Producto Escalar El producto interior o producto escalar de dos vectores a y b en el espacio tridimensional se escribe a · b y se define como a · b = |a| |b| cos γ cuando a 0, b 0 a·b =0 cuando a = 0 o b = 0 aquí γ (0 ≤ γ ≤ Π ) es el ángulo entre a y b (calculado cuando los vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes).
El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un número real) y esto motiva el término producto escalar . El coseno del ángulo γ puede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior. Observamos que el coseno es cero cuando γ = 0.5 Π = 90°.
Teorema de Ortogonalidad . Dos vectores diferentes de cero son ortogonales sí, y
sólo si, su producto interior (escalar) es cero.
Se tienen las siguientes propiedades:
|a| =
a
0
= cos γ
(q1a + q2b) . c = q1a . c + q2b . c
Linealidad
a.b =b.a
Simetría
a.a
Ser positivo definido
0
sólo si a = 0
a.a=0
(a + b). c = a . c + b . c
Distributividad
|a . b| ≤ |a| |b|
Desigualdad de Schwarz
|a + b| ≤ |a| + |b|
Desigualdad del Triángulo
|a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2)
Igualdad del Paralelogramo
Si los vectores a y b se representan en términos de sus componentes: a = a1i + a2 j + a3k
b = b1i + b2 j + b3k
su producto interior está dado por la siguiente fórmula a . b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Proyección Consideremos dos vectores a y b diferentes de cero, denotando por γ el ángulo entre ellos. El número real p = |a| cos γ se llama componente de a en la dirección de b o proyección de a en la dirección de b. Si a = 0 entonces γ no está definido y se hace p = 0. |p| es la longitud de la proyección ortogonal de a sobre una recta l en la dirección de b. p puede ser positiva, cero o negativa.
A partir de lo anterior se ve que, en particular, las componentes de un vector a en las direcciones de los vectores unitarios i, j, k de la triada fundamental asociada con un sistema coordenado cartesiano son las componentes a 1, a2, a3 de a como se vio anteriormente. Esto indica que el término "componente" es simplemente una generalización. Producto Vectorial Varias aplicaciones sugieren la introducción de otro tipo de multiplicación vectorial en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector. Este producto vectorial de los dos vectores a y b se escribe axb
y es un vector definido como sigue. Si a y b tienen la misma dirección, son opuestos o uno de ellos es el vector cero, entonces su producto vectorial es cero (v=0). En cualquier otro caso, v es el vector cuya longitud es igual al área del paralelogramo con a y b como lados adyacentes y cuya dirección es perpendicular tanto a a como a b y es tal que a, b, v, en ese orden, forman una terna derecha o triada derecha.
El término derecho se debe al hecho de que los vectores a, b, v, en ese orden, toman la misma orientación que los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha cuando se colocan como se muestra en la figura de al lado. También puede decirse qu si a se gira hacia la dirección de b , describiendo el ángulo α , entonces v avanza en la misma dirección que un tornillo de rosca derecha, si este se gira en el mismo sentido. El paralelogramo donde a y b son los lados adyacentes tiene el área | a| |b| sen γ . Se obtiene |v| = |a| |b| sen γ El producto vectorial es anticonmutativo, si a x b = v y b x a = w. Entonces | v| = | w| y para que b, a, w formen una terna derecha debe cumplirse que w = -v. De lo anterior se obtiene b x a = - (a x b)
La multiplicación vectorial de vectores no es conmutativa, sino anticonmutativa. El orden de los factores en un producto vectorial tiene gran importancia y debe observarse cuidadosamente. Propiedades: (k a) x b = k(a x b) = a x (k b) a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = (a x c) + (b x c) La multiplicación vectorial no es asociativa, es decir, a x (b x c) ≠ (a x b) x c
Para calcular la longitud (magnitud) de un producto vectorial se puede emplear: |a x b| =
Productos Vectoriales en Términos de las Componentes Considerando un sistema cartesiano derecho axb =
Respecto al primer renglón, debe tenerse presente que éste no es un determinante ordinario puesto que los elementos del primer renglón son vectores.
El producto escalar o producto punto
donde para este producto hay que considerar la siguiente convención
En principio podemos observar que bajo esta definición el producto escalar entre dos vectores se realiza como si estuviéramos multiplicando dos polinomios
El producto vectorial Una operación de gran utilidad dentro de algunas áreas de ciencias e ingenierías. El producto vectorial permite encontrar un vector perpendicular a los dos vectores involucrados:
ahora las restricciones son presentadas como sigue:
aplicando esto tendremos:
Esta expresión vectorial se puede también se puede expresar mediante el siguiente determinante:
Producto de vectores por escalares Cuando un vector es multiplicado por una cantidad escalar lo que se modifica es la magnitud del vector, haciéndolo más grande o mas pequeño. Por ejemplo, si este es el vector A:
dos veces el vector,
2A
tendríamos:
únicamente aumento de tamaño. Por el contrario, si multiplicamos por un escalar r<1, donde r es el escalar, tendríamos un vector mas pequeño, por ejemplo si multiplicamos por r = 1/2
Producto escalar DEFINICION
En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real. GENERAL
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación <\cdot,\cdot>: V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:
1. < ax + by,z > = a < x,z > + b < y,z > (lineal en la primera componente), 2. = \overlineā + \overline{b} (semilineal en la segunda componente), 3. = \overline{} (hermítica), 4. \geq 0, y < x,x > = 0 si y sólo si x = 0 (definida positiva), donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y \overline{c} es el conjugado del complejo c. Es de destacar que si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedade de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica. También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet. Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita se dirá que es un espacio euclideo. Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera: ||x|| := \sqrt{
El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa. \vecĀ \cdot \vecB}=| cos \theta
El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre si): \vecĀ\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 [editar] Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real
Conmutativa: \vecĀ \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vecĀ Asociativa: m (\vecĀ \cdot \vec{B})= (m\vecĀ) \cdot \vec{B}=\vecĀ\cdot(m\vec{B}) Distribuitiva: \vecĀ\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vecĀ\cdot\vec{B}+\vecĀ\cdot\vec{C} Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0). Producto vectorial
Introducción. Dados los vectores a y b linealmente independientes de E3® deseamos calcular todos los vectores que que son simultáneamente perpendiculares a a y b. En todo momento nos referimos a la base ortonormal { e1, e2, e3 } Sean { a1, a2, a3 } y { b1, b2, b3 } las coordenadas de a y b respecto de la base dada y (x, y, z) las coordenadas de un vector genérico x que deseamos cumpla las condiciones de perpendicularidad que se han indicado. Si dicho vector ha de ser perpendicual a a y b el producto escalar de cada uno de ellos por x es cero Las propiedades del producto vectorial enunciadas a continuación son inmediatas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes: * el producto escalar no es conmutativo; * * el ortogonal a a y a b (por construcción) * (siendo || a || la norma (o módulo) del vector a) * a y b son linealmente dependientes * Si a y b son linealmente independientes entonces a, b y forman una base.
