RAZÓN DE CAMBIO
Es el otro nombre que se le da a la derivada cuando esta como el límite de un cociente. Si xo es el punto del dominio de la función y=f(x) entonces:
() () ) ) () ) ( )
mide el cambio experimentado por y=f(x), cuando cambia de xo a ( )( ) , es la razón del cambio del y xo+. Esto quiere decir que el cociente () respecto a x cuando x cambia de () a (). El límite de este cambio promedio cuando es el cambio instantáneo de y respecto a x en xo. El incremento de
En resumen: Si y=f(x) , , la razón de cambio instantánea de y respeco a x en xo es
().
Se conocen dos tipo de razones de cambio:
Velocidad: es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Aceleración: es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Ejemplo: Sea V el volumen de un cubo de x cm de aristas. Esto es V=
hallar:
a) La razón de cambio promedio de V cuando x cambia de 5 a 5.1. b) La razón de cambio de V cuando x=5 SOL:
() () () () A. Xo= 5,
B. Nos piden V’(5)
() ()
V’(5)=
RAZONES DE CAMBIO RELACIONDAS Supongamos que tenemos dos funciones y estas son funciones del tiempo x=f(y) ; y=(gx) y dichas funciones están relacionadas con una ecuación f(x.y)=0. Derivando implícitamente dicha ecuación respecto al tiempo encontramos otras ecuaciones que relacionan
y por esto decimos que estas ecuaciones son
Razones de Cambio
Relacionadas. Es decir que si encontramos alguna de las funciones, fácilmente encontraremos la otra.
Pasos para resolver Razones de Cambio Relacionadas 1. 2. 3. 4. 5.
Construir la figura que ilustre el problema, indicando las constantes y las variables. Identificar lo que se pide y además, escribir los datos que se nos proporcionan. Escribir las ecuaciones que relacionen las constantes y las variables. Derivamos implícitamente las escuaciones encontradas en el paso 3. Sustituir en la ecuación que resulta de derivar implícitamente los datos para hallar la repuesta que se nos pide.
Ejemplos: Una bailarina de ballet mide 1.60 mts de estatura se encuentra ensayando en una
habitación que esta alumbrada por un foco colocado en el centro a 4 mts de altura. Si en determinado instante la bailarina se aleja del centro a razón de 45m/min. ¿ A razón de cuantos metros por minuto crece la sombra en ese instante?
Sol: En este ejemplo resolveremos el problema indicando los pasos a seguir
PASO I construcción de la figura
PASO II identificación de la información
razón con la cual se aleja la bailarina
Donde S es la longuitud de la sombra. Esto es lo que nos piden hallar
PASO III escribir las ecuaciones Por semejanzas de triangulo tenemos que:
PASO IV derivamos implícitamente la ecuación encontrada
() El instante con el que crece la sombra es
30m/min
Los extremos de una escalera de 5 m de longitud están apoyados sobre una
pared vertical y sobre un piso horizontal. Si al empujarla por la base se logra que esta se aleje de la pared a razón de 20 m/seg. ¿Con que rapidez baja el extremo superior de la escalera cuando la base está a 3 m de la pared?
SOL:
Sea x la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera. Sea h la altura desde el suelo al extremo superior de la escalera. Nos piden hallar la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuando la base esta a 3 m de la pared. En otros términos, nos piden la razón de cambio de h respecto al tiempo cuando x=3. Es decir, nos piden:
Como dato nos dan la razón con que la base de la escalera se aleja de la pared. Es decir nos dan:
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:
(1)
Derivamos implícitamente esta ecuación respecto a t. En la ecuación resultante sustituimos los datos que son validos para el momento en que x=3
(2) Además, cuando x=3, de (1) se tiene que: Pero, 2h
h=
√ = √ = √ = 4
Remplazando estos valores en (2):
=
TEOREMA DE ROLLE Este teorema dice que si se cumple que: 1. f sea continua en el intervalo cerrado[a,b] 2. f sea diferenciable en el intervalo abierto(a,b) 3. f(a)=f(b) En palabras sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura en algún punto tendrá una recta tangente horizontal.
Ejemplos: Estudiar si se verifica el
teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:
En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.
En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.
Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.
2
¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x ) en el intervalo
[−2, 2]? En primer lugar calculamos el dominio de la función.
La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en
.
Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Sea f una función diremos que: a) f es diferenciable en un intervalo abierto (a,b) si f es diferenciable en todo punto de (a,b) esto quiere decir que:
()()
b) f es diferenciable en un intervalo cerrado[a,b] si f es diferenciable en el intervalo abierto(a,b) y tiene derivada por la derecha en a y por la izquierda en b. Es decir si es continua en el intervalo cerrado. Entonces
( )
() () ()( ) () () ()
Demostración
Demostrar que la recta secante que pasa por los puntos P1=(a,f(a)) y P2=(b,f(b)) y tiene por pendiente
)() y la pendiente de la recta tangente (c,f(c)) es f’(c), es (
igual a f(b)- f(a) = f’(c)(b-a) sabiendo que dicha función continua tiene una tangente en cada punto entre a y b, talque la recta tangente es paralela a la secante.
SOL:
La recta pasa por P1=(a,f(a)) y P2=(b,f(b))tiene por ecuación:
() ()() (). () () () ()() (). Ahora vemos si g sastiface la hipótesis del teorema de Rolle: 1. La función g es continua en [a,b], ya que g es la suma de dos funciones continuas en [a,b] que son f y el polinomio
() () ()() (). 2. La función g es diferenciable en (a,b) ya que f y el polinomio p(x) también lo son. Además
)() () ()-(
(1)
3.
)() ( ) () () () (
() () () () () ( ) Como se cumple que g(a) y g(b) son iguales entonces la hipótesis del teorema de rolle se ha cumplido, luego:
( ) Talque ()
(2)
Si en (1) tenemos que x=c obtenemos
)() () () (
(3)
De (2) y (3) se tiene
)() => () (
f(b)- f(a)=f’(c)(b-a)
Ejemplos: Hallar todos
los números c que satisfacen la conclusión del valor medio para la en el intervalo[-1,1] función f(x)= 1+x+
SOL: Observamos que la función es continua y diferenciable en todo R por ser una Funcion Polinómica.
)() () () (() Pero f(-1)= 3 ; f(1)= 1 ; f’(x) = 1+2x Estos valores los remplazamos en
(1)
(1)
)() 1+2x - = () (()
√ √ Ambas raíces están en [-1,1]
Dos casetas policiales A y B distan entre sí 147 Km. Un automóvil pasa por la
caseta A a las 2 P.M. Un oficial de tránsito de la caseta B, que sabia calculo, le dijo al conductor: “Ciudadano, Ud. Sabe que en esta carretera la máxima velocidad permitida es 90 km/h y Ud. se excedió. Tengo que levantarle una infracción ”. Demuestre que el oficial tenía razón.
SOL:
Sea s = f(t) la función de desplazamiento del conductor, donde el tiempo lo medimos en horas a partir de las 12 PM. Suponemos que esta f es diferenciable. Sabemos que la derivada f’(t) es la velocidad instantánea en el instante t. La velocidad promedio del automóvil en el recorrido comprendido entre las dos casetas es:
() () Pero, por el teorema del valor medio, existe un intante to, entre las 2P.M. y las 3:30 P.M. tal que:
() () () () Luego en el instante to el conductor excedió la velocidad máxima permitida.
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO PARA DEL PODER POPULAR PARA LA EDUACION Y DEPORTE UNIVERSIDAD YACAMBU BARQUISIMETO-CABUDARE
Integrantes: Jorge Herrera Javier Barreras Daimary Pimentel Naumber Sanchez Arianny Profesor: Luis Rojas Barquisimeto, 15 de Noviembre del 2010
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