Ejercicio 3
Observe los resultados obtenidos en la tabla anterior y a partir de ellos plantee una expresión
algebraica que represente el áre a total de la región sombreada en función de la posición .
1 = 1 2− Realizando con los siguientes cálculos para comprobar la expresión algebraica:
1 = 1 1 = 0 = 1 → = 1 2− 1 1 = 1 1 = 1 = 2 → = 1 2− 2 2 1 = 1 1 = 3 = 3 → = 1 2− 4 4
Ejercicio 4
¿A qué valor se aproxima el área de la región sombreada cuando
se hace cada vez más grande?
Justifique su respuesta. Represente esta situación como un límite empleando la notac ión matemática correspondiente.
El área de la región sombreada cuando se hace cada vez más grande se aproxima al valor de 1. Esto se evidencia si realizamos las operaciones de las fracciones.
= 2 → = 12 = 0,5 = 3 → = 34 = 0,75 = 4 → = 15 16 = 0,9375 = 5 → = 31 32 = 0,96875 = 6 → = 63 64 = 0,984375 = 25 → = 16777215 16777216 = 0,99999994 La expresión como un límite:
1 = 1 lim 1 →∞ 2−
Ejercicio 5
¿A qué valor se aproxima el área de la región no sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta. Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática corre spondiente.
El área de la región no sombreada cuando se hace cada vez más grande se aproxima al valor de
0. Esto se evidencia si realizamos la diferencia entre el área sombreada y el área total que daría como resultado el área no sombreada.
= : á = 1 : á = 2; = 12 = 0,5 → = 1 0,5 = 0,5 = 3; = 34 = 0,75 → = 10,75 = 0,25 = 4; = 15 16 = 0,9375 → = 1 0,9375 = 0,0625 = 5; = 31 32 = 0,96875 → = 10,96875 = 0,03125 = 6; = 63 64 = 0,984375 → = 1 0,984375 = 0,015625 = 25; = 16777215 16777216 = 0,99999994 → = 1 0,99999994 = 0,00000006 La expresión como un límite:
1 = 0 lim − →∞ 2
PARTE 2 Ejercicio 1
Calcule la tasa de cambio promedio del área sombreada respecto a la posición =3 y =4.
= = ∆ ∆
Donde:
1 = 1 2− = 3 → 3 = 1 21 = 34 = 4 → 4 = 1 21 = 78 ∆ = = 78 34 = 18 ∆ = = 4 3 = 1 Remplazando en la ecuación de la tasa:
∆ = 1 ∆ 8
Ejercicio 2 Calcule la tasa de cambio instantánea del área sombreada en la posición =4.
ℎ = lim → ℎ Donde :
(1)
1 = 1 2− 1 ℎ = 1 2+−
Remplazando en la ecuación (1):
1 1 1 1 2+− 2− lim → ℎ 1 1 1 1 2+− 2− lim → ℎ 1 1 − 2 2+− lim → ℎ
Simplificando el numerador:
−−+ (2 1) 2 lim → ℎ
(2)
(3)
(4)
Para que el limite no de indeterminado se hace un cambio de variables:
(2 1) = 2 = 1
(5)
Se aplica logaritmo natural a ambos lados de la ecuación (5)
ln2 = ln 1 ℎ ln2 = ln 1 ℎ = lnln2 1
(6)
Cuando h tiende a cero, t también tiende a cero.
ℎ → 0 ⇒ → 2 1 = 0 ⇒ → 0 Se hacen los remplazos en la ecuación (4):
− 2 lim → ln 1 ln2
Simplificando
2− ∗ → lim ln 1 ln2 2− ∗ → lim 1 ln2 ln 1
Aplicando las propiedades de logaritmo:
2− ln2 ∗ → lim
1 ln 1⁄
Sabiendo que la definición de Euler es:
⁄ 1 = lim →
2− ln2 ∗
1 ⁄ lnlim 1 →
1 2− ln2∗ ln 2− ln2∗ 11 = 2− ln2 Evaluando la tasa cuando
= 4: = 2− ln2 = 0,087
Ejercicio 3 ¿Qué significado tienen los resultados obtenidos en los dos puntos anteriores?, ¿en qué se diferencian? Como estudiamos problemas o ejercicios donde se relacionan con la variación de la magnitud de una variable con respecto a la otra, para poder describir esta situación y cuantificar estas variaciones, se hacen necesario el uso de gráficas, tablas y modelos matemáticos. La diferencia está en que una es la tasa de cambio que hay entre intervalos de una curva y la otra es la tasa de cambio que hay en cada punto de esa curva. Ejercicio 4 A medida que aumenta, ¿qué pasa con la tasa de cambio instantánea del área sombreada?
n
Tasa de cambio
4 5 6 7 8 25
0,087 0,043 0,022 0,011 0,005 4,E-08
Esta como vemos en la tabla va disminuyendo hasta casi ser nula a medida que n es más grande.
