Programacion Lineal

UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ASIGNATURA

:

INVESTIGACION OPERATIVA I.

TEMA

:

PROGRAMACION LINEAL.

AUTOR

:

ANDREINA VARGAS SANTILLANA.

SEMESTRE

:

VI

CICLO ACADÉMICO :

2013-II

AREQUIPA – PERÚ 2014

[Escribir el título del documento]

RESUMEN La mayoría de situaciones que afrontan las personas y organizaciones implican explícitamente o implícitamente tomar decisiones. En algunos casos, los procesos para la toma de dichas decisiones resultan simples, mientras que en otros casos involucran gran cantidad de aspectos que deben considerarse aumentando así la dificultad y complejidad en la toma de decisiones. La investigación de operaciones es una disciplina que aplica métodos analíticos para contribuir en los procesos de toma de decisiones, la cual ha encontrado cabida en diversos campos del pensamiento humano generando un amplio campo de conocimiento. Este curso constituye la primera aproximación a la investigación de operaciones, en la que se espera introducir al estudiante en esta fascinante área del conocimiento y crear en el las inquietudes para profundizar en su estudio de modo que adquiera herramientas que pueda aplicar al verse enfrentado a procesos de toma de decisiones.

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INDICE

INTRODUCCION

………………………………………………………………………

HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LA PROGRAMACIÓN LINEAL

3

5

……………………………………

PROGRAMACION LINEAL

………………………………………………………….

CARACTERIZACIÓN DE LA PLE

………………………………………………….

7

9

METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

……………………………………………………

.10

TIPOS DE SOLUCIONES

14

APLICACIONES

18

EJEMPLOS

22

…………………………………………………………...

…………………………………………………………………….. .

……………………………………………………………………………

BIBLIOGRAFÍA

38

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……………………………………………………………………….


INTRODUCCION

Mucha gente sitúa el desarrollo el desarrollo de la programación la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto de texto sobre la materia la materia y los artículos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporción importante de todo el cálculo científico que se lleva a cabo en computadoras en computadoras se dedica al uso de la programación lineal y a técnicas íntimamente relacionadas. (Esta proporción se estimó en un 25%, en un estudio de la IBM). Un modelo Un modelo de programación de programación lineal proporciona un método un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia una estrategia óptima o un plan un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. En todos los problemas los problemas de Programación Lineal, el objetivo el objetivo es la maximación o minimización de alguna cantidad.

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Historia de la programación lineal programación lineal

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El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, Joseph Fourier, después de quien nace el método el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo de trabajo es un ejemplo de la utilidad la utilidad de la programación lineal. La potencia La potencia de computación de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

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PROGRAMACION LINEAL En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones. Posteriormente el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) f ue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva. En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch. Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal. Mucha gente sitúa el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artículos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporción importante de todo el cálculo científico que se lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programación lineal y a técnicas íntimamente relacionadas. (Esta proporción se estimó en un 25%, en un estudio de la IBM). Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles.

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Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) la función: z = F ( x1, x2, ... .. . ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ = ≥ b a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ = ≥ b2 .

.

.

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn amnxn ≤ = ≥ bm x1 , x2 x2 , . . . , xn xn ≥ 0

A la función z = F ( x1, x2, ... ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn se le denomina función objetivo o función criterio. Los coeficientes c1, c2, ... , cn son números números reales y se llaman llaman coeficientes de de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema. x1, x2, ... , xn son las variables de decisión (o niveles de actividad) que deben determinarse. Las desigualdades ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi , con i = 1, ... , m se llaman restricciones. Los coeficientes aij , con i = 1, ... , m y j = 1, ... , n son también también números números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos. El vector del lado derecho, es decir los términos bi , con i = 1, ... , m, se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también datos conocidos del problema. Las restricciones xj ≥ 0 con j = 1, ... , n se llaman restricciones de no no negatividad. Al conjunto de valores de (x1, x2, ... ,xn) que satisfacen simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible. Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible programa de acción. La solución óptima es el punto de la región factible que hace máxima o mínima la función objetivo.

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Caracterización de la PLE La programación lineal también conocida como optimización lineal, es la maximización o minimización de una función lineal sobre un poliedro convexo definido por un conjunto de restricciones lineales no negativas. La teoría de la programación lineal cae dentro de la teoría de la optimización convexa y es también considerada como parte importante de la investigación de operaciones. La programación lineal entera (PLE) es el conjunto de problemas de programación lineal para los cuales todas o parte de sus variables sus variables pertenecen a los números enteros. Un problema de PLE puede describirse de la siguiente forma: Optimizar una función objetivo función objetivo z=c.x Bajo las restricciones Ax = ó = b, x = 0

Donde: x -Vector con variables enteras c -Vector de coeficientes de la función objetivo A -Matriz de coeficientes de las restricciones b -Vector de términos independientes Los modelos Los modelos de programación lineal entera pudieran clasificarse en tres grupos: Entero completamente. Todas las variables de decisión son enteras. Mixto. Algunas de las variables son enteras, las otras no. Binario. Las variables solo toman los toman los valores 0 ó 1.

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METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL Existen tres métodos de solución de problemas pr oblemas de programación lineal: Método gráfico o de las rectas de nivel. Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Método analítico o de los vértices. El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables: “En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región”

Esquema práctico. Los problemas de programación lineal pueden presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado.

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Métodos de solución Pudiera pensarse que los métodos de obtención de soluciones a problemas de programación lineal entera pudieran ser menos difíciles que los de programación lineal generales, pero resulta lo contrario. Los algoritmos Los algoritmos que permiten resolver los problemas restringidos a enteros son más complejos y requieren mucho más tiempo más tiempo computacional. Para la resolución de los problemas de programación lineal entera existen diferentes métodos. Los métodos exactos son los que encuentran, si existe, el óptimo absoluto. Muchos de estos métodos parten de la resolución del modelo dejando a un lado las restricciones enteras y buscando el mejor valor mejor valor para las variables reales. A partir del supuesto de que la solución entera no debe estar muy lejos, se aplican diferentes técnicas que permiten llegar al óptimo entero. Una breve introducción a los métodos de la programación lineal: Simplex y Punto interior, permitirá tener una idea de cómo operan los mismos. El método del simplex se utiliza para hallar las soluciones óptimas de un problema de programación lineal con tres o más variables. Este se basa en el hecho de que la solución óptima se encuentra siempre en uno de los vértices del poliedro formado por el conjunto de restricciones. Su forma de buscar la solución es recorrer sobre estos vértices hasta encontrar el óptimo. Aun cuando no corre en tiempo polinomial en el caso peor, su mayor valor radica en su capacidad de revolver nuevos problemas y resulta muy útil cuando no se tiene un algoritmo un algoritmo eficiente de solución. Los métodos de punto interior se denominan así precisamente porque los puntos generados por estos algoritmos se hallan en el interior de la región factible. Esta es una clara diferencia respecto al método del simplex. En la actualidad los métodos de punto interior más eficientes tienen una complejidad de orden T(nL), donde n es el número de variables y L una medida del tamaño del problema (el número de bits necesarios para representar los datos) los datos).. En la modelación lineal no entera se demuestra que el óptimo es un vértice de la región factible. En los modelos enteros, esto no tiene porque ser así, de manera general los vértices no tienen que ser números enteros. Por ello la solución óptima se encontrará en el interior de la región factible, por lo que los métodos exactos, como el simplex o punto interior, empleado de forma directa no aportarán la solución óptima en la generalidad de los casos.

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Como el conjunto de soluciones enteras factibles es un número finito pudiera pensarse en recorrerlas todas en busca de la solución pero esto puede resultar ineficiente pues según el número de variables el conjunto de soluciones se incrementa exponencialmente. Para enfrentar esto se han desarrollado un conjunto de técnicas basadas en la lógica de que la solución entera no debe encontrarse muy lejos de la óptima del modelo con variables reales, conocidas como Ramificar y Podar (Branch and Bound).[1] Este método se basa en que existe un número finito de soluciones posibles, no todas factibles, para un problema con enteros, que pueden representarse mediante un diagrama un diagrama de árbol. Pero no es necesario enumerar todas las soluciones posibles si se pueden eliminar algunas ramas. Para eliminar una rama basta demostrar que no contiene una solución factible que sea mejor que una ya obtenida. Existen otros métodos otros métodos de resolución de la PLE, como el procedimiento el procedimiento de los cortes de Gomory. En esta técnica, se resuelve el problema original relajado en el que se incluyen restricciones adicionales, que reducen la región factible sin excluir soluciones soluciones que cumplen las condiciones de optimalidad. En cada iteración se añade una restricción que se denomina corte de Gomory. Este procedimiento genera progresivamente una envoltura convexa de la región factible entera, lo que origina soluciones que cumplen las condiciones de integralidad. Este método se explica más en detalle por Castillo et al[2] En los modelos los modelos de PLE es importante valorar el número de variables de variables a manejar pues si el modelo el modelo tiene algunos cientos de variables y no tiene una estructura una estructura especial, puede resultar demasiado costoso de resolver. Los modelos enteros son no polinomiales, o sea el tiempo el tiempo de resolución es exponencial con respecto al número de restricciones y especialmente con r especto al número de variables de decisión enteras, como expone Castillo et al[3]En los casos en que los métodos generales de PLE, por las dimensiones del problema, resultan ineficientes, resulta válido introducir métodos heurísticos que obtienen soluciones aproximadas satisfactorias.

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Modelos especiales Existen ciertos problemas ciertos problemas de PLE que por las características del modelo han sido enfrentados con métodos particulares de solución atendiendo a estas peculiaridades. Entre estos se encuentran los modelos de asignación y de transporte. de transporte. Estos Estos resultan significativos porque se ajustan a muchos problemas de diversos sectores y especialidades. El clásico problema de asignación (variables binarias 0 no se asigna, 1 se asigna) se caracteriza por tener n personas y n objetos donde hay que hacer correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. dos conjuntos. En En el mismo existe un beneficio o un costo un costo para cada asignación personaasignación persona-objeto, objeto, y se quiere obtener la asignación donde ese beneficio sea máximo o el costo mínimo. La asignación puede ser resuelta por métodos diversos, entre ellos destaca el método Húngaro de orden T(n3) por ser el más antiguo de los conocidos para enfrentar los problemas de asignación. El problema del transporte consiste en satisfacer de forma óptima (costos mínimos de transportación) n destinos desde m orígenes, donde están definidos los costos de transportación de cada origen a cada destino, la demanda de los destinos y la oferta la oferta de cada origen. Los métodos para hallar la solución se basan en una metaheurística que consiste en buscar una solución factible inicial, e ir mejorándola hasta llegar a la solución óptima. Existe gran diversidad de técnicas para obtener la solución inicial y de formas para las mejoras iterativas. Estos problemas son casos particulares de PLE en los que métodos especiales de solución resultan más eficientes que los métodos tradicionales. La PLE es una rama de la investigación de operaciones de operaciones que está presente en muchos problemas reales, entre ellos resultan muy interesantes los de organización de organización de tiempos de trabajo de trabajo que existen en diferentes ramas de la producción la producción y los servicios. los servicios. La selección La selección de los métodos de solución más eficientes depende en gran medida de las particularidades del escenario que se ha modelado

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TIPOS DE SOLUCIONES Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:

FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo). NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

CONSTRUCCION DE LOS MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo de Programación Lineal:

Función objetivo. (FO): Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar. Restricciones y decisiones: Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el objetivo. La FO y las restricciones son lineales. Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

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

Modelo standard de Programación Lineal

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo. Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1 a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1

Restricciones am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) £ bm

Debiendo ser X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0

Donde : Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n. n : número de variables. m : número de restricciones. aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.



Pasos para la construcción del modelo

1. 2. 3. 4.

Definir las variables de decisión. Definir el objetivo objetivo o meta en términos de las variables variables de decisión. decisión. Definir las restricciones. Restringir todas las variables para que sean sean no negativas

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Variables Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

Restricciones Las restricciones pueden ser de la forma:

Donde: A = valor conocido a ser respetado respetado estrictamente; B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; C = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de de 1 a M (número total de restricciones); restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos; X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N. En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

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Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema. Función Objetivo La función objetivo puede ser:

Programación entera En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre en inglés. en inglés. El El método de Ramificar y Acotar parte de la adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

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Aplicaciones Aunque surgió como aplicación a cuestiones de carácter logístico y militar, es la industria y la economía donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más importantes.

Así, por ejemplo, la Programación Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, afectación de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de producción, escalonamiento de la fabricación, problemas de circulación, planes de optimización de semáforos, estudios de comunicaciones internas, etc. Veamos algunas de las aplicaciones más importantes:

El problema del transporte. Trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancías con un coste mínimo de tiempo, de dinero o de riesgo (por ejemplo, el transporte de mercancías peligrosas). Se dispone de m centros de producción u orígenes (Oi), con sus respectivas ofertas; y n centros de consumo o destino (Dj), con sus demandas correspondientes. A su vez, son conocidos los costes de envío (cij), desde cada origen a cada destino.

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El objetivo del problema del transporte es determinar cuántas unidades de producto deben enviarse desde cada origen hasta cada destino de forma que se minimicen los costes totales de distribución, se satisfaga la demanda de cada destino y no se exceda la capacidad de oferta de cada uno de los orígenes. (El total de unidades que salen de los centros de origen debe ser igual al total de unidades que llegan a los centros de destino). Podemos expresar el problema con la siguiente tabla: Destinos Orígenes D1

D2

...

Dn

Ofertas

O1

c11

c12

...

c1n

a1

O2

c21

c22

c2n

a2

...

...

...

...

...

...

Om

cm1

cm2

...

cmn

am

Demandas

b1

b2

...

bn

En 1958 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo del transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costes previstos. Ejemplo: Dos almacenes A y B, tienen que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispones de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan diariamente 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

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Destinos Orígenes Mercado 1

Mercado 2

Mercado 3

Almacén A

10

15

20

Almacén B

15

10

10

El problema de la dieta. Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutrición necesaria y a la vez minimizar el coste. Componentes Alimentos C1

C2

...

Cn

Costes

A1

b11

b12

...

b1n

a1

A2

b21

b22

b2n

a2

...

...

...

...

...

...

Am

bm1

bm2

...

bmn

am

Necesidades

c1

c2

...

cn

Ejemplo: Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasa y 1 de vitaminas; y palomas, que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma 12 unidades de energía, ¿cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menor gasto de energía?

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El problema de la planificación de la producción. Pretende planificar la producción de una empresa de acuerdo con las materias primas disponibles para obtener máximos beneficios. Productos Factores P1

P2

...

Pn

Recursos

F1

a11

a12

...

a1n

r1

F2

a21

a22

a2n

r2

...

...

...

...

...

...

Fm

am1

am2

...

amn

rm

Beneficios o costes

c1

c2 c2

...

cn

Ejemplo: Una fabrica de muebles produce dos tipos de sillones S1 y S2. La fabrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de trabajo en la sección de carpintería y 2 horas en la de tapicería. Un sillón del tipo S2 necesita 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. El personal de carpintería suministra un máximo de 90 horas de trabajo; en tapicería se dispone de 80. Si las ganancias por la venta de los sillones S1 y S2 son respectivamente de 6000 y 3000 pesetas, ¿cuántos sillones de cada tipo hay que fabricar para maximizar las ganancias?

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EJEMPLOS

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo. de cálculo. Existen tres minas de carbón cuya producción cuya producción diaria es: La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día; La mina "b" otras 40 t/día; y, La Mina "c" produce 20 t/día. En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen: La central "d" consume 40 t/día de carbón; y, La central "e" consume 60 t/día Los costos de mercado, de mercado, de de transporte por tonelada son: De "a" a "d" = 2 monedas De "a" a "e" = 11 monedas De "b" a "d" = 12 monedas De "b" a "e" = 24 monedas De "c" a "d" = 13 monedas De "c" a "e" = 18 monedas

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Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio. En este caso, el costo el costo total del transporte es: Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas Total 1.400 monedas. Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:

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Un ejemplo de producción en una planta de generación de energía La gerencia La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir las nuevas leyes nuevas leyes de control de control de la contaminación medio ambiental. Para la planta en cuestión, las tasas máximas de emisión son: Máxima emisión de óxido de azufre: 3000 partes por millón (PPM) Máxima emisión de partículas (humo): 12 kilogramos/hora (kg/h) El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma. De aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, en donde se pulveriza y alimenta directamente a la cámara de combustión, a la velocidad la velocidad conveniente. El calor El calor producido en la cámara de combustión se emplea para crear vapor que impulse las turbinas. Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un-bajo contenido en azufre (bastante caro); y tipo 8, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre, tal y como se puede observar en fa tabla 2. 1. El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón 3, siendo de 24000 y 20000 Ib por ton respectivamente. Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 16 ton de carbón A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 24 Ion de carbón B por hora. El sistema de carga de La cinta transportadora tiene una capacidad de 20 ton por hora y es independiente del tipo de carbón. Uno de los muchos interrogantes que la gerencia puede plantearse es el siguiente: dados los límites los límites de emisión de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón, ¿Cuál es la máxima producción posible de electricidad de la planta? La respuesta permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas punta de energía. Tabla . Emisión de agentes contaminantes Carbón

Oxido de azufre en gases combustible

Partículas (emsión/ton)

A

1800PPM

0.5 Kg/ton

B

38OOPPM

1 .0 Kg/ton

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Elementos básicos El modelo de Programación Lineal está formado por tes elementos básicos: a) Variables de decisión que tratamos de determinar, b) Objetivo (meta) que tratamos de optimizar y c) Restricciones Restri cciones que necesitamos satisfacer. a) Variables A corto plazo, las instalaciones de la planta son fijas. El único aspecto del problema que es controlable y que puede utilizarse para modificar la producción de la planta es la cantidad de cada tipo de carbón que se queme. Entonces, las variables de decisión del problema son: X1 = La cantidad de carbón A utilizada por hora (ton/h) X2 = La cantidad de carbón B utilizada por hora (ton/h) En programación lineal a menudo se hace referencia a los aspectos controlables de un problema de decisión como actividades. Por lo tanto, las variables X1 y X2 representan los niveles de actividad de la quema de carbón A y carbón B, respectivamente.

HIPTESIS 1 DE PROGRAMACIÓN LINEAL: DIVISISILIDAD: Todas las variables pueden asumir cualquier valor real. Si las variables solo tienen sentido en el caso de tomar valores discretos pero tomar un valor real elevado (superior a 10) en la solución óptima, es aceptable considerarlas como continuas y redondear su valor Muchas actividades en el mundo real pueden variar de forma continua, es decir son divisibles infinitamente. Por ejemplo, la cantidad de carbón quemado por hora puede ajustarse a cualquier valor dentro de unos límites razonables. Sin embargo, hay actividades reales que sólo pueden tomar valores enteros, por ejemplo el número de viajes de viajes de carbón necesarios para trasladar cierta carga de un lugar a otro o el número de equipos informáticos que debe adquirir una una empresa. Si la actividad real no es divisible de forma infinita; pero el nivel normal de actividad es un número grande, las condiciones de divisibilidad pueden servir como una aproximación conveniente. En general, esto significa que el valor de la solución es de decenas o mayor. Los valores fraccionarios tan sólo se redondean al entero más cercano. Por el contrario, si el nivel normal de actividad es relativamente pequeño, digamos menor que 10, se necesita recurrir r ecurrir a la programación entera.

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HIPÓTESIS HIPÓTESIS 2 DE PROGRAMACIÓN LINEAL: CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD: Todas las variables son no negativas

Esta hipótesis Esta hipótesis refleja la naturaleza la naturaleza de la mayoría de ¡as actividades del mundo real; donde rara vez tiene sentido, dentro de un contexto económico o de ingeniería, hablar de niveles negativos de actividad. Sin embargo, esta consideración no significa una pérdida de generalidad. Cualquier número (positivo, cero o negativo) puede expresarse como la diferencia algebraica de dos números no negativos. Si una actividad puede ocurrir tanto en niveles negativos como positivos (por ejemplo, comprar o vender bonos), bonos), se introducen dos variables para esta actividad, X+ para niveles no negativos, y X- para niveles no positivos. Su diferencia X = X + – Xrepresenta el nivel real de la actividad. Mediante este artificio tanto X+ como Xestán restringidas a ser no negativas y son las llamadas variables irrestrictas o libres. De hecho, el software el software de optimización suele permitir al usuario definir directamente este tipo de variables como libres e interpretando que su rango de variación está entre menos y más infinito. b) Función objetivo El objetivo de la gerencia consiste en maximizar la producción de electricidad de la planta. Ya que la electricidad se produce mediante vapor y existe una relación directa entre la producción de vapor y la de electricidad, el maximizar ¡a producción de vapor es equivalente a maximizar la producción de electricidad. Por lo tanto, puede replantearse el objetivo de la gerencia como "encontrar la combinación de combustibles que maximice ¡a producción de vapor". ¿Cuánto vapor se produce para cualquier cantidad arbitraria de carbón utilizada? Una forma simple y sistemática de determinarlo se muestra se muestra en la tabla 2.2.

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Tabla Construcción Tabla Construcción de la Función objetivo

Vamos a expresar la cantidad de vapor producido en miles de libras. Por lo tanto, el carbón A produce 24 unidades y el carbón B, 20 unidades de vapor por toneladas de combustible. Entonces, la cantidad de vapor producida por hora es: (1) 24 X1 + 20 X2 - Z El primer miembro de (1) se denomina función objetivo y Z es el valor de la función objetivo. Los coeficientes de las variables se denominan coeficientes de la función objetivo. El problema exige determinar los valores de X1 y X2 que maximicen el valor de Z. En la figura 2.1 se observa que (1) es una familia de rectas paralelas y que para cada valor que demos a Z tendremos una recta, cuyos puntos representan las posibles combinaciones de X1 y X2 que proporcionan la misma cantidad de vapor y en definitiva de energía. Por este motivo, se conocen como líneas de isoproduccion (isobeneficio o isocoste, en el caso de que la función objetivo fuera beneficio o costo respectivamente). También podemos observar que la función objetiva es lineal.

HITPOTESIS 3 DE PROGRAMACION LINEAL: LINEALIDAD: Todas las relaciones entre variables son lineales En programación lineal esto implica: Proporcionalidad de las contribuciones. La contribución individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor; y el factor de proporcionalidad es constante para toda la gama de valores que la variable puede asumir. Actividad de las contribuciones. La contribución total de las variables es igual a la suma de las contribuciones individuales, sea cual sea el valor de las variables.

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Figura 2.1. Función objetivo

Una relación tal corno Z= 5X1 + 3 X1 + 2 X2 o Z = 24 X1 + 20 X2 para X1 < = 5 y 10 + 22 X1 + 20 X2 para X1 > 5 violaría la condición de proporcionalidad; mientras que Z = 24 X1 para X2 = 0, 20 X2 para X1 =0 y 22 X1 ÷ 18 X2 para X1 > O y X2> O violarla la actividad. La hipótesis 3 implica beneficios constantes a escala e impide economías y deseconomías de escala. En la práctica esta condición posiblemente no se cumpla con exactitud; en particular para valores muy pequeños o muy grandes de actividad. Sin embargo, si se cumple en forma aproximada dentro del intervalo normal de los valores de solución, es posible emplear el modelo de programación lineal como una buena aproximación. Esta consideración también excluye el problema de los costes fijos cuando se presentan para valores positivos de la actividad, pero no para niveles cero. Además de las condiciones de no negatividad, los niveles de actividad deben de cumplir ciertas restricciones que pueden ser de naturaleza física, económica física, económica o legal. c) Restricciones C1. Restricción de la emisión de partículas

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La cantidad máxima de emisión de humo por hora en una planta está limitada a 12 kg. De acuerdo con la tabla 2.I, cada tonelada de carbón A produce 0.5 kg de humo y cada tonelada de carbón B produce 1 kg de humo. Si la planta quema X1 ton de carbón A y X2 de B2 la cantidad de humo total emitida a partir de ambos tipos de carbón es igual a su suma, que no puede exceder de 12 kg/h. (2) 0.5X1 + X2 <=12 Los coeficientes de las variables en las restricciones se denominan coeficientes técnicos y al segundo miembro de la desigualdad o término independiente se conoce como coeficiente del segundo miembro o parámetro del lado derecho de la restricción (en el software RHS -Right-Hand Side). C2 Restricción de las instalaciones de carga. El sistema de cinta transportadora que traslada el carbón de los depósitos al pulverizador tiene una capacidad de 20 ton/h. Por lo tanto, la restricción de carga seria: (3) X1+X2<=2º C3 Restricción de la capacidad del pulverizador La capacidad del pulverizador es de 16 ton/h para el carbón A o de 24 ton/h para el carbón B. En otras palabras, tarda 1116 h en pulverizar una tonelada de carbón A y 1124 h en pulverizar una tonelada de carbón B. Si la solución exige una combinación de ambos tipos de carbón, el tiempo que se tardará en pulverizar una mezcla de X1 ton de A y X2 de B es (1/16) X1 + (1/24)X2. Son admisibles sólo aquellas combinaciones de X1 y X2 que requieran cuando más 1h. Por lo tanto la restricción del pulverizador es:

Obsérvese la forma en que se ha superado la dificultad presentada por las diferentes tasas máximas. Estas tasas se han traducido a tiempos necesarios por tonelada y expresan la restricción en términos de tiempo en vez de capacidad. C4 Restricción de la emisión de óxido de azufre

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La emisión máxima de óxido de azufre no debe exceder de 3000 PPM en ningún momento. Dado que los dos tipos de carbón se queman en forma simultánea, se considera que la combinación de X1 tan de carbón A, y X2 ton de carbón B por hora, alimenta a la cámara de combustión corno una mezcla homogénea. El X1/(X1 + X2) de la mezcla es carbón A con una tasa de emisión de óxido de azufre de 1800 PPM y X2(X1 + X2) de dicha mezcla es carbón B, con una tasa de emisión de 3800 PPM. La tasa de emisión de la mezcla es igual al promedio ponderado de las tasas individuales de emisión; en el que sirven como ponderaciones las fracciones utilizadas de cada carbón. Este promedio ponderado no puede exceder de 3000 PPM:

Multiplicando a ambos lados de la desigualdad por (X1 + X2) y reordenando términos, se obtiene la restricción: (5) 1200X1 -300 X2 >=0 En la figura 2.2 se han representado las cuatro restricciones. Formación general de un programa lineal En resumen, el modelo matemático que hemos formulado para representar el problema anterior es el siguiente: Determinar los valores de las variables: X1 >= O y X2 >= O Que optimicen, maximicen en este caso (en otros puede ser minimizar) la función objetiva: Max 24X1 + 20X2 Y verifiquen las restricciones 0.5 X1 + X2 <= 12 (humo) ( humo) X1 +X2 <=20 (carga) 1.5 X1 + X2 <= 24 (pulverizador) 1200 X1 - 800 X2 >= O (azufre)

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El planteamiento general de un programa lineal es el siguiente: Determinar los valares de as variables decisión .XJ >= O; para, j = 1,2,..n que optimicen (maximicen o minimicen a función objetivo:

Donde: n es el número de variables, m es el número de restricciones y éstas pueden ser igualdades o desigualdades del tipo <= o >=. Los Cj, aj y bj son los parámetros del modelo. HIPÓTESIS 4 DE PROGRAMACIÓN LÍNEAL: CERTIDUMBRE Se asume que todos los parámetros del modelo cj aj y bj son constantes conocidas. Región factible, solución gráfica y variables holgura

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Para que una solución sea admisible la combinación de niveles de actividad debe satisfacer en forma simultánea todas las restricciones, incluyendo las condiciones de no negatividad. A tal solución se le denomina solución factible para el problema. El conjunto de todas las soluciones factibles forma la región factible o conjunto de soluciones posibles. Obsérvese en la figura 2.2 que el conjunto de soluciones posibles no depende de la función objetivo. Ésta es una interesante propiedad de la mayoría de los modelos los modelos de Investigación Operativa y tiene importantes consecuencias sobre el método de resolución y las propiedades de la solución óptima. Si la frontera la frontera de una restricción no tiene puntos en común con la región factible, entonces esta restricción es redundante y puede eliminarse en consideraciones posteriores, ya que nunca limitará los valores de las variables. ¿Existe alguna restricción redundante en nuestro problema?. En la práctica, cuando un problema tiene cientos de restricciones y cientos de variables rara vez es posible identificar si una restricción es redundante o no. Por fortuna, el algoritmo de resolución conocido como método simplex funciona eficientemente, aunque el planteamiento contenga restricciones redundantes. Como el objetivo es maximizar fa producción de vapor de la planta, tendremos que determinar la recta más alta que contenga al menos una solución posible. Dicha recta es la que corresponde a Z = 408 y los niveles de actividad de las variables en la solución óptima son de X1 = 12 y X2 = 6 como puede observarse en la figura 2.3. Una combinación de 12 toneladas de carbón A y 6 toneladas de carbón B por hora maximiza la producción de vapor de la planta dentro de las restricciones físicas y legales impuestas a las variables. Desde el punto de vista intuitivo, parece obvio que la solución óptima siempre ocurrirá en fa frontera de la región factible, ya sea en un punto extremo o en un lado del polígono. Como se verá en el análisis de sensibilidad, es la pendiente de la función objetivo la que determina en qué parte de la frontera estará situada la solución óptima. Si el problema exigiera la minimización de la función objetivo ¿en que forma cambiaría el procedimiento gráfico para encontrar la solución óptima? Por ejemplo, se desea determinar la solución de coste mínimo para obtener una producción de vapor de, al menos, 216 unidades por hora y que el coste por tonelada es de 24 $ para el carbón A y de 15 para el B. Plantea y resuelve este, problema de forma gráfica. En síntesis, En síntesis, podemos podemos afirmar que una solución óptima es una solución factible con el mejor valor de la función objetivo. El mejor valor o el valor más favorable de la PROGRAMACION LINEAL

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función objetivo será el más grande en los problemas de maximización o el más pequeño en los problemas de minimización. No todos los problemas de programación lineal tienen finales felices. Por una parte, puede ocurrir que las restricciones sean inconsistentes en el sentido de que no exista ninguna solución factible. Y por otra, la región factible puede estar abierta en alguna dirección alguna dirección de manera que la función objetivo pueda incrementarse de forma indefinida y no exista solución finita (la solución es no acotada). Estos casos son poco frecuentes en la práctica. A menudo, tales soluciones son el resultado de errores o de representaciones incorrectas en la formulación matemática. Por matemática. Por tanto, al resolver un programa lineal podemos encontrarnos con cuatro casos: Solución única. soluciones alternativas (infinitas soluciones). En un modelo con dos variables ocurre siempre que la función objetivo corta al conjunto factible en un lado del polígono, para el mejor valor de la misma. En la práctica veremos temas posteriores cómo es un caso mucho más frecuente de lo que a priori pudiéramos pensar. No hay solución, porque ninguna combinación de variables cumple todas las restricciones. Solución no acotada. Para cualquier solución factible, la diferencia entre el valor que toma la restricción y el coeficiente del segundo miembro se denomina holgura (para desigualdades<=) o exceso (para desigualdades >=). A menudo, resulta conveniente mostrar de manera explícita esta diferencia, introduciendo una variable adicional en cada restricción. A estas variables se les denomina variables de holgura o de exceso. Por conveniencia, se suele utilizar el término de variables de holgura para ambas. Tales variables están sujetas a las mismas consideraciones de divisibilidad y no negatividad que las variables decisión. Entonces cada restricción se convierte en una igualdad. una igualdad. Introduciendo Introduciendo las variables de holgura en nuestro ejemplo:

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Las variables de holgura pueden interpretaba a menudo como recursos no utilizados o capacidad no utilizada para una solución dada. Por ejemplo, x3 es la cantidad de capacidad no utilizada de emisión de humo, y x4 la cantidad no utilizada de capacidad de carga. ¿Cuál es la interpretación la interpretación correspondiente a x5? Debido a la forma en que se obtuvo la restricción del azufre no existe una interpretación simple para x6. Comprueba que x3 y x5 son cero en nuestro ejemplo, mientras que x4 = 2 y x6 = 9600.

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nálisis de sensibilidad de los segundos miembros de las restricciones Ahora vemos qué ocurre con la solución óptima cuando varia al segundo miembro de una restricción. Vamos a suponer que la gerencia está considerando la instalación de un equipo que puede reducir el humo en un 20%. Esto permitiría cumplir con las normas las normas legales con una emisión no controlada de humo a partir de la cámara de combustión de hasta 15 Kg/h. Figura . Función objetivo alternativa

Consideraremos en primer lugar que la emisión máxima permitida de humo se incrementó de 12 a 13 kg/h, permaneciendo iguales todos los otros coeficientes. Esto provoca un cambio un cambio paralelo hacia arriba en la restricción de humo. En la figura 2-5, puede verse como se agranda la región factible. En la nueva región factible Z = 408 ya no es el valor óptimo de la función objetivo, sino que su mejor valor se encuentra en el punto D. Por tanto, la solución óptima cambia de A a D. Esté cambio ocurre debido a que la restricción de humo se cumple estrictamente en la solución óptima del problema original. Ahora los nuevos niveles de actividad de las variables son X1 = 11 y X2 = 7.5. Esta disminución en X1 provoca una reducción en menos de 24 unidades en la producción de vapor, mientras que el incremento de X2 aumenta la producción en 30 unidades. El incremento es de 6. Entonces el nuevo valor máximo de la función objetivo será de z = 408 + 6 = 414.

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La mejora en el valor óptimo de la función objetivo debido a un incremento unitario en el segundo miembro de una restricción se denomina coste de oportunidad o precio sombra de la restricción. En este caso, el coste de oportunidad de la restricción de humo es 6. ¿Qué sucedería si la emisión máxima de humo fuera de 14,15, 16 y 17 kg/h? En la figura 2.5 se puede observar cómo el área de la región factible se agranda por cada cambio hasta un máximo de 16. Comprueba que por cada cambio la función objetivo aumenta en 6. Para un incremento superior a 16 la restricción de humo se vuelve redundante. Ahora la solución óptima estará restringida por las restricciones del pulverizador y del azufre, así como por la de carga. Por lo tanto, el coste de oportunidad de esta restricción es cero para valores mayores de 16. La pregunta original requería determinar el incremento en la producción de vapor para un cambio en el nivel permitido de humo de 12 a 15 kg/h. Este será de 3 x 6 = 18 unidades de vapor/h. ¿Cuál es el costo de oportunidad de una restricción que no se verifique estrictamente en la solución óptima? Resulta claro que si una parte del recurso no se utiliza, esto es si la variable de holgura es positiva, las cantidades adicionales de ese recurso no tienen valor. Sólo aumentarían la cantidad de holgura. Por lo tanto, el precio sombra de tal restricción es cero. Determina los precios los precios sombra de las restricciones restantes. Observar la interesante relación entre el coste de oportunidad de una restricción y la variable de holgura asociada a la misma. Cuando un recurso se utiliza completamente su coste .de oportunidad es, por lo general, positivo (no negativo para ser más exactos) y su variable de holgura cero, mientras que cuando la variable de holgura es positiva el precio sombra es cero. Los precios sombra proporcionan a la gerencia una valiosa información acerca de los beneficios que se pueden obtener al suavizar las restricciones. Si estos beneficios superan al coste que provoca suavizar una restricción dada, entonces tales cambios son atractivos.

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Figura. Análisis de sensibilidad de los segundos miembros de las restricciones

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