Miércoles, 15 de junio de 2011
PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO EN LA VIDA COTIDIANA Curso: Matemáticas Docente: Luis Dávila Grado y sección: 5to C Institución Educativa: Colegio América Callao High School
Integrantes: y y y y y
Rodrigo Cano Luis Llerena Miriam Marca Luis Vidal Francisco Yáñez
Miércoles, 15 de junio de 2011 Índice
1. Presentación grupal
2. Fundamentación teórica
3. Experiencia de campo: Análisis de resultados
4. Conclusiones
5. Bibliografía
Miércoles, 15 de junio de 2011
1.
Presentación grupal
Los alumnos del quinto año de secundaria del Colegio América Callao High School han iniciado lo que sería una nueva etapa en el estudio del curso que vendría a denominarse matemáticas. En esta ocasión no basamos nuestros conocimientos y estrategias solo en un aula de clase, por el contrario, hemos tenido la oportunidad de acceder ahora lo que es la realidad, nuestros problemas cotidianos experimentando algo más que un problema ficticio y que se encuentra escrito en un papel. En el siguiente trabajo hemos tenido la oportunidad de realizar un problema matemático de ³Programación Lineal´ cuyo significado será explicado con mayor detenimiento más adelante, en el cual hemos hecho énfasis a una situación real de mantenimiento de motos en una empresa que se encuentra rumbo a la avenida la Marina, muy cerca de las instalaciones de nuestro plantel. Antes de poder realizar dicho problema hemos pasado por una serie de prácticas importantes para obtener resultados más óptimos y precisos, por lo cual como grupo
consideramos
que
estamos
preparados
para
sobrellevar
esta
responsabilidad y que será demostrado en el informe establecido. Se espera que los datos estén expresados de una manera coherente y organizada de manera que la evaluación pueda darnos los resultados esperados.
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Fundamentación teórica Antes de dar paso a nuestro problema que corresponde a una necesidad básica de la vida diaria, debemos poner énfasis en lo que vendría a ser lo que habíamos mencionado antes, la programación lineal. 1. Definición de programación lineal
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. 2. Historia de la Programación Lineal
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de FourierMotzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria, debido a que era una manera estratégica de organización y orden principalmente, que les favorecía en ese entonces debido a la situación extrema que se encontraban. Cabe mencionar que los principales fundadores de esta técnica reconocida fueron George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig, y
Miércoles, 15 de junio de 2011 fue por eso que más adelante logra el premio nobel a la economía específicamente en el año 1975. Ahora, si mencionamos las variables debemos resaltar que son números reales mayores o iguales a cero. Nota: En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera. 3.
Aplicación en la vida
Aunque surgió como aplicación a cuestiones de carácter logístico y militar, es la industria y la economía donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más importantes. Así, por ejemplo, la Programación Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, afectación de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de producción, escalonamiento de la fabricación, problemas de circulación, planes de optimización de semáforos, estudios de comunicaciones internas, etc. 4. Métodos de solución: y
Método
gráfico o de las rectas de nivel . Las rectas de nivel dan los
puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.
y
Método
analítico o de los v értices. El siguiente resultado, denominado
teorema fundamental de la programación lineal , nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables
y
Esquema práctico . Los problemas de programación lineal pueden
presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado.
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y
Tipos de Soluciones:
FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).
y
NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.
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Experiencia de campo: Análisis de resultados 1. Analisis del problema problema
La empresa Importaciones Valenzuela tiene como parte de sus gastos los siguientes datos: Para un motor lineal se usa ¼ de aceite y grasa equivalente a 250gr. Para eso la moto de servicio usa 250gr de aceite y 450gr de grasa para sus respectivos mantenimientos. Si se sabe que la empresa dispone de un total de 7kg de aceite y 9kg de grasa además que por el mantenimiento de una moto lineal se cobra s/45 y por una moto de servicio s/54. ¿Cuántas motos de cada tipo tendrían que hacer su mantenimiento al día para lograr la máxima ganancia? 2. Cuadro de datos
Numero
Grasa
lineales
X
250x
250x
de servicio
Y
250y
450y
250x +250y
250x +450y
Motos Motos
Aceite
Total
3.
Restricciones
*
x 0
*
y0
*
250x + 250y 7000
y 7000/250 - x
*
250x + 450y 9000
y 9000/450 ± 5/9
y 28 ± x y 20 ± 5/9x
Miércoles, 15 de junio de 2011 y 28 ± x
( 0;28) (28;0)
y 20 ± 5/9x
(0;20) (36;0)
4. Función objetivo
y
G(x;y): 45x + 54y
5 .
Grafica
Para la graficacion de las restricciones usamos el programa gcalc)
L2
L1
P1
P1: (0,20) P2
P2: (18,10) P3: (28,0) P4: (0,0)
P4
P3
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6. Analisis de vértices
G(x;y): 45x + 54y P1: (0,20) 1080 P2: (0,0) 0 P3: (18,10) 1350 P4: (28,0) 1260
7. Respuesta Final
Luego del análisis de vértices se obtuvieron los siguientes datos: y
Para las motos lineales : La empresa Importaciones Valenzuela debe realizar mantenimiento a 18 bicicletas lineales, debido a que su resultado de 810 como ganancia es superior a los demás resultados de motos lineales.
y
Para las motos de servicio: La empresa Importaciones Valenzuela debe realizar mantenimiento a 10 motos de servicio, para obtener la cantidad de 540 soles como ganancia, una vez más, este resultado es superior comparado a los resultados de las motos de servicio.
y
Sin embargo al juntar ambas cantidades de cada tipo de moto, obtenemos el monto de 1350 como la máxima ganancia.
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Conclusiones grupales El caso de la empresa Importaciones Valenzuela, fue un claro ejemplo de cómo la programación lineal es de gran utilidad en el mundo de los negocios; por lo que observamos ha muchos trabajadores, en su mayoría administradores que muchas veces dependen de la programación lineal. Sin embargo como grupo, al realizar este informe pusimos nuevamente en práctica los conocimientos teóricos y prácticos de este tema teniendo como resultado: un conocimiento que podrá ser aplicado en nuestra labor profesional en un futuro.
Bibliografía http://www .programacionlineal .net/resolucion_grafica .html http://recursostic .educacion .es/descartes/web/materiales_didacticos/prog_li
neal_lbc/definicion_pl .htm http://es.wikipedia .org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal
