INTEGRALES DOBLES
ACOSTA CARLOS ARIÑEZ ACUÑA ALEXANDER NAVA NAVARRO MEZA RÚGERO RÚGER O
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR© FACULTA FACULTAD D DE INGENIERÍ IN GENIERÍAS AS ING. INDUSTRIAL E ING. SISTEMAS IV CALCULO III KM 1 VÍA A COROZAL COROZAL (SUCRE) !"#"$% INTEGRALES DOBLES
ACOSTA CARLOS ARIÑEZ ACUÑA ALEXANDER NAVARRO MEZA RÚGERO
PRESENTADO A CESAR OSORIO
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR© FACULTAD DE INGENIERÍAS ING. INDUSTRIAL E ING. SISTEMAS IV CALCULO III KM 1 VÍA A COROZAL (SUCRE) !"#"$%
1.
∫∫ xy( x + y ) dxdy donde R = [ 0,1] x[ 0,1] R
$.
∫∫ R
y − x 2 dxdy
donde R = [ − 1,1] x[ 0,2]
&.
∫∫ cos( x + y ) dxdy R
donde R = [ 0, π ] x[ 0, π ]
!. (0,0) ( π ,0) ( π , π )
!.
∫∫ x. cos( x + y )dxdy S
S región triangular, vértices
x + y
'. ∫∫ S
#.
dxdy donde
∫∫ ( x + y ) dxdy 2
R
,0).
2
S = {( x, y ) / x + y ≤ 1}
S, región limitada por la curva y = senx y el intervalo ( π
%.
asenc
∫ ∫
.
0
f ( x, y ) dxdy + ∫
a2 − y2
bsenc
a 2 − y 2
asenc
∫
b 2 − y 2
cot c
f ( x, y )dxdy
x = r cosθ
a − y → x 2
2
y = rsenθ
a − y → − x 2
2
asenc →
0
ctgc =
1.
x y
π
2
x=y
f ( x, y )dxdy 11. ∫∫ s
*) ∫∫ { ( x, y ) / x + y ≤ a } → a > 0 2
2
2
s
∫∫ f (r ,θ )rdrd θ s
+) S = { ( x, y ) / a ≤ x + y ≤ b } → 0 < a < b 2
2
2
2
∫∫ f ( r ,θ )rdrd θ s
,) S = { ( x, y ) / x ≤ y ≤ 1,−1 ≤ x ≤ 1} 2
∫∫ f ( r ,θ ) rdrd θ s
2a
1$. *) ∫ ∫ 0
y 2 y 2 y 2
2 ax − x
2
0
= 2ax − x + x − 2 ax = 0 + ( x − a ) = a 2
2
2
2
( x + y )dxdy 2
2
0 ≤ x ≤ 2a 0 ≤ y ≤ y ≤
2ax − x
2
y = rsenθ
→ x + y = r x = r cos θ y = 2ax − x x + y = 2ax 2
2
2
2
2
2
2
= 2.a.r . cos θ r − 2.a.r . cos θ = 0 r ( r − 2.a. cos θ ) r = 0 r = 2.a.r . cos θ r 2 2
π
2. a . cos θ
∫ ∫ 2 0
0
2. a . cos θ
r 4 4
π
∫
2 0
r 2 rdrd θ d θ
0
16a 4 . cos 4 θ d θ
π
∫
2 0
4 π
4 ∫ 02 cos 4 θ d θ π
4a
4
cos
3
θ . senθ
2
+ 3 cos ∫ 4 π
2
0
4
0
π
2
3a 4 ∫ 0 cos 2 θ d θ π
1 θ + 1 sen θ 2 4
3a 4 3 4
2
2
0
a 4π
+)
a
∫ ∫ 0
0
a2 − y 2
( x + y )dxdy 2
2
2
θ d θ
π
a
∫ ∫ r .r .drd θ 2
0
= = = =
2
0
1
π
∫ a
2
0
1
2
0
4 1 8
a
0
π
∫ a 1
r a ] d θ a a d θ
a aθ ] π .a
4
π 2 0
INTEGRALES DOBLES Primera parte. Integrales dobles, Aplicaciones Evaluar las siguientes integrales.
1.
∫∫ xy( x + y ) dxdy donde R = [ 0,1] x[ 0,1] R
$.
∫∫
y − x 2 dxdy
donde R = [ − 1,1] x[ 0,2]
R
&.
∫∫ cos( x + y ) dxdy
donde R = [ 0, π ] x[ 0, π ]
R
Calcular las siguientes integrales sobre las regiones dadas.
x. cos( x + y )dxdy S región triangular, vértices (0,0) ( π ,0) ( π , π ) !. ∫∫ S x + y dxdy donde '. ∫∫ S
#.
∫∫ ( x + y ) dxdy 2
2
S = {( x, y ) / x + y ≤ 1}
S, región limitada por la curva y = senx y el intervalo ( π
R
,0).
. Calcule, por doble integración, el volumen del conjunto de coordenadas de f sobre S si:
*) f ( x, y ) = 3 x + y +) f ( x, y ) = x + y 2
2
S = { ( x , y ) / 4 x 2 + 9 y 2 , x > 0, y > 0} S = { ( x, y ) / x ≤ 1, y ≤ 1}
%. En los siguientes ejercicios asuma ue la integral doble de una !unción positiva f sobre una región S se reduce a la integral dada. En cada caso "aga un esuema de la región S e intercambie el orden de integración. 1 y
*) ∫0 ∫ 0 ( x, y ) dxdy
2
2 − x
+) ∫−6 ∫ x f ( xy )dydx 2
,)
x
x
∫ ∫ 0
x
− sen
2
f ( x, y )dydx
. Cuando una integral doble se lleva acabo para calcular el volumen y bajo la super!icie z = f ( x, y ) , y sobre una región S del plano x, y . #a siguiente suma de integrales iteradas se obtuvo. V =
∫
asenc
0
∫
2 2 a −y 2 2 a − y
2 2 a − y
f ( x, y ) dxdy + ∫asenc ∫cot c bsenc
$ado ue 0 < a < b Y 0 < c <
π
2
f ( x, y ) dxdy
"aga un esuema de la región dando las
ecuaciones de todas las curvas ue la limitan. 1
1
−t 1. Sea A = ∫ dt y B = ∫ −t dt 2
2
0
2
0
1 x
− y I dydx en términos de A y B . 2 = ∫ ∫ Eval%e la integral 1 0 2
2
11. En los ejercicios siguientes "aga un esuema de la región S y e&prese la integral doble como una integral iterada en coordenadas polares.
∫∫ f ( x, y ) dxdy S
*) S = { ( x, y ) / x + y ≤ a } a > 0 0 < a < b +) S = { ( x , y ) / a ≤ x + y ≤ b } ,) S = { ( x, y ) / x ≤ y ≤ 1,−1 ≤ x ≤ 1} 2
2
2
2
2
2
2
2
1$. En los siguientes ejercicios, trans!orme la integral en coordenadas polares y calcule su valor. 2a
*)
∫ ∫
2. a . x − x
0
2
( x + y )dydx 2
2
0
a
b
∫ ∫ 0
0
a 2 − y 2
( x + y ) dxdy 2
2
