1.2 ALGEBRA VECTORIAL Y SU GEOMETRÍA Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores, así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante. Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier R n. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R 2 el el vector es de la forma forma En R2
y en R3 el vector es de la
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Cuando el resultado del proceso de medición de una magnitud es expresable por medio de un número real, dicha magnitud se denomina escalar. Así por ejemplo la masa, la temperatura, la energía, etc. son escalares. Cuando una magnitud no puede expresarse completamente con sólo un número real, sino que ha de recurrirse para ello a una matriz de n filas y una columna (concepto matemático de vector), estamos ante una magnitud vectorial (o simplemente vector en sentido físico). Así por ejemplo una velocidad no queda completamente determinada dando su valor numérico en la correspondiente unidad, sino que hay que hay que especificar la dirección del movimiento y su sentido, lo que en el espacio euclideo exige representar dicha magnitud por medio de un vector de 3 componentes. Al igual que la velocidad, son magnitudes vectoriales el espacio, la aceleración, la cantidad de movimiento y muchas otras. Aún hay otras magnitudes cuya expresión es más complicada ya que se precisa hacerlo por medio de una matriz rectangular de n filas y m columnas; son las magnitudes tensoriales, que en el nivel de este curso no serán consideradas.
OPERACIONES CON VECTORES (forma gráfica). Un vector tiene en general n componentes que corresponden a las n filas de la matriz, sin embargo, las magnitudes que vamos a manejar en los temas correspondientes a este curso de Física General, únicamente exigirán 3 componentes como máximo y 2 en casos particulares (un vector de una sola componente sería un escalar, como un tensor de una sola columna es un vector). Es frecuente y resulta muy intuitivo representar los vectores en forma gráfica, por medio de una flecha, cuya longitud representa el módulo o valor absoluto de la magnitud, la recta en la que está contenida la flecha sería la dirección y la cabeza de la flecha indicaría el sentido. A partir de ahora adoptaremos el criterio de representar los vectores en la escritura por medio de letras, en negrita e itálica (por ejemplo, l). El módulo de l se representará por l o por
.
Suma geométrica de vectores. Si se tienen dos vectores
, con magnitud diferente de cero y en un plano,
de- finimos geométricamente la suma del vector
con el vector
cuando
colocamos en el final del vector con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como + , este procedimiento se llama regla del triángulo, ver la figura 1.4; ahora si se forma un p aralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma tal como aparece en la figura 1.5 este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que +
+
=
; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores.
Observemos, en la figura 1.5, que la diagonal del paralelogramo representa la suma de los vectores. Es frecuente escuchar la expresión coloquial “Unir cabeza con cola”
en la suma de vectores.
Producto de un escalar por un vector. Dado un vector v y un escalar m, definimos otro vector v' así: v' = m v v' es un vector de la misma dirección que v y de módulo m v. El sentido de v' será el mismo que el de v , si m>0 y el contrario, si m<0. No es tá definido el cociente por un vector .
Suma de vectores. Dados 2 vectores a y b, se define un vector c , suma de a + b de la forma que vemos en la Fig. 1:
La suma posee evidentemente la propiedad conmutativa (Fig. 1): a+b=b+a
y también la propiedad asociativa (Fig. 2): (a + b) +c = a+ (b + a)
Diferencia: c = a-b, c+b=a
Vector nulo. Se dice que b es un vector nulo cuando su módulo es cero. Dado un vector cualquiera a, se verifica que a + b = a.
Relación lineal entre vectores. Dados n vectores v 1, v 2, ..., vn , y n escalares m 1, m2, ..., m n, la expresión m1 v 1+m2 v 2+........+mi v i = significa que entre los vectores v 1, v 2, ........, v i existe una relación lineal. Si, por ejemplo, tenemos 3 vectores en un espacio tridimensional y se verifica: m1 v 1+m2 v 2+m3v 3 = 0
y por lo tanto v 1, v 2, v 3 están en un plano.
Producto escalar de dos vectores. Dados 2 vectores v y v' no nulos, el producto escalar se define como un escalar tal que: v.v' = xx' + yy' + zz' v.v' = v.v' cos
El producto escalar tiene la propiedad conmutativa, es decir, v.v' = v ’. v , como es fácil comprobar. Igualmente, el producto escalar tiene la propiedad dis tributiva res pecto de la s uma: v. (a + b) = v.a + v.b, como puede comprobarse fácilmente.
Producto vectorial de dos vectores. Dados 2 vectores v y v' , el producto vectorial se define como un vector u = v x v' tal que su dirección será la de una recta perpendicular a ambos vectores v y v' , o sea, al plano vv', y su sentido se determina por la regla del sacacorchos o de la mano derecha. El módulo del producto vectorial es
u = v. v´ sen que corresponde geométricamente al área del paralelogramo de la figura 5.
v x v' = - (v' x v ) (4.11)
Adherencia vectorial Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría vectorial es la de poder adherir una figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas, por ejemplo, en la figura 1.6a muestra un polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido 6 se escoge libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores , además asumen las propiedades de la figura tales como las relaciones angulares y de dirección con sus respectivas magnitudes.
Figura 1.6 Representación vectorial de un polígono
NOTA: Los vectores que se colocan sobre los segmentos de una figura geométrica adquieren la magnitud del segmento y de inmediato adquieren la relación angular que posee la figura geométrica entre los segmentos, es decir entre los otros vectores del resto de los segmentos de la figura. LEY ASOCIATIVA DE LA SUMA
Ángulo entre vectores Si se tienen dos vectores cualesquiera, coplanarios 7, definimos ángulo entre vectores como el ángulo que se forma por la intersección de las líneas de soporte o de deslizamiento de los vectores, éstas líneas imaginarias son la prolongación en la misma dirección de cada vector; si el ángulo es igual a cero los vectores son paralelos en el mismo sentido o si el ángulo es igual a 180◦ son paralelos, pero en
sentido opuesto, ver figura 1.9.
Diferencia de vectores Si observamos la figura 1.11 vemos un triángulo que nos conduce a la siguiente relación: puede escribir
, siendo
la suma de los dos vectores, entonces se . Aparece en el término de la derecha de esta
ecuación el vector que llamaremos el vector “Cero.” El vector
es vector
en
sentido opuesto.
Aquí se enfatiza que la resta entre dos vectores se realiza gráficamente colocando el origen de un vector con el origen del otro; el final del vector resultante queda
tocando el final o la punta del vector minuendo, ver figura 1.12. Tanto la suma de vectores como la diferencia generan vectores y esta propiedad se define como propiedad clausurativa de los vectores8. También de la figura 1.11, a la derecha, podemos ver qué
Es bueno notar que vector cero tiene magnitud de 0, o sea
y se le
puede atribuir cualquier dirección. Si se tiene el vector decimos que el vector cero es aquel donde el origen A coincide con el extremo B.
El vector unitario Si se tiene un vector
cuya magnitud es
vector unitario
. Recordemos que
de aquí se concluye que
, con
, se define como por lo tanto
,
Ejemplos
