Universidad De Oriente Núcleo De Bolívar Escuela De Ciencias De La Tierra Asignatura: Resistencia De Materiales Sección: 01
Torsión Profesora: Ana Ron
Bachiller: Miguel Farías CI: 24.378.874
Ciudad Bolívar, Bolívar, Marzo Del 2015
Torsión
Se define torsión como la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. Se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión t orsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:
Los elementos sometidos a torsión son comúnmente de sección circular, sólida o hueca, debido a que piezas tales como rodamientos, poleas y engranajes en los sistemas de transmisión de potencia (donde se generan pares de torsión) tienen agujeros circulares que se montan sobre árboles y ejes. Además de las secciones circulares, se estudian otras que poco se someten a torsión, como la rectangular y las tubulares de pared delgada. delgada.
Torsión en Elementos Circulares
En estos elementos sometidos a torsión la deformación se produce de forma, que cada sección gira, alrededor de su centro, sin deformarse, como un disco absolutamente rígido. La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante. Esfuerzo Cortante
Como su nombre lo dice, tiende a cortar o cizallar el elemento en una dirección tangente a la cara sobre la cual actúa; por lo tanto el esfuerzo cortante torsional es aquel que ocurre cuando un miembro de carga se tuerce en torno a su eje largo debido a un momento de torsión aplicado en uno o más puntos a lo largo del miembro, resistido por un momento de reacción en uno o más puntos.
Deformación Angular en la Torsión
La deformación de torsión va acompañada por el giro de las secciones transversales de la barra unas respecto a otras alrededor de su eje. El ángulo de giro de una sección de la barra con respecto a otra situada a una distancia l se llama ángulo de distorsión en la longitud L. la razón entre el ángulo de distorsión y la longitud L se denomina ángulo relativo de distorsión: Los árboles, los husillos de tornos y taladradoras así como otras piezas trabajan a torsión.
Torsión de Elementos No Circulares
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant. En caso de una sección rectangular tenemos: En una barra denotamos a L como la longitud de la barra, con a y b el lado más ancho y angosto de su sección transversal y con T la magnitud de los pares de torsión aplicados en la barra, se encuentra que el esfuerzo máximo cortante ocurre a lo largo de la línea central de la cara más ancha de la barra. Angulo de giro de torsión:
Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis: a) Hipótesis de secciones planas. b) Los diámetros se conservan así como la distancia entre ellos. c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rígidos. Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que está sometido. Vamos a aislar el trozo dx de eje. Fórmulas de Torsión
En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:
Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, I ω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la
longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproximadas expuestas a continuación. De acuerdo con Kollbruner y Basler:
Torsión de Saint-Venant pura, cuando
Torsión de Saint-Venant dominante, cuando
Torsión alabeada mixta, cuando
Torsión alabeada dominante, cuando
Torsión alabeada pura, cuando
. . . . .
El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplifaciones útiles. Torsión de Saint-Venant Pura
La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores λ T > 10, esto suele cumplirse en:
1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma). 2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada. 3. Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.
Torsión Recta: Teoría de Coulomb
La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:
Donde: Esfuerzo cortante a la distancia ρ. T : Momento torsor total que actúa sobre la sección. : Distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante. J : Módulo de torsión. :
Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre cómo se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralela al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:
El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:
A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:
Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:
Donde
,
es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos
momentos de área. Torsión No Recta: Teoría de Saint-Venant
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas ( x, y, z ) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:
Donde
es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante);
siendo z C y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω( y, z )
la función de alabeo unitario que da los
desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final
que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:
Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:
Analogía de La Membrana de Prandtl Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones
asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana. Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.2 Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana. Secciones Cerradas Simples de Pared Delgada En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente
constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:
Donde: , es el área encerrada por la línea media de la sección tubular. , es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del contorno. Mientras que el giro:
En caso de que el espesor sea e( s) = e0constante esta última ecuación se reduce a:
Secciones Multicelulares de Pared Delgada Torsión Alabeada Pura
Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.
Secciones Abiertas de Pared Delgada
Para un rectángulo muy alargado ( b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:
Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de dimensiones (ai,bi) (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:
Donde τi,max es la
tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el
espesor (ancho) de dicho rectángulo y ai su largo. Torsión Mixta
En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de SantVenant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.
Donde las magnitudes geométricas
son respectivamente el segundo
momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos"
se denominan
bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos.
Diseño de Miembros Circulares a Torsión.
Se deduce la ecuación para calcular los esfuerzos cortantes en las secciones transversales de los árboles o flechas macizas de sección transversal circular sujetas a cargas de torsión pura. Tales elementos de máquinas se utilizan en la industria para transmitir energía mecánica de rotación producida por máquinas impulsoras tales como motores y turbinas. La utilidad de estos conocimientos está en el diseño de los dispositivos mecánicos señalados, y en la impartición de las materias de la carrera Ingeniero
Mecánico
Electricista:
Diseño
Mecánico, Resistencia de materiales,
Instalaciones mecánicas y otras afines; así como la materia Procesos de Fabricación de la carrera Ingeniero Industrial. Adicionalmente se resuelven problemas utilizando estos conocimientos Estos árboles o flechas de sección circular, no transmiten fuerzas de tracción o compresión, sino cargas de torsión que como veremos producen esfuerzos cortantes en las secciones transversales de las mismas. Las cargas de torsión generalmente se aplican por medio de poleas o engranajes, o bien los aplica un motor en su eje. Para iniciarnos en el estudio del diseño de flechas sujetas a torsión, estudiaremos primero una flecha en equilibrio sujeta a torsión. Existen dos formas de aplicar una carga de torsión, la Figura 1 nos describe una de ellas:
En la Figura 1(a) tenemos una flecha de sección transversal circular que se encuentra empotrada en el lado izquierdo; en el extremo derecho tenemos una polea de diámetro "d", fija a la flecha, sobre la que actúa un par de fuerzas constituido por dos fuerzas P, de igual magnitud, paralelas y de sentido contrario. El momento de este par es T=P d. Puesto que la flecha se encuentra empotrada, el efecto neto del par es torcer la flecha alrededor de su eje longitudinal. Consideremos que la flecha soporta la acción del par sin fracturarse, o sea estando en equilibrio. Este par de fuerzas lo podemos representar más sencillamente por medio de una línea curva con punta de flecha; la punta de la flecha indica el sentido de giro del par, tal como se muestra en las figuras (b), (c) y (d). Supongamos ahora que queremos encontrar el par resistente presentado por la flecha en alguna de sus secciones transversales. Para esto tenemos que considerar a la flecha cortada por un plano perpendicular a su eje longitudinal en esa sección transversal, tal como se ilustra en la figura (c), y elaborar un diagrama de cuerpo libre de la porción de la flecha que incluya a esta sección transversal, tal como se ilustra en la figura (d). Puesto que la flecha se encuentra en equilibrio, esta porción de la misma también es encuentra en equilibrio. Por esta razón, también se deben cumplir las ecuaciones de equilibrio para el sistema de fuerzas que actúan sobre ella. Puesto que sobre nuestro diagrama de cuerpo libre actúa un par de fuerzas, se debe cumplir la ecuación (En que
es la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la
porción de la flecha, con respecto al eje longitudinal). Aplicando entonces
encontramos el par resistente presentado por la
flecha en la sección transversal, que en este caso es igual al momento o par externo que se le aplicó, según se observa en la figura (d). En el caso de que sobre nuestra flecha actúen más pares externos, el par resistente, de acuerdo a la ecuación
será igual a la suma algebraica de los momentos de
los pares externos que actúan sobre la flecha . En el caso de que deseemos encontrar el
par resistente en varias secciones transversales de la flecha (buscando a fin de diseñarla, el
par resistente máximo que debe de presentar la flecha), tendremos que
considerarla cortada en cada una de sus secciones transversales que nos interese, elaborar los correspondientes diagramas de cuerpo libre y, aplicando encontrar los pares resistentes en cada sección transversal. En la figura 2 se presenta otra forma de aplicar una carga de torsión a una flecha
En este caso, la torsión se debe a una fuerza P que actúa en la periferia de la polea a una distancia r del eje longitudinal de la flecha. Puesto que la flecha, según se observa en la figura (a), está en equilibrio, la fuerza P, de acuerdo a la Estática, la podemos descomponer en una fuerza P que actúa en el centro de la flecha y un par T = P r, según se observa en las figuras (b) y (c). En estas condiciones queda bien claro que nuestro problema no es de torsión pura, sino que, debido a la flexión producida por la fuerza P que actúa en el centro de la flecha y a la torsión debida al par T = P r ,nuestro problema es flexión-torsión combinadas. Puesto que nuestro estudio se referirá a problemas de torsión pura, es necesario idear una forma para evitar la flexión debida a la fuerza P.
Esto lo logramos colocando un apoyo o chumacera en el punto más cercano en que se aplica la fuerza P, a fin de hacer despreciable el efecto de flexión. En estas condiciones nuestro problema es ya de torsión pura, y si queremos encontrar los pares resistentes presentados por la flecha en varias de sus secciones transversales, procederemos igual que en el problema anterior, considerando que el par externo vale T = P r.
Ya que estas fuerzas son tangentes a las caras de las secciones transversales, producen esfuerzos cortantes Ss, la ecuación general que relaciona estas fuerzas cortantes (o tangentes) P, con los esfuerzos cortantes es Ss=P/A, en la que A es el área de una superficie elemental, tal como las que se muestran sombreadas en la Figura 4(b), y P es la fuerza cortante que actúa en dicha superficie. Las
fuerzas
cortantes
y
los
esfuerzos
cortantes
actúan
en
una dirección perpendicular al radio vector que une el centro de la sección transversal con la superficie elemental que se esté considerando. Vamos entonces a encontrar una ecuación que nos relacione el par aplicado motriz en una sección transversal cualquiera (que ya vimos es igual al par resistente en dicha sección transversal), con los esfuerzos cortantes desarrollados en la cara de la misma sección transversal; con el propósito de tener un criterio de diseño para flechas. Para encontrar esta ecuación, tenemos que considerar ciertas las siguientes suposiciones: 1.- Una sección de la flecha que es plana antes de la torsión, permanece plana después de la torsión; esto significa que una sección transversal de la flecha, no se alabea o comba después de la carga. 2.- El diámetro de la flecha no cambia durante la carga. 3.- Los esfuerzos están en el rango elástico del material con el que está construida la flecha; es decir, los esfuerzos están debajo del límite de proporcionalidad al cortante y se les aplica la Ley de Hooke 4.- Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el eje de la flecha, hasta un máximo en las fibras más alejadas. Los resultados obtenidos en la práctica confirman la veracidad de estas suposiciones. De acuerdo con la última suposición, puesto que las deformaciones varían proporcionalmente, desde cero en el eje de la flecha, hasta un máximo en las fibras más alejadas, y de acuerdo a la tercera suposición que dice que se cumple la Ley de Hooke;
los esfuerzos también varían desde cero en el centro de la flecha, hasta un máximo en las fibras extremas. Según esto, los esfuerzos cortantes en un delgado anillo "n" concéntrico con el eje de la flecha, son iguales en magnitud en cada una de las superficies elementales que se muestran cuadriculadas en la figura 4(b), ya todas se encuentran a la misma distancia del centro de la flecha. De acuerdo con la figura 4(b), dichos esfuerzos Ss son proporcionales a los esfuerzos cortantes máximos Ssmáx que actúan en las fibras extremas de la flecha. Esta relación según los triángulos semejantes de la figura 4(b) es entonces:
. Puesto que los esfuerzos cortantes máximos son los que pueden producir fractura en la flecha, tenemos que encontrar primero una ecuación que nos relacione el par motriz T con dichos esfuerzos máximos. Para encontrar esta ecuación, vamos a seguir estos tres pasos:
1.- Vamos a encontrar la fuerza cortante resultante que actúa sobre un delgado anillo "n" cuyo radio es y se muestra en la figura 4(b). A esta fuerza lavamos a denominar Pn. 2.- Calculamos entonces el momento producido por esta fuerza con respecto al eje longitudinal de la flecha, llamaremos dT a este momento. 3.- Sumamos los momentos producidos por todos los anillos concéntricos que se tienen en la cara de dicha sección transversal de la flecha. Este momento es el par resistente T presentado por la flecha en dicha sección transversal. De acuerdo a la figura 4(b) los esfuerzos cortantes en cada una de de las área elementales sombreadas en un anillo "n" cuyo radio es ?, son todas iguales, figura 4(b). Por lo tanto cada esfuerzo cortante Ssn produce fuerzas iguales en cada una de las áreas elementales; la fuerza total se puede obtener sumando aritméticamente las magnitudes
de todas esas fuerzas sobre las áreas elementales, ya que todas ellas tienen el mismo sentido de giro con respecto al eje longitudinal. Esta fuerza resultante será entonces: Pn = Ssn dA En la que dA es la superficie total del anillo "n". El momento de esta fuerza con respecto al eje longitudinal será: dT=Pn ?= ? Ssn dA de la figura (d) tenemos que:
Por lo tanto: Ssn= Ss máx ?/c Sustituyendo este valor de Ssn en la ecuación para dT, se tiene:
dT= Sumando todos estos momentos dT debidos a todos los anillos concéntricos en la sección transversal se tiene:
T= Pero
En que J es el momento polar de inercia de la sección transversal de la flecha con respecto a su centro de simetría, o sea con respecto al eje longitudinal de la flecha. Sustituyendo este valor en la expresión que nos da T, tenemos:
T= De donde: Ssmáx =
Esta ecuación que nos relaciona el esfuerzo cortante máximo en la sección transversal con el par externo es la que andábamos buscando. En el caso de secciones transversales circulares:
J=
Por lo tanto, si el diámetro D de la flecha estás expresado en pulgadas, el momento polar estará en pulg4. En la expresión
Ssmáx = Ssmáx es el esfuerzo cortante máximo en la sección transversal de la flecha en lb/pulg2. T, par externo resultante aplicado a la flecha, que es igual al par resistente en pulg-lb; J es el momento polar de inercia de la sección transversal con respecto a su centro en pulg4. Si queremos encontrar el esfuerzo cortante en un anillo "n", cuyo radio es ?, la expresión anterior se convertirá en: Ss =
Siendo (?) el radio del anillo que estemos estudiando. Problema.- En una flecha maciza de acero, el par aplicado es de 6280 pulg-lb, y el esfuerzo cortante permisible es Ssperm = 8 000lb/pulg2. Determinar el diámetro necesario D.
Datos: T= 6280 pulg-lb C= J= Ssperm. = 8 000
Ssperm = Ssperm = 8 000 = D3= 4. 00 D= D = 1.58" Este es el diámetro necesario, por supuesto en el mercado no lo vamos a encontrar exacto a nuestras necesidades, por lo que se tendrá que ir al inmediato superior.
Angulo de Torsión
Si se aplica un par de torsión T al extremo libre de un eje circular, unido a un soporte fijo en el otro extremo, el eje se torcerá al experimentar un giro en su extremo libre, a través de un ángulo Φ, denominado ángulo de giro. Cuando el eje es circular,
ángulo es proporcional al par de torsión aplicado al eje. Ver figura 7.
el
Siendo la fórmula del ángulo de torsión:
Donde: T es el par de torsión. L es la longitud del eje. J es el momento polar de inercia de la sección transversal del eje. G es el módulo de rigidez del material.
El ángulo de torsión se relaciona con la deformación máxima a cortante a través de la siguiente forma:
El ángulo de torsión varía a lo largo del eje de la barra: 0 ≤ φ(x)≤ φ Si toda la sección transversal de la barra tiene el mismo radio y está sometida al mismo torque (torsión pura), el ángulo φ(x) variará linealmente. Consideremos la figura 4
Los ángulos en la esquina del elemento en la figura 4b no son ya iguales a 90º. El elemento está en un estado de corte puro y la magnitud de la deformación de corte g max es igual a la disminución en el ángulo en el punto a, esto es, la disminución en el ángulobad . De la figura vemos que la disminución de este ángulo (Ya mencionada previamente) es:
Donde gmax se mide en radianes, bb’ es la distancia a través de la cual el punto b se mueve y ab es el largo del elemento (igual a
dx ).
Con r denotando el radio de la
barra, podemos expresar la distancia bb’ como rdφ, en que dφ también se mide en radianes. De esta forma la ecuación anterior quedará :
Esta ecuación relaciona la deformación de corte en la superficie externa de la barra con el ángulo de torsión. La relación dφ/dx es la razón de la variación del ángulo de torsión φ en relación a la distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Vamos a denotar dφ/dx por el ángulo θ y nos referimos a él como razón de torsión o ángulo de torsión por unidad de medida.
Bibliografía
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