Ing. Miguel Ramírez López ANALISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL
o l o d u m m ó : h m / 0 k 5 2 θ = 30º :Direccion V =
TEMA 1: ANALISIS DIMENSIONAL
NOTACIÓN [A]: Se lee dimensión de A
X
Magnitudes fundamentales en el sistema internacional (S.I): Magn Magnit itud ud fund fundam amen enta tall Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinam Intensidad de corriente Intensidad luminosa Cantidad de sustancia
Símb Símbol olo o
Unid Unidad ades es (S.I (S.I))
L M T
Metro (m) Kilogramo (kg) Segundo (s) Kelvin (k) Amperio (A) Candela (Cd) Mol (mol)
θ
I J N
Magnitudes derivadas derivadas expresadas en el sistema internacional (S.I):
Magnitud de derivad vada
Fórmula física Área A = l.a Volumen V = I.a.h Densidad D = m/v Peso específico. γ = W/V Velocidad v = e/t Aceleración a = ∆v/t Fuerza F = m.a Trabajo W = F.e Potencia P = W/t Presión p = F/A Velocidad angular ω = Ф/t Aceleración angular α = ω/t Frecuencia f = 1/t Impulso i = mv Caudal C = V/t Capacidad calorífica K=Q/m∆T Carga eléctrica q = it Carga magnética q* = il Campo eléctrico E = F/q Campo magnético B = F/ q* Flujo magnético Ø = BA Resistencia eléctrica R = V/i Potencial eléctrico V = W/q
Fórmula dimensional L2 L3 ML-3 ML-2 T –2 LT-1 LT-2 MLT-2 ML2T-2 ML 2T-3 ML-1T-2 T-1 T-2 T-1 MLT-1 L3T-1 L2MT-2θ-1 IT IL MLT-3I-1 MT-2I-1 ML 2T-2I-1 L2MT-3I-2 L2MT-3I-1
Unidad en el S.I m2 m3 Kg/m3 N/m3 m/s m/s2 Newton (N) Joules (J) Watt (W) Pascal (Pa) rad/s rad/s2 Hertz (Hz) mkg/s m3/s J/k A.s A.m N/C Tesla Weber Ohmio Voltio (V)
Nota: Nota: La energía energía,, el moment momento o de fuerza, fuerza, el calor y el trabaj trabajo o posee poseen n igual igual fórmul fórmula a dimens dimension ional. al. Asimis Asimismo, mo, periodo periodo representa representa tiempo, tiempo, peso y empuje represen representan tan fuerza; altura, distancia y radio longitud, etc. Reglas importantes en las ecuaciones dimensionales: 1. [ número] = 1 2. PRIN PRINCI CIPI PIO O DE HOM HOMOG OGEN ENEI EIDA DAD D Si: x + y - z = w, entonces: [ x ] [ y ] [ z ] [w ] =
=
OPERACIONES CON VECTORES. 1) ADICIÓN DE VECTORES R
β
θ
α
→
B
El módulo de la resultante se halla mediante la ley de cosenos: 2
2
La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. R
A
=
B
=
CASOS PARTICULARES EN LA SUMA DE VECTORES CONCURRENTES Resultante máxima
B
A
R MÁX. = A + B Los vectores forman entre si un ángulo de cero grados. Resultante mínima
R MIN. = A - B
B
A
Los vectores forman forman entre sí un ángulo de 180º. 180º. Resultante de dos vectores perpendiculares la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. → →
A
R
R = A
2
+ B
2
→
B
Método del polígono par Sumar “n” vectores →
B →
→
A
C
→
→
→
→
A +B+C+ D
→
=R
→
R
→
D
2) SUSTRACCIÓN SUSTRACCIÓN DE VECTORES VECTORES →
→
→
D = A − B
D
=
A
2
+
B
2
−
2AB.cos
=
3.Todo exponente es adimensional decir: [ exponente ] = 1
Descomposición rectangular A
Si la magnitud m depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación:
m = ka xb y c z Siendo k la constante numérica de proporcionalidad. a, b y c exponentes TEMA 2: ANALISIS VECTORIAL
Notación: se denota utilizando cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra: → A : Vector “A”
AY
θ
Fórmulas Empíricas.
Elementos básicos de un vector:
→
→
A
AX
La componente en el eje x es: La componente en el eje y es:
AX = A Cos θ Ay = A Sen θ
VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene como objetivo indicar la dirección de un determinado vector.
u
=
A / A
→
U
→
:
Vector unitario de A
Ing. Miguel Ramírez López 3u
4u
6u
3u
ACTIVIDAD ACTIVIDAD DE ENTRADA ENTRADA
capacidad dad eléct eléctric rica a 1. La capaci
a) 1
de un conduc conductor tor se define define
Q
como: C =
c) 3
d) 4
e) 5
3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser el módulo de la resultante?
Q: Carga eléctrica y V: Potencial eléctrico. Hallar la fórmula dimensional de C. b) L-2M-1T4I2 e) L-1M-1T4I2
b) 2
8. Se tienen dos vectores no paralelos A y B de módulos
V
a) L-1M-1T4I2 d) L-1M-1T4
1u
a) 8
b) 2
c) 9
d) 1
e) 4
c) L-2M-1T4I
9. Encontrar A − B , Si A = 50 , B = 14
2. En
la sigu siguie ient nte e rela relaci ción ón homo homogé géne nea, a, hall hallar ar las las dimensiones de G. 2
at G m + Log 30 = x
A B
2
50º
56º
a = aceleración; t = tiempo; m = masa. a) M2T
b) ML-2
c) ML-1
d) ML
a) 18
e) M-1L2
b) 28
10.
3. En la ecuación homogénea. Determinar [xy].
3 A + 2 B
Si:
2 A − 3 B ABx = 3.C .Sen(2π A By )
c) 38
=
d) 48 =
e) 58
30u
y
25u
Hallar 7 A − 4 B
A: Potencia; B: velocidad; C: trabajo. a) M
c) MT-2
b) ML
d) ML-1
e) MT-2
6 0 º
4. Si la siguiente expresión es correcta dimensionalmente donde A0 = área; hallar el valor de “n” (e =2.7182818...)
Sen( 2α + 30º ) A0 .V n
4
9
A1. A2 . A3 ... An
a) 3 5.
=
n2
50 u
2 Log ( e + 4VY )
( A0 + A1 + A2 ... + An ) 2 n .Y +
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
b) 60 u
y
n
=
R . m. sen 30 º
A2
(
) d) ( ML )
2 n −1
26
4 2
64º
x n x n x...∞
2
+ B =
(
b) ML3
)(
1− n )
x
34º
20
Donde: P = presión, m = masa, λ = longitud de onda, S = fuerza; además se cumple:
( 1− n ) 2
e) 90 u
19º
λ .S .secθ
a) ML3
d) 80 u
11. En el siguiente siguiente sistema sistema de vectores vectores determi determinar nar el módulo de la resultante.
Si la ecuac uación dada es homogénea, hallar las dimensiones de “x”.
P . R senα
c) 70 u
10
S c) ( ML ) n −1
b) 20
12.
c) 30
d) 40
e) 50
La resultante de los vectores P y Q tiene un
módulo de 624N. Hallar P y Q .
e) N.A
6. Se crea un sistema de unidades donde se consideran como magnitudes magnitudes fundamenta fundamentales les a la velocidad, velocidad, la masa y la fuerza. Hallar la ecuación dimensional de “E” en este nuevo sistema, si E = presión x densidad. densidad. En este nuevo sistema se define: [velocidad]=A; [masa]= B y [fuerza] = C.
y
P
3 R = P + Q
4 12
5
x
3 4 Q
-5
-2
3 1/2
a) (A B C ) d) AB-2 C-4
-10
-4
6
b) A B C e) A3 B-1 C-3
-5
-2
3
c) A B C
7. Hall Hallar ar el módulo módulo del vecto vectorr resu resultltan ante te del grupo grupo de vect vector ores es most mostra rado dos. s. Todo Todoss los los vect vector ores es son son horizontales.
550 N y 280 N b) 630 630 N y 380 N c) 650 N y 320 N d) 720 N y 330 N e) 630 N y 330 N
13.
Hallar la medida de α si el vector resultante forma
Ing. Miguel Ramírez López
b) 35º
c) 60º
d) 30º
Hallar el valor de D , si la resultante del del sistema de vectores mostrados es nula.
5A
y
A/3
5 N
5 N
α α x
α
53º
4A/3
37º
53º
10 N
a)
30º
b) 37º
14.
c) 45º
e) 37º
18.
un ángulo θ = Arctg (1 2) con el eje x.
y
a) 0º
d) 53º
x
D
e) 60º
Dados los vectores A y B . Determina la medida a) 1
del vector diferencia si A = 35u ; B = 26u .
z
b) 2 2
c) 3 2
d) 4
e) 5 2
19. Halle Halle el módulo módulo de la resultant resultante e si los vectores vectores son coplanares. 10
12u
18 y 3u 4u
1,7
b) 51
14
c) 34,6
d) 47,6
a) 1
e) 29,6
15.
Hallar el vector x en función de los vectores A y B , si PQRS es un cuadrado y PMH es un sector circular. H S
x
R M
A
P
37º
Q
B a) x
( B − 3 A)
=
4
d) x =
( A − 3 B ) 4
b) x
=
e) x =
( B − 2 A) 4
c) x =
( A + B ) 4
( A − 3 B ) 2
AUTOEVALUACIO AUTOEVALUACION N
16. Si las unidade unidadess de “E” son segundos segundos,, ¿Qué unidade unidadess tendrá “B”?
B = n An E = n
A0
n +1
.P n
2
3
2
3
n +1
+ A1 + A2 + ... + An
n +1
n +1
P 0 + P 1 + P 2 + ... + P n Donde A0 = 5 π metros, P0 = 2 π Sen θ m/s2 a) Velocidad d) Masa
b) Espacio e) Densidad
c) Tiempo
17.
Si la siguie siguiente nte ecuaci ecuación ón es dimen dimensio sional nalmen mente te correcta, hallar el valor de φ
k senθ + senφ = Asenθ + λ . senα + k + A Donde k, A y λ son cantidades físicas
b) 2 3
c) 3 2
d) 4
e) 4 3
Ing. Miguel Ramírez López
CLAVES
Curso:
Física
Semana: 01
Pregunta
Clave
Tiempo (Min.)
Dificultad
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
B C A C B B C E D C A E B
1 1 2 4 3 3 1 2 2 3 2 4 3
F F M D M M F M M M M D M
14
B
4
D
15
D
4
D
16
A
3
M
17 18
A E
3 3
M M
19
E
2
M
