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Viga a torsión
Viga a torsión
ROBERTO ROCHEL AWAD
ROBERTO ROCHEL AWAD
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ROBERTO ROCHEL AWAD
TORSION PURA EN TUBOS DE PARED DELGADA
Se considera el tubo de pared delgada, de longitud L, sección transversal constante y arbitraria, con espesor de pared t, sometido a la acción de dos momentos torsores, Mt, aplicados en sus extremos Y
Y
Y
Y
t
Mt
2 X
X
Mt Z
Z L
2
Z
Z
L
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TORSION PURA EN TUBOS T UBOS DE PARED DELGADA Los esfuerzos cortantes pueden variar de “b” a “d” por lo que se denotan como a y d.
En las caras adyacentes actúas esfuerzos de igual magnitud por tratarse de planos ortogonales. b
b b
Y
b
Y
Mt
b d
c
Mt
Mt c X
d
b
a a
b
a c
d
Mt
d
d
d
d V1
Z
X
c
Z
dX
b
V2 dX
L
V4
d
a V3
b * dx * t b = d * dx * t d,
V1 = V3,
b * t b = d * t d
El producto * t es constante, se denomina flujo de corte, se representa con la letra q y se calcula como: q = * t = constante
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TORSION PURA EN TUBOS T UBOS DE PARED DELGADA ds
ds
ds t r
dV
t
t r
dV = ∗ ds ∗ t dM = dV dV ∗ r = ∗ ds ∗ r ∗ t
dA0
r
2 ∗ dA0 = ds ∗ r
= ∗ ∗
(1)
Ao representa el área encerrada por la línea media de la pared delgada, incluyendo el vacío
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X0
Estribo Fisura
Y0
Barra longitudinal Diagonales de compresión en el concreto
TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO ANALOGIA DE LA CERCHA ESPACIAL Y
•
TANTO LAS SECCIONES SOLIDAS COMO LAS HUECAS SE IDEALIZAN COMO TUBOS DE PARED DELGADA, ANTES Y DESPUES DE LA FISURACION
Mt
Mt Z
•
SE DESPRECIA EL TRABAJO DEL NUCLEO DEL CONCRETO
L X
•
ANTES DE FISURARSE EL CONCRETO LA RESISTENCIA A CORTE ES PROPORCIONADA POR LA CAPA EXTERIOR DE CONCRETO,
Viga de sección rectangular sometida a torsión pura
C E N T R A D A A P R O X I MA D A ME N T E E N LO S E S T R I B O S
•
UNA VEZ SE FISURA EL CONCRETO LA RESISTENCIA A CORTE ES PROPORCIONADA POR LOS ESTRIBOS Y EL REFUERZO LONGITUDINAL Sección efectiva a flexión
Sección efectiva a torsión
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Y
Viga rectangular sometida a torsión pura
Y
= Angulo de inclinación de la fisura V1
Mt
Mt
V4
Mt
Mt
V2
Z
Z
V3
L
L
X X
Y
Y
Trayectoria helicoidal de las fisuras
Refuerzo longitudinal X0
Mt
Mt
Y0
Z
Z
Estribos
X
L
X
s L
ROBERTO ROCHEL AWAD
Y
L A S R E V S N A R T O Z R E U F E R L E D S I S I L A N A
Fisura
V1
Refuerzo longitudinal V2
h
b
Y0
Z
Y0
V4
X0
V3
X0
Estribos
s
X
Fisura
L
At*f ye
f yt = Esfuerzo del fluencia del refuerzo transversal (estribo) s = Separación de los estribos = Angulo de inclinación de las fisuras
At*f ye At*f ye
V2
Fisura
s Yo*Ctg
s
At = Área de la sección transversal del estribo Acp = Área encerrada por el perímetro exterior de la sección
Yo
Yo = Distancia vertical, centro a centro del refuerzo longitudinal Xo = Distancia horizontal, centro a centro del refuerzo longitudinal V2 = Fuerza cortante = t Y0 pcp = Perímetro exterior de la sección transversal de concreto ph = Perímetro del eje de refuerzo transversal cerrado mas externo
Se asume que el refuerzo de los estribos alcanza la fluencia ROBERTO ROCHEL AWAD
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Aoh = Área encerrada por los estribos NSR-10 Fig CR11.5.3.6 (b)
ROBERTO ROCHEL AWAD
Cuando la viga incluye parte de la losa, el ancho de la aleta que debe considerar es igual a la proyección de la losa hacia arriba o hacia abajo, la que sea mayor, pero no inferior a 4 veces el espesor de la aleta. hb 4 hf
b + 2hb b + 8 hf hf hf hb
hb
b
b
NSR-10 Sección C.11.5.1.1 y C.13.2.4
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L A S R E V S N A R T O Z R E U F E R L E D S I S I L A N A
n = Numero de estribos que atraviesan la grieta At*f yt
n=
At*f yt At*f yt
V2
Y0 ∗ C t g θ
De (1):
= ∗ ∗
s
Yo
V2 = Cortante que deben soportar los estribos = t Y0
s
s
V2 = n ∗ At ∗ f yt =
Y0 ∗ C t g θ s
∗ A ∗ f
Yo*Ctg
V2 =
30 ≤ ≤ 60 Se permite tomar 45 en elementos no pre esforzados. NSR-10 Sec. C.11.5.3.6 A0 = Área encerrada por la trayectoria del flujo a cortante = 0.85 * A0h. NSR-10 Sec. C.11.5.3.6
Mtn ∗ Y0 Y0 ∗ Ctg θ = ∗ A ∗ f 2 ∗ A0 s
A
A0h = Área encerrada por el eje del refuerzo transversal
s
=
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
2A0 ∗ C t g θ ∗ A ∗ f
Mtn =
s Mtn 2A0 ∗ C t g θ ∗ f
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L A N I D U T I G N O L O Z R E U F E R L E D S I S I L A N A
Ni /2
Ni = Vi * Ctg
Di Vi
vi
Di = Vi / Cos
Ni
Ni /2
Y
X0
Fisura
Refuerzo longitudinal
V1
Y0
Z
X
Estribos
s L
Fisura
V4
Y0
*Ctg + *Ctg
V4
V2
V3
V1 = V3 V2 = V4
*Ctg + *Ctg
X0
V2
V1
V3
*Ctg + *Ctg
*Ctg + *Ctg
Se asume que el refuerzo del estribo alcanza la fluencia ROBERTO ROCHEL AWAD
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L A N I D U T I G N O L O Z R E U F E R L E D S I S I L A N A
Y
X0
Fisura
Refuerzo longitudinal
V1
Y0
Z Estribos
s
∗
∗
+
V3
V1 = V3 =
Tracción nominal = 2 (V1 + V2) ∗ Ctg = *
V4
V2
V1 = V3 V2 = V4
Fisura
L
*Ctg + *Ctg
V3
X
Y0
V4
*Ctg + *Ctg
X0
V2
V1
*Ctg + *Ctg
*Ctg + *Ctg
∗
V2 = V4 =
∗ Ctg = 2 * X0 + Y 0 ∗
∗
∗ Ctg
p0 = Perímetro de las líneas que unen los centros de las barras en las esquinas del tubo = 2 * (X 0 + Y0) Por facilidad de calculo p 0 se reemplaza por el perímetro de los estribos cerrados, p h
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L A N I D U T I G N O L O Z R E U F E R L E D S I S I L A N A
Acero a tracción: A l * f y
Al * f y = Al =
Reemplazando C.11-21
h
h ∗
Mt =
Al =
∗ Ctg θ
∗ Ctg θ
2A0 ∗ C t g θ ∗ A ∗ f s
∗
h ∗
∗ Ctg2 θ
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
NSR-10 C.11.5.3.7 (C.11-22)
Al = Área adicional del refuerzo longitudinal para resistir la torsión At = Área del refuerzo transversal debida a la torsión f y = Esfuerzo de fluencia del refuerzo longitudinal f yt = Esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal ph = Perímetro exterior de los estribos cerrados Angulo de inclinación de la fisura debido a la torsión
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CORTANTE Y TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO FUNDAMENTOS DEL METODO DE LA NSR-10
• •
TODA LA TORSION DEBE TOMARSE CON ELACERO DE REFUERZO
•
PARA CONTROLAR EL ANCHO DE LAS FISURAS SE LIMITAN LOS ESFUERZOSADMISIBLES DEL CONCRETO Y DELACERO
•
POSIBLE FALLAS:
LA RESISTENCIA DEL CONCRETO A CORTANTE Vc NO SE AFECTA POR LA PRESENCIADE LA TORSIÓN
FLUENCIA DELACERO DE LOS ESTRIBOS FLUENCIA DEL REFUERZO LONGITUDINAL APLASTAMIENTO DEL CONCRETO EN EL ALMA
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CORTANTE Y TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO Esfuerzo cortante debido a la torsión en secciones huecas
Aoh = Área encerrada por el eje del refuerzo transversal Ao = Área encerrada por la trayectoria del flujo de corte = 0.85 A 0h
NSR-10 Sec. C.11.5.3.6
ph = Perímetro del estribo cerrado t
= Espesor de la pared del tubo, puede tomarse como A 0h/ph
NSR-10 Sec. CR11.5.4.4
= ∗ ∗
De (1):
= ∗, ∗
/
∗
= , ∗
Ao representa el área encerrada por la línea media de la pared delgada, incluyendo el vacío ROBERTO ROCHEL AWAD
CORTANTE Y TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO
Esfuerzo debido al cortante en secciones huecas
= ∗ Esfuerzo debido a cortante y torsión combinadas en secciones huecas
= ∗ +
Esfuerzos torsionales
∗
, ∗
En las secciones huecas los esfuerzos cortantes debidos al cortante y a la torsión se producen en las paredes de la sección tubular y por tal razón se pueden sumar directamente
Esfuerzos de corte
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CORTANTE Y TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO Esfuerzo cortante debido al cortante y a torsión combinadas en secciones macizas En las secciones solidas los esfuerzos cortantes debidos a la torsión se producen en la paredes de la sección tubular y los esfuerzos cortantes debidos al cortante se reparten a través del ancho de la sección. por esta razón no se suman sino que se toma el siguiente promedio:
=
∗
+
∗ h
Esfuerzos torsionales
, ∗
Estas tensiones cortantes no pueden sobrepasar el valor del esfuerzo cortante que produce el agrietamiento por cortante mas 0.66 f’c (MPa). NSR-10 Sec. CR.11.5.3.1 Esfuerzos de corte
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CORTANTE Y TORSION EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO En secciones macizas
∗
∗
+
+
∗
≤ ∅
, ∗
∗
∗
≤ ∅
, ∗
∗
NSR-10 C.11.5.3.1 (C.11-18)
+ 0,66 f ′ ,
∗
+ 2,00 f ′ ,
∗
= 0,17
f ′
= 0,53
f ′
MPa
kgf/cm2
En secciones huecas ∗ ∗
+ +
∗
, ∗ ∗
, ∗
≤ ∅ ≤ ∅
∗ ∗
+ 0,66 f ′ , + 2,00 f ′ ,
∗
= 0,17
f ′
MPa
= 0,53
f ′
kgf/cm2
∗
Al aplicar estas expresiones no es necesario revisar el aplastamiento del concreto dado que se produce con esfuerzos cortantes mayores
NSR-10 C.11.5.3.1 (C.11-19)
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Los momentos torsores que no exceden un cuarto del valor del momento torsor que produce el agrietamiento, Mtcr , no reducen sustancialmente la resistencia a la flexión y corte por lo que pueden ignorarse NSR-10 CR.11.5.1
Mt
Mt
De (1):
σ1 = τ =
∗∗
El espesor del tubo de pared delgada, t, antes del agrietamiento, se asume igual a 0.75 A cp / pcp
Mt
Mt
1 1
El área bruta, A 0, encerrada por el eje del tubo de pared delgada se asume igual a 2 A cp / 3
σ1 =
∗
ROBERTO ROCHEL AWAD
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26/04/2016
La fisuración se produce cuando el esfuerzo de tracción alcanza el valor de: 0,33 f ′ MPa, (1,0 f ′ kgf /cm2) NSR-10 Sec. 11.5.1
Mtcr = 0,33 f ′ ∗
MPa
Mtcr = 1,0
f ′ ∗
kgf/cm2
La torsión puede ignorarse para valores de los momentos torsores inferiores al 25% del valor de la torsión critica NSR-10 C.11.5.1
Mt ≤ 0,083
= 0,75
f ′ ∗
MPa
Mt ≤ 0,25
f ′ ∗
kgf/cm2
(2)
NSR-10 Sec. C.9.3.2.3
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• REFUERZO LONGITUDINAL MINIMO POR TORSION Las expresiones se basan en resultados experimentales, se estudio la falla para diferentes relaciones volumétricas entre el volumen de los estribos y refuerzo longitudinal con el volumen del concreto. Los resultados
2 vigas con relaciones volumétricas de 0,80% y 0,88% fallaron a la carga de agrietamiento torsional Las otras vigas fallaron para relaciones volumétricas de 1,07% o mayores a una carga superior a la del agrietamiento torsional (*) Debe emplearse una relación volumétrica de 0.9% o de 1.0% eez e e e
∗ ∗
+
∗ ∗
+
eez ii e e
≥ 0,01
A i ≥ 0,01 ∗ A
≥ 0,01
A ∗ p h s
(*) HSU T. C. THOMAS “Torsion of structural concrete-behavior of reinforced concrete rectangular members, torsión of structural concrete”, ACI publication SP-18, American Concrete Institute, 1968 ROBERTO ROCHEL AWAD
El límite del 1,0% depende de la resistencia de los materiales, en función de estos la expresión anterior queda como: A i ≥ 0,62 ∗
f ′ f
∗ A
A ∗ ph s
∗
f f
El primer término corresponde al refuerzo mínimo por cortante requerido por torsión pura, para sumar este término al obtenido por cortante puro, el primer término de la derecha debe multiplicarse por la relación , Hsu T. C. Thomas demostró que para los casos prácticos esta relación puede tomarse como 2/3
A i = A i =
,∗ ∗ ,∗ ∗
∗ ph ∗ ∗ ph ∗
,
,
≥ 0,175 ∗
≥ 1,75 ∗
(MPa)
NSR-10 C.11.5.5.3 (C.11-24)
(kgf/cm2)
(1) HSU T. C. THOMAS “Torsion of structural concrete-behavior of reinforced concrete rectangular members, torsión of structural concrete”, ACI publication SP-18, American Concrete Institute, 1968 ROBERTO ROCHEL AWAD
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26/04/2016
• REFUERZO TRANVERSAL MINIMO POR TORSION • Área de refuerzo transversal requerida por la fuerza cortante ultima (Vus), para estribos cerrados de dos
ramas, vus = Vus / bd
s=
∗ A ∗ f ∗ d V
=
∗ A ∗ f
A
v ∗ b
s
=
v ∗ b
∗ f
• Área de refuerzo transversal mínima requerida por torsión, para estribos cerrados:
A + 2A i = 0,062 ∗ A + 2A i = 0,20 ∗
f ′ ∗ f′ ∗
∗
∗
≥ 0,35 ∗ ≥ 3,50 ∗
∗
∗
(MPa)
NSR-10 C.11.5.5.2 (C.11-23)
(kgf/cm2)
Av se refiere a estribos cerrados de dos ramas, A t se refiere a estribos de una rama del estribo cerrado. ROBERTO ROCHEL AWAD
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26/04/2016
1. Determinar el área del refuerzo a flexión y a cortante, expresando el área de refuerzo a cortante de la forma Av / s 2. Revisar si debe considerarse o no la torsión empleando para ello la expresión (2): Mt ≤ 0,25
f ′ ∗
(kgf/cm2)
(2)
3. Verificar si las dimensiones de las sección transversal cumplen la expresión C.11-18 de la NSR-10 ∗
+
∗ h
, ∗
≤ ∅
∗
+ 2,00 f ′ ,
∗
= 0,53 f ′
(kgf/cm2)
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4. Determinar el área del refuerzo a cortante requerido por la torsión empleando la expresión C.11-21. A s
=
Mtn 2A0 ∗ f ∗ Ctg θ
=
Mtu
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
2 ∗ A 0 ∗ f ∗ Ctg θ
30 60, Tomar: = 45, f yt 4.200 kgf/cm2, A0 = 0,85 A0p 5. Calcular el área total de los estribos, corte mas torsión, empleando la expresión A s
vc = 0,53 f ′ ,
total =
vs = vu
A s
+2
v c
A s
s=
∗ ,
=
∗
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26/04/2016
6. Revisar si el área requerida a cortante es superior al mínimo exigido en la expresión C.11-23 de la NSR-10
= total
+2
f ′ ∗
≥ 0,20 ∗
≥ 3,50 ∗
(kgf/cm2)
7. El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre 30 cm y ph / 8. NSR-10 Sec. C.11.5.6.1
8. Calcular el área de refuerzo longitudinal por torsión. NSR-10 Sec. C. 11.5.3.7
Al =
∗
h∗
∗ Ctg2 θ
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9. Revisar si el área adicional longitudinal es superior al mínimo NSR-10 Sec. C.11.5.5.3 , ∗
A i =
∗
∗ ph ∗
,
≥ 1,75 ∗
(kgf/cm2)
10.El refuerzo longitudinal requerido por torsión debe estar distribuido a lo largo del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 30 cm. Su diámetro mínimo será de 3/8” y no será inferior a 0,042 veces el espaciamiento entre estribos. NSR-10 Sec. C.11.5.6.2 11.El refuerzo por torsión debe llevarse al menos una distancia (b + d) más allá del punto en que se requiera por análisis. NSR-10 Sec. C.11.5.6.3
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12.El refuerzo por torsión debe llevarse al menos una distancia (b + d) más allá del punto en que se requiera por análisis. NSR-10 Sec. C.11.5.6.3 13. La NSR-10 en su sección C.11.5.3.9 permite reducir el área de refuerzo longitudinal para torsión en la zona de compresión por flexión en una cantidad igual a Mu / (0.9 d fy ), donde Mu ocurre en la sección simultáneamente con Mtu, pero el refuerzo provisto no debe ser menor que el requerido por C.11.5.5.3 (Numeral 9) o NSR-10 Sec. C.11.5.6.2 (Numeral 10)
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Descascaramiento
14. El refuerzo para torsión consiste de barras longitudinales y estribos cerrados perpendiculares al eje de la viga. NSR-10 Sec. C.11.5.4.1
Esfuerzos de compresión de diagonales
15. Los estribos deben anclarse por uno de los siguientes métodos: NSR-10 Sec. C.11.5.4.2 a. Un gancho estándar de 135º o un ganchos sísmico alrededor de una barra longitudinal
El descascaramiento puede producirse
Descascaramiento restringido
b. En zonas donde el concreto que rodea el anclaje este protegido contra el descascaramiento, mediante un ala, losa o elemento similar
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Solicitaciones: Mu = 15 t-m Vu = 13 t Mtu = 3 t-m
r de r
r
50 cm
Materiales: Concreto: f’ c = 210 kgf/cm2 Refuerzo longitudinal: f y = 4200 kgf/cm2 Refuerzo transversal: f yt = 4200 kgf/cm2
r 40 cm
Rec ubrimiento al estribo = 4 cm de = diámetro del estribo Norma: NSR-10 Sec. C.9.3.2.1 a flexión = 0.90 NSR-10 Sec. C.9.3.2.3 a corte y torsión = 0.75
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Se colocaran estribos de 3/8 ” (de = 0,95 cm) y se espera un refuerzo longitudinal de 1 ” (db = 2.54 cm) de diámetro, con lo cual: d = h - r – de – db/2 = 50 - 4.00 – 0.95 – 2,54 / 2 = 43,78 cm Distancia entre ejes de los estribos:
Y 1 = h – 2r – de = 50 – 2*4,00 – 0,95 = 41,05 cm X1 = b – 2r – de = 40 – 2*4,00 – 0,95 = 31,05 cm
Parámetros para el diseño: Acp = b*h = 40*50 = 2.000 cm 2 A0h = X1*Y1 = 31.05*41.05 = 1.274,60 cm 2 A0 = 0.85 A0h = 0,85*1.274,60 = 1.083,41 cm 2 pcp = 2b + 2h = 180 cm ph = 2X1 + 2Y1 = 144,20 cm
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1. Determinar el área del refuerzo a flexión y a cortante, expresando el área de refuerzo a cortante de la forma Av / s
Diseño a flexión:
Diseño a cortante: Vc = 0,53 f ′ ∗ bd = 0,53 ∗ 0,75∗ 210 ∗ 30∗ 43,78 = 10,087,48 kgf Vs = Vu - Vc = 13.000,00 - 10.087,48 = 2.912,52 kgf
s =
A ∗ f ∗ d V
A s
=
V f ∗ d
=
2.912,52 0,75 ∗ 4.200 ∗ 43,78
= 0.021
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2. Revisar si debe considerarse o no la torsión empleando para ello la expresión (2):
La torsión puede despreciarse si: Mtu ≤ 0,25
f ′ ∗
Mtu ≤ 0.25 ∗ 0,75 210 ∗
(kgf/cm2) .
= 60.380,74 kgf-cm = 0,60 t-m
Debe considerarse la torsión
Mtu = 3,00 tm > 0,60 t-m
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3. Verificar si las dimensiones de las sección transversal cumplen la expresión C.11-18 de la NSR-10
∗
+
.
∗.
∗ h
, ∗
+
≤ ∅
∗
. ∗, . ∗.,
+ 2,00 f ′ ,
∗
= 0,53 f ′
(kgf/cm2)
< 0,75 ∗ 0,53 ∗ 210 + 2,00 ∗ 210
17,33 kgf/cm2 < 27,50 kgf/cm2
Las dimensiones son satisfactorias
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26/04/2016
4. Determinar el área del refuerzo a cortante requerido por la torsión empleando la expresión C.11-21. A
Mtn
=
s
2A0 ∗ f ∗ Ctg θ
=
Mtu
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
2 ∗ A 0 ∗ f ∗ Ctg θ
30 60, Tomar: = 45, f yt 4200 kgf/cm2, A0 = 0.85 A0p A s
2
300.000
=
2 ∗ 0.75 ∗ 1.083,41∗ 4.200 ∗ 1.0
= 0.088,
= 0.044,
para una rama
para dos ramas
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5. Calcular el área total de los estribos, corte mas torsión A s
total =
A s
+2
A
A
s
s
total = 0,021 + 0,088 = 0,109
Para estribos de 3/8”, Ae = 0,71 cm2, para dos ramas s = 2*0,71 / 0,109 = 13,03 cm
Se colocaran estribos de 3/8”, cada 13 cm. 6. Revisar si el área requerida a cortante es superior al mínimo exigido en la expresión C.11-23 de la NSR-10
= total
+2
≥ 0,20 ∗
0,109 ≥ 0,20 ∗ 210 ∗
.
f ′ ∗
≥ 3,50 ∗
≥ 3,50 ∗ .
(kgf/cm2) 0,109 ≥ 0,028 ≥ 0,033
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7. El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre 30 cm y ph / 8. NSR-10 Sec. C.11.5.6.1 Se colocaran estribos con s = 13 cm,
s 30 cm s 144,20 / 8 = 18 cm
8. Calcular el área de refuerzo longitudinal por torsión. NSR-10 Sec. C. 11.5.3.7
Al =
∗
h∗
Al = 0.044 ∗
∗ Ctg2 θ
.∗. .
∗ 1.0 = 6,34 cm2
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9. Revisar si el área adicional longitudinal es superior al mínimo NSR-10 Sec. C.11.5.5.3
A i > A i >
, ∗ ∗
, ∗ ∗. .
∗ ph ∗
,
0.044 ∗ 144.2 ∗
≥ 1,75 ∗
.
,
.
(kgf/cm2)
0,044 ≥ 0,017
A i = 6.34 cm2 > 2.83 cm2
10.El refuerzo longitudinal requerido por torsión debe estar distribuido a lo largo del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 30 cm. Su diámetro mínimo será de 3/8” y no será inferior a 0,042 veces el espaciamiento entre estribos. NSR-10 Sec. C.11.5.6.2
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CV=3 t/m
EJEMPLO No 1
200 cm 15 cm 60 cm
30 cm
Carga viva = 200 kgf/m 2 f’ c =
350 kgf/m 2 f yt = 4.200 kgf/m 2 f y = 4.200 kgf/m 2
Considerar el empleo de estribos de 3/8” y refuerzo longitudinal de 1” de diámetro.
Recubrimiento al estribo: r = 4 cm, Se des precia el aporte de la losa
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26/04/2016
W1
W2
Wu = 1,2CM + 1,6CV W 1 = 1,2*(0,30*0,60*2.400) + 1,6 *(0,30*200+3000) = 15 cm
60 cm
5.414,4 kgf / m
W 2 = 1,2*(0,15*1,70*2.400) + 1,6 *(1,.70*200) = 1.278,4 kgf / m Trasladando las cargas al eje de la viga:
170 cm
W u = W 1 + W 2 =6.692,80 kgf / m 30 cm
Mt = 1,0*1.278,4= 1.278,4 kgf-m / m
Wu
V=26,77 t
Mt = 5.11 t-m
Mt 60 cm
4,00 m
4,00 m
15 cm
4,00 m
4,00 m
170 cm Mt =5.11 t-m
V=26,77 t DIAGRAMA DE CORTANTE
DIAGRAMA MOMENTO TORSOR
30 cm
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V = 26,77 t Vu= 23.17 t
La sección critica para corte y torsión esta localizada a la distancia d del borde del apoyo .
Mt = 5,11 t-m Mtu = 4,42 t-m d
d
d = h – r – de – db / 2 = 60 – 4 - 0,95 – 2,54 / 2 = 53,78 cm
4,00 m
4,00 m
Mtu = 4,42 t-m
Vu = 23,17 t Mt = 5,11 t-m
V =26,77 t DIAGRAMA DE CORTANTE
DIAGRAMA MOMENTO TORSOR
Distancia entre ejes de los estribos:
r de
Y1 = h – 2r – de = 60 – 2*4,00 – 0,95 = 51,05 cm X1 = b – 2r – de = 30 – 2*4,00 – 0,95 = 21,05 cm
r
r
60 Parámetros para el diseño: Acp = b*h= 30*60 = 1.800 cm2 A0h = X1*Y1 = 21.05*51.05 = 1.074,60 cm2 A0 = 0.85 A0h = 0,85*1.074,60 = 913,41 cm2
pcp = 2 b + 2 h = 1 8 0 c m ph = 2X1 + 2Y1 = 144,20 cm
r 30 cm
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26/04/2016
1. Determinar el área del refuerzo a cortante, expresando el área de refuerzo a cortante de la forma Av / s Diseño a cortante:
Vc = 0,53 f ′ ∗ bd = 0,53 ∗ 0,75 ∗ 350 ∗ 30∗ 53,78 = 11.998,12 kgf Vs = Vu - Vc = 23.170,00 - 11.998,12 = 11.171,88 kgf s =
A ∗ f ∗ d V
A s
=
V f ∗ d
=
11.171,88 0,75 ∗ 4.200 ∗ 53,78
= 0,0659
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2. Revisar si debe considerarse o no la torsión empleando para ello la expresión (2):
La torsión puede despreciarse si: Mtu ≤ 0,25
f ′ ∗
Mtu ≤ 0.25 ∗ 0,75 350 ∗
(kgf/cm2) .
Mtu = 4,42 tm > 0,63 t-m
= 63.140,47 kgf-cm = 0,63 t-m
Debe considerarse la torsión
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26/04/2016
3. Verificar si las dimensiones de las sección transversal cumplen la expresión C.11-18 de la NSR-10
+
∗
∗ h
, ∗
. ∗.
+
≤ ∅
∗
. ∗, . ∗.,
+ 2,00 f ′ ,
∗
= 0,53 f ′
(kgf/cm2)
< 0,75 ∗ 0,53 ∗ 350 + 2,00 ∗ 350
Las dimensiones son satisfactorias
35,50 kgf/cm2 = 35,50 kgf/cm2
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4. Determinar el área del refuerzo a cortante requerido por la torsión empleando la expresión C.11-21. A s
=
Mtn 2A0 ∗ f ∗ Ctg θ
=
Mtu 2 ∗ A 0 ∗ f ∗ Ctg θ
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
30 60, Tomar: = 45, f yt 4200 kgf/cm2, A0 = 0.85 A0p
A s
=
442.000 2 ∗ 0.75 ∗ 913,41 ∗ 4.200 ∗ 1.0
2 = 0.1536,
= 0.0768,
para una rama
para dos ramas
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26/04/2016
5. Calcular el área total de los estribos, corte mas torsión A s
total =
A s
+2
A
A
s
s
total = 0,0659 + 0,1536 = 0,2195
Para estribos de 3/8”, Ae = 0,71 cm2, para dos ramas s = 2*0,71 / 0,2195 = 6,46 cm
Para estribos de 1/2”, Ae = 1,29 cm2, para dos ramas s = 2*1,29 / 0,2195 = 11,75 cm Se colocaran estribos de 1/2”, cada 11 cm. 6. Revisar si el área requerida a cortante es superior al mínimo exigido en la expresión C.11-23 de la NSR-10
= total
+2
≥ 0,20 ∗
0,2195 ≥ 0,20 ∗ 350 ∗
.
f ′ ∗
≥ 3,50 ∗
≥ 3,50 ∗
.
(kgf/cm2) 0,2195 ≥ 0,027 ≥ 0,025
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7. El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre 30 cm y ph / 8. NSR-10 Sec. C.11.5.6.1 Se colocaran estribos con s = 11 cm,
s 30 cm s 144,20 / 8 = 18 cm
8. Calcular el área de refuerzo longitudinal por torsión. NSR-10 Sec. C. 11.5.3.7
Al =
∗
h∗
∗ Ctg2 θ
Al = 0.0768 ∗
.∗. .
∗ 1.0 = 11.08 cm2
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9. Revisar si el área adicional longitudinal es superior al mínimo NSR-10 Sec. C.11.5.5.3
A i > A i >
, ∗ ∗
, ∗ ∗. .
∗ ph ∗
,
0.0768 ∗ 144.2 ∗
≥ 1,75 ∗
.
(kgf/cm2)
0,0768 ≥ 0,017
,
.
A i = 11.08cm2 > -0.42 cm2
10.El refuerzo longitudinal requerido por torsión debe estar distribuido a lo largo del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 30 cm. Su diámetro mínimo será de 3/8” y no será inferior a 0,042 veces el espaciamiento entre estribos. NSR-10 Sec. C.11.5.6.2
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CORTANTE
Vu = 26,77 t
NOTAS:
d=53,78 cm
Vud= 23.17 t Vc= 12.00 t V1= 10.04 t V2= 6.69 t V3= 3.28 t
d 1,79 2,50 3,00
TORSION
Mtd = 4,42 t-m Mtc = 2.82 t Mt1 = 1.92 t Mt2 =1.28t Mt3 = 0.63 t
4,00 m
La sección critica para cortante se localiza a la distancia “d” del borde del apoyo, para este caso d = 53.78 cm
2. Los estribos por cortante no se requieren cuando el concreto esta en capacidad de absorber todo el cortante, V u = Vc = 12.00 t, esto ocurre en la abscisa X = 1.79 m 3. La torsión puede despreciarse cuando M tu = Mt esto ocurre en la abscisa X = 3.51 m
3,51 m
Mut = 5,11 t-m
1.
mínimo
= 0.63 t-m,
4. Los estribos por torsión deben llevarse mas allá del punto donde no se requieran una distancia b + d, que en esta caso sobrepasa la mitad de la luz de la viga. NSR-10 Sec C.11.5.6.3
0 ≤ ≤ 1.79 1.79 ≤ ≤ 3.51
− .
2 ∗ 2∗
. .
= =
total
total
Estas expresiones fueron deducidas en los numerales 1 y 4
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26/04/2016
Abscisa
Vu t
Mtu t-m
S cm
0,00
26,77
5,11
9,74
0,54
23,17
4,42
11,75
1,00
20,08
3,83
14,26
1,79
12,00
2,82
26,32
2,50
10,04*
1,92
38,66
3,00
6,69*
1,28
58,00
3,50
3,28*
0,63
117,83
40
30
m c n e o 20 t n e i m a i c 10 a p s E
* El concreto absorbe este cortante
12 E@18 cm 17 E@11 cm
3.0 2.0 1.0 Distancia en m desde la cara del apoyo
4.0
11.La NSR-10 Sec. C.11.5.3.9 establece que el valor de Al puede disminuirse en las zonas de compresión por flexión en una cantidad igual a Mu/(0.9 d f y), aquí no se realizará esta reducción, además debe proporcionarse el empotramiento adecuado más allá de la cara de la columna con el fin de desarrollar en las barras el valor completo de f y en ese sitio, NSR-10 Sec. C.11.5.4.3
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EJEMPLO No 2
La viga de la escalera tiene una sección transversal de 30x40 cm, soporta diez peldaños de 30x10 cm de sección y una longitud de 130 cm. Para el análisis se asume la viga empotrada en sus dos extremos. Uso residencial y se diseñara a torsión y corte combinada
0,18
8 1 , 0 @ 0 1
0,30 0,25
Carga viva = 300 kgf/m 2 Peso de acabados = 40 kgf/m 2 Materiales:
10 @ 0,30 0,25
f’c =
210 kgf/m 2 f yt = 4.200 kgf/m 2 f y = 4.200 kgf/m 2
Considerar el empleo de estribos de 3/8” y refuerzo longitudinal de 5/8” de diámetro. Recubrimiento al estribo: r = 4 cm
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26/04/2016
ROBERTO ROCHEL AWAD
DISEÑO DEL PELDAÑO
Carga de diseño en el borde de la viga Vu = 318,2 kgf
M u = Vu * 0,65 = 206,8 kgf-m
10 cm
130 cm
30 cm
d = 10 – r - db / 2 = 10 – 4 – 0.95 / 2 = 5,50 cm
Carga de servicio CM
Peso propio 0,30*1,30*0,10*2.400 = 93,6 kgf Peso de acabados 0,30*1,30*40 = 15,6 kgf Total CM = 109,2 kgf
CV Carga de diseño:
Se espera que el concreto absorba el cortante y no se necesiten estribos. Para el refuerzo longitudinal se esperan barras de 3/8 ”
0,30*1,30*300 = 117,0 kgf W u = 1,2CM + 1,6CV = 318,2 kgf
Diseño a cortante: d = 10 – r - db / 2 = 10 – 4 – 0.95 / 2 = 5,50 cm
Vc = 0,53 f ′ ∗ bd = 0,53 ∗ 0,75 ∗ 210 ∗ 30 ∗ 5 ,5 = 950 kgf Vs > Vu No requiere estribos
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26/04/2016
DISEÑO DEL PELDAÑO
238" 10 cm
Diseño a flexión:
40
30 cm
As = 1,10 cm 2 Colocar dos barras de 3/8” (1,42 cm 2) 30 cm
130 cm
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DISEÑO DE LA VIGA
Wu
Y Carga de servicio CM
Mtu
Peso propio 0,30*0,40*3,50*2.400 = 1.008 kgf Peso de los 10 peldaños 10*109.2 = 1.092 kgf Total CM = 2.100 kgf
CV
m 0 8 . 1
Sobre la viga 0,30*3,00*300 = 270 kgf Para los 10 peldaños 10*117 = 1.170 kgf
Total CV = 1.440 kgf Carga de diseño:
3.00 m
X
Pu = 1,2CM + 1,6CV = 4.824 kgf Wu = Pu / 3,00 = 1.608 kgf / m REACCIONES:
= 30.96º
Momento torsor: Para los 10 peldaños Vuy = Wu * L / 2 = 1.608*3.00 / 2 = 2.412 kgf Mt total = 10*318,2*(0,15+0,65) = 2.546 kgf-m
Mtux = Mtu * L / 2 =
Mtu
Muz = Wu * L2 / 2 = 1.608*3.002 / 2 = 1.206 kgf-m / m
= 2.546 / 3,00 = 849 kgf-m / m
849*3.00 / 2 = 1.273 kgf-m / m
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26/04/2016
Apoyo B
DISEÑO DE LA VIGA
Y
Vuy = 2412 kgf
Y’
Mux = 1273 kgf-m
Wu Mtu
A
X
Muz = 1206 kgf-m
X’
m 0 8 . 1
Y’ Muy = 655 kgf
3.00 m
B
PuX = 1241 kgf
Vuy = 2068 kgf
Mux = 1092 kgf-m Muz = 1206 kgf-m
REACCIONES EN APOYOS: Fuerza axial en X’
X’
Pux’ = 1.241 kgf 655 kgf-m / m
Fuerza cortante en Y’
vuy’ = 2.068 kgf
Momento flector en Z Muz = 1.206 kgf-m / m
Momento torsor en X’
Mux’ = 1.092 kgf-m / m
Momento flector en Y’ Muy’ =
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La sección critica para corte y torsión esta localizada a la distancia “d” del borde del apoyo .. Para estribos de 3/8” (de=0,95 cm) y refuerzo longitudinal de 5/8” (db=1,59 cm) d = h – r – de – db / 2 = 40 – 4 - 0,95 – 1,59 / 2 = 34.25 cm
Vu = 1.66 t
Mtu = 0.88 t-m r de r
Distancia entre ejes de los estribos:
Y1 = h – 2r – de = 40 – 2*4,00 – 0,95 = 31,05 cm X1 = b – 2r – de = 30 – 2*4,00 – 0,95 = 21,05 cm
Parámetros para el diseño: Acp = b*h= 30*40 = 1.200 cm2 A0h = X1*Y1 = 21.05*31.05 = 653,60 cm2 A0 = 0.85 A0h = 0,85*653,60 = 555,56 cm2
r
40
r pcp = 2b + 2h = 140 cm ph = 2X1 + 2Y1 = 104,20 cm
30 cm
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1. Determinar el área del refuerzo a cortante, expresando el área de refuerzo a cortante de la forma Av / s Diseño a cortante:
Vc = 0,53 f ′ ∗ bd = 0,53 ∗ 0,75 ∗ 210 ∗ 30∗ 34,25 = 5.918,73 kgf Vs = Vu - Vc = 23.170,00 - 11.998,12 = 11.171,88 kgf s =
A ∗ f ∗ d V
A s
=
V f ∗ d
=
11.171,88 0,75 ∗ 4.200 ∗ 53,78
= 0,0659
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2. Revisar si debe considerarse o no la torsión empleando para ello la expresión (2):
La torsión puede despreciarse si: Mtu ≤ 0,25
f ′ ∗
Mtu ≤ 0.25 ∗ 0,75 210 ∗
(kgf/cm2) .
Mtu = 0,88 tm > 028 t-m
= 27.947,66 kgf-cm = 0,28 t-m
Debe considerarse la torsión
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26/04/2016
3. Verificar si las dimensiones de las sección transversal cumplen la expresión C.11-18 de la NSR-10
+
∗
∗ h
, ∗
. ∗.
+
≤ ∅
∗
. ∗, . ∗,
+ 2,00 f ′ ,
∗
= 0,53 f ′
(kgf/cm2)
< 0,75 ∗ 0,53 ∗ 210 + 2,00 ∗ 210
Las dimensiones son satisfactorias
12,73 kgf/cm2 < 27,50 kgf/cm2
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4. Determinar el área del refuerzo a cortante requerido por la torsión empleando la expresión C.11-21. A s
=
Mtn 2A0 ∗ f ∗ Ctg θ
=
Mtu 2 ∗ A 0 ∗ f ∗ Ctg θ
NSR-10 C.11.5.3.6 (C.11-21)
30 60, Tomar: = 45, f yt 4200 kgf/cm2, A0 = 0.85 A0p
A s
=
88.000 2 ∗ 0.75 ∗ 555,56 ∗ 4.200 ∗ 1.0
2 = 0.0503,
= 0.0251,
para una rama
para dos ramas
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5. Calcular el área total de los estribos, corte mas torsión A s
total =
A s
+2
A
A
s
s
total = 0,0659 + 0,0503 = 0,0503
Para estribos de 3/8”, Ae = 0,71 cm2, para dos ramas s = 2*0,71 / 0,2195 = 28,23 cm
.
6. Revisar si el área requerida a cortante es superior al mínimo exigido en la expresión C.11-23 de la NSR-10
= total
+2
≥ 0,20 ∗
0,0503 ≥ 0,20 ∗ 210 ∗
.
f ′ ∗
≥ 3,50 ∗
≥ 3,50 ∗
(kgf/cm2)
0,0503 ≥ 0,0207 ≥ 0,025
.
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7. El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre 30 cm y ph / 8. NSR-10 Sec. C.11.5.6.1 Se colocaran estribos con s = 13 cm,
s 30 cm s 104,20 / 8 = 13 cm
Solución: colocar estribos de 3/8” cada 13 cm
8. Calcular el área de refuerzo longitudinal por torsión. NSR-10 Sec. C. 11.5.3.7
Al =
∗
h∗
∗
Ctg2
θ
Al = 0.0251 ∗
.∗. .
∗ 1.0 = 2.62 cm2
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9. Revisar si el área adicional longitudinal es superior al mínimo NSR-10 Sec. C.11.5.5.3
A i > A i >
, ∗ ∗
, ∗ ∗. .
∗ ph ∗
,
0.0251 ∗ 104.2 ∗
A i = 2.62 cm2 < 2.89 cm2,
≥ 1,75 ∗
.
,
.
(kgf/cm2)
0,0251 ≥ 0,0125
Colocar: A i = 2.89 cm2
10.El refuerzo longitudinal requerido por torsión debe estar distribuido a lo largo del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 30 cm. Su diámetro mínimo será de 3/8” y no será inferior a 0,042 veces el espaciamiento entre estribos. NSR-10 Sec. C.11.5.6.2
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EJERCICIO No 1 Resolver el ejemplo No 1 considerando el aporte de la losa NSR-10 Sec. C.11.5.1 NSR-10 Sec. C.13.2.4
CV=3 t/m 200 cm
hf 4t t
15 cm
60 cm
30 cm
hf
b
Carga viva = 200 kgf/m 2
b + 2h f b + 8t
350 kgf/m2 f yt = 4.200 kgf/m2 f y = 4.200 kgf/m2 f’c =
b
t
hf
b
Considerar el empleo de estribos de 3/8” y refuerzo longitudinal de 1” de diámetro.
Recubrimiento al estribo: r = 4 cm, Se des precia el aporte de la losa
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EJERCICIO No 2 Caso de patología estructural
El siguiente entrepiso corresponde a un mezanine vaciado de concreto reforzado, se desea revisar el diseño de la viga inferior a torsión y cortante combinadas. Los criterios de diseño corresponden a los asumidos por el diseñador de la misma.
Construcción existente
Construcción existente
5m
5m
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