PROGRAMACIÓN LINEAL TEMA IV: Generalidades y Método Gráfico. MVZ ARTURO ARTURO ALONSO PESADO 09 de Octubre de 2006
GENERALIDADES SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL
El primer algoritmo de solución (procedimiento computa computacio cional nal rutina rutinario) rio) fue ideado por Dantzig en la época de la segunda guerra mundial para resolver problemas de transporte; conjuntando elementos de la teoría matemática desarrollados hasta la fecha, en una técni técnica ca itera iterati tiva va (que repite) de inversión de matrices, con el fin de determinar entre varias alternativas aquella que rep eprrese esentaba el valor lor económico óptimo imo (mínimo costo y/o máxima utilidad) subor bordina inado a una serie de restric riccion iones. es. La técnica se incluye dentro inve invest stiga igaci ción ón de opera operaci cion ones. es.
del
área
Esta técnica se puede utilizar en la optimizaci ón de:
A)
Distr stribu ibución de Recursos.
B)
Planeación de Empresas.
C)
Pres Presup upue uest stos os..
D)
Elab laboración de Raciones Alimentarias.
E)
Trans ranspo port rte. e. etc. etc.
denominada
GENERALIDADES SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL
Se puede definir a la programación lineal como: "Es una técnica matemática mediante la cual se representa problemas reales con ecuaciones y después a partir del modelo que se obtiene se busca la alternativa que (med edid ido o como omo un máx máximo imo o un representa un óptimo (m mínimo). mínimo).”
La programación lineal es una herramienta matemática que se usa para maximizar o minimizar una función subord rdin inad ada a al objetivo (ecu (ecuac ación ión ma matem temát ática ica), ), subo cum cumplim plimie ient nto o de otra otras s fun unc cione iones s (restricciones en la disponibilidad de recursos) y cumpliendo relaciones ins insumo-p mo-pro rodu duct cto o pr pre eesta estab blec lecidas idas en entr tre e las las alter ltern nati ativas vas de prod pr odu ucció cción n y los los re recu curs rsos os dis dispon ponible ibles. s.
REPRESENTACI ÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA
Utilizando notación matricial se puede expresar el problema así: Optimizar (Maximizar o Minimizar) Minimizar) una Funci ón Objetivo; Z. Z = C1X1 + C2X2 + .............+ C JXJ + .............+ C NXN
Subordinada a las restricciones: restricciones : A11X1 + A12X2 + ..... + A 1JXJ + ….. + A 1NXN ≤≥ B1 A21X1 + A22X2 + ..... + A 2JXJ + … + A 2NXN ≤≥ B2 . . . . . . . . AI1Xl + AI2X2 + ..... + A lJXJ + ..... + A INXN ≤≥ BI . . . . . . . . AM1Xl + AM2X2 + + AMJXJ + .... + A MNXN ≤≥ BM
Donde nde XJ ≥ 0 Donde: XJ’S = Las Las posi posibl bles es acti activi vida dade des s cons consid idera erada das. s. CJ'S = Los Los Prec Preciios Unit nitari arios, Ingre ngres sos Netos etos o Cos Costos de las Act Actividades ades.. AIJ'S = Las Rela elacion ciones es Insum nsumoo-P Produ roduc cto en enttre el Recu ecurso rso I y la Act Actividad J. BI'S = Los Los Niveles eles de Rest estric ricción Est Establ ableci ecidos (Recu ecurso rsos y Otro Otros s).
REPRESENTACI ÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA
En forma condensada se puede expresar como:
Suje Sujeta ta a:
Z = X*CT A*XT
1≤≥B
Donde onde:: XIJ ≥ 0
COMPONENTES DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para resolver un problema con programación lineal se debe contar con los siguientes elementos: 1.
Las actividades u opciones que se desea evaluar.
2.
Los Los prec precio ios s de los los recu recurs rsos os,, costo costos s o ingr ingres esos os netos netos (util (utilid idad ad)) presupuestados que se asocian a cada actividad u opción.
3.
La cantidad cantidad de recurso que requiere requiere cada una de las actividades actividades a considerar.
4.
Los niveles de cada recurso disponible u otro tipo de restricciones.
SUPOSICIONES DEL MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1.
2.
Los resultados que se obtienen al aplicar cualquier modelo matemático sólo son validos si se respetan las condiciones de restricción en que éste se construye. La programación lineal sólo es aplicable cuando se re res spetan los sigu siguien iente tes s linea lineami mien ento tos: s: Los recursos recursos y las actividades actividades son agregados agregados (añadidos) (es decir. No existe interacción de ninguna clase). La función objetivo y las funciones de las restricciones son lineales (o en caso extremo pueden ser aproximadas en forma aceptable por varias funciones lineales).
3.
Las variables de decisión son no negativas. (x j ≥ 0)
4.
Los recursos y las actividades son (infinitamente) divisibles.
5.
Hay un número limitado de recursos y actividades.
6.
La técnica es de naturaleza determinista.
MÉTODO GRÁFICO El objetivo de la programació ación n line ineal es determinar la asig asigna naci ción ón óp ópti tima ma de recu recurs rsos os escaso scasoss entr entre e pr prod oduc ucto toss o actividades en competencia. A menudo, las situaciones económicas exigen la optimización de una función sujeta a varias restricciones de desigualdad. Para Para la op opti tim miz izac ació ión n suje ujeta a una una rest restrricc icción ión si simp mple le de desigualdad, el método de lagrange es relativamente simple. Cuando se incluyen mas de una restricción de desigualdad, la programación lineal constituye un método mas sencillo. Si las restricciones, por muchas que sean, se limitan a dos variables o actividades. La actividades. La resolución mas sencilla es la del método gráfico. gráfico. A continuación se presenta un ejemplo de un problema de optimización (maximización de utilidad) en una explotación agrícola que tiene la opción de producir algodón o sorgo, y que tiene cantidades limitadas de algunos recursos.
MÉTODO GRÁFICO La información información básica del problema es la siguiente: La emp empres resa cuen cuenta ta con con una una sup superfi erfici cie e total de 33 hectá ectáre reas as,, toda todass apta aptass para para cual cualqu quie iera ra de los los do doss cult cultiv ivos os,, adem además ás hay hay 13.0 13.000 00 unid unidad ades es de agua agua,, 12 horas de cosechadora de algodón, 10 horas de cosechadora de sorgo y 130 horas de tractor como máximos disponibles. Se sabe que cada hectárea cosechada de algodón nos pro rop porc rciiona una utilidad de $105.00 y que cada hectárea de sorgo reporta una utilidad de $54.60 La interrogante es ¿cuantas hectáreas de algodón y/o sorgo se debe sembrar para maximizar las utilidades? En este este punt punto o toda todaví vía a falt falta a info inform rmac ació ión n para para po pode derr resolver resolver el problema, problema, pues es necesario necesario contar con los requerimientos requerimientos de cada uno de los cultivos.
MÉTODO GRÁFICO Así Así se tien tiene e que que cada cada hectá ectáre rea a de algo algodó dón n requ requie iere re:: 500 500 unidades de agua, 1/2 hora de cosechadora de algodón y 2.9 horas de tractor; y que cada hectárea de sorgo requiere: 350 unidades de agua, 0.3 horas de cosechadora de sorgo y 4.6 horas de tractor. Antes de proceder a la representación grafica del problema es adecuado representar la información en forma tabular, lo cual sirve para entender la representación matricial. RECURSO
ACTIVIDAD
ALGODÓN
SORGO
VECTOR DE RESTRICCIONES
X2
X1
1
1
≤
33
Agua
500
350
≤
13000
Cosechadora de Algodón (Hrs.) Cosechadora de Sorgo (Hrs.)
0.5
0
≤
12
0
0.3
≤
10
Tractor (Hrs)
2.9
4.6
≤
130
$105.00
$54.60
=
?
Tierra (Has.)
Función Objetivo (Utilidad por Hectárea)
MÉTODO GRÁFICO En forma matemática el problema se expresa como:
Maxi Maximi miza zarr : 105( 105(X X2) + 54.6(X1)
Suje Sujeto to a: (X1)
≤
33
500 (X2) + 350 (X1)
≤
13,000
0 (X1)
≤
12
0 (X2) + 0.3 (X1)
≤
10
(X2) + 0.5 (X2) +
2.9 (X2) + 4.6(X1)
≤130
En esta esta repr repres esen enta taci ción ón X2 y X1 indic indican an las las hect hectár área eass sembradas de algodón y sorgo respectivamente. El siguiente paso es graficar cada una de las ecuaciones para delimitar el áre rea a factible de solución. El proc rocedimiento a seguir es el sigu siguie ient nte: e: Para graficar las ecuaciónes se deberán igualar, así la de Tierra se calculan los extre rem mos de la línea:
(X2) + (X1) = 33 Si X2 es = 0 X1 = 33/1 = 33 Si X1 es = 0 X2 = 33/1 = 33
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
Hectáreas de Algodón
Hectáreas de
MÉTODO GRÁFICO De la ecuación del agua será: 500 (X2) + 350 (X 1) = 13,000 Si X2 = 0 Si X1 = 0
X1 = 13,000/350 = 37.14 X2 = 13,000/500 = 26
Combinación de producción de Algodón y Sorgo X2 Hectáreas de Algodón
X1
Hectáreas de
MÉTODO GRÁFICO De la ecuación de la cosechadora de algodón ser á: 0.5 (X2) + Si X2 = 0 Si X1 = 0
0 (X1) = 12 X1 = 12/0 = X2 = 12/0.5 = 24
Combinación de producción de Algodón y Sorgo X2 Hectáreas de Algodón
X1
Hectáreas de
MÉTODO GRÁFICO De la ecuación de la cosechadora de sorg rgo o ser á: 0 (X2) + 0.3 (X1) = 10 Si X2 = 0 Si X1 = 0
X1 = 10/0.3 = 33.33 X2 = 10/0 =
Combinación de producción de Algodón y Sorgo X2 Hectáreas de Algodón
X1
Hectáreas de
MÉTODO GRÁFICO De la ecuación de las horas de tractor ser á: 2.9 (X2) + 4.6(X1) =130 Si X2 = 0
X1 = 130/4.6 = 28.26
Si X1 = 0
X2 = 130/2.9 = 44.83
Combinación de producción de Algodón y Sorgo X2 Hectáreas de Algodón
X1
Hectáreas de
MÉTODO GRÁFICO En base base a la gr gráf áfic ica a se apre apreci cia a que que las las rest restri ricc ccio ione ness nos nos permiten delimitar un área factible de solución fuera de la cual alguna (o todas) de las restricciones limita o impide que esa combinación se pueda lograr.
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
MÉTODO GRÁFICO
El principio de substitución de productos nos indica que ante la posibilidad de tener varias combinaciones de dos productos que (curva a de posi posibi bili lida dade des s de prod produc ucci ción ón)) , el agoten insumos fijos (curv óptimo económico (en este caso, la máxima utilidad). Se localiza gráficamente donde una re rec cta cuya pendiente es la razón inversa rsa de las utilidades se hace tangente a la curva de posibilidades de producción. En este caso no tenemos una curva sino una línea quebrada que delimita la zona factible de solución, por lo que el óptimo económico estará donde una línea iso-utilidad toque al área factible de solución en su parte mas extrema, ya que en ese caso se tendrá la línea isoutilidad dad de mayor yor val valor posi posibl ble. e. Debido a la forma especial de la línea de posibilidades de producción en programación lineal esto siempre ocurre en el punto de inte inters rsec ecci ción ón de dos dos o mas mas re rest stri ricc ccio ione nes s (vér (vérti tice ce). ). En algunos casos, donde la línea iso-utilidad tiene la misma pendiente que alguna de las restricciones, la solución optima no es única sino que todas las combinaciones en el segmento de recta (o ínter plano) son capaces de lograr el mismo valor óptimo (máximo o mínimo) en la función objetivo. Y por lo tanto no hay una "única" solución.
MÉTODO GRÁFICO
En el ejemplo ejemplo anterior anterior se puede aprecia apreciarr que existen existen 5 vértices vértices en el “A”, “B”, área factible de solución que han sido denominadas como: “A”, “C”, “D” y "E". Además Además se han trazado tres tres líneas de iso-utilida iso-utilidad, d, una con valor de 1,800, otra con valor de 3,000 y otra de 2,676 viéndose que ésta última toca al área factible de solución en su parte mas extrema y que por lo tanto representa el máximo valor de la función objetivo dadas las restricciones y requerimientos de éste problema.
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
MÉTODO GRÁFICO
Tal como se puede observar la solución optima se encuentra en el punto "B" donde se agotan las restricciones de agua y de cosechadora de algodón, para saber cuantas hectáreas de cada cultivo deben sembrarse se debe resolver un sistema de ecuaciones simultaneas con las ecuaciones de la cosechadora de algodón y el de agua es decir:
0.5X2 + 0X1 = 12 500X2 + 350x1 = 13,000 La solución a este sistem ema a de ecu ecuaciones es:
X2 = 24 y X1 = 2.86 Veamos el procedimiento de este sistema simu simult ltan anea eas, s, util utiliz izan ando do el mé méto todo do de sust sustit ituc ució ión: n: 2
x
500
12 0 x 1
(12 0 x 1 ) 0.5
0.5 350 x 1 13, 000
de
ecuaciones
MÉTODO GRÁFICO 12, 000 0 x1 350 x 1 13, 000
350 x 1
13,00 ,000 12 12,00 ,000
350 x 1 1, 00 000 1
x
1,000 350
x
2
x
2
2.857
2.86
1 2 - 0 x 1 0.5
12 - 0(2.86) 0.5
12 0.5
24
MÉTODO GRÁFICO De esta manera sabemos que para maximizar las utilidades se debe sembrar 24 has. de algodón y 2.86 has. de sorgo y que el valor de nues nu estr tra a func funció ión n obje objeti tivo vo será será::
$105 (X2) + $54.60 (X1) $105 (24) + $54.60 (2.86) $2,520 + $156.16 F.O. = $2,676.16
Además se sabe que los recursos de agua y horas de cosechadora de algodón se agotaron pero que quedaran sin usarse 6.14 has. de tierra, 47.24 horas de tractor y 9.14 horas de cosechadora de sorgo, lo que demuestra que; para lograr la máxima utilidad no siempre es necesario (o se deben) utilizar todos los recursos disponibles. Cosechadora de Algodón 0.5 X 2 + 0 X1
12
0.5 (24) (24) + 0 (2. (2.86 86)) 12 12 12 Se satura el recurso
Agua 500X 2 + 350X1
13,000
500(24) + 350(2.86)
13,000
12, 12,000 000 + 1,00 1,000 0 13,00 3,000 0 1 3 , 0 0 0 1 3 ,0 0 0 Se satura el recurso
MÉTODO GRÁFICO Tierra
Cosechadora de Sorgo
X 2 + X1
33
24 + 2.86
33
26.86
0X2 + 0.3X1
10
0(24) + 0.3(2.86) 10
33
0.86 10
Sobran: 6.14 Hectáreas.
Sobran: 9.14 Horas de C.S.
Horas de Tractor 2.9X2 + 4.6X1
130
2.9( 2.9(24 24)) + 4.6( 4.6(2. 2.86 86)) 130 130 69.6 + 13.156 130 82.77 130 Sobran: 47.23
MÉTODO GRÁFICO
Enseguida obtendremos las coordenadas de los otros puntos o vértices que pudieran representar soluciones tales como los Vértices “A”, “C” y “D” . Vértice “A” representado por la intersección de la Cosechadora de Algodón en el eje de la ordenada con el valor de 24 hectáreas de algodón. Por lo tanto, la utilidad en este punto es: $105 (X2) + $54.60 (X1) = Z $105 (24) + $54.60 (0) $2,520 + $0.00 = $2,520.00 Vértice “C” representado por la intersección del Agua y las Horas de Tractor. Se debe resolver por medio de un sistema de ecua ecuaci cion ones es simu simult ltan anea eas s con con las ecua ecuaci cion ones es men enci cion onad adas as util utiliz izan ando do el método de sustitución, es decir: 500 (X2) + 350 (X1) = 13,000 2.9 (X2) + 4.6(X1) = 130
MÉTODO GRÁFICO 2
x
2.9
13, 000 350 x 1 500
(13,000 ,000 350 x 1 ) 500
1
x
4.6 x 1 130
2
x
54.6 2.57
21.24537
13, 000 350 x 1 500
75.4 2.03 x1 4.6 x 1 130
2.03 x1
4.6 x 1 130 75.4
2.57 x 1 54.6
2
x
13, 13, 000 000 350(2 350(21. 1.24 2453 537) 7) 500 500
2
x
x
2
5,564.20233463
500 11.1284
MÉTODO GRÁFICO Por lo tanto la utilidad en este punto es: $105 (X2) + $54.60 (X1) = Z $105 (11.1284) + $54.60 (21.24537) $1,168.48 + $ 1,160.00 = $ 2,328.48 Vértice “D” represen enttado por la interse rsección de las Horas ras de Trac ractor en el eje de la abscisa siendo su valor de 28.26 hectáreas de sorgo. Por lo tanto la utilidad en este punto es: $105 (X2) + $54.60 (X1) = Z $105 (0) + $54.60 (28.26) $0.00 + $ 1,543.00 = $1,543.00
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Para entender a que se refiere éste se calcularán algunos valores de nuest nu estro ro ejempl ejemplo: o: Consideramos primero el caso de cambio en los valores de la función objetivo, cuya ecuación básica es Z = 105X2 + 54.6X1 Tal como se han construido las gráficas, X2 está en el eje vertical, por lo que podríamos convertir la ecuación a la forma Y = mX + b, donde Y seria ria X2, X seria X1 y m seri seria a la pe pend ndie ient nte, e, qued quedan ando do::
X2
-
54.6 105
X1
Z 105
De donde se tiene que –54.6/105 es el valor de la pendiente de la línea iso-utilidad "Zi", significando que - 0.52 hectáreas de algodón (X2) contribuyen en la misma medida a la utilidad que una hectárea de sorgo (X 1). La única manera como la solución óptima cambiaría del punto “B” al “C” sería que la pendiente pendiente de la línea línea iso -utilidad (-0.52) aumentara por arriba del valor de la pendiente de la restricción del Agua (350X 1 + 500X2 = 13,000), cuyo valor es –350/500 = -0.7
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
m = - 0.52
m = - 0.7
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Este aumento en el valor de la pendiente de la línea iso-utilidad puede ocur ocurri rirr bás básicam camen entte en dos dos cas casos: os: 1) Si la pendiente de la línea iso-utilidad es – 54.6/ 4.6/10 105 5 ó –Px1 /Px2 y dejamos a Px2 fijo en un valor de 105, tenemos: Px1/Px2 = –0.7 Px1/105 = –0.7 al despejar Px1 tenemos: Px1 = -0.7 (105) - Px1 = $73.5 2) La segunda forma en la cual el valor de la pendiente de la línea isoutilidad podría bajar por debajo de -0.7 seria dejando Px1= 54.6 y enco en cont ntra rand ndo o el corr corres espo pond ndie ient nte e valo valorr de Px2. Tend Tendrí ríam amos os::
m = -Px1/Px2 = -0.7 -54.6/Px2 = -0.7 despejando:
Px2 = -54.6/-0.7 = $78.0
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Hasta ahora se han encontrado los valores extremos para Px1 y Px2 dejando al otro fijo de uno a la vez, antes de que la pendiente de la línea iso-u so-uttilidad dad dism dismiinuye yera ra tanto com como para para que que la soluc lución ópti ptima cam cambiar biara a de dell punt punto o “B” al “C”. Pero para calcular el rango tanto de Px1 como de Px2 antes de que un cambio en la base sucediera, hay que ver qué valores de Px1 y Px2 (dejando fijo uno a la vez) son necesarios para cambiar la solución dell punt de punto o "B" al "A". Al aumentar el valor de la pendiente de la línea iso-utilidad para tratar de - acercarnos al punto "A" se ve que tenemos que pasar a un valor de m igual a cero para que después m se vuelva positiva, lo que es irracional desde el punto de vista económico ya que implicaría que uno de las utilidades fuera negat gativo. Visto lo anterior el limite al aumento en el valor de la pendiente de la línea iso-utilidad lo repre res senta un valor infinito de la pendiente (línea horizontal). Podem emo os entonces calcular los valores que tendría rían que asum umiir Px1 y Px2 dejando fijo uno a la vez, para lograr un valor en la pen pe ndien dientte de la línea iso-u so-uttilidad dad igua gual a infi infin nito:
Combinación de producción de Algodón y Sorgo
M=0
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD A) deja ejando Px1 = 54.6 tenemos: m = - Px1 /Px2 =-54 =-54.6 .6// Px2= 0 despej despejan ando do Px2 = $ ∞
B) deja ejando Px2 = 105, tenemos: m = - Px1 /105 = 0 despejan ando do Px1 = $0.00 despej
De esta manera podemos establecer los rangos en las utilidades de las actividades (variando uno a la vez) dentro de los cuales no habría cambios en la base.
1) dejando Px1= 54.6 ; Px2 podría variar entre $ ∞ y $78.0 (valor actu actual al $10 $105) 5)..
2) dejando Px2 = 105 ; Px1 podría variar entre $73.5 y $0.00 (valor actu actual al $54 $54.6 .6). ).
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA LAS RESTRICCIONES. Consideremos el caso de la cosechadora de algodón, habría que añadir una hora más (hasta 13) y resolver de nuevo el problema viendo que la solución se encuentra ahora a un nuevo vértice o punto "F", por lo que la proporción de hectáreas en la solución óptima puede enco en cont ntra rars rse e ahor ahora a re reso solv lvie iend ndo o un nu nuev evo o sist sistem ema a de ecua ecuaci cion ones es::
C.A. = 0X1 + 0.5X2 = 13 H2O = 350X1 + 500X2 = 13,000 La solución a este sistema es: X1 = 0 y X2 = 26
y el valor de la función objetivo es $54.6(0) + 105(26) = $2,730 valor que es $ 53.83 mayor que el vértice “B” , por lo que el precio sombra (máxima utilidad a obtener por una hora de cosechadora de algodón) es de $5 $53 3.83 Para ara las las re rest stri ricc ccio ion nes que que tien enen en holgu olgura ra no ex exiiste ste pr prec eciio som sombr bra a.
