Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
TORSIÓN Ing. César Campos Cont r eras
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= T
A B
dF B
B dF ρ
=
C
dF
*
γ:
deform ación (radianes) : ángulo de giro De la f ig. p ara valores pequeños de γ: AA´ = Lγ … (1) También: AA´ = ρϕ … (2) De (1) y (2) : Lγ = ρϕ
γ=
A´ A
γ
L
La deform ación unit aria a corte en una fl echa circular varía linealment e con la dist ancia desde el ej e de l a fl echa. Si ρ = r :
γ =
γm ax
γm ax =
ρ
ϕ
Esfuerzos en el rango elástico Apl icando la l ey de Hooke: = Gγ
G: m ódulo de rigidez
τ
También: γ = γm ax
Mult ipl icando x G: γG = Gγm ax τ = τm ax
En l a super f ici e: τ = τm ax
r
ρ
τmax τmin
Para un ej e circul ar hueco: τ
m in
=
τm ax
Tamb ién : Reemplazando
r1
dA = T τ =
τm ax , en la ecuación anter ior:
τm ax dA =
; Pero: I(mom ent o de inercia) =
T = Despejando: τm ax = Sustituyendo τm ax :
τ=
τ: momento cortante a cualquier distancia del eje de la flecha.
Ej e maci zo: Eje circular hueco:
I = I =
r4
r r2
ρ
Ángulo de giro en el rango elástico γm ax =
También:
γm ax =
=
Dent ro del rango elást ico, el ángulo de giro par de t orsión T aplicado al ej e.
es pr opor cional al
= A´
Φ =
; Φ: radianes A
γ
L
ρ
ϕ
PROBLEMA: Si se apli ca un mom ent o t orsor de 10000kg/ cm sobre un árb ol de 45mm de diám et ro ¿cuál es la t ensión cort ante máxim a producida? y ¿cuál es el ángulo de gir o en una longit ud de árbol de 1, 20m? El m ater ial es de acero, para el cual G = 8,4x10 5 Kg/ c m 2
Solución: = r = 2,25cm = 558,898 kg/ cm 2
τm ax = Φ =
=
= 0,035 rad
PROBLEMA: Un árbol hueco de acero de 3m de longit ud debe t ransmi t ir un par de 250000 kg/ cm. El ángulo de t orsión en est a longit ud no debe exceder de 2,5° y la tensión cort ant e admi sibl e es de 850 kg/ cm 2 . Det erm inar los diám et ros ext erior e int erior del árbol, si G es igual a 8,5x10 5 k g/ cm 2 .
Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que debe transmitirse y la “ v el o ci d a d d e r ot a ci ó n de l e j e ” . La función del diseñador es seleccionar el “ mat erial” y la “ sección t ransversal” del ej e para que el esfuer zo máxim o del mat erial no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requer ida para la velocidad especif icada. La pot encia “ P” asociada con la rot ación de un cuerpo rígido suj et o a un par “ T” es : P = Tw
w: velocidad de rot ación (radianes/ segundo) Pero:
w = 2 πf ;
P = 2 πf T
= watt s
f: fr ecuencia de rot ación T =
; De la t orsión elást ica: τm ax =
Se t iene: ; I = ½πr4 ;
=
Si :
c=r
= ½πr3
*
PROBLEMA: ¿Qué t amaño del ej e debe usarse para apor t ar un mot or de 5 hp, q ue opera a 3600 revoluciones por m inut o, si el esf uerzo cort ant e no debe exceder de 8500 psi en el ej e.
Solución: P = 5hp x f = 3600 r pm x T =
=
= 33000In x = 60 Hz = 60s-1 = 87, 54 lb . In
Mínimo valor perm isibl e:
=
=
Pero: =
r 3 = 10, 30 x 10 -3 In ³ r 3 = 10, 30 x 10 -3 In 3 r = 0, 1872 In
d = 2r = 2 x 0, 1872 In = 0, 374 In Debe usarse un eje de Φ = In
= 10, 30 x 10 -3 In 3
PROBLEMA: Un ej e const a de un tubo de acero de 50 mm de diámet ro ext erior debe t ransmi t ir 100 kw att s de pot encia mient ras gira a una f recuencia de 20GHz. Det erm inar el espesor del t ubo que d eberá ut ili zarse si el esfuer zo cort ant e no debe exced er de 60 MPa.
Ejercicio: 7 klb-pulg
A 6 pulg
4 klb-pulg
3 klb-pulg
B
C 4 pulg
D 4 pulg
Diámet ro de f lecha = 2 pulg Det ermi nar el ángulo de t orsión de la polea “ D” con respecto a la polea “ A” . G = 12x10 3 l b/ p ul g2
Solución:
Φ =
7 klb-pulg
AB: Φ =
= 2, 23 A
11 klb-pulg
BC: Φ =
= 2, 33 B
8 klb-pulg
CD: Φ =
= 1,7 C
= 2,23 + 2,33 + 1,7 = 6,26 rad
Ejercicio: Un mot or, med iant e un conj unt o de engranaj es, mueve un ej e a 10Hz, según la f ig. El m ot or ent rega 45 kW en A y 30 kW en C. Elegir una f lecha m aciza de sección circular del m ismo di ámet ro a t odo lo largo. El esf uerzo cort ant e adm isib le es de 40MPa y el ángulo d e t orsión adm isib le es de 1/ 12 radianes. 45kw
75kw 30kw
A
C B
3m
7,5m
Solución: Para el di seño consid erar el esf uerzo cort ant e adm isib le y el ángulo de t orsión admisible.
Flecha AB: P = 2 πTf T =
=
= 716 N.m
Flecha BC: T =
=
= 478 N.m
Para tener en cuenta el esfuerzo cortante admisible solo se debe considerar flecha AB. (El p ar en la f lecha BC < que en f lecha AB) τ=
=>
=
C =ρ = r
J = I;
= 17, 9x10 -6 m 3 … ( α)
= =
=
… ( β)
( α)= ( β) : = 17,9x10 -6
D = 0,045m D = 45mm
Para la lim it ación del ángulo de t orsión: Flecha AB
ϴ=
J =
;
=
D = 0,070m
Flecha AB =
D = 0,079m
D = 79mm
D = 0,7mm