Thevenin Dan Norton

MODUL

8

Beberapa Teknik untuk Menganalisis Rangkaian (Bagian ke-4) 6. Teore Teorema ma Thev Thevein ein dan dan Teore Teorema ma Norto Norton n Sekar Sekarang ang setel setelah ah kita kita mempu mempunya nyaii prinsi prinsip p superp superposi osisi, si, maka maka kita kita dapat dapat mengemba mengembangka ngkan n dua teorema teorema lagi yang akan sangat sangat menyeder menyederhana hanakan kan analisis analisis bany banyak ak rangka rangkaia ian n linea linear. r. Yang Yang perta pertama ma dari dari teorem teorema a ini ini mengik mengikuit uitii nama nama M.L Thevenin, seorang insinyur Perancis yang bekerja di bidang telegrafi, yang pertama sekali mengumumkan teorema ini tahun 1883; yang kedua dapat ditinjau sebagai akibat dari yang pertama dan didapatkan oleh E. L. Norton, seorang ilmuwan yang bekerja di Bell Telephone Laboratories. Teor Teorem ema a

Thev Theven enin in

meng mengat atak akan an

bahw bahwa a

adal adalah ah

mung mungki kin n

meng mengga gant ntii

semuany semuanya a (terkecua (terkecualili tahanan tahanan beban) beban) dengan dengan sebuah sebuah rangkaia rangkaian n ekivale ekivalen n yang yang mengandu mengandung ng hanya hanya sebuah sebuah sumber sumber tegangan tegangan bebas yang yang seri dengan sebuah sebuah tahanan; respons yang diukur pada tahanan beban tidak akan berubah. Dengan mengg mengguna unakan kan teorem teorema a Norto Norton n kita kita dapatk dapatkan an sebuah sebuah ekival ekivalen en yang yang terdi terdiri ri dari dari sebuah sumber arus bebas yang pararel dengan sebuah tahanan.

3Ω + −

12 V

7Ω 6Ω

Jaringan A

R L

Jaringan B

Gambar Gambar 19: Sebuah Sebuah rangkaia rangkaian n penahan penahan sederhan sederhana a dibagi dibagi menjadi menjadi jaringan A, terhadap mana kita tak berminat, dan jaringan B, sebuah tahanan beban dengan mana kita tertarik.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

1

7Ω 3Ω

4A

6Ω

7Ω 2Ω

R L

R L

4A

Jaringan A

Jaringan A

(a)

(b)

2Ω + −

7Ω

9Ω R L

8V

+ −

Jaringan A

Gamb Gambar ar

20: 20:

R L

8V

Jaringan A

(c) Tran Transf sfor orma masi si-tr -tran ansf sfor orma masi si sumb sumber er dan dan

Jaringan B

(d ) komb kombin inas asii

taha tahana nan n yang yang terl terlib ibat at di dala dalam m meny menyed eder erha hana naka kan n jari jaring ngan an A, diperlihatkan berurutan. Hasilnya, diberikan dalam ( d ) yakni ekivalen Thevenin.

Harus jelas bahwa satu di antara kegunaan utama teorema Thevenin dan theorema Norton adalah penggantian bagian besar dari sebuah jaringan, seringkali sangat sukar, dengan ekivalen yang sangat sederhana. Rangkaian baru yang lebih sederhana ini memungkinkan kita membuat perhitungan cepat dari tegangan, arus, dan daya yang diberikan oleh rangkaian asal kepada sebuah beban. Dalam penguat dengan daya transistor misalnya, ekivalen Thevenin atau Norton membolehkan kita menentukan daya maksimum yang dapat diambil dari penguat dan jenis beban yang dipe diperl rluk ukan an untu untuk k untu untuk k menc mencap apai ai pemi pemind ndah ahan an daya daya maks maksim imum um atau atau untu untuk k


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

2

mendapatkan penguatan arus atau tegangan praktis maksimum. Sebagai contoh, kita kita tinjau tinjau rangka rangkaian ian yang yang diper diperlilihat hatkan kan dalam dalam gamba gambarr 19. Garis Garis putus putus-pu -putus tus memisahkan rangkaian menjadi jaringan A dan jaringan B; kita anggap bahwa minat kita yang utama utama adalah adalah jaringan jaringan B, yang yang hanya hanya terdir terdirii dari dari tahan tahanan an beban beban R L. Jaringan A dapat disederhanakan dengan mengulangi transformasi sumber. Mulamula mula kita kita perla perlakuk kukan an sumber sumber 12-V 12-V dan dan tahana tahanan n 3-Ω sebagai sebagai sumber sumber tegangan tegangan tegangan praktis dan menggantinya dengan sebuah sumber arus praktis yang terdiri dari dari sumber sumber 4-A yang yang paral paralel el denga dengan n 3 dikom dikombi binas nasika ikan n

menja menjadi di

2

Ω,

dan

Ω.

TahananTahanan-tahan tahanan an paralel paralel kemudian kemudian

sumbe umberr

arus rus

prak raktis tis

yang ang

dihasi hasillkan

ditra ditranfo nforma rmasik sikan an kembal kembalii kepada kepada sumbe sumberr tegan tegangan gan prakti praktis. s. Langka Langkah-l h-lan angka gkah h tersebut ditunjukkan dalam Gambar 20, hasil akhir muncul dalam Gambar 20 d . Dari pandangan tahanan beban R L, rangkaian ini (ekivalen Thevenin) adalah ekivalen dengan rangkaian asal; dari pandangan kita, rangkaian itu jauh lebih sederhana dan kita sekarang dapat dengan mudah mengitung daya yang diberikan pada beban. Hasilnya 2

 8   pL =   R L + 9 R  L  Selanjutnya kita dapat melihat dari rangkaian ekivalen bahwa tegangan maksimum yang bisa didapat melintasi R L adalah 8 V bila R L =

∞ ; transformasi cepat jaringan A

kepada kepada sebuah sebuah sumber sumber arus praktis (ekivalen (ekivalen Norton )menunju )menunjukan kan bahwa bahwa arus maksimum maksimum yang dapat dapat diberikan diberikan kepada beban adalah adalah 8/9A untuk R L = 0; dan teorema teorema pemindah pemindahan an daya maksimum maksimum memperli memperlihatka hatkan n bahwa bahwa daya daya maksimum maksimum diberikan pada R L bila R L adalah 9

Ω. Tidak ada di antara kenyataan ini yang dengan

mudah nampak dari rangkaian asal. Jika Jika jarin jaringa gan n A lebih lebih sukar, sukar, maka maka banya banyakny knya a transf transform ormasi asi sumbe sumberr dan dan kombina kombinasi si tahana tahana yang perlu mendapat mendapat ekivalen ekivalen Thevenin Thevenin atau ekivalen ekivalen Norton menjadi sangat berat dan banyak; juga dengan adanya sumber-sumber tak bebas, maka metode transformasi sumber biasanya tak terpakai. Teorema Thevenin dan Norton memungkinkan memungkinkan kita mencari rangkaian ekivalen lebih cepat dan lebih mudah, walaupun dalam rangkaian yang lebih sukar.


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

3

Kita katakan sekarang teorema Thevenin secara formal :

Bila diketahui rangkaian linear, atur rangkaian itu dalam bentuk dua jaringan A dan B yang bersama-sama dihubungkan oleh konduktor yang tak punya tahanan. Jika salah salah satu satu jarin jaringa gan n meng mengan andu dung ng sebua sebuah h sebua sebuah h sumb sumber er tak beba bebas, s, vari variab abel el pengontrolnya haruslah dalam jaringan yang sama. Definisi tengah voc sebagai tengah rangkaian terbuka yang akan timbul melintasi terminal-terminal A dan B diputu diputuska skan n sehing sehingga ga tak ada arus arus yang yang ditari ditarik k dari dari A. A. maka maka semu semuaa arus arus dan dan tegangan di dalam B dalam B tidak akan berubah jika A dimatikan (semua sumber tegangan bebas dan sumber arus bebas dalam A diganti oleh hubungan pendek dan rangkaian terbuka) dan sumber tegangan bebas voc dihubungkan , dengan pengutuban yang benar, secara seri dengan jaringan A jaringan A yang mati (tak aktif).

Teorema Teorema Norton Norton mempuny mempunyai ai banyak banyak sekali sekali persamaa persamaan n dengan dengan teorema teorema Thevenin yakni konsekuensi lain dari dualitas. Kedua pernyataan ini akan digunakan seba sebaga gaii cont contoh oh baha bahasa sa dual dual bila bila prin prinsi sip p dual dualit itas as dibi dibica cara raka kan n di dala dalam m bab bab berikutnya. Teorema Norton dapat dikatakan sebagai berikut :

Diketahui suatu rangkaian linear; susun rangkaian manjadi dua jaringan A dan B yang dihubungkan oleh dua konduktor yang tak mempunyai tahanan. Jika salah satu mengandung sebuah sumber tak bebas, variabel pengntrolnya harus berada dalam jaringan yang sama. Definisikan arus i sc sebagai sebagai arus hubungan hubungan pendek pendek yang akan timbul pada terminal A jika B dihubung-pendekkan sehingga tidak ada tegangan yang disediakan A disediakan A.. maka semua tegangan dan arus dalam B dalam B tetap tak berubah jika A jika A dimatikan dimatikan (semua (semua sumber arus bebas dan sumber sumber tegangan tegangan bebas dalam dalam A diganti oleh rangkaian terbuka dan hubungan pendek) dan sebuah sumber arus bebas i sc dihubung dihubungkan, kan, dengan pengutuba pengutuban n yag wajar, paralel dengan dengan jaringan jaringan A yang mati (tak aktif). Ekivalen Norton dari sebuah jaringan penahan yang aktif adalah sumber arus Norton i sc sc yang paralel dengan tahanan Thevenin R th th.


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

4

Ada hubungan penting diantara ekivalen Thevenin T hevenin dan Ekivalen Norton dari sebuah sebuah jaringa jaringan n penahan penahan aktif . Hubun Hubungan gan ini ini dapat dapat dipero diperole leh h dapat dapat digun digunaka akan n dengan transformasi sumber kepada salah satu jaringan ekivalen. Misalnya, jika kita mentransformasikan ekivalen Norton, maka kita dapatkan sumber-sumber tegangan yang seri seri denga dengan n tahana tahanan n R th jaringa gan n ini berbe berbentu ntuk k ekival ekivalen en Theven Thevenin in R th thi sc sc yang th; jarin sehingga v oc oc = R th th i sc sc

(1)

Contoh Soal 1. Deng Dengan an memp memper ergu guna naka kan n teor teorem ema a Thev Theven enin in dan dan Norto Norton n cari carila lah h i bagi jaringan pada pada Gambar 21.

2 kΩ

3 kΩ i

4V

+ −

2 mA

1 kΩ

Gambar 21: Lihat Contoh Soal 1. Jawab

Teorema Thevenin : Pertama-ta Pertama-tama ma tahanan tahanan 1 kΩ kita ganti dengan dengan rangkaia rangkaian n hubung hubung terbuka sehingga rangkaianbya akan menjadi sebagai berikut

2 kΩ

4V

+ −

3 kΩ

a 2 mA b

Gambar 22: Gambar 21 dimana tahanan 1 kΩ diganti dengan hubung terbuka.


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

5

denga dengan n mempe mempergu rguna nakan kan superp superposi osisi si diman dimana a jika jika sumbe sumberr tegang tegangan an 4 V beker bekerja ja maka maka sumber sumber arus 2 mA digant digantii dengan dengan hubun hubung g terbuk terbuka a ( Open rangkaiannya akan terlihat Circuit ) maka rangkaiannya

2 kΩ

4V

3 kΩ

a

+ −

b (a) Gambar 23a: Gambar 22 dimana sumber arus 2 mA diganti dengan rangkaian hubung terbuka. υ OC

= (υ TH ) 4V = 4 V

jika sumber arus arus 2 mA bekerja maka maka sumber tegangan tegangan 4 V dihubung dihubung singkat,

2 kΩ

3 kΩ

a 2 mA b (b) Gambar Gambar 23b: Gamb Gambar ar 22 dima dimana na sumb sumber er tega tegang ngan an 4 V dihubung singkat. υ OC

maka

= (υ TH ) 2 mA = 2mA ⋅ 2k Ω = 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 ⋅ 10 3 = 4 V

(υ TH ) total = (υ TH ) 4V + (υ TH ) 2 mA

= 4 + 4 = 8 V

sedangkan untuk tahanan Theveninnya dapat diperoleh dengan mengganti semua sumber dengan tahanan dalamnya yaitu jika terdapat sumber arus diganti dengan hubung terbuka sedangkan untuk sumber tegangan diganti


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

6

dengan hubung singkat, sehingga untuk Gambar 22 akan menjadi seperti Gambar 23c .

2 kΩ

3 kΩ

a

b ( c) Gambar 23c : Tahanan Thevenin untuk Gambar 22.

RTH

= 2 k Ω + 3 k Ω = 5 k Ω

sehingga rangkaian ekivalen Theveninnya diperlihatkan pada Gambar 5 d .

5 kΩ i 8V

+ −

1 kΩ

(d ) Gambar 23d : Ekivalen Thevenin untuk Gambar 21.

i

=

8 V 6 k Ω

=1

1 3

mA

Teorema Norton : Untuk mencari arus Norton ( i SC SC ) kita ganti rangkaian tahanan 1 kΩ dengan rangkaian hubung singkat

2 kΩ

3 kΩ

i 4V


+ −

2 mA

Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

7

Gambar 24: Gambar 21 dimana 1 kΩ diganti dengan rangkaian hubung singkat. dengan mempergunakan mempergunakan superposisi yaitu pertama jika sumber tegangan 4 V bekerja maka sumber arus 2 mA diganti dengan rangkaian hubung terbuka,

2 kΩ

3 kΩ (iSC )4V

4V

+ −

(a) Gambar 25a: Gambar 24 dimana sumber arus 2 mA dihubung terbuka.

(i SC ) 4V

=

4 2+3

= 0,8 mA

dan kedua yaitu dengan mengganti sumber tegangan 4 V dengan rangkaian hubung singkat.

2 kΩ

3 kΩ (iSC )2mA 2 mA

(b) Gambar Gambar 25b: Gamb Gambar ar 24 dima dimana na sumb sumber er tega tegang ngan an 4 V dihubung singkat.

maka

2

4

(i SC ) 2 mA

=

(i SC ) total

= 0,8 + 0,8 = 1,6 mA

2+3

⋅ 2 = = 0,8 mA 5

Sehingga rangkaian ekivalen Norton untuk Gambar 3 adalah

i 1,6 mA

5 kΩ

1 kΩ

(c) PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

8

Gambar 25c : Ekivalen Norton untuk Gambar 21.

i

=

5 5 +1

5

1

6

3

⋅ 1,6 = ⋅ 1,6 = 1

mA

2. Carilah Carilah ekival ekivalen en Theveni Thevenin n bagi jarin jaringan gan pada pada Gambar Gambar 26. 26.

8Ω a 32 Ω 3A

5A 60 V b

Gambar 26: Lihat Contoh Soal 2.

Jawab

3A

8Ω

5A

8A

+

a

32 Ω 3A

5A 60 V −

Gambar 27: Penjelasan Gambar 26. N

Dengan mempergunakan KVL pada Loop

∑

υ n

b

=0

n =1

− υ TH + 8 ⋅ 5 + − υ TH +

40

+

32 ⋅ 8 + 60 256

+

60

= =

υ TH =


0 0

356 V

Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

9

sedangkan untuk tahanan Theveninnya dapat dilihat pada Gambar 29.

8Ω a 32 Ω b

Gambar 29: Tahanan Thevenin untuk rangkaian Gambar 26.

RTH

= 8 + 32 = 40 Ω

Sehingga rangkaian ekivalen Theveninnya adalah

40 Ω

356 V

+ −

Gambar 30: Rangkaian ekivalen Thevenin Gambar 26.

3. Tentukan Tentukan rangkai rangkaian an ekivalen ekivalen Thevenin Thevenin dan Norton Norton sebagai sebagaimana mana terlihat terlihat dari dari terminal a – b bagi jaringan pada Gambar 31.

20 Ω

40 Ω

a + −

+ −

10i 10i1 b

50 V

i1

Gambar 31: Lihat Contoh Soal 3. Jawab Pertama-tama kita cari tegangan Theveninnya, langkahnya dengan terlebih dahulu mencari besar arus i 1 pada loop tunggal :


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

10

N

Dengan mempergunakan KVL pada Loop tunggal

∑

=0

υ n

n =1

− 10i1 +

20i1

+

40i1

+

50

50i1 i1

=

0

= −50 = −1

A

Kemudian mencari tegangan Thevenin Thevenin pada salah satu loop :

20 Ω

40 Ω + a

10i 10i1

+ −

− i1

+ −

i1 −

b

50 V

i1

Gambar 32: Tegangan Thevenin pada Gambar 31. N

Dengan mempergunakan KVL pada salah satu Loop

∑

υ n

=0

n =1

υ TH

= υ OC = 40i1 + 50 = 40 ⋅ −1 + 50 = −40 + 50 = 10 V N

atau pada loop yang satunya lagi,

∑

υ n

=0

n =1

υ TH

= υ OC = 20 ⋅ −i1 + 10i1 = 20 ⋅ 1 + 10 ⋅ −1 = 20 − 10 = 10 V

Kemudian kita mencari arus Nortonnya ( i SC ), dengan menghubung menghubung singkatkan SC ), terminal a – b, sebagaimana terlihat pada Gambar 33,


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

11

20 Ω

40 Ω iSC

10i 10i1

+ −

i2

+ −

i1

50 V

i1 Gambar 33: Arus Norton Gambar 31.

N

KVL pada loop i 1,

∑

υ n

=0

n =1

40 ⋅ i1

+ 50 = 0 40i1 = −50 i1 = −1,25 A

N

KVL pada loop i 2,

∑

υ n

=0

n =1

− 10i1 + 20i2 = 0 − 10 ⋅ (−1,25) + 20i2 = 0 12,5 + 20i 2 = 0 20i2 = −12,5 i 2 = −0,625 A Sehingga arus Nortonnya adalah

i SC

= i2 − i1 = −0,625 − (−1,25) = −0,625 + 1,25 = 0,625 A

Dikar Dikaren enaka akan n terdap terdapatn atnya ya sumbe sumberr tegan tegangan gan tak bebas bebas pada pada Gambar Gambar 31 menghambat kita untuk mencari tahanan Thevenin atau tahanan Nortonnya, sehingga cara yang memungkinkan memungkinkan adalah dengan persamaan v oc oc = R th th i sc sc , RTH = R N =

=


υ OC

i SC

10 0,625

= 16 Ω

Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

12

maka Rangkaian Ekivalen Theveninnya adalah

16 Ω a

10 V

+ −

b Gambar 34: Rangkaian Ekivalen Thevenin Gambar 31. dan Rangkaian Ekivalen Nortonnya adalah

a

0,625 A

16 Ω b

Gambar 35: Rangkaian Ekivalen Norton Gambar 31.

7. Analis Analisis is Link Link dan Analis Analisis is Loop Loop Seka Sekara rang ng kita kita tinj tinjau au peng penggu guna naan an sebu sebuah ah poho pohon n untu untuk k mend mendap apat atka kan n himpunan persamaan loop yang sesuai. Di dalam beberapa segi ini adalah dual dari metode penulisan persamaan-persamaan persamaan-persamaan simpul. Perlu diingatkan sekali lagi bahwa, walaupun kita mampu menjamin bahwa setiap himpunan persamaan yang kita tulis akan cukup dan bebas, namun kita tidak dapat mengharapkan bahwa metode ini akan langsung menghasilkan setiap himpunan persamaan yang mungkin ada. Kita mulai lagi dengan membangun sebuah pohon, dan kita menggunakan himpu himpunan nan aturan aturan yang yang sama sama sepert sepertii kita kita lakuk lakukan an untuk untuk anali analisis sis simpul simpul umum. umum. Tuju Tujuan anny nya, a, baik baik untu untuk k anal analis isis is simp simpul ul maup maupun un anal analis isis is loop loop adal adalah ah untu untuk k menempatkan tegangan-tegangan di dalam pohon dan arus-arus di dalam kopohon; ini adalah sebuah hukum resmi untuk sumber-sumber dan hukum yang diinginkan untuk kuantitas-kuantitas pengontrol. Akan tetapi, sekarang, sebagai ganti penentuan tegangan kepada setiap cabang di dalam pohon, maka kita menetapkan satu arus (termasuk panah referensi, tentunya) pada setiap elemen di dalam kopohon atau pada setiap link. Seandainya ada 10 link, maka kita akan menetapkan tepat 10 arus link. Bagi setiap link yang mengandung sebuah sumber arus maka ditetapkan bahwa arus sumber sebagai


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

13

arus link. Perhatikan bahwa setiap arus link dapat juga dianggap sebagai arus loop, karen karena a link link harus harus terben terbentan tang g dianta diantara ra dua simpu simpull khusu khusus, s, dan dan harus harus ada ada juga juga sebua sebuah h jalan jalan diant diantara ara kedua kedua simpu simpull khusus khusus,, dan dan harus harus ada juga juga sebuah sebuah jala jalan n dian dianta tara ra kedu kedua a simp simpul ul yang yang sama sama mela melalu luii poho pohon. n. Jadi Jadi,, kepa kepada da seti setiap ap link link diasosiasikan sebuah loop tunggal yang mencakup link tersebut dan satu jalan unik melalui pohon. Jelaskan bahwa arus yang ditetapkan dapat dipikirkan baik sebagai arus loop maupun sebagai arus link. Pengertian link paling menolong pada waktu arus arus sedan sedang g didef didefini inisik sikan, an, karena karena satu satu arus arus harus harus dihas dihasililkan kan pada pada setia setiap p link; link; tafsiran loop lebih memudahkan pada waktu penulisan persamaan, karena kita akan memakai hukum tegangan Kirchhoff mengelilingi setiap loop. Persamaan hukum tegangan Kirchoff arus dituliskan sekarang mengelilingi setiap setiap loop. loop. Variabe Variabel-var l-variabe iabell yang digunaka digunakan n adalah adalah arus link link yang yang ditetapka ditetapkan. n. Karena tegangan melalui sebuah sumber arus tidak dapat dinyatakan arus sumber, dan karena kita sudah menggunakan harga arus sumber sebagai arus link, maka kita buang setiap loop yang mengandung sumber arus.


Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK

14

Thevenin Dan Norton

Recommend Documents