Secq = Csc(90° – q) • Tan (x + 10°) = Cot3x → x + 10° + 3x = 90° 4x = 80° x = 20° En General: R.T (b) = CO – RT (90° – b)

III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

C. El valor de una razón trigonométrica solo depende de la medida del ángulo de referencia Sabemos: C.O. Tanq = C.A.

Dado un triángulo ABC (recto en B) C a B

m

b c

b

a

q n

A

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

11

TRIGONOMETRÍA

Tanq =

a m = b n

TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD

V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

C b

A. Exactos

a k 2

A

B

c

1k

45° 1k

A Tan = Csc A – Cot A 2 A = Csc A + Cot A 2

Cot

45°

60°

2k

1k

Demostración: C

30° k 3

2

A/

D

A

A/2

A

b

b

a

c

B

B. Aproximados

5k

53° 3k

• Se prolonga el lado BA hasta el punto "D" tal que AD = AC. 37° 4k

• Formamos un triángulo isósceles uniendo "D" y "C" • Del triángulo DBC JA N b + c b c Cot K O = = + a a a L2 P



JA N Cot K O = Csc A + Cot A L2 P



74°

25 k

7k

16° 24 k

Observación: Triángulos pitagóricos mas usados.

5

13

9

12

11

61 60

21

VI. TABLA DE VALORES NOTABLES 30°

41 Sen

40

8

3/2

45°

37°

53°

2/2

3/5

4/5

2/2

4/5

3/5

Cos

3/2

1/2

Tan

3/3

3

1

3/4

4/3

Cot

3

3/3

1

4/3

3/4

17 15

29 20

TEMA 2

1/2

60°

TRIGONOMETRÍA

22

Sec

2 3/3

2

2

5/4

5/3

Csc

2

2 3/3

2

5/3

5/4

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

P = (2 + 3 ) (2 – 3

Halle el valor de: N N J Sen60° – Sen30° N P2 + 3 P KL Sen60° + Sen30°OP A) 0

B) 1

D) 3

E) 3

2– 3

Respuesta: k b

Problema 2 En el triángulo BAC de la figura,

Problema 3 En la figura, AD = 12cm, Halle BC B

AC = b cm y BC – AB = k cm donde J N b > k, halle Tg K a O L2 P C

Planteamiento Sabemos:

30° 105° A

2k 30°

Procedimiento Sea: J Sen60° – Sen30° N P = PN2 + 3 NP K Sen60° + Sen30°O P L J 3 1 – KK 2L 2 J 3 1 + KK 2L 2

J J K 3 – 1K N N K P = P2 + 3 P K K 3+1K L L

2– 3

A) 2k

B) kb

k D) a

E) 1

UNMSM 2009–I

UNMSM 2012–I

Resolución: Análisis de datos:

B 6

P

Sabemos: J N Tg K q O = Cscq – Cotq L2 P

6 3 A

Operación del Problema

b 2– 3

A

J N Tg K a O = a – c b L2 P b

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

B

DPB notable 45° → PB = 6 En el

ABC

Sen30° =

Del gráfico

C

→ AP = 6 3 y DP = 6 a

J N Tg K a O = Csca – Cota L2 P

45° 30° 60° D 12

APD notable (30° y 60°)

a

c

x 6

Se traza DP ⊥ AB

C

Se racionaliza

J K 3 – 1K N N L P= 2+ 3 L P P 2

E) 3( 3 –1)

k b

Análisis de datos

2– 3

J2 2– 3

C)

B) 3( 3+1)

C) 2 3 D) 3–1

Resolución:

2– 3

J JJ J K 3 – 1 KK 3 – 1 K N N KK K P = P2 + 3 P K K 3 + 1 KK 3 – 1 K L LL L

B

C

D

A) 3 3

a

A

k 3

J K K N N P = P2 + 3 P L J K K L

J N Tg K a O = k L2 P b

→∴ P = 1

Respuesta: 1

Resolución:

k

2– 3

C) 2 UNMSM 2014–I

60°

P=1

J N Tg K a O = a – c ; por dato (a – c = k) b L2 P

2– 3

x 6 3 +6

→ 3( 3 + 1)

Respuesta : 3( 3+ 1)

33

TRIGONOMETRÍA

TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

PROBLEMAS DE CLASE

5. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe que la suma de catetos es igual a k veces la hipotenusa. Calcule la suma de senos de los ángulos agudos del triángulo. A) k B) 2k C) 3k k k D) E) 2 3

EJERCITACIÓN 1. Del gráfico, L es mediatriz Tanq = 2 2 . Calcule AB B 2u A

L N θ C

M

A)

4 2 5 2 7 2 B) C) 3 3 3

D)

8 2 10 2 E) 3 3

2. Si. Seca = Csc2f Calcule: Ja N TanK +fO + Sec(330° –3a – 6f) L2 P A) 1 D) 1 2

B) 2 E) 1 3

C) 3

3. Siendo x un ángulo agudo que cumple: Cscx

4

Cosx =

D)

B)

3 2

C)

3 3

4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 12u. Si el cuadrado dela hipotenusa excede en una unidad a cuatro veces el área del triángulo. Calcule Sena + Cosa, (a: mayor ángulo agudo) A) 7 B) 1 C) 9 5 5 5 8 3 D) E) 5 5

3 Csc10° 2

D)

A) 2 D) 3

E) 4

10. En un triángulo ABC recto en C, se cumple TanA.CosB = 2 Calcule: SenB + SecA A) 5

B) – 5

D) –1

E) 2 2

C) 1

11. Del gráfico, calcule Tana Si ABCD es un cuadrado O: centro de cuadrado

7. Del gráfico. Calcule: Cot2 q – Tan2 q 2 2

a 4 10

3

8 3 7 3 E) 3 3

TEMA 2

q

2 3 B) C) 2 3

Calcule Tanx + Cotx + Tan2x + Cot2x A) 2

Jp N Jp N 9. Si SenK qO .SecK qO = 1 4 L P L5 P Calcule: Sen9θ° . Csc10° A) 1 .Csc10° B) – 1 Csc10° 2 2

SISTEMATIZACIÓN

Cscq

3 . 2 2

C) 24

E) 1

6. Del gráfico calcule Secq

45°

B) 16 E) 34

C) –1

PROFUNDIZACIÓN

Cscq

A) 8 D) 48

q

O 7

A)

10 2 B) 7 6 3

C) 6 7 2 10

4 2 D) E) 3 7 3

A) 1 D) 4

8. Del gráfico, Cosq = 8 17 Calcule NH.

45

M

A) 1

N q

C

TRIGONOMETRÍA

44

C) 3

12. Si Sec54°.Tan[(a–1)b°].Tan[(b–1)(a)°] = Csc36° Determine el valor: Sen(3a° + 3b°) . Sec(6a° +6b°)

A

H

B) 2 E) 5

B

D)

B) 3

2 3 E) 3 3 2

C)

3 3

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II