TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. CUAUHTÉMOC UNIDAD MADERA INGENIERÍA INDUSTRIAL CALCULO VECTORIAL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y SU GEOMETRÍA Y PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. III SEMESTRE 1ra. UNIDAD ISABEL FÉLIX LÓPEZ No. DE CONTROL 16610908 ING. HUGO HERNANDEZ DOMINGUEZ 19 DE AGOSTO DE 2017
INDICE Algebra vectorial y su geometría………………………………………………………...3 Producto escalar y vectorial……………………………………………………………...5
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1.2 ALGEBRA VECTORIAL Y SU GEOMETRÍA Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante. SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES Si se tienen dos vectores a y b , con magnitud diferente de cero y en un plano, definimos geométricamente la suma del vector a con el vector b cuando colocamos en el final del vector a con el origen del vector b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector a y termina en el final del vector b, tal resultante la denotamos como a + b , este procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que a + b = b + a ; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores. Regla del triángulo
Regla del paralelogramo
ADHERENCIA VECTORIAL Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría vectorial es la de poder adherir un figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas, por ejemplo en la figura 1.6a muestra un polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido se escoge libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores, es decir cómo colocamos la punta del vector. GEOMETRÍA VECTORIAL Vector a, b, c, d, e, además asumen las propiedades de la figura tales como las relaciones angulares y de dirección con sus respectivas magnitudes. Representación vectorial de un polígono
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NOTA: Los vectores que se colocan sobre los segmentos de una figura geométrica adquieren la magnitud del segmento y de inmediato adquieren la relación angular que posee la figura geométrica entre los segmentos, es decir entre los otros vectores del resto de los segmentos de la figura. ÁNGULO ENTRE VECTORES Si se tienen dos vectores cualesquiera, coplanarios7, definimos ángulo entre vectores como el ángulo que se forma por la intersección de las líneas de soporte o de deslizamiento de los vectores, éstas líneas imaginarias son la prolongación en la misma dirección de cada vector; si el ángulo es igual a cero los vectores son paralelos en el mismo sentido o si el ángulo es igual a 180◦ son paralelos pero en sentido opuesto. DIFERENCIA DE VECTORES Si observamos la siguiente figura vemos un triángulo que nos conduce a la siguiente relación: a + b = s siendo s la suma de los dos vectores, entonces se puede escribir que a + b − s = 0. Aparece en el término de la derecha de esta ecuación el vector que llamaremos el vector “Cero.” El vector -a es vector a en sentido opuesto.
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1.3 PRODUCTO ESCALAR El producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número, es decir es la multiplicación entre dos vectores.
Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de número. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación " ·”. El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el hecho del que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones). El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermética y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva. Más específicamente, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su condominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. 1 Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos. Un producto escalar se puede expresar como: U .V = K E R Formula: U . V = (UX . VX) + (UY . VY) U . V = ǀuǀ . ǀvǀ . Cos ∞ PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
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PRODUCTO VECTORIAL En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior). Ejemplo:
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El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b. Se escribe: axb Por tanto: a x b = a . b . sen a . n Donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento e un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.
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