Trabajo Programacion Lineal

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales Ezeuiel !amora "UNELLE!#

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4abaneta9 ,0 de Marzo de 2,*0

PROGRAMACIÓN LINEAL La pro%ramación lineal es un con:unto de t;cnicas racionales de an
ESTRUC ESTRUCTUR TURAS AS Y SUPOSI SUPOSICIO CIONES NES IMPLIC IMPLICIT ITAS AS DE LA PROGRA PROGRAMAC MACIO ION N LINEAL $unue la modelación es solo una aproximación a la realidad9 para intentar plan planea earr un mode modelo lo de tipo tipo line lineal al es neces necesar ario io ue ue el prob proble lema ma acep acepte te las las suposiciones b
Proporcionalidad La prop propor orci cion onal alid idad ad nos nos indi indica ca ue ue si una una acti activi vida dad d se dupl duplic ica9 a9 tamb tambi; i;n n se duplican el costo asociado a ella o el consumo de recursos necesario para producirla'

Aditiidad La aditividad aditividad supone ue si se realizan realizan dos actividades actividades distintas9 distintas9 simplemente simplemente se deben sumar los e5ectos ue cada una de ellas produce sobre los recursos' En estos modelos nunca =abr< t;rminos en los ue aparezca el producto de las variables' >ecir ue un modelo "ecuación# es lineal implica ue existe tanto la proporcionalidad como la aditividad'







Dii!i"ilidad La divi divisi sibi bililida dad d se re?ere re?ere a ue ue las las vari variabl ables es puede pueden n toma tomarr cual cualu uie ierr valor valor como resultado decimal' Por e:emplo9 @-+ 2/+'/A9 o la mitad de esto o las 28+ partes de esto' Estrictamente la solución de ese tipo de problemas debe verse como un problema de pro%ramación entera' En la pr
Con#$nto con%&o >e manera simpli?cada9 simpli?cada9 podemos decir ue un con:unto de puntos es convexo si tomados cualuier par de puntos de este con:unto9 todos los puntos del se%mento directo ue los une pertenecen al con:unto en cuestión'

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN PLANEACIÓN AGREGADA La planeación a%re%ada es un proceso para determinar una estrate%ia de 5orma anticipada ue permita satis5acer los reuerimientos "demanda# del sistema9 al mismo tiempo ue optimiza los recursos del mismo cu1o desarrollo se lleva a cabo en el corto 1 mediano plazo' Existen diversos m;todos empleados en la creación de un plan a%re%ado9 entre los ue se destacan la pro%ramación lineal9 re%las de decisión por búsueda9 pro%ram pro%ramaci ación ón por ob:eti ob:etivos vos99 pro%ram pro%ramaci ación ón din
EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE Es una de las m






El si%uiente e:emplo nos a1udara a comprender las caracter6sticas de este tipo de situación'

E#%'plo Una Una compa compaF6 F6a a embo embote tellllado adora ra tien tiene e plant plantas as ubic ubicad adas as en Mede Medellll6n 6n99 Bo%o Bo%ot< t< 1 (arta%ena' La capacidad de cada una de las plantas esG

La empresa surte a cuatro distribuidoras localizadas en di5erentes zonas del pa6s' La demanda esperada de cada uno de los distribuidores es la si%uienteG

El costo de transportar una ca:a de cada planta a cada distribuidor esG

ME(CLA: Es un tipo de modelo ue aparecen por e:emplo en auellas situaciones en las cuales una empresa dispone dispone para un periodo dado de cantidades limitadas limitadas BH de m recursos recursos "materia "materia prima9 mauinaria9 mauinaria9 dinero9 =abilidades =abilidades =umanas entre otros# ue utiliza para la producción de n tipos de art6culo9 cada uno de los cuales utiliza los recursos en cierta combinación' Es decir se conocen los valores ai: ue indican el número de unidades del recurso i necesaria para producir una unidad del articulo :' tambi;n se conocen los valores (: ue son las utilidades unitarias "o costos unitarios# del producto :' El problema consiste entonces en determinar la cantidad I: a producir de cada uno de los art6culos ue compiten por el uso de los recursos9 de tal 5orma ue se obten%a un m






PUNTO DE E)UILIBRIO En todo todo ne%oci ne%ocio o un aspecto aspecto impresc imprescind indibl ible e consis consiste te en evalua evaluarr la %ananci %anancia a potencial de un producto o servicio9 1a sea nuevo o existente' 4e considera ue los costos asociados a la producción de un producto o prestación de un servicio se puede puede dividi dividirr bado lo anterior ueda de mani5iesto la importancia de la evaluación del punto de euilibrio' 4ea

el costo total de producir un bien o prestar un servicio9 donde

es el costo costo 5i:o 5i:o 1

los costos costos variab variables les " es el costo costo unitar unitario io 1

vendid vendida#' a#' $dicio $dicional nalmen mente te sea

el in%res in%reso o total total* dond donde e

la cantid cantidad ad es el prec precio io

unitario' El punto de euilibrio en t;rminos de las unidades vendidas est< dado porG

Es el punto donde los in%resos totales recibidos se i%ualan a los costos asociados con con la vent venta a de un prod produc uctto "IT + CT#' Un punto punto de euili euilibri brio o es usado común comúnme ment nte e en las las empr empresa esass u or%a or%ani niza zaci cion ones es para para dete determ rmin inar ar la posib posible le rentabilidad rentabilidad de vender determinado determinado producto' producto' Para calcular calcular el punto de euilibrio euilibrio es necesario tener bien identi5icado el comportamiento de los costos de otra manera es sumamente di56cil determinar la ubicación de este punto' 4ean )K los in%resos totales9 (K los costos totales9 P el precio por unidad9  la cantidad de unidades producidas 1 vendidas9 (7 los costos 5i:os9 1 (V los costos variables' EntoncesG 4i el producto puede ser vendido en ma1ores cantidades de las ue arro:a el punto de euilibrio tendremos entonces ue la empresa percibir< bene5icios' 4i por el contrario9 se encuentra por deba:o del punto de euilibrio9 tendr< p;rdidas'







PROBLEMAS DE LOS PATRONES DE CORTE DE MATERIALES Una empresa produce papel en rollos de 0, cm' de anc=o 1 *,, m' de lar%o9 pero muc=as veces recibe pedidos para despac=ar rollos de dimensiones menores' En este momento necesita cumplir con la si%uiente orden de producciónG La compaF6a desea determinar la 5orma de cortar los rollos est
Con!tr$cci,n d%l 'od%lo: Obviamente la solución a este problema implicara ue sea necesario despac=ar dos o m
Observemos Observemos ue =a1 cuatro cuatro modalidades modalidades de corte9 en cada una de las cuales se obtiene un número de 5ran:as de los anc=os necesarios9 con un desperdicio determinado' Las actividades alternativas a desarrollar son las cuatro modalidades de corte9 cada una con su sobrante asociado por cada metro' Las caracter6sticas de los cuatro cortes posibles9 se resumen en la si%uiente tabla9 en donde como se di:o los datos son para cada metro de anc=o de 0, cm' ue se corte en cada modalidad'

Podemos de5inir las variables del modelo comoG IiG número de metros del rollo est








(on lo cual al modelo puede plantarse as6G MinimizarG 4obranteG ,'*/I*  ,'2,I2  ,',/I+  ,'*/I4u:eta aG (antidad necesaria de cada anc=o *I*  2,, 2I2  *I+  /,, 2I++I-  +,, (on Ii  ,9 i9 4:  ,9 : 4i escribi;ramos las restricciones como i%ualdades9 puede presentarse el caso de ue el problema no ten%a solución 5actible9 al ser imposible encontrar modalidades de corte ue produzcan exactamente las cantidades pedidas de cada anc=o' Una alternativa para no usar las relaciones ma1or o i%ual 1 en cambio utilizar relaciones de i%ualdad9 es introducir al lado izuierdo de las restricciones las variables 4: para indicar el número de metros de anc=o :9 cortado en exceso sobre lo pedido'

METODOS DE SOLUCION GRA-ICA MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL DE DOS .ARIABLES El m;todo %r<5ico se emplea para resolver problemas ue presentan sólo 2 variables de decisión' El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones restricciones en un e:e de coordenadas coordenadas I *9 I 2 para tratar de identi5icar identi5icar el
E/EMPLO: Una compaF6a de auditores auditores se especializa especializa en preparar liuidaciones liuidaciones 1 auditor6as auditor6as de empresas peueFas' Kienen inter;s en saber cu






V$R)$BLE >E >E()4)ONG (antidad de auditor6as "I *#' (antidad de liuidaciones "I 2#' RE4KR)(()ONE4G Kiempo Kiempo disponible de traba:o directo Kiempo disponible de revisión Número m
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los v;rtices del con:unto de soluciones 5actibles' 4e analizan estos valores en la 5unción ob:etivo' El v;rtice ue representa el me:or valor de la 5unción ob:etivo ser< la solución óptima'

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS .ARIABLES B






(omo (omo se pued puede e ver9 ver9 una una limi limita taci ción ón impo import rtan ante te ue ue impi impide den n otra otrass muc= muc=as as aplicaciones es la suposición de divisibilidad9 es la ue plantea ue las variables de decisión pueden tomar valores no enteros' En muc=os problemas pr
31 Pro2 Pro2ra ra'ac 'aci, i,n n %nt% %nt%ra ra "in "inar aria ia 4e =an =an desar desarro rollllad ado o numer numeros osas as apli aplicac cacio ione ness de pro% pro%ram ramac ació ión n entera entera99 ue ue involucran una extensión directa de pro%ramación lineal en la ue debe eliminarse la suposición de divisibilidad' 4in embar%o9 existe otra
41

Pro2ra'aci,n %nt%ra 'i&ta

4i en un problema de pro%ramación lineal9 solo es necesario ue al%una de las variables variables ten%a valores enteros "1 la suposición de divisibilid divisibilidad ad se cumple cumple para el resto o sea ue permite variables con valores decimales# el modelo se conoce como uno de pro%ramación entera mixta "PEM#' Este tipo de situación sur%e cuando la 5ormulación ori%inal del problema se a:usta a un problema de pro%ramación entera o a uno de pro%ramación lineal9 excepto por cierta ciertass di5eren di5erencia ciass menores menores ue inclu1 inclu1en en relaci relaciones ones combin combinato atoria riass en el modelo'

REGION ACOTADA La re%ión 5actible puede estar acotada9 como en la 5i%ura9 o no acotada' (uando est< acotada9 se representa %r<5icamente como un pol6%ono con un número de







La solución de un problema problema de pro%ramación pro%ramación lineal9 lineal9 en el supuesto de ue exista9 debe estar en la re%ión determinada por las distintas desi%ualdades' Esta recibe el nombre de re%ión 5actible9 1 puede estar o no acotada'

R%2i,n 5acti"l% acotada

R%2i,n 5acti"l% no acotada

La re%i re%ión ón 5acti actibl ble e inclu nclu1e 1e o no los los lados ados 1 los v;rt v;rtiices9 ces9 se%ú se%ún n ue ue las las desi%ualdades sean en sentido amplio "o# o en sentido estricto "S o #' 4i la re%ión 5actible est< acotada9 su representación %r<5ica es un pol6%ono convexo con un número de lados menor o i%ual ue el número de restricciones'

PROBLEMA NO ACOTADOG En las iteraciones del M;todo 4implex un problema no acotado se detecta cuando al calcular el criterio de 5actibilidad o m6nimo cociente ue determina la variable ue ue de:a de:a la base base99 toda todass las las entr entrad adas as en la colu column mna a de la varia variabl ble e no b
-ACTIBLES: 4i existe el con:unto de soluciones o valores ue satis5acen las restricciones' Estas a su vez pueden serG con solución única9 con solución múltiple "si existe m


existe el con:unto de soluciones ue cumplen NO -ACTIBLES: -ACTIBLES: (uando no existe las restricciones9 es decir9 cuando las restricciones son inconsistentes'







-ACTIBL ACTIBLES: ES: 4i existe el con:unto de soluciones o valores ue satis5acen las restricciones' $ su vez9 pueden serG

CON SOLUCIÓN 6NICA: En una urbanización se van a construir casas de dos tiposG $ 1 B' La empresa constructora dispone para ello de un m
Variables: x   nW de casas tipo $  y  nW de casas tipo B



7unción ob:etivoG Maximizar Z  5" x,y x,y #  - x   +y



(on:unto de restriccionesG El coste total +, x  2,y *3,,' El $1untamie $1untamiento nto impone x + y 3,' >e no ne%atividadG x , 9 y ,'

CON SOLUCIÓN M6LTIPLE: 4i existe m
SOLUCIONES IN-INITAS Un problema de Pro%ramación Lineal con dos variables puede tener una solución9 in5initas o nin%una9 como se puede comprender observando los e:emplos %r<5icos si%uientes'









En el %r<5ico %r<5ico 2 =a1 in5initas soluciones soluciones porue el m
IDENTI-ICACIÓN GRA-ICA DE RESTRICCIONES $unue para la in5inidad de problemas ue pueden modelarse para ser resueltos median mediante te la Pro%ram Pro%ramaci ación ón Lineal Lineal se present presentan an mu1 di5ere di5erente ntess restri restriccio cciones9 nes9 podemos decir ue las limitantes de un modelo de P'L' se a%rupan en seis tipos principales9 ue sonG

R%!triccio R%!triccion%! n%! d% capacidad: capacidad: Relacionadas con los recursos de in5raestructura del sistema9 como son las =oras de mano de obra9 de m<uina9 el espacio9 etc' Limita tan n el valo valorr de las las vari variab able less debi debido do a la R%!tri R%! tricci ccion% on%!! d% %ntrad %ntrada!: a!: Limi disponibilidad de recursos comoG materia prima9 dinero9 etc'

R%!triccion%! d% '%rcado: 4on re5le:o de los valores m
R%!triccion%! d% "alanc% d% 'at%rial%!: Expresan las salidas de un proceso en







Una restricción ser< activa9 si al sustituir los valores de las variables de la alternativa óptima en dic=a restricción9 el valor resultante en su miembro izuierdo es i%ual al valor desmiembro derec=o "RD4#' Un caso especial es el de la restricción de i%ualdad9 donde este tipo de restricción siempre es activa' 4i una restricción no es activa9 se dice ue es inactiva' Esto es cuando al sustituir los valores de las variables de la alternativa óptima en la restricción en cuestión9 el valor resultante del lado izuierdo "de la restricción# no coincide con el valor del lado derec=o de la restricción'

CON/UNTO -ACTIBLE Es el con:unto de todos los valores no ne%ativo de las variables de decisión ue satis5 satis5ace ace todas todas las restric restriccio ciones nes simult simult
PUNTO E7TERNO >esde el punto de vista %r<5ico9 los puntos extremos son los puntos de solución 5act 5actib ible le ue ue ocur ocurre ren n en los los v;rt v;rtic ices es o esu esuin inas as de la re%i re%ión ón 5act 5actib ible le'' (on (on problem problemas as de dos variabl variables9 es9 los puntos puntos extrem extremos os est
SOLUCIÓN ÓPTIMA 4e llama solución solución óptima auella ue maximiza maximiza o minimiza minimiza la 5unción 5unción ob:etivo' Esta solución solución si es única siempre se encuentra en un v;rtice v;rtice o punto extremo de la re%ión 5actible'







del problema' 4iempre empieza en una solución b
Proc%di'i%nto: Kodas las restricciones del modelo deben ser trans5ormadas a i%ualdades9 para poder establecer una solución b
E/ERCICIO DEL M8TODO SIMPLE7 E/EMPLO DE MA7IMI(ACIÓN UTILI(ANDO EL M8TODO SIMPLE7 (ontinuando con el problema anterior los pasos para resolver el problema por el m;todo simplex sonG

01 Expresar el problema en 5orma est
31 Obtener el ren%lón z ue consiste en convertir al 5unción ob:etivo en valores ne%ativos'







valo valore ress de la solu soluci ción ón se divi divide de dent dentro ro de los los valo valore ress de dic= dic=a a colu column mna9 a9 esco%iendo el menor valor 1 toda esa 5ila se convertir< en la 5ila pivote como se puede observar en la si%uiente tablaG

1 4e =acen los c
.' (omo no se tienen todav6a las variables de z en positivo9 entonces =a1 ue repetir los pasos - 1 / =asta ue todos los valores de z sean positivosG

(omo se puede observar en la tabla anterior anterior todos los valores de z son positivos9 positivos9 lo cual uiere decir se =a lle%ado a encontrar la solución óptima del problema ue es







Trabajo Programacion Lineal

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