CALCULO DIFERENCIAL
PRESENTADO POR: CLAUDIA PATRICIA ROJAS QUINTERO CÓDIGO: 1120358977 LUIS AMÉRICO MOSQUERA M CÓDIGO: 1076382692 AROL GRISSON MO!A CÓDIGO: DANIELA JIMÉNE" RESTREPO CÓDIGO: ED#IN $URGOS%
GRUPO 100&10'636
PRESENTA PRESEN TADO DO A: !ADER $LANDON
UNI(ERSIDAD NACIONAL A$IERTA ! A DISTANCIA)UNAD
MAR"O DE 2017
INTRODUCCION El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objetivo de estudio del curso cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función. El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálc cálcul ulo o dife difere renci ncial al,, en concr concret eto o el caso caso en el que que el camb cambio io de las las vari variabl ables es es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). En el presente trabajo, se busca fortalecer los conocimientos alcanados en el módulo del curso, a través de del desarrollo de los ejercicios propuestos en la !u"a de actividades, con el objetivo de reconocer las fortaleas # mejorar las falencias de los participantes, de esta forma lo!rar lo!rar un verdadero conocimiento relevante.
E*+,-./+ 1 C/,-./ /+4../% F/* 1 1. Determ Determina inarr la cota infe inferio riorr y/o superi superior or 1 2n Un =
1 2n
n =1,2,4,6,8,10
A =10,12,16,20
Cota inferior Cota superior
2. Determinar Determinar si sin monótona monótona o si convergen convergen o divergen divergen justificar justificar la la repuesta repuesta 4, 9,16, 25, 36, 49,……. Un = n+2+1 Donde n = 1, 2, 4, 6, 8, 10 U n0= n + 2 + 1=1 + 2 + 1= 4
U n1=U n0 + ( n+ 2+ 1 ) =4 + ( 2 + 2 + 1 ) = 9
U n2=U n1 + ( n + 2+ 1 ) =9 + ( 4 + 2 + 1 ) =16
U n3=U n 2+ ( n + 2+ 1 ) =16 + ( 6 + 2+ 1 ) =25
U n4 = U n 3 + ( n + 2 + 1 ) = 25 + ( 8 + 2 + 1 ) =36
U n5=U n 4 + ( n + 2 + 1 ) = 36 + ( 10 + 2 + 1 )= 49
El ejercicio a medida que se va desarrollado va creciendo
entonces eso
quiere decir que el resultado de la sucesión también va aumentando y como el lmite es infinito infinito entonces decimos que la sucesión es divergente divergente y monótona
P4/ 1 En una progresión geométrica se da! el primer término" #$ la ra%ón" &"2$ y la suma de los términos 11"2'2. (allar el n)mero de éstos a1= 9
r = 0,2
s n=11,232
an
*ediante la fórmula de la suma +allamos s n=
!
an r −a1 r −1
11,232=
11232 1000
a n × 0,2−9
0,2−1
an ×
=
2 10
an
−9
2 −1 10
=
5
an− 45
−9
2−10 10
=
5
−8 10
11232 −a n−45 = 1000 4 4 × 11232 1000
11232 250
=−a + 45 n
+ a = 45
an =45 −
n
11232 250
=
11250 −11232 250
=
9 125
an− 45
=
5
−4 5
=
−a −45 n
4
*ediante la fórmula de c,lculo del )ltimo término +allamos el n)mero de términos -n-! an =a1 r
9 125
1 125
1 125
n− 1
=9
n−1
() 1 5
n− 1
=
=
1
n− 1
5
1 n− 1
5
n− 1
=125 =53
n− 1
=53
5
5
n − 1= 3
n =4
uego el n)mero de términos de la progresión es
P4/ 2: 0ablo +a decidido a+orrar dinero" &&& pesos para empe%ar" y 2&& pesos cada da. Cu,nto dinero tendr, pablo al cabo de un mes '& das34 a30= 4000 + 29 × 2 =4000 + 58 =4058
S 30=
4000 + 4058 × 30 =15 × 8058 =120870 Pesos tendrá pablo ac!lado al "nal 2
del !es
E*+,-./+ 2 Harol Grisson moya F/* 1 E *+,-./+ 4/. / /* 1
Estudiante ' Luis Américo Mosquera
F/* 1 E;4..* F/* I < TC 1
a) De las las sigu siguie ient ntes es suce sucesi sion ones es dete determ rmin inar ar la cota cota infe inferi rior or y/o y/o supe superi rior or 5n
Ejercicio 3.
n
Solución:
$ode $odemo moss desc descri ribi birr cada cada uno de los los térm términ inos os de la suce sucesi sión ón para para anali analia arr su comportamiento% a1=
a2=
a3 =
a 4=
5(1) 1
5 (2 ) 2
5 ( 3) 3
=5
=5
=5
5 (4 ) 4
=5
&laramente se puede observar que para cualquier valor que tome n, la sucesión toma siempre el mismo valor i!ual a ', esta sucesión se denomina constante. $odemos concluir que tanto la cota co ta superior e inferior son i!uales a '.
ambién podemos evidenciar la conclusión si tomamos la formula !eneral # la simplificamos% an =
5n n
=5
b) De las siguient siguientes es sucesion sucesiones, es, Determi Determinar nar si son monótonas monótonas y si convergen convergen o divergen, justificar la respuesta. 4,9,16,25,36,49, …
Ejercicio 3.
Solución:
&laramente se observa que la sucesión va aumentando, es decir que cada término es ma#or al anterior, por lo que concluimos que es una sucesión creciente #, por lo tanto, es monótona. in embar!o, la sucesión aumenta sin l"mite al!uno, es decir no se acerca a nin!*n valor en particular, por lo que se conclu#e que es una sucesión diver!ente. $ode $odemo moss det determ erminar inar la fórm fórmul ulaa comportamiento de la sucesión% a1= 4 =2
2
a2= 9=3
2
=( 1 + 1 ) 2
( 2 + 1 )2
=
a3 =16= 4
2
2
a 4=25 =5
a5 =36=6
2
a6 =49 =7
2
=( 3 + 1 )2
( 4 +1 )2
=
=( 5 + 1 ) 2
( 6 + 1 )2 +
=
del del
térm érmino !ene !enerral para para visu visual aliiar ar
el
$or lo tanto, la forma !eneral es% an =( n + 1 )
2
$or lo cual nos damos cuenta que la sucesión no tiene l"mite # por lo tanto es diver!ente. c) Problemas Problemas Progresion Progresiones es Aritm Aritmticas ticas y !eomtric !eomtricas. as.
Problema 1. Hallar la suma de los cinco términos de una progresión geométrica, cuya razón es igual al primer término, con signo contrario, y la diferencia de los dos primeros igual a 2. os datos conocidos para la resolución de este problema son r =−a 1
a1− a2=2
Ecuación Ecuación 2
n =5
5abiendo a2= a1 r
y de la ecuación 1 y la ecuación se obtiene. a1= a1 r=2
( ) (−a ) =2
a1− a1
1r
2
a1− a1=2
2
a1 + a 1−2=0
a1=
−1 ± √ 1+ 8 −1 ± √ 9 −1 ± 3 = = 2
2
2
a1=
2
a1=
−1+ 3 2
2 2
= =1
−1−3 2
4
= =2 2
A./- / ,/.=% a1=−2
r =−a 1
r =2
6 continuación" aplicando la fórmula de c,lculo del ultimo termino de las progresiones geométricas limitadas na =a1 r n −1
na =( −2 ) 2
−1
na =( −2 ) 2
=32
5
4
6plicando la fórmula de cálculo de la suma de pro!resiones
eométricas limitadas nr − a 1
s n=
s n=
a
r −1
(−32 ) 2− (−2 ) 2 −1
=−
64
Problema " . 0lanteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término término es #& y la diferencia com)n com)n es . 6dicional 6dicionalmente mente encuentre encuentre la suma de los 1& primeros términos y el valor del veinteavo término.
/plicando la formula
an + b
( )+ b= 90
a. 1
4 (1 ) + b =90 4 + b =90
b =90− 4
b =86
E*+,-./+ & Daniela Jiménez F/* 1 1
n +2
2 n −1
E*+,-./+ 5 Edwin burgos% F/* 1 /% En la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior" justificar la respuesta an =
5n n −3
0ara determinar la cota inferior solo evaluamos en el punto 7n8 m,s peque9o que es 1! U 1=
5∗( 1 )
( 1 )−3
=
5 2
5
uego la cota inferior es
2
0ara +allar la cota superior +allamos el valor la sucesión cuando n tiende a infinito as!
lim n →∞
5n 5 n /n 5 5 = lim = lim = =5 n −3 n → ∞ n 3 n → ∞ 1 1 n
−
n
uego la cota superior es :
% 0ara siguiente sucesión" determine si es monótona y si converge o diverge" justificar la respuesta. respuesta.
{
bn = 2,4,8,16,32,64 … .
}
a sucesión presenta una tendencia creciente por lo cual podemos denotar que la sucesión es monótona. 6+ora para para +allar si es creciente creciente o decreciente decreciente se determina el limite cuando cuando tiene tiene a infinito de la sucesión. n
bn =2
n
lim 2 n →∞
Como el lmite de la sucesión es un polinomio se determina que la sucesión diverge.
de una progresión progresión geométrica geométrica cuyo primer primer término es es % 0lantee el término general de 12 y la ra%ón com)n es ;. 6dicionalmente encuentre la suma de los primeros : termino y el valor del décimo termino. Dado que en el enunciado tenemos los términos que conforman el término general" e
n−1
6+ora para determinar determinar la suma de los primeros : términos debemos +allar el valor del quinto término.
a5 =12∗8
5−1
a5 =49152
6+ora +acemos +acemos uso de la ecuación ecuación de suma para para progresiones progresiones geométricas. geométricas. S n=
an∗r − a 1 r −1
=empla%amos en la ecuación S n=
49152 ∗8−12 8 −1
S n=56172
> finalmente calculamos el valor del décimo término. 10−1
a10=12∗8
a10=1.61 x 10
9
-% ?)squ ?)squen ense se los los tres tres ,ngu ,ngulos los de un tri,n tri,ngul gulo o rect,n rect,ngu gulo" lo" sabien sabiendo do que que estos estos ,ngulos est,n en progresión aritmética. Como se identifico es un tri,ngulo rect,ngulo tiene un ,ngulo de #& grados" adem,s conocemos que los tres ,ngulos suman 1;& grados. S n=
( a 1 +an )∗n 2
Donde al rempla%ar tenemos que! 180=
( 90 + an )∗3 2
Despejamos el termino an"
an =
180∗2 3
−90
an =30
6+ora calculamos calculamos la ra%ón ra%ón de la la progresión progresión aritmética a 3= a 1+ 2 d
Despejamos el valor de @d@ d=
30− 90 2
d =−30
6s tenemos tenemos que el el valor de a2 es! a 2= a 1 + d
a 2= 90−30
a 2=60
6s llegamos llegamos a la conclusión conclusión de de que los los ,ngulos son '&" A& A& y #&.
E*+,-./+ 1 Claudia patricia
F/* 2 (aciendo uso de la 6plicación Beogebra y siguiendo las indicaciones del video 7ase 2 rabajo Colaborativo 18" cada estudiante deber, escoger un 13 ejercicio
y graficar los : primeros términos determinando si la progresión es geométrica o aritmética" su ra%ón o diferencia com)n y si es creciente o decreciente. 5e debe especificar en el foro de la actividad el ejercicio escogido por cada estudiante" este" no se podr, cambiar en el transcurso de la actividad y debe ser desarrollado )nica y e
a3 FAG1
c Desarrollo Un=( 6.1 ) −1 =5
(
Un= 6.2
)−1 =11
Un=( 6.3 ) −1 =17
(
Un= 6.4
)−1=23
Un=( 6.5 ) −1 =29
FA.G1
El ejercicio es una progresión aritmética creciente ya que a medida que va creciendo en la grafica de Beogebra U también va creciendo cada ve% mas
E*+,-./+ 2 (arol grisson moya F/* 2 c) =
6
+4
Desarrollo de la pro#res$%n Un=(6.1 )+ 4 =10
Un=(6.2 )+ 4 =16
Un=(6.3 )+ 4 =22
Un=(6.4 )+ 4 =28
Un=(6.5 )+ 4 =34
Brafica de la progresión con Beogebra Un =6. n + 4
=espuestas. 1H Es una progresión aritmética! porque cada término siguiente" se obtiene de sumarle la diferencia en com)n$ al término anterior. 2H 5u diferencia en com)n es el n)mero A. 'H Es una progresión creciente! porque cada término es mayor que el anterior.
E*+,-./+ 3 uis 6mérico F/* 2 Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones del video, cada estudiante deberá escoger un (1) ejercicio y graficar los 5 prim primer eros os trm trmin inos os de dete term rmin inan ando do si la prog progre resi sión ón es ge geom omt tri rica ca o aritmtica, su ra!ón o diferencia com"n y si es creciente o decreciente# $e debe especificar en el foro de la actividad el ejercicio escogido por cada cada estu estudia diant nte, e, este este,, no se podr podrá á camb cambia iarr en el tran transc scur urso so de la acti activi vida dad d y de debe be ser ser de desa sarr rrol olla lado do "n "nic ica a y e% e%cl clus usiv ivam amen ente te por por el estudiante &ue lo 'a escogido# Ejercicio b). InF# b). InF# H n
Es una pro!resión aritmética porque cada término se obtiene sumando al anterior un n*mero fijo, que en este caso su diferencia com*n es 0, además es decreciente, porque como se ve en el !ráfico, el punto si!uiente es menor que q ue el anterior. #studiante $ 1aniela 2iméne. %ase "
&ra"car los 5 pr$!eros t'r!$nos deter!$nando s$ la pro#res$%n es #eo!'tr$ca o ar$t!'t$ca, s ra(%n o d$)erenc$a co!*n s$ es crec$ente o decrec$ente.
e 3 'n-1 s na pro#res$%n ar$t!'t$ca por/e se obt$ene s!ando el anter$or s!ando n n*!ero "o lla!ado d$)erenc$a. d$)erenc$a co!*n es el 4 es decrec$ente por/e t$ene !enor alor /e el anter$or.
E*+,-./+ 5 E->. ,4?*% F/* 2 @
Un=−6
n− 1
a pro#res$%n es #eo!'tr$ca por /e la ra(%n entre ss t'r!$nos es constante.
ra(%n co!*n es 6. a pro#res$%n es decrec$ente por /e a !ed$da /e n a!enta, Un d$s!$ne.
E*+,-./+ 1 C/,-./ /+4../ F/* 3 a matem,tica y todo lo que vaya ligado a ella es fundamental para la vida profesional ya que no permite obtener un alto nivel de an,lisis y comprensión" para brindar una respuesta lógica y ra%onable a las situaciones que se presente a diario
con un conocimiento competente que cuente con una visuali%ación positiva de enfrentar cualquier reto en el futuro.
E*+,-./+ 2 (arol grisson moya ase ' Jo reali%o la fase ' Estudiante ' uis 6mérico ase ' El cálculo diferencial es una rama de la matemática que tiene mucho que aportarle a mi carrera, carrera, #a que en el ejercicio ejercicio de nuestra nuestra profesión profesión nos veremos en la necesidad de buscar soluciones a las diversas variables que están en un pro#ecto investi!ativo de al!una planta en !eneral, del suelo, fertiliantes o de al!*n producto alimenticio, desde el punto de vista matemático
E*+,-./+ & 1aniela 2iméne 4ase 5
as as pro# pro#re res$ s$on ones es en !$ $da $da pro) pro)es es$o $ona nall se erá erá ree reea ado do en el !$s! !$s!o o !o!e !o!ento nto /e /e co!$ co!$enc ence e a to!a to!arr dec$ dec$s$ s$on ones es sobr sobre, e, cost costos os de pro proec ecto tos, s, "nan(as, tener clar$dad sobre las cotas de banco asta el !$s!o !aneo del !ed$o a!b$ente en cálclos sobre el espac$o, estas son esenc$ales en nestro d$ar$o $$r las apl$care!os en el da a da de nestra pro)es$%n en nestra $da cot$d$ana
E*+,-./+ 5 E->. ,4?* F/* 3 En genera generall las progres progresion iones es sirven sirven para para +acer +acer demost demostrac racione iones s b,sica b,sicamen mente" te" aplicara el uso de progresiones en un problema donde de necesite +allar un valor especifico" as mismo desde que sea necesario en algunos estudios o procesos donde donde necesit necesitamo amos s conocer conocer datos importa importante ntes s y necesar necesarios ios de saber saber o como como aplicamos estas en cosas que reali%amos diariamente por ejemplo en mi profesión como ingeniera de alimentos alimentos necesitamos necesitamos a diario saber datos de transformaci transformación ón
o manejo de materia prima" en la que el conocimiento de las matem,ticas es alcan%ado con estudio" e
&'(&*S+'(
&on este trabajo se lo!ró adquirir al!unos de los conceptos esenciales, necesarios para el cálcul cálculo. o. En adició adición n entende entenderr los concept conceptos os # herram herramien ientas tas del cálcul cálculo o difere diferenci ncial al # relacionarlos unos con otros tanto con el ál!ebra como con la !eometr"a anal"tica, para as" poder implementarlos en la resolución de situaciones en diversas áreas tales como f"sica, in!enier"a, econom"a, administración, entre otras.
REFERENCIAS $I$LIOGRAFICAS
Progresiones Aritméticas Y Geométricas. Geométricas . 7s.).. ecperado el 25 de ebrero de 201:, de ;$r.es< ttp<>>>.$r.es!ate!at$caspro#r ttp<>>>.$r.es!ate!at$caspro#res$oneses$onesar$t!et$cas--#eo!etr$cas Sesion 3 Matematicas Financieras. Financieras . 7s.).. ecperado el 25 de ebrero de 201:, de Pro#res$ones ar$t!et$cas #eo!etr$cas< ttp<crsos.a$.ed?ate!at$cas@20$nanc$erases$@A3@B3n @203PDCE@203@20?FG?FGCAF@20CEFEACF.pd) Suceciones Monotonas y acotadas . 7s.).. ecperado el 25 de ebrero de 201:, de Gareas pls< ttps<>>>.otbe.co!>atcH=3apddn8(Go 6ondón, 2. (78-8). -880-8 9 &álculo 1iferencial. Unidad - 9 /nálisis de ucesiones # $ro!resiones $ro!resiones.. $á!. :;5<. Universidad Universidad =acional /bierta /bierta # a 1istancia. 1istancia. 6ecuperado 6ecuperado de% http%>>hdl.handle.net>-8'?@>0<8@
&abrera, &abrera, 2. (78-'). (78-'). $ro!resion $ro!resiones es en eo!ebra. eo!ebra. ABideoC. ABideoC. Universidad Universidad =acional =acional /bierta /bierta # a 1istancia. 6ecuperado de https%>>DDD.!eo!ebra.or!>apps>
