7.14 7-16) Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asigno $40,000 para publicidad de ultimo minuto en los días previos a la elección. Se utilizaran dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectara a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de esta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipulo que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. t elevisión. ¿Cuántos anuncios anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuantas personas llegaran? 7-17) la Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 hrs de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 hrs de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 hrs de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituaran una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método grafico de programación lineal.
1º x=numero anuncios de radio y=numero anuncios de televicion 200x+500y<=40,000 x>=10
y>=10 x>=y maximo=3000x+7000y te sugiero el metodo grafico el punto de solucion optima es (175,10) y generara 595000 personas el 2º bancas=x mesas=y 4x+6y<=1200 10x+35y<=3500 te falta un dato cuanto deja ganacia las mesas pero es lo mismo graficar hallar solucion optima esta en los vertices o intersecciones saludos 1.1. Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40.000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. t elevisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán? llegarán? Variables de solución X_r=anuncios de radio X_t=anuncio de television z=utilidad en cantidad de personas a las que llega Modelo matemático El número de anuncios de radio y televisión para maximizar está dado por z=3000X_r+7000X_t Sujeto a 200X_r+〖 200X_r+ 〖500X 500X〗 〗 _t≤40000 (1) X_r-X_t≥0 (2) X_r≥10 (3) X_t≥10 (4)
Método gráfico Al graficar las ecuaciones 1, 2, 3 y 4, se obtiene dos puntos de posibles soluciones, A y B. La primera es la intersección de la recta 1 con la recta 2, mientras que la segunda es un intersección de la recta 1 con la recta 4. Para encontrar la solución óptima, se tantea con valores arbitrarios de z hasta encontrar una tendencia de rectas hasta la solución. A continuación, en el Gráfico 1, se muestran las intersecciones, los puntos y las rectas que indican la dirección de z. De los dos puntos extremos del área de solución, de acuerdo al método gráfico y a la dirección de la función objetivo, indicada por la flecha roja se tiene ti ene que el más óptimo es el B. La siguiente Tabla 1, muestra los valores de las intersecciones de las rectas, la utilidad resultante para cada punto y la cantidad de personas a las que se llega. Tabla 1: Intersecciones de las rectas y sus resultados Xr Xt Z
A 57.14 57.14 571429 B 175 10 595000 La solución más óptima es el punto B. De este modo, se requieren 175 comerciales comerciales de radio r adio y 10 de televisión para llegar a la cantidad máxima de 595000 personas, cumpliendo con el presupuesto de $40000. Método Simplex A partir de las siguientes ecuaciones, siendo S1, S2, S3 y S4 variables de holgura, se procede a resolver el problema con el método simplex. La L a siguiente tabla presenta las ecuaciones planteadas y las iteraciones i teraciones hasta llegar al problema final. z-3000X_r-7000X_t=0 200X_r+500X_t+S_1=40000 X_r-X_t-S_2=0 X_r-S_3=10 X_t-S_4=10 X_r,X_t,S_1,S_2,S_3,S_4≥0
Tabla 2: Iteraciones para el problema 1.1 Tabla inicial Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -3000 -7000 0 0 0 0 0 Intersecciones S1 0 200 500 1 0 0 0 40000 80 S2 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0 S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 Indefinida S4 0 0 1 0 0 0 -1 10 10 Iteración 1 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -3000 0 0 0 0 -7000 70000 Intersecciones S1 0 200 0 1 0 0 500 35000 70 S2 0 1 0 0 -1 0 -1 10 -10 S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 Indefinida Xt 0 0 1 0 0 0 -1 10 -10 Iteración 2 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -200 0 14 0 0 0 560000 Intersecciones S4 0 0.4 0 0.002 0 0 1 70 175 S2 0 1.4 0 0.002 -1 0 0 80 57.14285714 S3 0 1 0 0 0 -1 0 10 10 Xt 0 0.4 1 0.002 0 0 0 80 200 Iteración 3 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 0 14 0 -200 0 562000 Intersecciones S4 0 0 0 0.002 0 0.4 1 66 165 S2 0 0 0 0.002 -1 1.4 0 66 47.14285714 Xr 0 1 0 0 0 -1 0 10 -10 Xt 0 0 1 0.002 0 0.4 0 76 190 Iteración 4 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 0 14.286 -143 0 0 571429 Intersecciones S4 0 0 0 0.0014 0.286 0 1 47.1429 165 S3 0 0 0 0.0014 -0.71 1 0 47.1429 -66
Xr 0 1 0 0.0014 -0.71 0 0 57.1429 -80 Xt 0 0 1 0.0014 0.286 0 0 57.1429 200 Iteración 5 Variable básica Z Xr Xt S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 0 0 15 0 0 500 595000 S2 0 0 0 0.005 1 0 3.5 165 S3 0 0 0 0.005 0 1 2.5 165 Xr 0 1 0 0.005 0 0 2.5 175 Xt 0 0 1 0 0 0 -1 10 Fuente 3: Los Autores Análisis de sensibilidad A continuación se muestra la Tabla 3 con el análisis de sensibilidad, realizado con el software MyQSL. Tabla 3: Análisis de sensibilidad para el problema 1.1 Fuente 4: Los Autores La variable radio tiene un valor óptimo de 175 y una contribución de 525000 del total de la ganancia, mientras mientras que la variable televisión tiene un valor de 10 y contribuye con 70000 de la ganancia total. Los valores de los coeficientes de la función objetivo, pueden variar sin que se afecte el valor objetivo. Sea Z= B_r X_r+B_t X_t la nueva función objetivo, de acuerdo al análisis de sensibilidad, el valor Br puede variar desde un mínimo de 2.8 a un máximo infinito. EL valor v alor Bt puede variar desde menos infinito hasta 7.5. Esto se da por tratarse de una solución que viene dada del encuentro de una recta horizontal contra otra recta.
El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el III semestre. La demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de 2500 $ en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta 3000 $. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el semestre de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su minima expresión? a) Formule un modelo de Programación Lineal. b) Resuelva el modelo en forma gráfica. Llamo x (cursos de licenciatura). Llamo y ( cursos de posgrado) Restricciones: x mayor o igual que 30; y mayor o igual que 20; x + y mayor o igual que 60 Función a optimizar: z = 2500x+3000y Representamos las inecuaciones. La región solución no está acotada. Los puntos son: A(30,30) y B(40, 20) Los sutituimos en z : la solución se corresponde con con el punto B. Se deben impartir 40 cursos de licenciatura y 20 de posgrado, para que el salario sea de 160.000 $.
7.19 MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea a 5 técnicos, que trabajan 1690 horas cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir todas las 160 horas) de cada trabajador durante las
operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para pa ra elaborar cada modelo beta. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 betas 5s durante el periodo de producción. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes. 1. Determinar el número más rentable de cada modelo de minicomputadoras que se deban producir durante el siguiente mes para maximizar las ganancias respetando las restricciones. 2. Restricciones a. Se cuenta con 800 horas de Mano de Obra b. Se requieren 20 horas para ensamblar Alpha c. Se requieren 25 horas para ensamblar Beta d. Producir por lo menos 10 alpha e. Producir por lo menos 15 Betas. 3. X1 = Alpha X2 = Beta 4. C1 = 1200 X1 C2 = 1800 X2 5. Maximizar Z=1200 $/Alpha X1 Alpha/periodo + 1800 $/beta X2 Beta/periodo 6. Estructura matemática de restricciones a. 10 X1+15 X2 ≤ 800 b. X1 = 20 c. X2=25 d. X1≥10 e. X2≥15 X1, X2 ≥ 0
7. Maximizar Z=1200 $/Alpha X1 Alpha/periodo + 1800 $/beta X2 Beta/periodo a. 10 X1+15 X2 ≤ 800
b. X1 = 20 c. X2=25 d. X1≥10 e. X2≥15