de donde /(?/) = ciu — bu y f{^>) = av + bu. Como / es simétrico, entonces los siguientes produ ctos escalares son iguales < j { u ) ,v >=< w,/(v) >. Y desarrollándolos se obtiene <
au - biK V >
=<
u, av
+
bu
a
< ím; >
-b < v. v
>=
a < n, u > +b <
u,
u>
Es decir b{ < V, V > + <
u. a > ) = 0 ^ b = 0
(2) Sean Vaj y subespacios propios asociados a dos autovalores Ai 7 ^ A2 de /. Para ver que son conjuntos ortogonales sean u\ € V^, y U 2 € K,\2 no nulos y veamos que son ortogonales. Por ser / simétrico < f{ Ul) .U2 > = < «1,/(M2) > <=> < A] ?ii, 'U2 > = < Wi, A2 W2 > Como Al
Ai < Wi, U2 > = A2 < U\, U2 >
A2 , entonces la última iguald ad se cumple si y sólo si < « i , U 2 > = 0.
r- Teorema 8.37. Teorema espectral Sea / un endomorfism o sim étrico de un espacio vectorial euclideo (V, <, >) de dimensión finita, V^O. Entonces, existe una base ortonormal de V formada por autovectores de /. Demostración: Sean A i, . . . , A^ los autovalores reales y distintos de / con multiplicidades algebraica s o, y geométricas gi, i = l,..., k. Vamos a demostra r que / es diagonalizable, es decir, a¿ = g¡. Una vez demostrado, bastará tomar una ba.se ortonornicil Bi de cada subespacio propio V'\, y tener en cuenta que los subespacios propios son ortogonales y cpie se tiene la descomposición V' = V^, ®· · -©Vx^. Entonces, B = BiU - U Bk será una base ortonormal de autovectores. Vamos a proceder por reducción al absu rdo suponiendo que / no es diagonalizable, es decir qu e pa ra algún i se cumple di < a,;, por lo que ¿i H------- dk = r < n y Ka , © - -- 0 V a , = C / ^ K Consideremos la descomposición en suma directa v = u® u·^
Vamos a ver que U-^ es un subespacio invariante por /. Sea u G í/·*·, entonces para todo v G U se cumple < u,v >= 0. Entonces, dado que f{v) e U se tiene < u j { v ) > = O y por ser / simétrico f{u),v > = O, es decir luego f{u) G U·^. Por ser ÍJ-^ invariante, podemos considerar el endomorfismo simétrico que tendrá sus autovalores reales y algún autovector. Dado que los autovectores de f\y± son también autovectores de / , llegamos a una con tradicción, pues todo s los autovectores de / generan U. Podriamos enunciar el Teorema Espectral en términos matriciales del siguiente modo:
www.fullengineeringbook.net
