UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI EXTENSIÓN REGIÓN CENTRO SUR ANACO- EDO- ANZOÁTEGUI
Programación lineal BACHILLERES: ANDREINA SOLANO INDIRA PÉREZ JOSÉ GARCÍA ANDREINA MARTÍNEZ MARBELLA LÓPEZ
Programación lineal FRANCIS GELVIZ MARZO, 2010
ÍNDICE INTRODUCCIÓN……………………………………………...…..02 DESARROLLO 1. Modelo Modelo de transport transportee ……………… ……………………… ………………… ………………03 ……03 1.1.
Método de la esquina noroeste…………… no roeste………………………09 …………09
1.2. 1.2. Méto Método do del del costo costo míni mínimo mo…… ………… ………… ………… ………… ………. ….14 14 1.3. 1.3. Méto Método do de aprox aproxim imac ació ión n Vogel… Vogel……… ………… ………… ………. …..1 .177 1.4. 1.4. Método Método de los mul multip tiplic licado adores res…… …………… …………… ………… …….21 .21 2. Modelo Modelo de asignación… asignación………… ………………… ………………… ………………… …………..30 ..30 2.1 2.1
Méto Método do de hú húng ngar aro… o……… ………… ………… ………… ………… ………. ….....…3 …311
3. Modelo Modelo de transbord transbordo……… o……………… ……………… ………………… ……………….4 …….400 CONCLUSIÓN……………………………………………………..48 BIBLIOGRAFIA………………………………………………...…49
2
Programación lineal INTRODUCCIÓN La Programación Lineal es una pequeña parte de una teoría matemática que se ha consolidado en el siglo XX con el nombre de Opti Optimi miza zaci ción ón.. En gene genera ral, l, se trat trataa de un conj conjun unto to de técn técnic icas as matem matemát ática icass qu quee inten intentan tan obten obtener er el mayo mayorr prove provech cho o posibl posiblee de sistemas económicos, sociales, tecnológicos,... cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millo millone ness de dó dóla lare ress a mucha muchass comp compañ añías ías y nego negoci cios os,, incluy incluyen endo do industrias medianas en distintos países del mundo. Segú Según n las cara caracte cterís rístic ticas as de las func funcion iones es del del proble problema ma y de las las variables se tienen diferentes tipos de problemas de Programación Mate Matemá máti tica ca.. Si toda todass las las func funcio ione ness del del prob proble lema ma,, ob obje jeti tivo vo y restr restric iccio cione ness son son linea lineales les,, se tiene tiene un probl problem emaa de Prog Program ramac ació ión n Lineal. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más más frecu frecuen ente, te, la PL tiene tiene much muchas as otra otrass po posi sibil bilid idad ades es.. De hech hecho, o, cualqui cualquier er problema problema cuyo cuyo modelo modelo matemáti matemático co se ajuste ajuste al formato formato general del modelo de PL es un problema de PL. En este trabajo describiremos algunos métodos como lo son el método de transporte, asignación y transbordo con el propósito de conocer más sobre los problemas lineales y sus soluciones posibles.
3
Programación lineal 4. MODELO MODELOS S DE TRANSP TRANSPORT ORTE: E: Es una clase especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un articulo desde sus fuentes (es decir, fábricas) hasta sus destinos (es decir, bodegas). El objetivo es determinar el programa de transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y dema demand nda. a. En el mode modelo lo se supo supone ne qu quee el cost costo o de tran transp spor orte te es proporcional a la cantidad de unidades transportadas en determinada ruta. En general, se pude ampliar el problema de transporte a otras áreas de operación, entre otras el control de inventarios, programación de empleos y asignación de personal.
Descripción general de un modelo de transporte: 1) Un conjunto de m puntos de suministro a partir de los cuales se
envía un bien. El punto i de suministro abastece a lo sumo S i unidades. 2) Un conjunto de n puntos de demanda a los que se envía el bien.
El punto de demanda j debe de recibir por lo menos d j unidades del bien enviado. 3) Cada unidad producida en el punto de suministro i y enviada al
punto de demanda j incurre en el costo variable c ij. Sea X ijij= número de unidades enviadas desde el punto de suministro i y
envi enviad adaa al pu punt nto o de dema demand ndaa j ento entonc nces es la form formul ulac ació ión n de un problema de transporte es:
4
Programación lineal min s.a: (Restricciones de suministro) (Restricciones por demanda) xij
. •
Si el problema es un transporte equilibrado entonces se dice:
Entonces el suministro total es igual a la demanda, siendo así se podría escribir como: min s.a (Restricciones de suministro) (Restricciones de demanda) xij
. •
Si el problema es un transporte no equilibrado debido al que el suministro total excede a la demanda total, entonces se tiene lo siguiente:
5
Programación lineal a. Se debe debe de crear crear un punto punto de demand demandaa fictic ficticio io que tiene tiene una demanda igual a la cantidad de suministro en exceso. b. A los puntos puntos de demanda demanda ficticios ficticios se les asigna asigna un costo costo cero, cero, ya que, no son envíos reales.
•
Si el problema es un transporte no equilibrado debido al que el suministro total es menor que la demanda total, entonces se tiene lo siguiente:
a. Si es estricta estrictament mentee menor no tiene tiene soluci solución ón factibl factible. e. b. b. Se perm permit itee la po posi sibi bili lida dad d de deja dejarr sin sin sati satisf sfac acer er part partee de la demanda. c. (En (En este este tipo tipo de situ situac ació ión n se asoc asocia ia un unaa pena penali liza zaci ción ón con con la demanda no cumplida). La estructura especial de un problema de transporte permite asegurar que haya una solución básica no artificial de inicio, obtenida con uno de los métodos siguientes: 1. Método Método de de la esquina esquina noroes noroeste te 2. Métod Método o del del costo costo mínimo mínimo 3. Método Método de de aproxi aproximaci mación ón de de Vogel Vogel 4. Método Método de multipli multiplicad cadore oress
Ejemplo 1:
6
Programación lineal Corpower tiene tres centrales eléctricas que cubren las necesidades de cuatro ciudades. Cada central suministra los números siguientes de kilowatts-hora (kwh) de electricidad: Planta 1= 35 millones Planta 2= 50 millones Planta 3= 40 millones Las deman demanda dass de po pote tenc ncia ia pico pico en esta estass ciuda ciudade dess que ocurr ocurren en al mismo tiempo (2p.m), son como sigue (en kwh): Ciudad 1= 45 millones Ciudad 2= 20 millones Ciudad 3= 30 millones Ciudad 4= 30 millones. Los costos por enviar un millón de kwh de electricidad de la planta a la ciudad dependen de la distancia que debe viajar la electricidad. Formule un PL para minimizar el costo de satisfacer la demanda de potencia pico de esta ciudad.
A De
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministros (millones de kwh)
Planta1 Planta 2 Planta 3
$8 $9 $14
$6 $12 $9
$10 $13 $16
$9 $7 $5
35 50 40 7
Programación lineal Demanda
45
20
30
30
(millones de (kwh)
Tabla1: Costos de envió y demanda para Corpower
Solución: Paso 1: Se comienza por definir una variable para cada decisión que
debe tomar Corpower. Debido a que Corpower debe de determinar cuanta potencia se envía desde cada planta a cada ciudad, se define (para i= 1, 2,3 y j=1, 2, 3,4) xij = numero de (millones) de kwh producidos en la planta i y enviados
a la ciudad j. Escrib ibir ir en térm términ inos os de las las vari variab able les, s, el cost costo o tota totall de Pas Paso o 2: Escr suministrar las demanda de potencia pico a las ciudades de 1 a 4, de la siguiente manera: 8x11+6x12+10x13+9x14 (Costo de enviar potencia desde la planta 1) +9x21+12x22+13x23+7x24 (Costo de enviar potencia desde la planta 2) +14x31+9x32+16x33+5x34 (Costo de enviar potencia desde la planta 3) Paso 3: Escribir las restricciones. Corpower presenta dos tipos de
restricciones, la primera es que, la potencia total suministrada por cada planta no puede exceder la capacidad de la planta, lo que se conocería conocería como como
rest restri ricc ccio ione ness
de
sumi sumini nist stro ro..
Segu Segund nda, a,
son son
nece necesa sari rias as
restricciones que aseguren que cada ciudad recibirá potencia suficiente
8
Programación lineal para satisfacer su demanda pico, esta restricción se conocerá como restricción por demanda. Lo cual se escribe de la siguiente manera:
Restricciones por suministro.
x11+x12+x13+x14
(Restricción de suministro de la planta 1)
x21+x22+x23+x24
(Restricción de suministro de la planta 2)
x31+x32+x33+x34
(Restricción de suministro de la planta 3)
Restricciones por demanda.
x11+x21+x31
(Restricción de demanda de la ciudad 1)
x12+x22+x32
(Restricción de demanda de la ciudad 2)
x13+x23+x33
(Restricción de demanda de la ciudad 3)
x14+x24+x34
(Restricción de demanda de la ciudad 4)
Paso 4: Colocar la restricción de no negatividad, puesto que, las x ij
deben de ser no negativas. x ij≥0∀ Paso 5:
Min
z
Escribir la formulación del problema lineal =8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+14x31+9x32
+16x33+5x34 s.a
9
Programación lineal x11+x12+x13+x14 x21+x22+x23+x24
Restricciones de suministro
x31+x32+x33+x34
x11+x21+x31 x12+x22+x32
Restricciones de demanda
x13+x23+x33 x14+x24+x34 xij≥0∀ Paso 6 : Hallar la solución optima a través de alguno de los métodos
utilizados para resolver problemas de este tipo, ya sea, el método de la esquina ina
NOROE OROES STE, TE,
costo
meno norr,
apro proxima imación
Vogel
o
multiplicadores. (Los cuales serán descritos más adelante). De esta manera se encuentran planteados los problemas de transporte y las características vistas anteriormente son las que se presentan en estos.
4.1 Método Método de la la noroest noroeste. e. Este método comienza en la celda (ruta) de la esquina noroeste, o superior izquierda de la tabla (variable x 11).
10
Programación lineal Paso 1: Asignar todo lo mas que se pueda a la celda seleccionada y
ajus ajustar tar las las canti cantida dade dess asoci asociad adas as de ofert ofertaa y deman demanda da resta restand ndo o la cantidad asignada. Paso 2: Salir del renglón o la columna cuando se alcance la oferta o
demanda cero, y tacharlo para indicar que no se puede hacer mas asignaciones a ese renglón o columna. Si un renglón o una columna dan cero al mismo tiempo, tachar solo uno el renglón o la columna y dejar una oferta (demanda) cero en el renglón (columna) que no se tachó. qued edaa exac exactam tamen ente te un reng renglón lón o colum columna na sin tacha tachar, r, Pas Paso o 3: Si qu detenerse. En caso contrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se tachó un renglón. Seguir con el paso 1.
Ejercicio nº1: (Método de la esquina noroeste) Siguiendo con el ejemplo dado anteriormente de Corpower tenemos la sigu siguie ient ntee form formul ulac ació ión, n, aplic aplicar arem emos os el mé méto todo do de la esqu esquin ina a noroeste para hallar una solución óptima. ó ptima.
Corpower tiene tres centrales eléctricas que cubren las necesidades de cuatro ciudades. A De
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministros (millones de kwh)
Planta1 Planta 2 Planta 3
$8 $9 $14
$6 $12 $9
$10 $13 $16
$9 $7 $5
35 50 40 11
Programación lineal Demanda
45
20
30
30
(millones de (kwh)
Los costos por enviar un millón de kwh de electricidad de la planta a la ciudad dependen de la distancia que debe viajar la electricidad. Formule un PL para minimizar el costo de satisfacer la demanda de potencia pico de esta ciudad.
Min
z
=8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+14x31+9x32
+16x33+5x34 s.a x11+x12+x13+x14 x21+x22+x23+x24
Restricciones de suministro
x31+x32+x33+x34 x11+x21+x31 x12+x22+x32
Restricciones de demanda
x13+x23+x33 x14+x24+x34 xij≥0∀ Realizamos una tabla con el suministro y las demandas Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministro
12
Programación lineal Planta 1
35
8
//////////
6
///////////10
Planta 2
10
9
20
12
20
9
10
Planta 3
14
////////// 45
/////////// 20
/////////// 9
35
13
/////////// 7
50
16
30
30
5
40
30
Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda de electricidad es: Z= 35x8+10x9+20x12+20x13+10x16+30x5= 1180.
Ejercicio nº2: (Método de la esquina noroeste) Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la dema demand ndaa de 4 clie client ntes es qu quee requ requie iere ren n 5, 15 15,, 15 y 10 un unid idad ades es respectivamente. Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla: Clientes
Almacén 1 2 3
1 10 12 0
2 0 7 14
3 20 9 16
4 11 20 18
Solución: Realizando la tabla: Almacén
Cliente 1
Cliente 2
1
5
2
//////////
12
3
//////////
0
10
Cliente 3
10
0
5
7
Cliente 4
/////////// 20 /////////// 11 15
9
/////////// 14 ////////// 16
Oferta
15
5
20
25
5
18
5 13
Programación lineal
Demanda
5
15
15
10
Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda es: Z= (5x10) + (10x0) + (5x7) + (15x9) + (5x20) + (5x18) Z= 410
Ejercicio nº3: (Método de la esquina noroeste) Una Una compa compañía ñía de renta renta de autos autos tien tienee prob problem lemas as de distri distribu buci ción ón debido a que los acuerdos de renta permiten que los autos se entreguen en lugares diferentes diferentes a aquellos en que originalmente fueron rentados. Por el momento hay 2 lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso respectivamente y 4 lugares (destinos) en los que se requieren 9; 6; 7 y 9 autos respectivamente. Los costos de transporte en dólares entre los lugares son los siguientes: Destino Origen 1 2 3 1 45 17 21 2 14 18 19 Demanda 9 6 7 Al sumar la demanda y la oferta notamos que la Oferta
4 30 31 9 Demanda
Oferta= 9 +6 + 7 + 9=31 Demanda= 15 +13=28 Oferta
Demanda, Demanda, ya que faltan 3 de oferta, coloco otro renglón renglón para para
tener 3 en oferta y las demás casillas las relleno con cero. 14
Programación lineal Origen
Lugares 1
1
9
2
//////////
3
//////////
Demanda:
9
Lugares 2
45
6
17
14
//////////
18
0
/////////// 0 6
Lugares 3
Lugares 4
/////////// 21 /////////// 30 19
6
////////// 0
3
7
7
31 0
15 13 3
9
Z= (9x45) + (6x17)+ (7x19)+ (6x31)+ (3x0) Z= 826$
4.2 Método Método del costo mínim mínimo. o. Este método determina una mejor solución de inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Paso 1: Se inicia asignando todo lo posible a la celda que tenga el
mínimo costo unitario (los empates se rompe en forma arbitraria). rengló lón n o la colu column mnaa ya sati satisf sfec echo hoss se tach tacha, a, y las las Pas Paso o 2: El reng cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. satisface cen n en forma forma simultá simultáne neaa Paso 3: Si se satisfa
un rengló renglón n y un unaa
columna al mismo tiempo, solo se tacha uno de los dos, igual que en el método de la esquina noroeste. Paso 4: Se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se
repite el proceso hasta que quede sin tachar exactamente exactamente un renglón o una columna.
15
Programación lineal
Ejercicio nº1: (Método del costo mínimo) Siguiendo con el ejemplo dado anteriormente de Corpower tenemos la siguiente formulación, aplicaremos el método del costo mínimo para hallar una solución óptima.
Corpower tiene tres centrales eléctricas que cubren las necesidades de cuatro ciudades. A De
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministros (millones de kwh)
Planta1 Planta 2 Planta 3 Demanda
$8 $9 $14 45
$6 $12 $9 20
$10 $13 $16 30
$9 $7 $5 30
35 50 40
(millones de (kwh)
Los costos por enviar un millón de kwh de electricidad de la planta a la ciudad dependen de la distancia que debe viajar la electricidad. Realizamos una tabla con el suministro y las demandas Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 4
Suministro
///////////10
/////////// 9
35 50
Planta 1
15
8
Planta 2
30
9
//////////
12
20
13
/////////// 7
14
///////////
9
10
16
30
Planta 3
////////// 45
20
20
6
Ciudad 3
30
5
40
30
16
Programación lineal Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda de electricidad es: Z= (15x8) + (20x6) + (30x9) + (20x13) + (10x16) + (30x5)= 1080
Ejercicio nº2: (Método del costo mínimo) Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la dema demand ndaa de 4 clie client ntes es qu quee requ requie iere ren n 5, 15 15,, 15 y 10 un unid idad ades es respectivamente. Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla: Cliente
Almacén 1 2
3
1 10 12 0
2 0 7 14
3 20 9 16
4 11 20 18
Solución: Realizando la tabla: Almacén
Cliente 1
Cliente 2
1
//////////
10
2
//////////
12
3
5
Demanda
5
0
15 //////////
0
Cliente 3
Cliente 4
/////////// 20
0
7
15
9
/////////// 14 ////////// 16 15
15
10 //////////
Oferta
11
15
20
25
18
5
10
Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda es: Z= (15x0) + (15x9) + (10x20) + (5x0) + (0x11) =335 17
Programación lineal 4.3 Método de Aproximación Vogel.
Es una versión mejorada del método del costo mínimo, que en general produce mejores soluciones de inicio. Determin minar ar para para cada cada reng renglón lón (colu (columna mna)) un unaa medid medidaa de Pas Paso o 1: Deter penalización restando el elemento del costo unitario mínimo en el rengl renglón ón (colu (columna mna)) del del eleme elemento nto con con costo costo un unita itario rio sigu siguien iente te al mínimo del mismo renglón (columna). Paso 2: Identificar el renglón o columna con mayor penalización.
Romper los empates en forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la varia variable ble qu quee tenga tenga el mínimo mínimo costo costo un unita itario rio del del reng rengló lón n colu columna mna seleccionado. Ajustar la oferta y la demanda y tachar el renglón o la columna ya satisfechos. Si se satisfacen un renglón y una columna en forma simultánea, solo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna oferta o demanda cero. Paso 3:
a) Si queda sin tachar exactamente un renglón o columna con cero oferta o demanda, detenerse. b) Si queda sin tachar un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva, positiva, determinar determinar las variables variables básicas en el renglón (columna) (columna) con el método del costo mínimo. Detenerse.
18
Programación lineal c) Si todos los renglones y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda (restante), determinar las variables básicas cero por el método del costo mínimo. Detenerse. d) En cualquier otro caso, seguir en el paso 1.
Ejercicio nº1: (Método de Aproximación Vogel) Siguiendo con el ejemplo dado anteriormente de Corpower tenemos la siguiente siguiente formulación, formulación, aplicarem aplicaremos os el método método de Aproximac Aproximación ión Vogel para hallar una solución óptima.
Corpower tiene tres centrales eléctricas que cubren las necesidades de cuatro ciudades. A
De Planta1 Planta 2 Planta 3 Demanda
Ciudad
Ciudad
Ciudad
Ciudad
1
2
3
4
$8 $9 $14 45
$6 $12 $9 20
$10 $13 $16 30
$9 $7 $5 30
Suministros (millones de kwh) 35 50 40
(millones de (kwh)
Los costos por enviar un millón de kwh de electricidad de la planta a la ciudad dependen de la distancia que debe viajar la electricidad. Realizamos una tabla con el suministro y las demandas
Ciudad 1
Planta 1
8
Ciudad 2 6
Ciudad 3 10
Ciudad 4 9
Suministro 35 19
Programación lineal
Planta 2
9
12
13
7
50
Planta 3
14
9
16
5
40
45
20
30
30
Procedemos a obtener las penalizaciones. Ciudad 1 Planta 1 Planta 2 Planta 3
//////
8
40 9 //////
14
45
Ciudad2
Ciudad 4
Suministro
Penalización de renglón
25
10
///////
9
35
P1 P2 P3 P4
////// 12
5
13
///////
7
50
2
2
2
2
10 9
///////
16
5
40
2
3
3
4
4
5
-
-
10
20
6
Ciudad 3
30
30 30
Penalización por columna P1
9-8=1
9-6=3
13-10=3
P2
9-8=1
9-6=3
13-10=3
-
P3
9-8=1
12-6=6
13-10=3
-
- =
-
-
=
7-5=2
-
Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda de electricidad es: Z= (10x6) + (25x10) + (40x9) + (5x13) + (10x9) + (30x5)= 975
Ejercicio nº2: (Método del costo mínimo) Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la 20
Programación lineal dema demand ndaa de 4 clie client ntes es qu quee requ requie iere ren n 5, 15 15,, 15 y 10 un unid idad ades es respectivamente. Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla: Cliente
Almacén 1 2 3
1
2
3
4
10 12 0
0 7 14
20 9 16
11 20 18
Solución: Realizando la tabla:
Almacén Cliente 1
Cliente 2
Cliente 3
Cliente 4
Oferta
1
10
0
20
11
15
2
12
7
9
20
25
3
0
14
16
18
5
Demanda
5
15
15
10
Luego asignamos las penalizaciones: Almacén
Cliente 1
1
0
10
2
0
3
5
Cliente 2
5
0
12
10
7
0
///// 14
Cliente 3
/////
20
Cliente 4
Oferta
10 11
15
P1 P2 P3 10 11 11
15 9
/////
20
25
///// 16
/////
18
5
Penalización de renglón
7
2 13
14 - 21
Programación lineal
Demanda
5
15
15
10
Penalización por columna P1
10-12=2
7-0=7
16-9=7
18-11=7
P2
-
7-0=7
20-9=11
20-11=9
P3
-
7-0=7
-
20-11=9
Luego hacemos el cálculo tomando los datos de la tabla optima. El costo para satisfacer la demanda es: Z= (10x0) + (12x0) + (5x0) + (10x11) + (10x7) + (15x9) + (5x0)=315 4.4
Método de los multiplicadores Este Este méto método do tien tienee su raíz raíz en la teor teoría ía de la du dual alid idad ad en
programación programación lineal. En este método se asocian asocian los multiplicadores multiplicadores ui y vi al renglón i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable xij estos multiplicadores satisfacen las ecuaciones siguientes: ui +v j = cij , para cada xij básica
Para la reso resolv lver er las las ecua ecuaci cion ones es con con el méto método do de los los Pas Paso o 1: Para multiplicadores debe de partirse del hecho de que se necesita igualar, en forma arbitraria, ui = 0 Resolver las variabl variables es restant restantes es sustitu sustituyen yendo do el resulta resultado do Paso 2: Resolver encontrado en la otra ecuación para despejar la siguiente incógnita. Paso 3: ahora usamos ui y v j para evaluar las variables no básicas,
calculando ui +v j - cij para cada xij no básica.
22
Programación lineal Paso 4: La información obtenida en el paso 4 equivaldrá a calcular el
renglón de z de la tabla simplex. Paso 5: Debe de determinarse quien entra y quién sale. Paso 6: Se forma un ciclo cerrado que comienza y termina en la celda
de la vari variab able le de entr entrad ada. a. El cicl ciclo o cons consis iste te solo solo en segm segmen ento toss horizon horizontale taless y vertica verticales les conecta conectados dos (no se permite permiten n diagona diagonales) les).. Excepto para la celda de la variable de entrada, cada esquina debe de coincidir con una variable básica. Existe exactamente un ciclo para determinar la variable de entrada. Paso Paso 7: Se Se asigna asigna la cantid cantidad ad
a la celda celda de de la vari variable able de entra entrada. da.
Para que se sigan satisfaciendo los limites de oferta y demanda, se debe debe alte altern rnar ar entr entree resta restarr y suma sumarr la cant cantid idad ad
en las las esqui esquina nass
sucesivas del ciclo. (No importa si el circuito se recorre en sentido de las las maneci manecilla llass del reloj reloj o al contrar contrario io). ). El valor valor de
será será el valor valor
positivo más pequeño del ciclo. Paso 8: Con la nueva solución básica se repite el cálculo de los multiplicadores hasta que no hallan variables de entrada.
Ejercicio nº1: (Método de los multiplicadores) Siguiendo con el ejemplo dado anteriormente de Corpower tenemos la
siguiente
formulación,
aplicaremos
el
método
de
los
multiplicadores para hallar una solución óptima.
Corpower tiene tres centrales eléctricas que cubren las necesidades de cuatro ciudades.
23
Programación lineal A De
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministros (millones de kwh)
Planta1 Planta 2 Planta 3 Demanda
$8 $9 $14 45
$6 $12 $9 20
$10 $13 $16 30
$9 $7 $5 30
35 50 40
(millones de (kwh)
Los costos por enviar un millón de kwh de electricidad de la planta a la ciudad dependen de la distancia que debe viajar la electricidad. Formule un PL para minimizar el costo de satisfacer la demanda de potencia pico de esta ciudad. Realizamos una tabla con el suministro y las demandas Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministro
/////////// 9
35 50
Planta 1
35
8
//////////
6
///////////10
Planta 2
10
9
20
12
20
13
/////////// 7
9
10
16
30
Planta 3
////////// 45
14
/////////// 20
30
5
40
30
Los valo valore ress de ui y v j se deter determin minan an al resol resolve verr las las ecua ecuacio cione ness siguientes. u1=0 (ecuación 1) u1 + v1 =8 (ecuación 2) u2 + v1 =9 (ecuación 3)
24
Programación lineal u3 + v1 =14(ecuación 4) u2 + v2 =12 (ecuación 5) u2 + v3 =13 (ecuación 6) u3 + v3 =16 (ecuación 7) u3 + v4 =5 (ecuación 8)
De (2), v1 = 8, de (8) u2 =1, entonces (4) produce v2 =11, y (6) da como resultado v3 = 12. De (7), u3 =4. Por último, (8) da v4=1. Para cada variable no básica ahora se calcula cij 0=ui +v j - cij Para x12
0 + 11 – 6=5
Para x13
0 + 1 – 9= -8
Para x14
4+8 – 14= -2
Para x24
0+12 – 10=2
Para x31
1+1 - 7= -5
Para x32
4+11 – 9=6
Debido a que para x32 es el valor positivo más grande, a continuación se introducirá en la tabla Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Suministro
/////////// 9
35
/////////// 7
50
Planta 1
35
8
//////////
6
///////////10
Planta 2
10
9
20
12
20
13
25
Programación lineal Planta 3
14
////////// 45
Ciudad 1 Planta 1
35
Planta 2
10
Planta 3
9
//////////
5
30
30
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
//////////
6
///////////
20- =10
12
20+
9
10-
14
45
30
20
8
9
16
10
20
10
30 13
Suministro 9
/////////// ///////////
7
35 50
5
30
16
30
40
40
30
X32 ya se introdujo a la base y X 12 entra a continuación:
8
v j= ui =0 =0
35
1
10
-2
11 8
//////////
//////////
9
10
14
10
45
12 6
///////////
12
30 9
20
7 10
13
9
/////////// ///////////
16
30
Suministro
7
50
5
30
35
40
30
Ya se introdujo x 13 entra a continuación x 31
v j=
8
ui =0 =0
25
1
20
3
11 8
//////////
9
//////////
6
///////////
12
14
45
12
10
30
9
20
7 10
13
9
/////////// ///////////
16
30
Suministro
7
50
5
30
35
40
30
Tabla optima Corpower
v j= ui =0 =0
6
6 8
10
10 6
///////////
2 10
///////////
Suministro 9
35
26
Programación lineal
3
40
9
3
//////////
14
45
12
5
9
10
20
13
7
///////////
16
30
5
30
50 40
30
Para hallar la solución óptima se tuvieron que resolver las ecuaciones siguientes: u1=0 u2 + v1 =9 u3 + v4 =5 u1 + v2 =6 u2 + v3 =13 u1 + v3 =10 u3 + v2 =9
Ejercicio nº2: (Método de los multiplicadores) Almacén Cliente 1 1
5
10
2
12
3
4
Demanda
Cliente 2
5
u1 + v1
10
2
5
7
15
Cliente 4
20
15
14
Vari Variab able le bás básic icaa Ecua Ecuaci ción ón (u,v)
x 11 11
Cliente 3
9
16
15
11
5 10
Oferta 15
20
25
18
10
15
Solución
u1 =0--- v1 =10
27
Programación lineal =10 x 12 12
u1 + v2 =2
u1= 0--- v2 =2
x 22 22
u2 + v2 =7
v2 =2---u2 =5
x 23 23
u2 + v3 =9
u2 =5--- v3 =4
x 24 24
u2 + v4 =20
u2 =5--- v4 =15
X 34 34
u3+ v4 =18
v4 =15---u3=3
Resumiendo se tienen u1 =0, u2 =5, u3=3 v1 =10, v2 =2, v3 =4, v4 =15
A continuación se usan ui y v j para evaluar las variables no básicas, calculando
ui +v j - cij para cada x cada xij no básica
Los resultados de estas evaluaciones se ven en la siguiente tabla:
Variable no básica ui +v j - cij x 13 13
0-4-20=-16
x 14 14
0+15-11=4
x 21 21
5-10-12=3
x 31 31
3-10-4=9
x 32 32
3-2-14=-9
x 33 33
3-4-16=-9
x 31 31 es la variable de entrada 28
Programación lineal v1 =10
5
u1 =0
v2 =2 10
u2 =5
12
u3=3
4
Demanda
5
10
5-
12
u2 =5
10
2
5
7
16
5 10 15
v2 =2
v3 =4
v4 =15
10+
2
5-
7
15
14
4
5
9
15
15
9
Demanda
11
15
3
u3=3
v4 =15 20
14
v1 =10 u1 =0
v3 =4
25
18
10
11
-16
4
16
-9
20
20
9
20
5+
18
10-
15
15 25 10
-9
15
15
15
El valor máximo de es 5, que se presenta presenta cuando tanto x 11 11 como x 22 22 llegan a nivel cero. Como una sola variable básica actual debe salir de la solución básica, se puede escoger entre x 11 11 o x 22 22 como variable de salida. En forma arbitraria escogeremos a x 11 11 para que salga de la solución. La selección de x 31 31 (=5) como variable de entrada y x 11 11 como variable de salida requiere el ajuste de los valores de la variables básicas en las esquinas del ciclo cerrado, como se mostrara en la tabla. Como cada unidad que se transporta por la ruta (3,1) reduce el costo de transporte transporte en $9 (= u3+ v1 – c31), el costo total asociado con el nuevo programa es $9 x5= $45 menos, en consecuencia el costo nuevo es $529-$45=$475. v1 =1
v2 =2
u1 =0
10
u2 =5
12
15-9
-
0+ -6
+
v3 =4 20
2
7
v4 =15
15
-16
11
+ 9
10-
15
4 20
25
-
29
Programación lineal
u3=3
5
Demanda
5
4
14
-9
15
16
15
-9
5
18
10
15
Con la nueva solución básica se repite el cálculo de los multiplicadores u y v, como se ve en la tabla anterior. La variable de entrada es x 14 14 . El ciclo cerrado indica que x 14 14 =10 y que la variable de salida es x 24. 24.
Proseguimos a la siguiente tabla.
Proseguimos a la siguiente tabla. v1 =-3
v2 =2
u1 =0
10
u2 =5
12
u3=7
4
Demanda
5 5
5 -13
v3 =4 2
-10
20
7
10
15
14
15
-5
v4 =11
10
-16
4
9
16
15
-5
11
5
15
20
25
18
10
15
Aquí, podemos observar la nueva solución: cuesta $4 x 10=$40 menos que la anterior, y el costo nuevo será así $475 x $40=$43. $40=$43. Los nuevos valores ui +v j - c ij son ahora negativos para todas las xij no básica. Por consiguiente la solución es óptima.
2. Modelo de asignación.
30
Programación lineal Un prob problem lemaa de asig asignac nació ión n es un prob problem lemaa de tran transp sport ortee equilibrado en el que los suministros y demandas son iguales a 1. Un problema de asignación asignación de m x m se podría resolver de manera eficaz por por medi medio o del del méto método do hú húng ngar aro. o. Lo Loss prob proble lema mass de asig asigna naci ción ón presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la dema demand ndaa en cada cada dest destin ino, o, como como se menc mencio iono no ante anteri rior orme ment nte. e. El pro probl blem emaa debe debe su no nomb mbre re a la apli aplica caci ción ón part partic icul ular ar de asig asigna nar r hombres a trabajos (o maquinas a trabajos), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada a una persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problema tenga solución, solución, es que se encuentre balanceado, balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales. El mode modelo lo de asig asigna naci ción ón tien tienee sus sus prin princi cipa pale less apli aplica caci cion ones es en traba trabajad jadore ores, s, ofici oficina nass al perso persona nal, l, vehíc vehículo uloss a ruta rutas, s, maqui maquina nas, s, vendedores a regiones, productos a fabricar, entre otros. El método para resolver problemas de asignación es, el método de húngaro.
2.1 Método de húngaro. a. Caso de minimización:
Revisa sarr qu quee toda todass las las casi casill llas as teng tengan an su cost costo o un unit itar ario io Pas Paso o 1: Revi correspondiente. Si alguna no lo tiene asignarlo en términos del tipo de matriz y problema considerado.
31
Programación lineal Balancea cearr el modelo modelo,, es decir decir ob obten tener er m=n (obt (obten ener er un unaa Paso 2: Balan matriz cuadrada). En donde m= numero de renglones. En donde n= numero de columnas Todo renglón o columna tendrá un costo (beneficio) unitario de cero. Paso 3: Para cada renglón escoger el menor valor y restarlo de todos
los renglón. Paso 4: Para cada columna escoger el menor valor y restarlo de todos
los demás en la misma columna. Paso 5: Trazar el mínimo número de líneas verticales y horizontales
de forma tal que todos los ceros queden tachados. Paso 6: Revisar si es óptima, mediante las siguiente pregunta: ¿El número de la línea es igual al orden de la matriz?
-Si, el modelo es optimo y por tanto hacer la asignación y traducir la solución. La asignación se debe hacer en las casillas donde haya ceros cuidando que cada región y cada columna tengan una sola asignación. -No, pasar al siguiente punto. Paso 6: Seleccionar el menor valor no tachado de toda la matriz. El
valor restarlo de todo elemento no tachado sumarlo a los elementos en la interacción de dos líneas. Paso 7 : Regresar el paso 4 32
Programación lineal b. Caso Caso de maximi maximizac zación ión:: Metodología:
beneficio. Paso 1: Seleccionar el mayor elemento de toda la matriz de beneficio. Este valor restarlo de todos los demás, los valores negativos que se obte ob teng ngan an los los cost costos os de op opor ortu tuni nida dad, d, lo qu quee se deja deja de gana ganarr o producir. Paso 2: Para el caso de la solución del modelo considerar solo los
valores absolutos. Con esta transformación se ha obtenido un modelo de minimización y por tanto resolverlo como tal.
Ejercicio nº1: (Método de húngaro) Los tres hijos de Joe Klyne, Jhon, Karen y Terry, quieren ganar algo para sus gastos personales, durante un viaje de la escuela al zoológico. El señor Klyne ha destinado tres tares para sus hijos: podar el pasto, pintar la cochera, lavar los autos de la familia. Para evitar discusiones, les pide que presenten ofertas secretas de lo que crean que es un pago justo para cada una de las tres tareas. Se sobreentienden que después los tres obedecerán la decisión de su papa sobre quien hace cual tarea. La siguiente tabla resume las ofertas recibidas: Podar Pintar Lavar John
$15
$10
$9
Karen $9
$15
$10
Terry
$12
$8
$10
Con base en esta información ¿Cómo debe asignarse las tareas el señor Klyne? 33
Programación lineal Paso 1: en la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón. Paso 2: En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3: Identificar la solución optima como la asignación factible asociada a los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.
Siendo pi y q j los costos mínimos del renglón i y la columna j, como se definieron en los pasos uno y dos, respectivamente. Los mínimos de renglón del paso 1 se calculan con la matriz original de costo. Podar Pintar Lavar Mínimo del renglón John
$15
$10
$9
p1 =9
Karen $9
$15
$10
p2=9
Terry
$12
$8
p3=8
$10
A continuación se resta el mínimo de cada renglón para obtener la matriz reducida. Podar John
Lavar
$15-$9=6 $10-$9=1 $9-$9=0
Karen $9-$9=0 Terry
Pintar
$15-$9=6 $10-$9=1
$10-$8=2 $12-$8=4 $8-$8=0
Quedándonos de la siguiente manera: Podar Pintar Lavar
34
Programación lineal John
6
1
0
Karen
0
6
1
Terry
2
4
0
q2 =1
q3 =0
Mínimo
de
la q1 =0
columna La aplicación del paso 2 produce los mínimos de la columna, columna, al restar esos valores a la columna obtenida se tiene la matriz reducida: Podar Pintar Lavar John
6
0
0
Karen 0
5
1
Terry
3
0
2
Podar Pintar Lavar John
6
0
0
Karen 0
5
1
Terry
3
0
2
Las celdas con elemento cero subrayados son la solución óptima. Eso quiere decir que Jhon va a pintar la cochera, Karen podara el pasto y Terry lavara los autos. El costo total para el señor Klyne será: 9+10+8=$27
Ejercicio nº2: (Método de húngaro) Machineco tiene 4 maquinas y 4 tareas por completar. Cada máquina se debe asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada máquina para completar cada tarea se muestra en la 35
Programación lineal tabla tabla.. Mach Machine ineco co dese deseaa redu reducir cir el tiempo tiempo de prep prepara aració ción n total total necesario para completar las 4 tareas.
Tiempo (Horas) Máquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1
14 14
5
8
7
2
2
12
6
5
3
7
8
3
9
4
2
4
6
10
Tabla de preparación para Machineco Buscamos el mínimo del renglón:
Tiempo (Horas) Máquin
Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 Mínimo del renglón
a 1
14
5
8
7
5
2
2
12
6
5
2
3
7
8
3
9
3
4
2
4
6
10
2
36
Programación lineal A continuación se resta el mínimo de cada renglón para obtener la matriz reducida.
Tiempo (Horas) Máquin
Tarea 3 Tarea 4 Mínimo del renglón
Tarea 1 Tarea 2
a 1
14-5=9
5-5=0
8-5=3
7-5=2
5
2
2-2=0
12-2=10
6-2=4
5-2=3
2
3
7-3=4
8-3=5
3-3=0
9-3=6
3
4
2-2=0
4-2=2
6-2=4
10-2=8
2
Quedándonos de la siguiente manera:
Tiempo (Horas) Máquina
Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4
1
9
0
3
2
2
0
10
4
3
3
4
5
0
6
4
0
2
4
8
37
Programación lineal Mínimo de
0
0
0
2
columna
La aplicación del paso 2 produce los mínimos de la columna, columna, al restar esos valores a la columna obtenida se tiene la matriz reducida:
Tiempo (Horas) Máquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1
9
0
3
0
2
0
10
4
1
3
4
5
0
4
4
0
2
4
6
Tiempo (Horas) Máquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1
9
0
3
0
2
0
10
4
1
3
4
5
0
4
4
0
2
4
6
38
Programación lineal
El elemento más pequeño es igual a 1, así que ahora se resta 1de cada elemento no cubierto en la matriz de costos reducidos y se agrega uno a cada elemento cubierto 2 veces.
Tiempo (Horas) Máquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1
10 10
0
3
0
2
0
9
3
0
3
5
5
0
4
4
0
1
3
5
Tiempo (Horas) Máquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1
10 10
0
3
0
2
0
9
3
0
3
5
5
0
4
4
0
1
3
5
39
Programación lineal Las celdas con elemento cero subrayados son la solución óptima. Eso quiere decir que la maquina 1 va realizar la tarea 2, la maquina 2 la tarea 4, la maquina 3 la tarea 3 y la maquina 4 la tarea 1. Se requiere un tiempo total de preparación de: 5+2+3+2= 12
3. Mode Modelo lo de de trans transbo bord rdo. o. Se trata de enviar bienes enviar bienes (cantidades) desde un punto i, a únicamente destinos destinos finales j. El enví envío o no se prod produc ucee entr entree oríg orígen enes es o entr entree destinos, tampoco entre destinos a orígenes. El modelo de trasbordo nos demuestra que resulta más económico (minimizar costos costos)) enviar a través de nodos intermedios intermedios o transitorios transitorios antes de llegare al punto de destino final. Este modelo se puede convertir y resolver como un modelo de transporte normal, usando la idea del amortiguador.
Clases de Nodos: • Nodos origen puro: Solo actúan como origen o envían.
•No •N odos destin tino puro: ro: Solo olo actúa túan como destin tino o rec reciben.
•Nodos intermedios: intermedios: Actúan como origen y destino a la vez, o reciben y envían.
40
Programación lineal
Con Con el me meto todo do sigu siguie ient ntee un prob proble lema ma de tran transb sbor ordo do se pued puedee transformar en uno de transporte equilibrado: Paso 1: Si es necesario necesario agregue un punto de demanda demanda ficticio (con un
sumi sumini nist stro ro de 0 y un unaa demn demnda da igua iguall al sumi sumini nist stro ro exce excesi sivo vo del del problema) problema) para equilibrar equilibrar el problema.los problema.los envios al punto ficticio y de un punto asi mismo, por supuesto, tienen un costo de envio cero. Sea s = suministro disponible total. Paso 2: cosntruya una tabla de transporte creando un renglon para
cada punto de suministro y punto de transbordo, y una columna para cada cada pu punt nto o de dema demand ndaa y pu punt nto o de tran transb sbor ordo do.. Cada Cada pu punt nto o de suministro tendra un suministro igual a su demanda original. Sea s = suministro suministro disponible disponible total. Entonces cada punto de transbordo transbordo tendra un suministro igual a (suministro original del punto) + s y un punto de demanda igual a (demanda original del punto) + s.
Ejercicio nº1: (Modelo de transbordo) 300 1
7
1 5 2
2
1
200 4
1
1
2
1
230
6 1 3
1 2
1
270
41
Programación lineal Oferta = Demanda=500
X1 X23 X24 X25 X35 X45 X46 X54 X57 X58 X67 4
7
Nodo
3
5
4
1
1
1
2
6
2
2
1
300
1 Nodo
1
1
1
200
2 Nodo
-1
1
3 Nodo
-1
-1
1
1
-1
4 Nodo
-1
-1
-1
1
1
1
5 Nodo
-1
1
6 Nodo
-1
-1 -230
7 Nodo
-1
-270
8
Ecuaciones de nodo de oferta pura:
Nodo 1: X14=300 42
Programación lineal Nodo 2: X23 + X24 + X25=200 Ec. Para nodos de demanda pura.
Nodo 7: - X57- X67= -230 Nodo 8: - X58= -270 Ecuaciones para nodos de transbordo: Nodo 3: - X23 + X35=0
X35= X23
Nodo 4: - X14 - X24 + X45 +X46 – X54 =0
X45 + X46 = X14 + X24 + X54
Nodo 5: -X25 – X35 – X45 +X54 + X57 + X58 =0 X54 + X57 + X58= X25 +X35 + X45 Nodo 6: - X46+ X67
X67 = X46
Agregamos una variable X iiii a los nodos de transbordo.
Nodo 3: X33 + X35 = X23+ X35 Nodo 4: X44+X45 + X46= X14 + X24 + X44+ X54 Nodo 5: X54 +X55 + X57 + X58= X25 +X35 + X45+X55 Nodo 6: X66+X67 = X46 +X66 Agre Agrega garr a las las ecua ecuaci cion ones es de tran transb sbor ordo do amo amortig rtigua uado dorr bú búfe fer r (B≥Oferta): B≥500
43
Programación lineal Nodo 3
X33 + X35≥500 X23+ X35≥500
Nodo 4
X44+X45 + X46≥500 X14 + X24 + X44+ X54≥500
Nodo 5
X54 +X55 + X57 + X58 ≥500 X25 +X35 + X45+X55≥500
Nodo 6 X66+X67≥500 X46 +X66≥500 TRANSBORDO
O.
Transbor
DP
3
4
5
6
7
8
1
M
X14
M
M
M
M
300
2
X23
X24
X25
M
M
M
200
3
X33
M
X35
M
M
M
500
4
M
X44
X45
X46
M
M
500
5
M
X54
X55
M
X57
X58
500
6
M
M
M
X66
X67
M
500
500
500
500
500
230
270
Ejercicio nº2: (Modelo de transbordo)
44
Programación lineal Se tiene el siguiente esquema de trasbordo, los nodos 1 y 3 envían (origen) (origen) y los nodos 4 y 5 reciben (destino). (destino). Hallar la solución solución óptima usando el modelo de trasbordo.
Clases de nodos: 2.Origen puro : Nodo 1 3.Destino puro : Nodo 5 4.Intermedio : Nodos 2, 3 y 4 En el tablero se eliminan: la columna 1 por ser de origen puro; y la fila 5 por ser destino puro, reduciéndose en una matriz de 4 x 4. B = 60 (Suma de orígenes o suma de destinos) Luego agregamos B a los nodos intermedios, de la fila y columna, En el tablero colocamos los costos de cada origen a cada destino, según se indica en la red inicial; las x significan que no se asigna ningún cost costo; o; qu qued edan ando do el table tablero ro para para ser ser resue resuelto lto como como un model modelo o de transporte: DESTINO
45
Programación lineal
2
OR
1
3
3
4
5
5
40
8
IG EN
x
2
0
4
3
B
x
3
0
2
2
20 + B
0
4
B
x
4
x
x
B
B
10 + B
50
Resolviendo el tablero (método de Vogel) obtenemos: DESTINO
2
OR
1
3
3
4
5
5
40
8
IG EN
10
2
0
30
4
x
60
3
10
50
3
0
2
x
80
2
30
50
0
4
x
60
x
4
x
60
60
60
70
50
46
Programación lineal La red de distribución del trasbordo o esquema óptimo de trasbordo, se muestra a continuación:
47
Programación lineal CONCLUSIÓN La Prog Program ramac ació ión n Linea Lineall es un proc proced edimi imien ento to o algo algorit ritmo mo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dich dichaa func funció ión n esté estén n suje sujeta tass a un unaa seri seriee de rest restri ricc ccio ione ness qu quee expre expresa samo moss media mediante nte un siste sistema ma de inec inecua uacio cione ness linea lineales les.. Como Como pudimos observar en el desarrollo de este trabajo la programación lineal cuenta con diferentes métodos que nos permiten reducir el esto de un envió, o bien sea asignar maquinas a trabajos o hombres a trabajos trabajos,, esta abarca muchos muchos aspect aspectos, os, permiti permitiénd éndole ole a la empresa empresa reducir los costos, para así obtener mejores ganancias. De los modelos ya vistos podemos concluir que: El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1.
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada
destino. 2.
El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se 48
Programación lineal minimice el costo del transporte total. El modelo de asignación es un caso especial del modelo de transporte, en el que los recursos se asignan a las actividades en términos de uno a uno, haciendo notar que la matriz matriz corres correspo pond ndien iente te debe debe ser ser cuad cuadrad rada. a. Así ento entonc nces es cada cada recurso debe asignarse, de modo único a una actividad particular o asig asignac nació ión. n. Mient Mientras ras que el modelo modelo de trans transbor bordo do trata trata de envia enviar r bienes (cantidades) desde un punto i, a únicamente destinos finales j. El envío no se produce entre orígenes o entre destinos, tampoco entre destinos a orígenes. El modelo de trasbordo nos demuestra que resulta más más econ económi ómico co (mini (minimiz mizar ar costos) costos) enviar a través de nodos intermedios o transitorios antes de llegare al punto de destino final.
49
Programación lineal
BIBLIOGRAFÍA
•
•
Hillier, Frederick S. y Lieberman, Gerald J. (1997) sextaa “Int “Intro rodu ducc cció ión n a la Inve Invest stig igac ació ión n de Oper Operac acio ione nes” s”; sext edición; México: Mc. Graw-Hill.
Taha Handy, “Investigación de operaciones”; séptima edición; Editorial: Pearson.
50