Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Auditoría Seminario de Integración Profesional Código 11196 Edificio S-12 Salón 211
GRUPO 7
FASE I TEMA: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO TRABAJO No. 7
Nombre:
Carné:
Villagrán Reynoso, Mauricio Estuardo
200315915
Rodríguez Mauricio, Brenda Verónica
200316142
Yaguas Morales, Brenda Josefina
200316164
Moscoso Ramos, Leyda Ninette
200316589
Guzmán Rivas Luis Guillermo
200713029
Lic. Walter Augusto Cabrera Hernández M.SC. Guatemala, 06 de febrero de 2013
INTRODUCCIÓN El presente documento trata sobre el interés simple e interés compuesto, las formulas y simbología utilizada en el tratamiento de los problemas de aplicación de estos temas, en el primer capítulo se presenta las generalidades sobre las matemáticas, sus ramas, ramas, características e historia, en las cuales se se enmarca el tema primordial como una aplicación de las matemáticas financieras. En el segundo capítulo se presenta la conceptualización de las matemáticas financieras, rama que se desprende de la matemática y contiene los conceptos de interés simple y compuesto. En este capítulo, se hará una exposición del origen de esta rama hasta los días presentes, así mismo se mostraran las relaciones existentes con otras ciencias, los elementos integrantes a nivel general de esta rama matemática. En el capítulo III se definen y explican los datos primordiales para una correcta interpretación, aplicación y resolución de problemas de interés simple, formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de Guatemala, simbología y ejercicios de interés simple resueltos. En el capítulo IV se definen los conceptos del interés compuesto, las formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de Guatemala, así como su simbología y ejercicios resueltos utilizando las diferentes formulas del interés compuesto. El objetivo de la preparación de este trabajo fue refrescar la información que se adquirió durante nuestra formación en los cursos de Matemáticas Financieras, con vistas a una preparación para el Seminario de Integración Profesional y los exámenes privados de Áreas Practicas de la Facultad de Ciencias Económicas
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INTRODUCCIÓN El presente documento trata sobre el interés simple e interés compuesto, las formulas y simbología utilizada en el tratamiento de los problemas de aplicación de estos temas, en el primer capítulo se presenta las generalidades sobre las matemáticas, sus ramas, ramas, características e historia, en las cuales se se enmarca el tema primordial como una aplicación de las matemáticas financieras. En el segundo capítulo se presenta la conceptualización de las matemáticas financieras, rama que se desprende de la matemática y contiene los conceptos de interés simple y compuesto. En este capítulo, se hará una exposición del origen de esta rama hasta los días presentes, así mismo se mostraran las relaciones existentes con otras ciencias, los elementos integrantes a nivel general de esta rama matemática. En el capítulo III se definen y explican los datos primordiales para una correcta interpretación, aplicación y resolución de problemas de interés simple, formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de Guatemala, simbología y ejercicios de interés simple resueltos. En el capítulo IV se definen los conceptos del interés compuesto, las formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de Guatemala, así como su simbología y ejercicios resueltos utilizando las diferentes formulas del interés compuesto. El objetivo de la preparación de este trabajo fue refrescar la información que se adquirió durante nuestra formación en los cursos de Matemáticas Financieras, con vistas a una preparación para el Seminario de Integración Profesional y los exámenes privados de Áreas Practicas de la Facultad de Ciencias Económicas
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CAPÍTULO I MATEMATICA •
1.1 Qué Son Las Matemáticas
Es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras, símbolos) símbolos).. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque sólo una una parte de las matemáticas matemáticas actuales usan usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas. Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad". Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica , especialmente con los ―Elementos de Euclides ‖. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, 2
hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad. Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.
1.2 Etimología El término matemáticas viene del griego "máthema", que quiere decir aprendizaje, estudio y ciencia, y justamente las matemáticas son una disciplina académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la estructura y el cambio. El alcance del concepto ha ido evolucionando con el tiempo, desde el contar y calcular hasta abarcar lo mencionado anteriormente. Aunque algunos las consideran como una ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que está inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones más comunes se lleva a cabo en la Física. La palabra "matemática" se referencia con lo que se aprende y viene del griego antiguo ―máthema‖, que quiere decir (campo de estudio o instrucción). El
significado se contrapone a (musiké) (lo que se puede entender sin haber sido instruido), que refiere a poesía, retórica y campos similares, se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido 3
en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a.C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es (mathématikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, (mathematikétékhné; en latín arsmathematica), significa "el arte matemática". La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego
(tamathematiká), usada por Aristóteles y que significa, a
grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna,
aunque
también
hace
uso
de
la
forma
plural
como
en Élémentsd'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas. Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito. Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
1.3 Características de las Matemáticas Cuando hablamos de matemáticas automáticamente nos formamos una imagen mental sobre los distintos temas que esta abarca , sin embargo para adentrarnos en su estudio debemos preguntarnos
¿Cuáles son las características principales de la matemática? 4
Muchos suelen preguntarse cuál es el rol de la matemática en la sociedad y de sus consecuencias sobre la enseñanza. A continuación se presentan algunas de sus características específicas:
1.3.1 Relación Particular con el Lenguaje Es importante para esto colocarse en una perspectiva histórica. La forma de expresar la matemática ha evolucionado en el curso de la historia. Se tiene hoy la idea de que una matemática perfecta sería totalmente formalizada, sabiendo sin embargo que esta matemática perfectamente formalizada no coincidiría con la matemática producida por los matemáticos en su trabajo, ni con una matemática que se enseñe.
El ideal de una formalización posible de la matemática se traduce, cuando se quieren enunciar hechos matemáticos, por la condición de utilizar un lenguaje preciso. De la misma manera, existe la obligación, cuando se utiliza un lenguaje imaginado, de vigilar que no introduzca imágenes erróneas. Esta condición puede ser vivida como una restricción insoportable, sobre todo si se acompaña, como es el caso a menudo, de un cambio o modificación de las palabras del lenguaje cotidiano. La utilización del lenguaje natural tiene evidentemente sus ventajas, ya que permite hacer frases, manipular permanentemente juegos de palabras. El peligro es de todos modos que, haciendo esto, se esté forzado a vivir una especie de doble vida, lo que no es nunca fácil de mantener.
Esta relación particular con el lenguaje explica seguramente en parte la tentación de reducir la matemática a un lenguaje, ya que desde el primer contacto que se tiene con ella es este aspecto el que puede ser más inquietante. Esto supone que se reflexione realmente sobre eso y probablemente que se tome el tiempo de discutirlo con los alumnos, aunque más no sea porque constantemente se siembra el discurso matemático de frases no matemáticas, 5
creando riesgos de confusión, y esto vale tanto para los estudiantes avanzados como para los que recién se inician.
1.3.2 Relación Particular con la Verdad Para abordar esta discusión de manera totalmente seria, habría que entrar en un debate filosófico. Esquematizando mucho, que se puede ubicar a los matemáticos en una escala. En un extremo están los platónicos, que piensan que hay una realidad matemática a la cual se accede como a otras realidades, pero con un lenguaje particular y con miradas un poco particulares, y para los cuales haciendo matemáticas no se hace otra cosa que descubrir objetos y hechos preexistentes , y después, en el otro extremo, están los intuicionistas o formalistas, quienes, por el contrario, piensan que la matemática es una construcción humana que representa un consenso entre comunidades que se definen a ellas mismas. Para ellos, no hay realidad matemática, sino simplemente un discurso que tiene sus propias reglas, en particular, reglas de coherencia bien definidas sobre campos semánticos bien definidos, pero ninguna de ellas sería una realidad en sí misma. No existe ningún matemático en un cierto momento de su trabajo, no reconozca adoptar un punto de vista un poco platónico. En efecto, demandarse si tal hecho es verdadero o falso fuerza “ipso facto” a plantear la realidad de ese hecho para saber que trabajo es el que se ha realizado. La relación particular con la verdad tiene que ver con el hecho de que los enunciados matemáticos pueden atravesar los siglos, trascender las culturas y ser también fácilmente trasmisibles. Una de las consecuencias es que la comunidad matemática es una de las más internacionales que existen.
El rol central que juega la noción de demostración como piedra angular de la disciplina, exige rigor y también esfuerzo para tomar distancia en relación con las concepciones personales o locales . Esta relación particular con la verdad tiene otra dimensión que, hay que tener en cuenta seriamente al considerarla sobre el plano de la pedagogía y de la 6
función que puede asumir la matemática en la enseñanza. En efecto, una vez que una persona (y esta persona puede ser tanto un docente como un alumno) ha establecido o comprendido una propiedad, de cierta forma se la apropia, y esto le da un recurso suplementario para resistir a las presiones exteriores que se apoyarían sobre argumentos de autoridad. •
1.4 Historia de la Matemática
• •
La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones
sobre
los
orígenes
de
los
descubrimientos
en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. • •
Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos ShulbaSutras (c. 800 a.C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.
• •
Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y elcambio.
• •
Las
matemáticas
egipcias
y
babilónicas
fueron
ampliamente
desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta 7
ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. • •
Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.
• •
1.5 El Éxito Histórico de la Matemática
• •
Un punto al cual se le otorga mucha importancia es el gran éxito de la matemática, en efecto, uno de los grandes éxitos de la historia del pensamiento humano. Es así que la herencia de los matemáticos del pasado hace que se puede decir algo sensato sobre el infinito. El gran cambio se produjo hacia el fin del siglo XVII alrededor de Newton, Leibniz y algunos otros. Este período es muy importante, ya que sirvió de fundamento para el desarrollo de todo el modo de desarrollo industrial de la sociedad de hoy en día. Sin el cálculo diferencial inventado por Leibniz y Newton no habría existido la mecánica y por lo tanto tampoco la industria tal como se la conoce. Para mí, no hay duda de que la matemática, como ciencia, ha aportado cosas radicalmente nuevas que otras ciencias no habían aportado.
•
1.6 La Matemática como Ciencia
• •
Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las ciencias". Tanto en el latín original Scientiarum
Regina,
así
como
en alemán Königin
der
Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como campo 8
de conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia. • •
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper. No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotéticodeductivas.
• •
Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora". Otros pensadores, en particular ImreLakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
• •
Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticos con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas.
• •
El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas
se
sirven
del método
científico.
En 2002 Stephen
Wolfram sostiene, en su libro ―Un nuevo tipo de ciencia ‖, que la 9
matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico. • •
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.
• •
Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
• •
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields, fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado.
•
Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los 10
problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.
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CAPÍTULO II MATEMATICA FINANCIERA 2.1 Definiciones •
Es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo combinando elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permitan tomar decisiones a la hora de una
inversión.
Llamada
también
análisis
de
inversiones,
administración de inversiones o ingeniería económica. •
Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.
Matemática financiera: es una rama de lamatemática aplicada que se ocupa de los mercados financieros. El tema naturalmente tiene una cercana relación con la disciplina de la economía financiera, pero su objeto de estudio es más angosto y su enfoque más abstracto. La "matemática financiera" es una rama de la Matemática que estudia las variaciones cuantitativas que se producen en los capitales financieros en el transcurso del tiempo, estudia las operaciones financieras simples (interés y descuento) y complejas (rentas). Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se calculan sobre el capital original. Si se trabaja en un régimen de capitalización compuesta los 12
intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se capitalizan). Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento: cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente.
2.2 Reseña Histórica y Evolución de las Matemáticas Financieras Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda. En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata. La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y 13
Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales entre otras, pasen a ser de vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros, selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales. Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de la economía financiera. Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante una competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías) presenta cada vez más dificultades matemáticas. Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de tesorería, mercados emergentes…) en las que también hay un alto contenido
en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la economía financiera. 14
2.3 Relación de la matemática financiera con otras ciencias Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por una entidad privada o institución del Estado, que le permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes aéreos terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas privadas, empresas de capital mixto e instituciones controladas por los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que permite optimizar procedimientos
manuales
relacionados
con
movimientos
económicos,
inversiones y negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
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2.4 Elementos de las Matemáticas Financieras Las matemáticas financieras tiene como objeto fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, interés, tiempo y tasa •
2.4.1 Definición de Capital
•
El término capital viene del latín ―Caput‖, que significa ‗cabeza‘, y se refiere en derecho y finanzas a una cantidad de dinero que se fía o se presta o se impone, de la cual se distinguen los réditos, utilidades o intereses cobrados por el préstamo. En lo que respecta a la definición de capital en economía, es uno de los factores de la producción, junto con el trabajo y la tierra.
También se refiere a las existencias de bienes o patrimonio acumulado que están disponibles o se usan para hacer o producir más patrimonio. En términos más corrientes el capital es un monto o cantidad entregado por un prestamista sin incluir utilidades o intereses ni cargos adicionales. Se puede decir además que son todos aquellos recursos o medios, que pueden provenir del ahorro o del préstamo, y que se destinan a la compra o adquisición de activos financieros o reales. Capital en términos cotidianos es el monto de dinero en efectivo disponible o libre para una inversión o negocio determinado. El Capital financiero se refiere a: fondos disponibles para la compra de capital real, o activos financieros, tales como bonos o acciones. Bajo el punto de vista bursátil, un capital es un caudal de dinero colocado, o destinado o asignado a serlo, en valores. Capital es un término genérico que designa un conjunto o grupo de bienes y una cantidad de dinero de los que se puede obtener, en el futuro o con posterioridad, una serie de ingresos o beneficios. En general, los bienes de consumo o gasto y el dinero empleado en satisfacer las necesidades actuales 16
no se incluyen o se incorporan en la definición económica de la teoría del capital. Capital también significa cantidad, caudal, haber o patrimonio o bienes. En el ámbito hipotecario, se entiende como el valor o importe nominal o representativo del préstamo hipotecario. Es decir, el total de la deuda o adeudo pendiente, excluidos los intereses o réditos. Otra forma de definirlo sería decir que se trata de bienes que son utilizados o empleados para elaborar otros bienes o riqueza, en otras palabras son recursos materiales o dinero que puede generar un beneficio o renta. En el contexto de un préstamo es la cantidad o monto que una entidad financiera está prestándole. Capital también puede ser el patrimonio, fortuna o propiedades poseídos, susceptible de producir una renta. Es la suma de dinero considerada como instrumento de producción y, más propiamente, potencia o poder económico en dinero, crédito, influencia moral, entre otros, capaz de proporcionar los elementos necesarios para la creación o establecimiento y marcha en la industria, empresa o negocio cualquiera. También es la cantidad a la que asciende o sube un préstamo. El Capital también es un factor de producción constituido por inmuebles, maquinaria o instalaciones de cualquier género, que, en colaboración o asistencia con otros factores o circunstancias, principalmente el trabajo, se destina o designa a la producción de bienes. Podemos decir también que es la cantidad de recursos, bienes y valores disponibles o libres para satisfacer una necesidad o llevar a cabo una actividad determinada. Estos bienes, valores o recursos pueden generar una ganancia o beneficio particular denominada renta o rédito. Otra forma de verlo se refiere a la cantidad de equipo e infraestructura utilizados o empleados en la producción de bienes y servicios, o bien el grupo o conjunto de activos financieros utilizados para generar ingresos. Es la suma de todos los recursos, bienes y valores movilizados para la formación y desarrollo 17
de una empresa o negocio. Por ejemplo cuando se habla de capital real se refiere a: edificios, equipos y otros materiales utilizados en el proceso de producción y que han sido producidos a su vez en el pasado. En un sentido amplio es el conjunto de recursos monetarios (o que se pueden convertir en dinero) de una persona. En el contexto de una empresa, son las participaciones o aportaciones realizadas por sus socios para su creación. Cuando se trata de una sociedad anónima, el capital social se divide en acciones y estas pueden ser negociadas u operadas en Bolsa. También se denomina capital (por oposición a los intereses) al principal de una renta o deuda. En el sentido económico simple es un instrumento o bien material destinado a la producción o generación de nuevas riquezas o fortuna. Es el resultado de la acción del hombre sobre la naturaleza. Una pala, una mesa, un camión, un ladrillo son capital por que son instrumentos de producción. No debe confundirse con los bienes que se producen para el consumo o gasto directo del individuo, que constituyen o forman capital. En política se denomina capital, a un pueblo, aldea, villa o ciudad en donde se encuentran la mayoría de los elementos culturales, formativos, pedagógicos, políticos y en ocasiones económicos de un país o estado. •
2.4.1.1 Capital Financiero - Capital en Finanzas
Cuando se habla de capital financiero se refiere al capital que se encuentra invertido en entidades u organismos financieras y no en actividades lucrativas o productivas que generen empleos o riqueza para más personas. El capital financiero es llamado también capital especulativo y tiene la característica principal de ser a veces "cruel", esto quiere decir que esta clase de capital se presenta o hace su aparición en los lugares donde hay capital, donde hay 18
utilidades. Por presentar un ejemplo, los capitales golondrina son un tipo de capital financiero que muestra esta perversidad, ya que cuando llegan a una economía, esta presenta comportamientos distintos a los normales o a los que su desempeño llegaría. Es decir, crean distorsiones que, luego de que el capital sale, afectan la economía y la productividad. La situación macroeconómica, tipo de cambio y de interés, son factores que incurren en la movilización de este tipo de capitales. En conclusión, el capital financiero es un tipo de capital que sólo provoca o produce rentas para quienes se hayan o se encuentran en las actividades financieras y para nadie más. El término oligarquía financiera se refiere a que hay un grupo muy pequeño de personas, particularmente en países, que detentan el capital. Latinoamérica es una de las regiones que presenta mayor concentración de los ingresos y la riqueza, esta concentración lleva mucho tiempo y ha permitido que las familias mejor acomodadas en el pasado, guarden fortunas grandes que muchas veces se han basado en la mediación financiera. El capital financiero: es el formado por la unión del capital de los monopolios bancarios e industriales en los países. La existencia del capital financiero y la consecuente aparición de la oligarquía financiera constituyen uno de los rasgos fundamentales del imperialismo. La formación del capital financiero, hecho que corresponde a los últimos años del siglo pasado y comienzos del presente, fue una consecuencia de la alta concentración de capitales en la industria y en la banca. ―La concentración de la producción; lo s monopolios que surgen de tal
concentración; la unión o fusión de los bancos con la industria, esta es la historia del surgimiento
del capital financiero. Utilizando los recursos
monetarios libres, los bancos no sólo comienzan a conceder a las empresas industriales los préstamos a corto plazo, sino, además, créditos o fondos a largo plazo. Con ello alcanzan la posibilidad de influir en la operación de las empresas e incluso determinan el destino de las mismas. Los recursos de los bancos se trasladan asimismo a la industria mediante la adquisición de acciones y creando el denominado ―sistema de colaboraciones‖, con el cual,
mediante un capital crediticio propio de volumen comparativamente pequeño, 19
se pueden controlar sumas muy superiores de capitales ajenos. Al mismo tiempo, se da un proceso de absorción de los pequeños bancos por parte de los magnos, se forman las uniones acaparadoras o monopolios denominadas sociedades o consorcios bancarios.
2.4.2 Definición de interés •
Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o también el coste de un crédito. Se expresa generalmente como un porcentaje.
•
Cargo de servicio por el empleo de dinero o de capital que el usuario para a intervalos convenidos y que se expresa comúnmente como porcentaje del capital ganado no pagado.
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El tipo de interés es el precio del dinero. Más específicamente el tipo de interés es el precio que se paga por utilizar el dinero. Como en todos los mercados, los precios regulan la oferta y la demanda a través de los precios. El dinero también tiene su mercado y la utilización del mismo tiene un precio que es el tipo de interés. En todas las economías hay personas e instituciones que tienen excedentes de ahorros (prestamistas), y otras que tienen necesidades de fondos para gastos e inversión (prestatarios). El dinero que los prestamistas ceden a los prestatarios tiene un precio, que normalmente se establece en términos de porcentaje sobre la cantidad prestada y durante un tiempo determinado.
2.4.2.1 Relevancia del Tipo de Interés en una economía •
Tipo de interés en la política monetaria. Dentro de las políticas económicas, las políticas monetarias tienen un protagonismo decisivo a la hora de mantener sendas de crecimiento estables y sin tensiones inflacionistas. El tipo de interés es utilizado por los responsables de las 20
decisiones de política monetaria para la consecución de determinados objetivos. •
Políticas monetarias restrictivas. Tienen como objetivo evitar el calentamiento de las economías y las alzas de precios. Se lleva a cabo con una política de tipos de interés elevados, incrementando el coste de acceso al crédito de empresas y particulares y reduciendo por tanto la inversión y el consumo.
•
Políticas monetarias expansivas. Tiene como objetivo impulsar la economía y alcanzar la tasa de paro no inflacionista o tasa de paro no aceleradora de inflación.
2.4.2.2 Tipos de interés existentes En cualquier economía de un país existen diferentes tipos de interés, esto suele crear cierta confusión a la hora de determinar el tipo de interés realmente aplicado en una determinada operación.
2.4.2.2.1 Interés Simple Es el interés cuando el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación.
Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son: •
El capital que se invierte o se presta,
•
El tiempo o plazo por el cual se presta,
•
El interés simple,
•
El monto (capital + interés)
•
La tasa de interés.
Así mismo definiremos:
21
Capital: Es la suma entregada por el prestamista por un periodo fijo, dicha cantidad varia a lo largo del periodo del préstamo. Interés: Es la cantidad adicional de dinero que recibirá el prestamista como beneficio del préstamo realizado. Monto: Es la cantidad total de dinero que recibirá el prestamista al terminar el periodo del préstamo, el monto varia uniformemente con el tiempo. El capital y el valor actual representan lo mismo solo que en contextos diferentes pues el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener un monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura.
2.4.2.2.2 Interés sobre saldos insolutos Es el interés que existe cuando ocurren abonos al capital y en consecuencia se paga interés únicamente sobre el monto de la deuda pendiente de liquidar.
2.4.2.2.3 Interés Compuesto Es cuando los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente periodo de tiempo. La característica de este tipo de interés es que se capitaliza el interés del periodo anterior. El periodo de capitalización es el intervalo de tiempo convenido en la obligación para capitalizar los intereses, la tasa de interés compuesto es el interés fijado por periodo de capitalización. La tasa convenida para una operación financiera es una tasa nominal. La tasa real o efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta a la tasa efectiva y esto solo depende de las condiciones convenidas para la operación. En estas operaciones el capital no es constante a través del tiempo ya que al final de cada periodo aumenta por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida. El interés puede ser convertido en capital 22
anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente, o de acuerdo a lo establecido en el contrato. A dicho periodo es denominado como ―periodo de capitalización― al número de veces que el interés se capitaliza durante un año
se le denomina cantidad de capitalización.
2.4.2.2.4 Interés Bancario Se debe distinguir en principio básicamente entre tipos de interés aplicado a «clientes de activo» o a «clientes de pasivo». Esto es, si actúan como prestamistas o prestatarios. •
Tipo de interés preferencial a mejores clientes. Dentro de los tipos de interés de las entidades de crédito también está el tipo de interés preferencial que es el que las entidades de crédito aplican a los préstamos que conceden a sus mejores clientes de activo.
•
Tipos de interés aplicados a créditos normales. Los que se conceden a la mayor parte de los clientes de activo, tienen tipos de interés más elevados que el preferencial.
•
Tipos de interés de hipotecarios, los préstamos hipotecarios suelen concederse a tipos de interés más bajos que el de los créditos normales por estar destinados a la adquisición de viviendas y tener la propia vivienda adquirida por garantía.
•
Los tipos de interés de los depósitos son los que abonan las entidades de crédito a sus clientes, y que varían si son: •
Cuentas corrientes (tipos de interés muy bajos o nulos),
•
Depósitos de ahorro (un poco más elevados)
•
Depósitos a plazo (tipos más altos dependiendo del plazo en que se mantengan inmovilizados los fondos).
2.4.2.2.4.1 Otros tipos de Interés Bancario •
Tipo de interés nominal es el que comunican los bancos y que aparecen 23
en los medios de comunicación o contratos; se caracteriza porque en él no se descuenta la tasa de inflación. •
Tipo de interés real, este tipo de interés es corregido para tener en cuenta los efectos de la inflación. Suele medirse por la diferencia entre el tipo de interés nominal menos la tasa de inflación esperada.
•
Tipo de interés interbancario: tipo de interés que aplican los bancos al intercambiarse dinero entre sí.
•
Tipo de descuento tipo de interés de los préstamos que concede el Banco Central a las entidades de crédito. También se denomina tipo de intervención del Banco Central o tipo de regulación monetaria. El BCE lo denomina «tipo de interés oficial» y lo define como tipo de interés que fija el BCE y que indica la orientación de la política monetaria expansiva o restrictiva.
2.4.3 Definición de Tiempo Es la duración del lapso en el que se calcula el interés. Es decir, el plazo de la operación. Las unidades cronológicas utilizadas generalmente son el año, el mes, bimestre, trimestre, cuatrimestre, día...
2.4.4 Definición Tasa de interés La Tasa de Interés representa el costo del alquiler del capital involucrado en un negocio. Normalmente se representa con la letra i, y se da en porcentaje por unidad de tiempo. La tasa de interés se aplica al ―periodo de composición‖, o sea al período en
el que se causan los intereses; es importante anotar que esta tasa se denomina ―tasa periódica‖, y que el período para el que ella se declara debe
coincidir con el período de partición del tiempo para el negocio (años, meses, 24
días...). La tasa de interés periódica puede aplicarse en forma anticipada o vencida, según lo estipule el contrato. Es indispensable identificar la tasa en tal situación La tasa de interés (o tipo de interés) es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. Por ejemplo, si las tasas de interés fueran las mismas tanto para depósitos en bonos del Estado, cuentas bancarias a largo plazo e inversiones en un nuevo tipo de industria, nadie invertiría en acciones o depositaria en un banco. Por otra parte, el riesgo de la inversión en una empresa determinada es mayor que el riesgo de un banco. Sigue entonces que la tasa de interés será menor para bonos del Estado que para depósitos a largo plazo en un banco privado, la que a su vez será menor que los posibles intereses ganados en una inversión industrial.
2.4.4.1 Historia del concepto Aparentemente el cobro de interés se remonta a la antigüedad más remota. Por ejemplo, en textos de las religiones abrahámicas se aconseja contra el cobro de interés excesivo. Posteriormente, en la Edad Media europea el cobro de interés fue, bajo la influencia de las doctrinas católicas, considerado inaceptable: el tiempo se consideraba propiedad divina, cobrar entonces por el uso temporal de un objeto o bien (dinero incluido) era considerado comerciar con la propiedad de Dios, lo que hizo que su cobro fuese prohibido bajo pena de excomunión. 25
Posteriormente, Tomás de Aquino adujo que cobrar interés es un cobro doble: por la cosa y por el uso de la cosa. Consecuentemente, cobrar interés llego a ser visto como el pecado de Usura. Esta situación empezó a cambiar durante el Renacimiento. Los préstamos dejaron de ser principalmente para el consumo y empezaron (junto al movimiento de dineros) a jugar un papel importante en la prosperidad de ciudades y regiones. Frente a eso, la escuela de Salamanca propone una nueva visión del interés: si el que recibe el préstamo lo hace para beneficiarse, el que lo otorga tiene derecho a parte de ese beneficio dado que no sólo toma un riesgo pero también pierde la oportunidad de beneficiarse de ese dinero usándolo de otra manera, el llamado coste de oportunidad. Con esas nuevas proposiciones se empiezan a crear las bases para la percepción del dinero como una mercadería, la cual, como cualquier otra, puede ser comprada, vendida o arrendada. Una importante contribución a esta visión se origina con Martín de Azpilcueta, uno de los más prominentes miembros de esa escuela. De acuerdo con él, un individuo prefiere recibir un bien en el presente a recibirlo en el futuro. Esa "preferencia" implica una diferencia de valor, así, el interés representa un pago por el tiempo que un individuo es privado de ese bien. En la época modernaLos primeros estudios formales del interés se encuentran en los trabajos de Mirabeau, Jeremy Bentham y Adam Smith durante el nacimiento de las teorías económicas clásicas. Para ellos, el dinero está sujeto a la ley de la oferta y demanda transformándose el interés, por así decirlo, en el precio del dinero. Posteriormente, Karl Marx ahonda en las consecuencias de esa transformación del dinero en mercadería, que describe como la aparición del capital financiero. Esos estudios permiten, por primera vez, al Banco Central de Francia intentar controlar la tasa de interés a través de la oferta de dinero (cantidad de dinero en circulación) con anterioridad a 1847. A comienzos del siglo XX, Irving Fisher incorpora al estudio del fenómeno 26
diferentes elementos que lo afectan (tal como la inflación) introduciendo la diferencia entre las tasas de interés nominal y real. Fisher retoma la idea de la escuela de Salamanca y aduce que el valor tiene una dimensión no solo cuantitativa sino también temporal. Para este autor, la tasa de interés mide la función entre el precio futuro de un bien con relación al precio actual en términos de los bienes sacrificados ahora a fin de obtener ese bien futuro. En la actualidad la concepción de la tasa de interés tanto entre académicos como en la práctica en instituciones financieras está fuertemente influida por las visiones de John Maynard Keynes y Milton Friedman.
2.4.4.2 Los tipos de interés como instrumento de la política monetaria Desde el punto de vista de la política monetaria del Estado, una tasa de interés alta incentiva el ahorro y una tasa de interés baja incentiva el consumo. De ahí la intervención estatal sobre los tipos de interés a fin de fomentar ya sea el ahorro o la expansión, de acuerdo a objetivos macroeconómicos generales. Dado lo anterior, las tasas de interés "reales", al público quedan fijadas por: •
La tasa de interés fijada por el banco central de cada país para
préstamos (del Estado) a los otros bancos o para los préstamos entre los bancos (la tasa interbancaria). Esta tasa corresponde a la política macroeconómica del país (generalmente es fijada a fin de promover el crecimiento económico y la estabilidad financiera). •
La situación en los mercados de acciones de un país determinado. Si los
precios de las acciones están subiendo, la demanda por dinero (a fin de comprar tales acciones) aumenta, y con ello, la tasa de interés. •
La relación a la "inversión similar" que el banco habría realizado con el
Estado de no haber prestado ese dinero a un privado. Por ejemplo, las tasas fijas de hipotecas están referenciadas con los bonos del Tesoro a 30 años. 27
Las tasas de interés son el instrumento primario de la política monetaria y deben moverse en una dirección consistente con el logro de las metas de inflación. Esto quiere decir que si el pronóstico de inflación está por encima de la meta, el Banco ajustaría sus tasas de interés al alza, y las bajaría en caso contrario.
2.4.4.3 Las tasas de interés en la banca En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas: •
Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias,
de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca. •
Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución
bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen.
•
Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o
general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc.
28
CAPITULO III INTERES SIMPLE
•
3.1 Definición
Es el rendimiento calculado siempre por el capital original, el que permanece invariable durante todo el tiempo o plazo de la operación. El interés que se obtiene en cada período es siempre del mismo valor. Es el Precio que se paga por un dinero obtenido en préstamo. Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital (P) y al tiempo (n). En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el t iempo (n).
CARACTERÍSTICAS a)
El capital es igual al principio como al final del plazo.
b)
Los intereses siempre son calculados por el mismo capital.
c)
En el interés siempre, los intereses nuca se suman al capital.
d)
Los intereses crecen en progresión aritmética.
29
MÉTODOS El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30 días al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da claridad a lo expuesto con anterioridad. a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360 días y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más se utiliza. b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360 días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer simplificaciones c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de interés producen un error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado exacto, lo cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes, porque las diferencias serán significativas cuando se usa otra clase de interés diferente al racional. Lo importante, es realizar cálculos de intereses que no perjudiquen al prestamista o al prestatario. d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa 365 o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente, no tiene utilización y es el más barato de todos.
30
3.1.1 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple: a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor final no es representativo del valor inicial. c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por consiguiente, pierden poder adquisitivo.
3.2 Factores que Intervienen en el Cálculo del Interés Simple •
Capital o Principal: Es el dinero sobre el que se aplica el interés.
•
El Tiempo: Período durante el que se presta el dinero.
•
Tasa de Interés: Medida de cobro o pago que se utiliza. Se expresa en forma porcentual, ejemplo: 5%, 10%,...
3.3 Generalidades del Interés •
Interés: Es el rendimiento del capital entregado en préstamo. Es la renta que gana un capital. Es la ganancia producida por un capital.
•
Operaciones Financieras a corto plazo: Son todas las operaciones realizadas hasta por un año plazo. Son aplicadas en el Interés y el Descuento Simple.
3.3.1 Estandarización u Homogeneización de Factores (Estandarizar los datos sobre una misma base)
Es muy importante saber homogenizar los factores que se relacionan en un problema de interés simple a continuación se presenta los principales datos sujetos a estandarización. 31
Estandarización Capital de Q.15, 000.00
P = Q. 15,000.00
Deuda de Q.25.5 miles
P = Q. 25,500.00
Plazo de 8 años
n=8
Plazo de 8 meses
n = 8/12 ó 0.6666666
Tiempo de 8 días
n = 8/360 ó 0.02222222
Tasa del 25% anual
i = 0.25
Tasa del 15% semestral
i = 0.30
Tasa del 5% trimestral
i = 0.20
Tasa del 5% bimestral
i = 0.30
Tasa del 10% cuatrimestral
i = 0.30
Tasa del 2% mensual
i = 0.24
Tasa del 2% bimensual
i = 0.48
3.4 Simbología En el cálculo de interés simple utilizaremos la siguiente simbología.
P = Capital o Principal n = Plazo o tiempo i = Tasa de interés I = Interés
32
3.5 Formulas de Interés Simple
•
Interés
I= Pni
•
Capital ó Principal
P = _ _I_ ni
•
Tasa de Interés
i=
_ _ I_
Pn
•
Tiempo
n= ____I __ Pi
3.5.1 Factores que sustituyen a la variable “n” para calcular interés simple en periodos menores de un año, dependiendo del método
Método
Simbología
Factores
Interés Exacto
Ie
t/365 ó t/366
Interés Ordinario
Io
t/360
De las Obligaciones
Ieb
h/360
Mixto
Im
h/365 ó h/366
Donde: t = Número de días exacto entre dos fechas dadas h = Número de días entre dos fechas, considerando todos los meses de 30 días
33
3.5.2 Formulas Derivadas del Monto
•
Monto
S = P(1+ ni )
•
Capital o Principal
P = __ S __ 1 + ni
•
Tasa de Interés
i = __ S/P - 1 __ n
•
Tiempo
n= __S/P - 1 __ i
•
3.6 Métodos para la Aplicación del Interés Simple
En la práctica todos los problemas de interés tienen alguna fracción de año, por lo cual se aplican los siguientes métodos:
3.6.1 Método Interés Exacto (I e)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si es bisiesto por lo que se dividirá el número exacto de días entre fechas, dentro de los días que corresponden al año que se está efectuando dicho cálculo, la aplicación será sobre ―n‖ de la siguiente manera:
34
n = t/365 o 366 t = número exacto de días entre fechas
3.6.2 Método Interés Ordinario (I o) En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360 días por lo que se dividirá el tiempo dentro de los 360 días del año que se está efectuando dicho cálculo, la aplicación será sobre ―n‖ de la siguiente manera:
n = t/360
3.6.3 Método Interés de las Obligaciones (Ieb) En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360 días por lo que se dividirá el número de días entre fechas dentro de los 360 días del año que se está efectuando dicho cálculo, tomando en cuenta que todos los meses se suponen d e 30 días, la aplicación será sobre ―n‖ que en la aplicación de este método será sustituido por el símbolo ―h‖ de la siguiente
manera:
n = h/360
3.6.4 Método Interés Mixto (Im) En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si es bisiesto por lo que se dividirá el número de días entre fechas, dentro de los días que corresponden al año ya sea 365 o 366, la aplicación será sobre ―n‖ de
la siguiente manera:
n = h/365 o 366 35
3.7 Interés Simple con Fracción de Año En la aplicación del interés simple existen factores que sustituyen a la variable •
―n‖ para el cálculo del interés en periodos menores de un año y se aplican
acorde al método sobre el cual se trabaje el interés
3.7.1 Calculo del Tiempo “n” en Fracción de año
El día que se recibe dinero en préstamo, como el día en que se paga, se conocen como días terminales. Para el cómputo del tiempo se toma en cuenta uno solo de ellos ya sea el primero o el último.
La Junta Monetaria, en resolución contenida dentro de las medidas de política monetaria describe lo siguiente: ―Para el cálculo de interés y recargo se incluirá
el día de la apertura de la cuenta o entrega de los fondos, y se excluirá el día de vencimiento de la obligación‖.
Entre dos fechas cualesquiera, se puede encontrar el número de días exacto ―t‖, o bien considerando todos los meses de 30 días, el número de días ―h‖, en
ambos casos se deberá computar uno solo de los días terminales. Ejemplos para el cálculo de ―t‖ y ―h‖:
Valores ―t‖:
Del 15 de enero al 18 de septiembre del 2008 t=31-15=16+29+31+30+31+30+31+31+18= 247 días.
•
Del 23 de marzo al 29 de octubre del 2007: t= 31-23= 8+30+31+30+31+31+30+29= 220 días.
Valores ―h‖: 36
•
Del 15 de enero al 15 de septiembre del 2008: h= 30-15= 15+30+30+30+30+30+30+30+15= 240 días.
•
Del 3 de mayo al 8 de noviembre del 2008: h= 30-3= 27+30+30+30+30+30+8= 185 días.
3.7.2 Cálculo del Tiempo “n” Incluyendo Años Completos y Fracción de
Año Para el cálculo de los años completos no existe ninguna dificultad, pero para el cálculo del tiempo de la fracción de año, se tiene que tener especial cuidado en determinar si se trata de tiempo ―t‖ o ―h‖.
Para la determinación del tiempo ―n‖, se debe interpretar el resultado,
dependiendo del método aplicado, el número de días que se obtenga puede corresponder a días calendario ―t‖, o a días comerciales ―h‖. •
3.8 Incógnitas a Resolver Derivados y con Aplicación del Interés Simple
•
•
(Cálculo del Principal, Tasa de Interés y Tiempo)
Para el cálculo de estas incógnitas se utilizaran las formulas básicas contenidos en el prontuario respectivo.
3.8.1 Calculo del Monto (S) Es la suma del capital o principal más los intereses. Es la suma o cantidad que se tiene que pagar por un capital prestado. Para su cálculo se pueden aplicar cualquiera de los 4 métodos conocidos. El 37
tiempo puede ser ―n‖ para años completos y para fracción de tiempo ―t‖ o ―h‖,
según sea el método a aplicar.
3.8.2 Cálculo del Valor Actual (P) Es el valor de una suma, en cualquier fecha anterior a la que tiene que hacerse efectiva. Es el valor que se tiene antes de su vencimiento, y posee las siguientes generalidades: Es el valor de una cantidad de dinero en cualquier fecha anterior a la que debe ser defectiva o sea la fecha de su vencimiento. •
Se aplican los 4 métodos conocidos, si no se indica cuál, se aplica el Método Ordinario,
•
El Valor Actual siempre será menor que el Monto,
•
El Valor Actual es igual al Monto menos el Interés, (P = S—I)
Fechas de Valuación de las Obligaciones Las obligaciones se pueden Valuar
Al inicio
En cualquier fecha intermedia
Un día antes de su vencimiento
3.8.2.1 Deudas que no Indican que Devengan Interés y Deudas que si Indican que Devengan Interés Para formalizar una deuda, generalmente se usan los siguientes documentos: •
Escrituras Públicas o Privadas,
•
Pagarés,
•
Facturas Cambiarias y otros
Algunos de estos documentos indican que devengan interés, como el caso del 38
Pagaré, y en otros no se indica que devenga interés, como en el caso de la Letra de Cambio
Valor al Vencimiento
•
En algunos casos, es el mismo valor nominal del documento, como sucede en las Letras de Cambio; pero en otros casos el valor al vencimiento, será el valor nominal del documento más los intereses correspondientes, si se indica que devenga interés, como en el Pagaré.
3.8.3.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que no Indican que Devengan Interés:
En este caso, se limita a obtener el valor actual, respecto al valor nominal de la deuda, el cual es el mismo valor al vencimiento que deberá pagarse en fecha futura
3.8.3.1.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que si Indican que Devengan Interés
Se debe tener el cuidado de establecer primero, el valor al vencimiento del documento u obligación, el cual no es igual a su valor nominal, para luego determinar el valor actual correspondiente. Pasos a Seguir:
•
Se calcula el valor al vencimiento del documento, con base al valor nominal, tomando como tiempo el plazo total (fecha de emisión a fecha de vencimiento), aplicando la tasa de interés que se menciona que devenga el documento.
•
La tasa de interés que devenga el documento, no necesariamente es 39
igual a la tasa de interés aplicada para el cálculo del valor actual, pueden ser tasas y métodos diferentes. •
El valor al vencimiento determinado, sirve de base para el cálculo del valor actual deseado.
3.8.4 Ecuación de Valor (Consolidación de Deudas) Son dos series de obligaciones, vinculadas por el signo de la igualdad (=), valuadas a una misma fecha, llamada ―Fecha Focal‖ o ―Fecha de Valuación‖. En la Ecuación de Valor, se presentan los siguientes casos: •
Cuando la fecha focal, es posterior al vencimiento de la última obligación. Significa que se tiene una suma de montos.
•
Cuando la fecha focal, es anterior al vencimiento de la primera obligación. En este caso se tiene una sumatoria de valores actuales.
•
Cuando la fecha focal, corresponde a una fecha intermedia entre el vencimiento de las diferentes obligaciones. En este caso se tiene una suma de montos y valores actuales.
La ecuación de valor, se utiliza principalmente en la consolidación de deudas, es decir, cuando el deudor considera conveniente que una serie de obligaciones, las puede pagar en una sola vez, o en pagos diferentes a los inicialmente pactados.
Procedimientos para el Cálculo de la Ecuación de Valor
•
•
Se establecen las fechas de vencimiento, de cada una de las obligaciones a sustituir, con sus respectivos valores al vencimiento.
•
Determinar la fecha focal o de valuación en la gráfica de tiempo y valores.
•
Se valúa a la fecha focal, cada una de las obligaciones, ya sea aplicando montos o valores actuales. Posteriormente se procede a sumar todos esos nuevos valores, consolidándolos en una sola cifra.
40
3.9 Temas Actuales en los Cuales Podemos ver la Aplicación del Interés Simple
3.9.1 Reportos
Se denomina como la inversión a corto plazo, por la que se recibe a cambio la propiedad de títulos de crédito, con la condición de revenderlos a sus propietarios, al vencimiento de la operación. El plazo de los reportos generalmente está comprendido entre uno y sesenta días. Para las operaciones de reportos, el año se debe tomar de 365 días. Y se manejan las siguientes definiciones a) Reportado: Quien necesita dinero y b) Reportador: Quien da el dinero.
3.9.2 Bolsa de Valores Lugar en donde se realizan negociaciones de compra-venta de acciones, títulos valores, bonos y otros valores de las empresas.
3.9.3 Casa de Bolsa Persona jurídica que habiendo llenado los requisitos establecidos, en el Reglamento de la Bolsa de Valores, se dedica a la intermediación de la compra-venta de títulos valores.
3.9.4 El Corro Oficina o lugar en donde se efectúan las operaciones bursátiles.
4. Descuento Simple Es una rebaja que se hace sobre el costo de un producto, o del valor de un título de crédito. Financieramente el descuento propiamente dicho, es aquel en el que intervienen las variables: TIEMPO, TASA DE INTERES y CAPITAL. 41
4.1 CLASIFICACION DEL DESCUENTO SIMPLE: a)
Descuento Racional
b)
Descuento Bancario
c)
Descuento por Pronto Pago
d)
Descuento Único, en Serie, en Cadena o Sucesivo.
a) DESCUENTO RACIONAL: Es la diferencia del monto o valor al vencimiento de una deuda, con su valor actual. La base de cálculo es el Principal o Capital.
Nota: El Descuento Racional, es igual al Interés Simple, con la diferencia de que el interés simple se paga al vencimiento, y el descuento racional, es pagado por anticipado.
SIMBOLOGIA: Dr = Descuento Racional P = Valor Actual o Principal n = Tiempo (se aplican los 4 métodos conocidos) i = Tasa de Interés.
b) DESCUENTO BANCARIO O COMERCIAL: Es el interés que se paga por anticipado, calculado sobre el monto o valor al vencimiento a una tasa de descuento pactada, por el período transcurrido entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento.
42
El descuento bancario o comercial, se utiliza en el sistema bancario. Como base para el cálculo del tiempo se toman 365 días, aun sea año bisiesto. Su cálculo se basa en el Interés Simple Exacto.
SIMBOLOGIA: Db = Descuento Bancario S = Monto o valor al vencimiento n = Tiempo (t/365) d = Tasa de Descuento VL = Valor Liquido.
DIFERENCIA ENTRE EL DESCUENTO RACIONAL Y EL DESCUENTO BANCARIO: El descuento racional, se calcula sobre la base del Principal y se aplican los 4 métodos.
El descuento bancario, tiene como base de cálculo el Monto o valor al vencimiento, y se aplica únicamente el Método Exacto.
RELACION ENTRE EL DESCUENTO BANCARIO Y EL DESCUENTO RACIONAL (Tasa de descuento e interés equivalente): El descuento bancario se calcula sobre la base del monto, el descuento racional sobre la base del principal, por lo que el monto siempre será mayor que el principal, por lo cual se concluye: El descuento bancario a cualquier tasa de descuento, siempre será mayor que el descuento racional, a igual tasa de interés y por el mismo plazo.
43
Para que el importe del descuento bancario y del descuento racional, sean iguales, es necesario que la tasa de descuento racional sea mayor, que la tasa de descuento bancario . Ejemplo: Datos del Descuento Bancario: S = Q.95,000.00 DB = Q.13,013.70 VL = Q.81,986.30 d = 0.20 n = 250/365
TASA EQUIVALENTE DESCUENTO RACIONAL i =
Dr. Pxn i= 13,013.70 81986.30x0.68493151 i = 0.23174606 = 23.17% anual.
c) DESCUENTO POR PRONTO PAGO (Está relacionado con el Interés Simple): Constituye una rebaja concedida sobre el precio de mercadería, como un incentivo para pagar de inmediato (contado) o dentro de plazo específico. Los descuentos se expresan en las facturas o documentos, por medio de números quebrados, en donde el numerador indica la tasa de descuento a aplicar, y el denominador el plazo máximo dentro del cual se puede aprovechar el descuento.
RELACION DEL DESCUENTO POR PRONTO PAGO CON EL INTERES SIMPLE ORDINARIO: El cálculo del importe del descuento, no tiene mayor complejidad, siendo lo importante establecer desde el punto de vista financiero, que alternativa resulta más ventajosa y debe aprovechar el comprador, para lo cual se debe determinar una relación de cada descuento con el interés simple ordinario (tasa de interés). Fórmula a
i=
I 44
utilizar: Pn
d) DESCUENTO UNICO, EN SERIE, EN CADENA O SUCESIVO: Es una serie de rebajas sucesivas, sobre el precio de catálogo, que los proveedores ofrecen en ventas estrictamente al contado. Con estos descuentos, el proveedor obtiene mayor clientela, ajusta los precios en relación a los del mercado y ofrece incentivos en compras por mayor. FORMULAS: Contenidas en el Prontuario de formulas respectivo.
METODO DE CALCULO: Consiste en calcular sucesivamente cada descuento ofrecido, sobre el valor neto de la factura, estableciendo el descuento único, equivalente a todos los descuentos. Se aplican el Método Directo (por medio de la fórmula) y el Método Indirecto (por medio de cuadro, conteniendo las columnas siguientes: Número de descuentos, porcentajes de descuentos, valor factura, importe del descuento y valor neto). INTERES COMPUESTO Definiciones
•
Es el rendimiento que si no se paga en el período, se aumenta al capital y junto con él, produce más interés. Significa que en cada período posterior, el interés es mayor, ya que esta calculado sobre el capital original más los intereses de los períodos anteriores. La capitalización del interés se da únicamente en el interés compuesto El interés compuesto se aplica en operaciones financieras a largo plazo, es decir mayores del año, ya que mientras mayor sea el plazo, más capitalizaciones se dan, siendo mayor el rendimiento que produce en relación con el interés simple. Es aplicable en campos no financieros tales como, el estudio de fenómenos relacionados con seres vivos que 45
se reproducen de manera geométrica y para determinar la tasa de natalidad y crecimiento de las poblaciones
•
El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga-al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación –los intereses correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses) Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple.
Nota: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con los periodos a los que se refiere la tasa. En caso de que no se especifique su vencimiento, se entenderá que ésta es anual, y lasa capitalizaciones, anuales. •
En las transacciones financieras efectuadas a interés simple el capital permanece constante durante todo el lapso convenido, en cambio en las realizadas a interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, ya que a intervalos establecidos, el interés generado es agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso, se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en consecuencia, también gana interés. Si los intereses producidos en cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores, dado que incluyen los intereses de periodos anteriores, se le denomina interés compuesto al que se paga sobre capitales que se incrementan de ese modo.
En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple, es importante determinar los plazos en que se van a vencer los intereses, para que se puedan 46
especificar las capitalizaciones, y , en consecuencia, establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto)
El interés compuesto en las transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo (mayora a un año), el interés puede ser manejado de dos maneras:
•
A intervalos establecidos, interés vencido se paga en efectivo o en otra forma de pago, el capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción, en este caso estamos tratando con interés simple.
•
A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital (por ejemplo en las cuentas de ahorro). En este caso se dice que el interés es capitalizado o convertible en capital y, en consecuencia también gana interés; el capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente durante el periodo de la transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto.
Diferencias entre el interés compuesto y el interés simple •
El crecimiento del interés simple es aritmético, y el interés compuesto es geométrico.
•
El interés simple es igual en cada periodo del plazo de la operación, mientras que el interés compuesto es mayor en cada período posterior.
•
El interés simple siempre se calcula sobre el mismo capital, el interés compuesto se calcula cada vez sobre un capital mayor, al que se le 47
acumulan los intereses generados en el periodo anterior.
Igualdades entre el interés compuesto y el interés simple •
En el cálculo de ambos se aplican factores ya conocidos como: capital, tiempo y tasa de interés.
•
En los dos se obtienen los conceptos básicos: básicos: Interés, monto y valor actual.
Factores del interés compuesto que se aplican Factor de Acumulación: Es aquel que siempre tiene un valor mayor que la unidad, se usa para determinar montos. •
Tasa efectiva:
Tasa nominal:
Factor de Descuento: Siempre tiene un valor menor que la unidad. Se aplica en el cálculo de valores actuales. •
Tasa efectiva:
Tasa nominal:
•
Conceptos Relacionados Son elementos que aparecen en este tipo de interés diferenciándolo del interés simple, entre estos nuevos elementos tenemos:
Periodo de Capitalización Es el tiempo que trascurre entre una y otra capitalización. Es el tiempo que transcurre entre uno y otro pago de interés. El periodo de capitalización o periodo de conversión es el intervalo de tiempo existente entre dos capitalizaciones sucesivas y pueden ser: anualmente, semestralmente, cuatrimestral, trimestralmente, mensualmente, diaria. Sin embargo
existen
instrumentos de inversión como como los pagares bancarios donde los plazos plazos puede 48
llegar a ser a siete, catorce, veintiocho, noventa y uno, o ciento ochenta y dos días.
Frecuencia de Capitalización Es el número de veces en un año que el interés se adiciona al capital. Es el número de capitalizaciones en el año. A continuación se muestran los valores de las frecuencias de capitalización o de conversión (m) más usuales.
Tasa Efectiva de Interés Es la tasa de interés cuya capitalización se realiza una vez en el año.
Tasa Nominal de Interés Es la tasa de interés cuya capitalización se realiza dos o más veces en un año; además se indica el número de capitalizaciones en el año, empleando la literal ―m‖.
Simbología En el cálculo de interés compuesto utilizaremos la siguiente simbología.
S = Monto o valor al vencimiento P = Capital o Principal I = Interés Compuesto 49
I = Tasa efectiva de interés J = Tasa Nominal de Interés M = Número de Capitalizaciones en el año N = Tiempo
Formulas de Interés Compuesto •
Interés
I = P [ (1+j/m)mn-1]
•
Principal
P= _____I________ _____I________ (1 +j/m) mn-1
•
Tasa de Interés
j = m [ (I/P + 1] 1/mn -1)
•
Tiempo
n= __Log (I/P+ 1)___ m Log (1 +j/m)
Formulas de Interés Compuesto en Función del Monto
•
Monto
S = P(1+ j/m)mn
•
Principal
P = S(1+ j/m)-mn
•
Tasa de Interés
j = m [ (S/P)1/mn – 1] 50
•
Tiempo
n= __Log (S/P)___ m Log (1 +j/m)
Formulas de Interés Compuesto en Tasas equivalentes
•
Tasa nominal de interés equivalente a una tasa efectiva dada
J(m) = [(1+i)1/m-1] •
Tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal dada
i = [(1+j/m)m-1] •
Tasa de interés simple equivalente a una de interés compuesto durante ―n‖ años
is = (1+ic)n-1 n •
Tasa de interés compuesto equivalente a una de interés simple durante ―n‖ años
ic = (is n + 1)1/n -1 •
Tasa nominal equivalente a otra tasa nominal dada
J(2) = {m2 [(1+j1 /m1)m1/m]1/m2n}-1 •
Formula General
i = (1+ j/m)m/p -1
51
Métodos de Cálculo del Interés Compuesto •
Cuando Dentro del Plazo Cambia la Tasa de Interés: Lo que se debe hacer es definir las tasas, especificando que tasa estuvo vigente en cada período para su cálculo. Las fórmulas aplicadas son las del interés compuesto, modificando el factor de acumulación o de descuento, según sea el caso •
Factor de Acumulación: tasa efectiva (1+ i) n tasa nominal (1+j/m)mn
•
Factor de Descuento: tasa efectiva (1+i) -n tasa nominal (1+j/m)-mn
En ambos casos los factores se disgregan en las veces que cambia la tasa de interés. Los resultados de los sub-factores se multiplican entre si..
•
Cuando el Plazo de la Operación incluye Fracción del Periodo de Capitalización: En operaciones financieras para obtener máximos rendimientos, se aplican las tasas de interés simple y compuesto en diferentes períodos, cuando se incluye períodos completos y fracción de período de capitalización. Para su cálculo se aplican los métodos siguientes: •
Método Combinado o Mixto: Interés compuesto para períodos completos de capitalización e interés simple para la fracción de período de capitalización. Se obtiene más rendimiento.
•
Método Simple: Interés compuesto para todo el plazo de la operación. Este método resulta más equitativo.
•
Multiplicación de capitales (Tiempo y Tasa): Significa reproducir un capital, cuantas veces lo requiera el inversionista, con base a una tasa de interés y tiempo necesario.
52
•
Tasas Equivalentes: para este cálculo tendremos los siguientes dos casos.
•
Tasa efectiva equivalente a una tasa nominal conocida: Es establecer la tasa efectiva anual que producirá el mismo rendimiento de una tasa nominal conocida. Fórmula:
•
i = (1+j/m)m - 1
Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva conocida: muchas veces es necesario obtener una tasa nominal que produzca el mismo rendimiento que una tasa efectiva. Fórmula:
j = m[(1+i) 1/m – 1]
53
CAPÍTULO IV CASOS PRACTICOS INTERES SIMPLE Problema No. 1 Se desea compra un automóvil que tiene un costo de Q25,000. En este momento pueden apartarlo con un enganche de Q 5,000 y pagan el resto con un documento por pagar a 6 meses aplicando una tasa de interés simple anual de 12%. ¿De cuánto es el valor final del documento? Primero que nada se deben de identificar los datos que el problema está planteando y posteriormente se procede a identificar qué es lo que está pidiendo resolver. Datos: •
Valor inicial = Q 25,000, pero el problema está diciendo que se va
a dar un enganche de Q 5,000 así que el valor inicial de la deuda será de Q 20,000 (Monto menos el enganche) entonces P = Q 20,000.
•
El tiempo va ser seis meses, entonces n = 6.
•
La tasa de interés simple anual es de 12%.
Como se anoto anteriormente que ―n e i‖ tienen que ir en la misma unidad de
medición. Si el interés esta mensual y el tiempo anual se tienen que hacer la conversión como es en el caso de éste problema. En este caso utilizaremos de interés este mensual y se obtiene dividendo la tasa entre el numero de meses que tiene un año (12% / 12), nos da como resultado 1% mensual y para efectos de este ejercicio requerimos de 6 meses de intereses que nos cobrará la empresa que nos brinde el crédito por el bien a adquirir. Ya que se obtienen los datos se procede a responder la pregunta:
54
¿De cuánto es el Monto Final del documento? Se analizan las diversas fórmulas que se explicaron anteriormente y se procede a elegir la que satisfaga la pregunta. En este caso lo que se busca es el valor de los intereses. I = Pni Ya identificada la fórmula, se procede a sustituir los valores con los datos que anotamos en la primera etapa: I = (Q 20,000) (6)(0.01) = Q 1,200 Lo cual nos indica que pagaron Q 1,200 de intereses por la adquisición de la camioneta. Haciendo una breve recapitulación del problema ¿Cuánto fue realmente lo que les costará tener el automóvil? Tenemos que considerar que se dará un enganche de Q 5,000, que le financiaron Q20,000 y el costo de ese financiamiento (interés) fue de Q 1,200, entonces lo que realmente vinieron pagando fue una suma de los tres elementos Q 26,200.
3 Problema No. 2 Si se invierten Q.40,000.00 a una tasa del 10% semestral simple. ¿Cuánto se genera por concepto de interés semestre a semestre? Datos: P = 40,000 i = 0.10 * 2 = 0.20 n = ½ = 0.5 I=?
I = Pni I = 40,000(0.5)0.20 I = 4,000
55
Problema No. 03 Se depositan Q.7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple, ¿Qué cantidad se retiró? Datos: P = 7,500
S = P(1+ ni)
i = 0.015
S = 7,5000 (1+48/360*0.015)
n = 48/ 360 = 0.13333...
S = 7,515.00
S=?
Problema No. 04 Por una inversión a 18 meses se recibieron Q.600,000.00 con rendimiento del 14% anual de interés simple exacto. a) ¿Cuál fue el capital invertido? b) ¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses? Datos:
P =?
I=?
S = 600,000
a) P = S /(1+ni)
b) I = Pni
Ie = 0.14
P = 600,000 / (1+ 1.5*0.14)
I = 495,867.77(1.5)0.14
n = 18/12 = 1.5
P = 495,867.77
I = 104,132.23
Problema No. 05 Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al 4.5% anual. La primera produce Q.697.50 de interés por un año. ¿Cuánto produce anualmente en concepto de intereses todo su capital? Datos: (3/8 K) io = 0.06 n=1 I1 = 697.50
Si 3/8 ----> 11,625.00 P = I / (ni) P1 = 697.50 / (1 * 0.06)
5/8 ---->x 5/8 = 19,375.00
P1 = 11,625.00
P1 = 3/8 k =? Datos: 56
P2 = 19,375.00
I = Pni
n=1
I1 = 697.50
I2 = 19,375(1)0.045
i2 = 0.045
I2 = 871.88
I2 = 871.88 I = 1569.38
P1 = 3/8 k =?
Problema No. 06 El 18 de abril se depositaron Q.37,500.00 y el 18 de octubre se retirará la inversión. Si la tasa de interés simple fue del 19% anual. a) ¿Cuántos días exactos transcurrieron entre las dos fechas? b) ¿Cuánto se retirará el 18 de octubre, si se aplica el método mixto?
Ab 30 Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Total de días
M. exacto 18 = 12 31 30 31 31 30 18 183
30
M. Mixto - 18 = 12 30 30 30 30 30 18 180
Datos: P = 37,500.00 im = 0.19 n=180/365=0.49315.. S=? S = P(1+ ni) S = 37,500(1+ 180/365*0.19) S = 41,013.70 S= 41,013.70
57
Problema No. 07 Por un depósito de Q.1,500.00 hecho el 24 de enero nos ofrecieron devolver Q.1,771.43 el 15 de septiembre. a) ¿Cuál sería la tasa de interés simple ordinario aplicada? b) ¿Cuál sería la tasa de interés simple si se aplicara el método de las obligaciones? M. Ordinario Enero 31
M. Obligaciaones - 24 =
7
30
-
24
=
6
Febrero
28
30
Marzo
31
30
Abril
30
30
Mayo
31
30
Junio
30
30
Julio
31
30
Agosto
31
30
Septiembre
30
30
Octubre
18
18
267
264
Total de días M. Ordinario
b) M. Obligaciones
S = 1,771.43
S = 1,771.43
P = 1,500
P = 1,500
I = 271.43
I = 271.43
n = 234/360 = 0.65
n = 231/360 = 0.64167..
i = I / Pn
i = I / Pn
i = 271.43 / (1500*0.65)
i = 271.43 / (1500*0.64167..)
i = 27.84%
i = 28.20%
58
Problema No. 08 Por la compra de una televisión se efectuarán dos pagos de Q.3,500.00 cada uno a los 60 y 90 días respectivamente, cobrándose una tasa de interés simple de 40% anual. Encontrar el valor de los pagos sí:
Problema No. 09: Si se invierte Q. 40,000.00 a una tasa del 10% semestral simple, ¿Cuanto se genera por concepto de interés semestre a semestre?
Datos: I =? P = 40,000.00 i = 10% * 2 n = 6 meses
I=Pni I = 40,000.00 * 0.5 * 0.2 I = 4,000.00
59
Problema No. 10: Se depositan Q. 7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple. ¿Qué cantidad se retiro?
Datos: S =? P = 7,500.00 n = 48 días t / 360 i = 0.015
S=P(1+ni) S = 7,000.00 ( 1 + 48 / 360 * 0.015) S = 7,500.00 ( 1 + 2.03) S = 7,500.00 ( 1.002) S = 7,515.00
Problema No. 11: Por una inversión a 18 meses se recibieron Q. 600,000.00 con un rendimiento del 14% anual de interés simple exacto. ¿Cuál fue el capital invertido? ¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses?
¿Cuál fue el Capital invertido? Datos: P =? n = 18 meses i = 14% S = 600,000.00
P =
S 1+ni P = 600,000.00 1 + 18/12 * 0.14 P = 600,000.00 1 + 0.21 P = 600,000.00 1.21 P = 495, 867.77
¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses? I=Pni I = 495,867.00 * 18/12 * 0.014 I = 495,867.77 * 0.021 I = 104,132.23
60
Problema No. 12: El día 19 de julio se concedió un prestamos por Q. 7,000.00 al 3.5% trimestral y se recibió al vencimiento del plazo Q. 7,451.89. ¿Por cuánto días fue concedido el préstamo y en qué fecha venció?
Datos: n =? P = 7,000.00 i = 3.5 * 4 = 14% S = 7, 451.89
n= S/P-1 i n = 7, 451.89 / 7,000.00 - 1 0.14 n = 1.06455571 - 1 0.14 n = 0.06455571 0.14 n = 0.46111224 * 360 n = 166 días P = 495, 867.77
Problema No. 13: Un titulo de crédito fue negociado 3 meses antes de su vencimiento, con qué valor nominal Q. 1,750.00, y vendido en Q. 1,450.00 ¿Que tasa de descuento se considero en la transacción?
Datos: Dr. =? n = 3/12 P I= 1,540.00 S = 1,750.00 i=¿
Dr. = S - PI Dr. = 1,750.00 - 1,540.00 Dr. = 210.00 i=
210.00 1,540.00 * 3/12 i = 210.00 385 i = 0.545454545 * 100 i = 54.54 %
61
Problema No. 14: Cuantos días antes de su vencimiento, se negocio un pagare en Q. 784.00 si su valor nominal es de Q. 850.00 aplicándole una tasa de descuento racional del 22% anual.
Datos: Dr. =? n =? P = 784.00 i = 22% S = 850.00
Dr. = S - PI Dr. = 850.00- 784.00 Dr. = 66.00 n=
66.00 784.00* 0.22 n = 66.00 172.48 n = 0.38265306 * 360 n = 138 días
PROBLEMA No. 15. El día 31 de julio se factura al crédito mobiliario y equipo por valor de Q.35,000.00 con las siguientes condiciones de pago: 14%/contado, 12/30, 9/60 y neto/90. Se pregunta. a) ¿Cuál es la mejor opción desde el punto de vista financiero? b) ¿Cuánto debe pagar si cancela el 31 de Agost
S plazo 0 30 60 90
V. factura Q35,000.00 Q35,000.00 Q35,000.00 Q35,000.00
I % Desc.
14% 12% 9% 0%
Valor desc.
Q4,900.00 Q4,200.00 Q3,150.00 Q0.00
P
V. a pagar
i = I / Pn
i
Q30,100.00 i = 4,900 / (30,100*90/360) Q30,800.00 i = 4,200 / (30,800*60/360) Q31,850.00 i = 3,150 / (31,850*30/360) Q35,000.00 -----
65.12% 81.82% 118.68% 0.00%
a) La mejor opción desde el punto de vista financiero es pagar a 60 días plazo, ya que se recibe un descuento del 118.68% b) Al 31 de agosto han pasado 31 días desde el día de la compra, por lo que debe cancelar Q.31,850.00
62
PROBLEMA No. 16 Se recibió un pagaré emitido hace 35 días con valor nominal de Q.50,000.00, el cual vence dentro de 65 días y devenga el 8.25% semestral de interés simple ordinario. El documento será descontado en un Banco del sistema, cuando falten 35 días para su vencimiento, reconociendo en la operación el 15.75% anual de descuento bancario. ¿Qué cantidad se recibirá del banco al momento de descontar el pagaré? Datos para monto de Pagaré: P = 50,000 io =0.0825 * 2 =0.165 n= = . S =?
S = P (1 + ni) S = 50,000(1 +2.7777*0.165) = , .
Datos para descuento:
VL = S (1-nd)
S = 52,291.67
VL = 52291.67(10.972222*0.1575)
n = 35/365 =0.972222 = . VL =?
VL = 44,284.51
63
CASOS PRACTICOS INTERES COMPUESTO Problema No. 01 Una deuda contraída a 10 años, será liquidada con un pago de Q.80,000.00 si la tasa cobrada fue del 20% anual capitalizable en forma trimestral, ¿De cuánto fue el préstamo?
Problema No. 02 Se desea tener reunidos Q150,000.00 para comprar un terreno dentro de 5 años. Si la tasa de interés a la que se puede invertir el dinero es de 10% anual capitalizable mensualmente, ¿Qué cantidad debe ser depositada el día de hoy para reunir en el plazo estipulado los Q150,000.00?
Problema No. 03 Por una inversión de Q32,765.00 a una tasa del 15.6% anual de interés capitalizable en forma mensual se logro acumular Q36,331.70 por concepto de capital e intereses, se desea establecer ¿Por cuánto tiempo fue la inversión?
64
Problema No. 04 Establecer la tasa de interés capitalizable mensualmente, que fue pagada por un capital de Q5,000.00 y que permaneció invertido durante 15 años. Al final de los cuales se retiró Q23,280.00.
Problema No. 05 Una persona de 25 ¼ de edad realiza un deposito por la cantidad de Q1,000.00 el día de hoy, en una institución que le acreditará el 11% anual de interés capitalizable 3 veces en el año, desea establecer de que valor podrá disponer cuando cumpla 50 años de edad. Si existe fracción de periodo de capitalización utilizar, el tipo de interés aplicable para cada periodo. (I. compuesto e I. simple)
Problema No. 06 Se sabe que al finalizar los siguientes 10 años 8 meses puede disponerse de Q125,000.00. Establecer el valor del depósito si el mismo se realizó hace 5 meses en una institución que acreditará el 13% anual de interés capitalizable en forma bimestral. Utilizar interés compuesto para períodos completos de capitalización e interés simple para la fracción, si existiese.
Problema No. 07 65
Hace 4.5 años se depositaron Q5,000.00 las tasas que ofrecieron cada 1.5 años fue del 20% capitalización trimestral, 25% capitalización semestral y 21% con capitalización cada 4 meses respectivamente. Establecer el valor que retiró el día de hoy que canceló su cuenta.
Problema No. 08 Un inversionista necesita saber cual es el valor que tendría que depositar el día de hoy para lograr disponer al cabo de 20 años de Q100,000.00. Si sabe que la institución donde realizará el depósito le pagará durante los primeros 4 años el 9% anual de interés capitalizable mensualmente, durante los siguientes 8 años acreditará el 12% anual con capitalizaciones cada 3 meses y durante el resto del tiempo aumentará en 2 puntos porcentuales con respecto a la última tasa, y será capitalizable cada 12 meses. Le solicita indicar ¿De que valor podrá disponer al final del plazo establecido?
Problema No. 09 Establecer el valor proyectado que dentro de 6 años tendrá un bien cuyo precio actualmente es de Q13,500.00 si se espera que la tasa de inflación aumente cada 2 años en un 25% con respecto al año anterior. La tasa actual de inflación es del 8% anual.
66
Problema No. 10 Hace 2 años se realizó un depósito por valor de Q3,000.00, determinar el interés que generará sabiendo que la institución donde se realizó el depósito acreditará en los primeros 5 años el 12% anual de interés capitalizable en forma mensual y por el resto del tiempo acreditará el 14% anual de interés capitalizable con intervalos de tiempo de 2 meses. ¿Cuál será el interés generado al cabo de los siguientes 10.5 años?
Problema No. 11 Encontrar la tasa nominal capitalizable semestralmente, equivalente a una tasa del 28% anual.
67
CONCLUSIONES
•
La aplicación del interés simple e interés compuesto es de uso diario en las finanzas Guatemaltecas, por ello es necesario que el Contador Público y Auditor domine estos temas que rodean el sector empresarial donde el presta sus servicios.
•
Los intereses simple y compuesto abarcan una gran variedad de documentos dentro de la economía, que, su desconocimiento así como su poca práctica limitaría al estudiante de la facultad de ciencias económicas en el desenvolvimiento correcto de la licenciatura.
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El interés compuesto puede conjugarse con el interés simple para resolver situaciones de intereses, y con ello dar resultados más reales de los intereses calculados, la no aplicación de los dos intereses al mismo tiempo, daría como resultado cálculos no exactos, afectando a cualquiera de las dos partes dentro de una operación.
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RECOMENDACIONES
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Se recomienda a los estudiantes el estudio de las diferentes aplicaciones de interés simple y compuesto, para poder interpretar con propiedad y de manera concreta los problemas con las diferentes incógnitas que presenta este tipo de planteamientos de las matemáticas financiera.
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Se recomienda al estudiante, practicar de forma constante las diferentes formulas y problemas con los que se podría encontrar en el transcurso de sus estudios de licenciatura, y más al momento de desempeñar la licenciatura.
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Al momento de calcular los intereses de documentos comerciales, es aconsejable leer detenidamente los datos que del documento se puedan extraer, con esos datos, se podrán establecer los procedimientos correctos a utilizar y los cálculos sean exactos.
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