1.6 ECUACIONES RECTAS RECTAS Y PLANOS. PL ANOS. Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección coo a!nitud. Coo una recta tiene a!nitud en "a #ora de su "on!itud $ su dirección% es decir% que tiene un &unto de &artida $ un &unto de ""e!ada% &uede ser re&resentada en #ora de vector. La ecuación vectoria" de una recta se escri'e con "a a$uda de dos co&onentes( un vector de &osición $ un vector de dirección. E" vector &osición )a'"a acerca de "a "on!itud $ "a orientación de "a recta ientras que e" vector dirección )a'"a de su dirección. Ecuación de la recta:
La ecuación !enera" de una recta en su #ora vectoria" es r*a + , -'a/% donde a $ ' son "os vectores &osición de "os &untos A $ 0 unidos &or "a recta. Ecuación de "a recta en #ora &aratrica( Cua"quier recta &ara"e"a a un vector distinto de cero sede 2ne &or -a% '% c/ $ que &ase &or un &unto -34% $4% 54/ tiene su ecuaci ecuación ón en #ora #ora &ara &aratric trica a de "a si!uien si!uiente te anera anera3* 3*34+ 34+at at $*$4+' $*$4+'tt 5*54+ctEstas ecuaciones &ueden a$udarnos a encontrar una recta que &ase &or un &unto dado $ que sea &ara"e"a a un vector dado% coo se e3&"ica en e" ee&"o( Encuentre "a recta que &asa &or e" &unto -1% 78% 9/ $ que es &ara"e"a a" vector v* -:% 9%7;/. So"ución( 3*34+at < 3* 1+:t $*$4+'t < $* 78+9t 5*54+ct < 5* 9=;t Ecuación del plano:
Considere un &unto P4 -34% $4% 54/ que $ace so're e" &"ano. Ade>s% sea e" &unt &unto o P-3% P-3% $% 5/ cua"q ua"qu uier ier &unt &unto o en e" &"a &"ano $ sea sea e" vec vector tor -a% -a% '% c/ &er&endicu"ar a" &"ano. Sea $ vectores &osición de P4 $ P% res&ectivaente. Entonces e" vector r $acer> en e" &"ano dado $ cua"quier recta en e" &"ano ser> &er& &er&en endi dicu cu"a "arr a. Ento Entonc nces es%% ? -/* -/*4. 4. Esta Esta es "a ecua ecuaci ción ón vect vector oria ia"" de" de" &"ano. A)ora% vaos a tra'aar con a"!unos ee&"os &ara ver "as ecuaciones de "os &"anos dados en condiciones dadas. Por ee&"o( Encontrar "a ecuación de" &"ano que &asa a travs de P -8% 9%;/% @ -9% 78% 1/ $ R -1%8% 7;/. So"ución( Para encontrar "a ecuación de" &"ano% &riero de'eos encontrar "os vector vectores es que $acen $acen en e" &"ano &"ano.. Los Los dos vectore vectores s que de2niti de2nitiva vaent ente e se encuentran en e" &"ano son P@ $ @R P@* -71% 79%7:/ $ @R* -71%6%7:/. Entonces estos vectores estar>n en e" &"ano. E" &roducto vectoria" de estos dos vectores ser> orto!ona" a a'os vectores $ &or & or "o tanto% a" &"ano. & "ano.
&>!. :
n * P@ 3 OR En e" es&ac es&acio io "a aner anera a >s >s #>ci #>ci"" de re&r re&rese esent ntar ar una una rect recta a es edia ediant nte e vectores% &ara e""o dado un vector v tra5aos un vector director o nora"% &ara"e"o a" vector% esto es con "a a$uda de "os co&onentes. Ca'e reca"car que una recta tiene un &unto inicia" A $ un &unto 2na" 0. 0as>ndonos 0as>ndonos en "a ecuación !enera" de "a recta r*a + ,-' a/% donde a $ ' son "os vectores &osición de "os &untos A $ 0% unidos &or una recta. e aquB aquB &artio &artios s )asta )asta ""a!ar ""a!ar a "as ecuaci ecuacione ones s &ara &aratri tricas cas%% donde donde est> est> de2nido que una recta &ara"e"a a un vector distinto de cero se denota &or -a% '% c/% e" cua" &asa &or un &unto -31% $1% 51/% u"ti&"icando a" vector &or una varia'"e tD% siendo esta "tia un esca"ar considerado considerado coo tie&oD% tie&oD% dando coo resu"tado "as ecuaciones &aratricas( x = x 1+ at y = y 1 + bt z = z1 + ct
e ta" anera que a" des&ear e" tie&o o'tendreos "as ecuaciones sitricas( x − x 1 a
=
y − y 1 z − z1 b
=
c
En "a reso"ución de estas no &odeos encontrar dos casos di#erentes( El primer caso es: cuando la recta 1 pasa por un punto P
1. Usar Usar "as coord coordena enadas das re&r re&rese esenta ntadas das &or &or P-31% $1% $1% 51/% 51/% que es un "u!ar "u!ar donde &asa &asa "a recta% recta% con "os neros neros de dirección dirección v-a% '% c/ entonces teneos que e" conunto de "as ecuaciones &aratricas &aratricas son( x = x 1+ at y = y 1 + bt z = z1 + ct
9. Y "as ecuaci ecuacione ones s sitr sitrica icas s son( son( x − x 1 a
=
y − y 1 z − z1 b
=
c
Cuando se ten!a &ro'"eas en donde nos seFa"en so"o un &unto $ e" vector de dirección% siendo estos &ara"e"os% 'astar> con sustituir en "as ecuaciones antes &"anteadas Segundo caso: cuando la recta pasa por dos puntos P y Q
&>!. ;
En este caso so"o teneos coo re#erencia dos &untos% &or "o que es necesario encontrar nuestro vector de dirección% e" c>"cu"o queda de "a si!uiente anera( 1. ado e" &unto &unto P-31% P-31% $1% 51/ 51/ $ @-39% @-39% $9% 59/% 59/% a&"icao a&"icaos s "o si!uiente( si!uiente( ´ v = PQ = ⟨ x x 2− x 1 , y2 − y 1 , z 2− z 1 ⟩ =⟨ a,b ,c ⟩ ⃗
9. A)or A)ora a toa toao os s coo coo re#er e#eren enc cia cua"q ua"qui uier era a de "os "os &unt &unto os coo coo re#er e#eren enci cia% a% inde inde&e &end ndie ient nte een ente te de" de" &ro' &ro'"e "ea a%% &ara &ara ""e! ""e!ar ar a "as "as ecuaciones &aratricas( x = x 1+ at y = y 1 + bt z = z1 + ct
8. Las Las si sitr tric icas as son( son( x − x 1 y − y 1 z − z1 a
=
b
=
c
Planos en el espacio
En este a&artado vereos es &osi'"e re&resentar una ecuación &ara un &"ano en e" es&acio% deduciendo "a a &artir de un &unto $ e" vector &er&endicu"ar -nora"/ a ". Para e""o consideraos( 1. E" &"ano &"ano que contiene contiene e" &unto P-31% $1% 51/. 51/. 9. Un vector vector nora" nora" no nu"o n=
, ver 2!ura. 8. E" &"ano &"ano consta consta de todos todos "os "os &untos &untos Q (x, y, z) &ara "os que e" vector P@ es &er&endicu"ar. Usando e" &roducto esca"ar &odeos escri'ir(
n ⋅ PQ
=
5
0
〈 a, b, c〉 ⋅ 〈 x − x1 , y − y1, z − z 1 〉 = 0
n
.@
P
a ( x − x1 ) + b( y − y1 ) + c( z − z 1 ) = 0
n = PQ = 0
3
$
Ecuación canónica de una recta en el espacio
E" &"ano que contiene e" &unto (x 1, y 1, z 1 ) ) $ tiene un vector nora" n = &uede re&resentarse en #ora canónica &or "a ecuación(
b,
&>!. 6
a ( x − x1 ) + b( y − y1 ) + c( z − z 1 ) = 0
Ecuación !enera" : ax + by + cz + d = 0
1.G APLICACIONES HISICAS Y EOJETRICAS plicaciones !"sicas y #eom$tricas
E" vector es un tea que &osee sus a&"icaciones esencia"es tanto en "a #Bsica coo en "as Jate>ticas. E" vector #ora "a 'ase de" c>"cu"o vectoria" en Jate>ticas $ ade>s es un conce&to i&ortante en HBsica. plicación de los %ectores en !"sica
Ja!nitud $ irección de "a Huer5a Resu"tante( Si "a #uer5a H1% H9% H8 $ asB suces sucesiva ivae ent nte e )ast )asta a en act acta a so'r so're e una &art &artBc Bcu"a u"a%% enton entonce ces s "a #uer #uer5a 5a resu resu"t "tan ante te actuando actuando en en "a &artBcu" &artBcu"a a es H * H1+H9 H1+H9+H8 +H8+ + K + Hn . AquB% e" ódu"o de H ser> de "a a!nitud de "a #uer5a resu"tante que acta so're "a &artBcu"a. Tra'ao( Tra'ao( Si una &artBcu"a se des&"a5a desde e" &unto A a" &unto 0 'ao "a inuencia de "a #uer5a% entonces e" tra'ao M rea"i5ado &or e" vector #uer5a H est> dado &or M * H. A0% "o cua" es i!ua" a H A0 cos - /% donde es e" >n!u"o entr entre e $% "o que a su ve5 es equi equiv va"e a"ente nte a -a!n a!nit itud ud de "a #uer5 uer5a a/ 3 -des&"a5aiento en "a dirección de"a #uer5a/. e"o e"ocida idad re"a e"ativa tiva(( Si "as "as ve"o e"ocidad idades es de "as "as &art &artBc Bcu" u"as as A $ 0 son $% res&ectivaente% entonces "a ve"ocidad de 0 res&ecto a A es $ "a ve"ocidad de A res&ecto a 0 es( Ra&ide5( Aunque "a ve"ocidad es en sB isa una cantidad esca"ar% esta es una a&"icación #Bsica de" vector $a que re&resenta e" va"or a'so"uto de un vector% e" cua"es e" vector ve"ocidad. ado un vector ve"ocidad% "a ra&ide5 &uede ser ca"cu"ada ediante e" c>"cu"o de" va"or a'so"uto de" iso coo n. Esto &uede escri'irse con a$or &recisión coo% s * d t AquB% d es "a cantidad de des&"a5aiento $ t es "a di#erencia de tie&o desde cuando "a &artBcu"a se encontra'a en "a &osición 2na" )asta cuando "a &artBcu"a se encontra'a en "a &osición inicia". e"ocidad( E" vector ve"ocidad re&resenta "a ra5ón de variación de" oviiento de una &artBcu"a de una &osición a otra. La #óru"a &ara ca"cu"ar "a ve"ocidad de una &artBcu"a es% v * d t. Podeos o'servar que es "a isa #óru"a &ara "a ra&ide5 de una &artBcu"a% e3ce&to &or e" )ec)o de que aquB no se deterina e" va"or a'so"uto de "a so"ución. Ade>s de estas a&"icaciones #Bsicas% un vector o un es&acio vectoria" &ueden ta'in tener a&"icaciones !eotricas( &>!. G
Recta( Asua que un vector se encuentra &ara"e"o a otro vector% di!aos. Entonces "a ecuación de "a recta que re&resentarBa una so"a recta serBa * Q. AquB Q es una un a cantidad esca"ar.
Una ecuación recta serBa% r * a + Q -' a/.
vectoria" que re&resente esta
E" va"or de Q &uede variar )asta. Esta variación en e" va"or de Q% ueve e" &unto P de una &osición a otra% &or ee&"o% cuando Q * 4% entonces P * A. P"ano( e "a isa #ora% ta'in &uede de2nirse una ecuación vectoria" &ara un &"an &"ano o. Su&o Su&on! n!a a un vect vector or que que $ace $ace so'r so're e e" &"an &"ano% o% sea sea este este vect vector or .Entonces "a ecuación que re&resenta este vector es * r a.
Sea e" vector que $ace nora" a" &"ano% entonces se &uede a2rar que% -r a/. n *4. Por "o tanto% "a ecuación vectoria" que re&resenta ta" &"ano serBa% r. n * a. ta'in esto &uede escri'irse coo% r.n *. AquB es un trino constante. En #Bsica% #Bsica% un vector vector es una )erraienta )erraienta !eotrica !eotrica uti"i5ada &ara re&resenta re&resentarr una a!nitud de" cua" de&ende nicaente un ódu"o o -"on!itud $ una dirección/ u orientación &ara quedar de2nido. Los Los vector vectores es se &ueden &ueden re&re re&resen sentar tar !eot !eotric ricae aente nte coo coo se!ent se!entos os de 2 3 recta recta diri!idos diri!idos o ec)as ec)as en &"anos &"anos R o R es decir% 'idiensiona" o tridiensiona". Ee&"os •
La ve"ocidad con que se des&"a5a un óvi" es una a!nitud vectoria"% $a que no qued queda a de2n de2nid ida a tan tan só"o só"o &or &or su ódu" ódu"o o -"o que que ar arca e" ve"ocBetro% en e" caso de un autoóvi"/% sino que se requiere indicar "a dirección )acia "a que se diri!e. &>!.
•
•
La #uer5a que acta so're un o'eto es una a!nitud vectoria"% $a que su e#ecto de&ende% ade>s de su intensidad o ódu"o% de "a dirección en "a que o&era. E" des&"a5aiento de un o'eto.
Conc Conce&t e&tos os #unda #undae enta nta"es "es.. Esta Esta secc secció ión n e3&"i e3&"ica ca "os "os as&e as&ect ctos os '>sic '>sicos os%% "a necesid necesidad ad de "os vector vectores es &ara &ara re&re re&resen sentar tar cierta ciertas s a!nitud a!nitudes es #Bsicas #Bsicas%% "as co&onentes de un vector% "a notación de "os isos% etc. &agnitudes escalares y vectoriales
Re&resentación Re&resentación !r>2ca de una a!nitud vectoria"% con indicación de su &unto de a&"icación $ "os vectores cartesianos.
'epresentación de los vectores.
Hrent rente e a aque" aque""as "as a!n a!nit itude udes s #Bsic #Bsicas as%% ta"es ta"es coo coo "a asa asa%% "a &res &resió ión% n% e" vo"u vo"uen% en% "a ener ener!Ba !Ba%% "a te& te&era eratu tura ra%% etc. etc. que qued quedan an co&" co&"et eta aen ente te de2nidas &or un nero $ "as unidades uti"i5adas en su edida% a&arecen otras% ta"es coo e" des&"a5aiento% "a ve"ocidad% "a ace"eración% "a #uer5a% e" ca&o e"ctrico% etc.% que no quedan co&"etaente de2nidas dando un dato nurico% sino que ""evan asociadas una dirección. Estas "tias a!nitudes son ""aadas vectoria"es en contra&osición a "as &rieras ""aadas esca"ares.
&>!.
Las a!nitudes a!nitudes esca"ares quedan re&resentadas re&resentadas &or e" ente ate>tico ate>tico >s si&"e &or un nero. Las a!nitudes vectoria"es quedan re&resentadas &or un ente ate>tico que reci'e e" no're de vector. En un es&acio euc"idiano% de no >s de tres diensiones% un vector se re&resenta &or un se!ento orientado. AsB% un vector queda caracteri5ado &or "os si!uientes e"eentos( su "on!itud o ódu"o sie&re &ositivo &or de2nición% $ su dirección% "a cua" &uede ser re&resentada ediante "a sua de sus co&onentes orto!ona"es% &ara"e"as a "os ees de coordenadas coordenadas o ediante coordenadas coordenadas que deterinan deterinan e" >n!u"o que #ora e" vector con "os ees &ositivos de coordenadas. Se re&resenta coo un se!ento orientado% con una dirección% di'uado de #ora sii"ar a una ec)a. Su "on!itud re&resenta e" ódu"o de" vector $ "a &unta de ec)a indica su dirección. Las a!nitudes vectoria"es se re&resentan en "os te3tos i&resos &or "etras en ne!rita% &ara di#erenciar"as de "as a!nitudes esca"ares que se re&resentan en cursiva. cursiva. En "os te3tos te3tos anuscritos% anuscritos% "as a!nitudes a!nitudes vectoria"es vectoria"es se re&resenta re&resentan n co"ocando una ec)a so're "a "etra que desi!na su ódu"o -e" cua" es un esca"ar/. Ee&"os( A , a , w Re&resentan% res&ectivaente% res&ectivaente% "as a!nitudes vectoria"es de
ódu"os A% a% V% ... E" ódu"o de una a!nitud vectoria" ta'in se re&resenta encerrando entre 'arras "a notación corres&ondiente a" vector( |a|,|a|,|w|
En "os te3tos anuscritos se escri'e( Ko
... &ara "os vectores $
... &ara "os ódu"os.
Cuando conven!a% se re&resentan "a a!nitud vectoria" )aciendo re#erencia a" ori!en $ a" e3treo de" se!ento orientado que "a re&resenta !eotricaente asB% se desi!nan "os vectores re&resentados en "a Hi!ura 9 en "a #ora #ora % ... resu"t resu"tand ando o u$ ti" esta esta notaci notación ón &ara &ara "os vectores que re&resentan e" des&"a5aiento. Ade>s de estas convenciones "os vectores unitarios o versores% cu$o ódu"o es "a unidad% se re&resentan #recuenteente con un circuneo encia% &or ee&"o (% %.
)lasi*cación de vectores
&>!. 14
Se!n "os criterios que se uti"icen &ara deterinar "a i!ua"dad o equi&o"encia dedos vectores% &ueden distin!uirse distintos ti&os de "os isos( • •
•
ectores "i'res( no est>n a&"icados a&"i cados en nin!n &unto en &articu"ar. ectores des"i5antes( su &unto de a&"icación &uede des"i5ar a "o "ar!o de su recta de acción. ectores 2os o "i!ados( est>n a&"icados en un &unto en &articu"ar.
Podeos re#erirnos ta'in a( • •
• •
•
ectores unitarios( vectores de ódu"o unidad. u nidad. ector ectores es concur concurre rentes ntes(( sus rectas rectas de acción acción concur concurre ren n en un &unto &unto &ro&io i&ro&io -&ara"e"os/. ectores o&uestos( vectores de i!ua" a!nitud% a!ni tud% &ero dirección contraria. ectores co"onia"es( "os vectores que co&arten una isa recta de acción. ecto ectorres co&" co&"an anar ario ios( s( "os "os vect vector ores es cu$a cu$as s recta ectas s de acci acción ón son son co&"anarias -situadas en un iso &"ano/.
)omponentes de un vector
)omponentes del vector.
Un vector en e" es&acio se &uede e3&resar coo una co'inación de tres vector vectores es unitari unitarios os o versor versores es &er&en &er&endicu dicu"ar "ares es entre entre sB que consti constitu$ tu$en en una 'ase 'ase vect vector oria ia"" En coor coorde dena nada das s cart cartes esia iana nas% s% "os "os vect vector ores es unit unitar ario ios s se re&resentan &or i, + i, +% % &ara"e"os a "os ees de coordenadas 3% $% 5 &ositivos. Las co& co&on onent entes es de" de" vect vector or en una 'ase 'ase vect vector oria ia"" &rede &redete ter rina inada da &uede &ueden n escri'irse entre &arntesis $ se&aradas con coas( a , a y , a z ) ( ¿ ¿ x ,a a=¿
O e3&resarse coo una co'inación de "os vectores unitarios de2nidos en "a 'ase vectoria". AsB% en un sistea de coordenadas cartesiano% ser> &>!. 11
a =a x i +a y j + a z k
Estas re&resentaciones son equiva"entes entre sB% $ "os va"ores
a x , a y , a z % son
"as co&onentes de un vector que% sa"vo que se indique "o contrario% son neros rea"es. Una re&resentación conveniente de "as a!nitudes vectoria"es es ediante un vector co"una o un 2"a% &articu"arente cuando est>n i&"icadas o&eraciones atrices -ta"es coo e" ca'io de 'ase/% de" odo si!uiente(
[]
a x a = a y a =[ a x , a y ,a z ] a z
Con esta notación% "os vectores cartesianos quedan qu edan e3&resados en "a #ora( i=[ 100 ] , j =[ 010 ] , k =[ 001 ]
-peraciones con vectores Suma de vectores
Para suar dos vectores "i'res -vector $ vector/ se esco!en coo re&resentantes dos vectores ta"es que e" e3treo 2na" de uno coincida con e" e3treo ori!en de" otro vector.
&$todo del paralelogramo.
Este Este to todo do &er &erite ite so"a so"ae ent nte e suar suar vect vector ores es de a &are &ares. s. Consi Consist ste e en dis&oner dis&oner !r>2caente !r>2caente "os dos vectores vectores de anera que "os orB!enes de a'os coincidan en un &unto% tra5ando rectas &ara"e"as a cada uno de "os vectores% en e" e3treo de" otro $ de i!ua" "on!itud% #orando asB un &ara"e"o!rao -ver !r>2 !r>2co co a "a der derec)a ec)a/. /.E" E" resu" esu"ta tado do de "a sua sua es "a dia! dia!on ona" a" de dic) dic)o o &ara"e"o!rao que &arte de" ori!en con de a'os vectores.
&$todo del tringulo
&>!. 19
Consiste en dis&oner !r>2caente un vector a continuación de otro es decir% e" ori!en de cada uno de "os vectores se ""eva so're e" e3treo de" otro. E" vector resu"tante es aqu" que nace en e" ori!en de" &rier vector $ terina en e" e3treo de" "tio.
&$todo anal"tico para la suma y di/erencia de vectores
ados dos vectores "i'res( a =[ a x i + a y j + a z k ] b =[ b x i + b y j + b z k ]
E" resu"tado de su sua o de su di#erencia se e3&resa en "a #ora( a b a ± b=(¿ =( ¿ ¿ x i + a y j + a z k ) ± (¿ ¿ x i + b y j + b z k )
¿ ¿
Y ordenando "as co&onentes( a y ± b a z ± b ( ¿ ¿ z ) k ( ¿¿ y ) j + ¿ a ± b=( a x ± b x ) i + ¿
Con "a notación atricia" serBa
[ ][ ][ ]
a x b x a x ± b x a ± b= a y ± b y = a y ± b y a z
b z
a z ± b z
&>!. 18
Conocidos "os ódu"os de dos vectores dados% a $ ' asB coo e" >n!u"o W que #oran entre sB% e" ódu"o de a ± b es(
|a ± b|=√ a + b −2 ab cos0 2
2
La deducción de esta e3&resión &uede consu"tarse en deducción de" ódu"o de "a sua.
Producto de un vector por un escalar
E" &roducto de un vector &or un esca"ar es otro vector cu$o ódu"o es e" &roducto de" esca"ar &or e" ódu"o de" vector% cu$a dirección es i!ua" a "a de" vector% o contraria a este si e" esca"ar es ne!ativo. Partiendo de "a re&resentación !r>2ca de" vector% so're "a isa "Bnea de su dirección toaos tantas veces e" ódu"o de vector coo indica e" esca"ar. esca"ar. Sean
P un
esca"ar $ a un vector% e" &roducto de
P &or a
se re&resenta
p
a
$ se
rea"i5a u"ti&"icando cada una de "as co&onentes de" vector &or e" esca"ar esto es%
a
p
= pa x i + pa y j + pa z k
Con "a notación atricia" seria( pa=
[ ][ ] a x a y a z
pa x = pa y pa z
&>!. 1:
