Ejemplos Thevenin y Norton

Tema0 Circuitos Eléctricos/

Ejercicios Resueltos ———————————————

Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de la figura 4

2

d

+

0Ω 2

6

c

3v

#Ω

a

a

+

a

Vth

R L

'

5

1 th '

1 ,

2v

'

Vth

&v *Ω

*v

b

+Ω

b

b

Para calcular el equivalente

Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b Calcularemos así la tensión en circuito abierto Vth

Asignamos intensidades de mallas !umamos tensiones a lo largo de los recorridos

*Ω

'

I 1 *v

0Ω

d

#Ω

c

a

'

I 2

Vth

&v

*Ω

+Ω

b

* = I 8 * + 5 I 8 − I * 3*  Mallas   I 86 I * 7 = I * 0 + I * + + 5 I * − I 8 3* V c = I * + = & + V th ⇒ V th = V c − &

"e las ecuaciones obtenemos el valor I valor I 2 y como no circula intensidad por la resistencia de # Ω la tensión buscada es V ab $%&'V c( ab $%&'V )l resultado obtenido es V th th$%*+V Para calcular ,a resistencia equivalente cortocircuitamos ambas -uentes de tensión(

a 0Ω

*Ω *Ω

#Ω +Ω

1 th

Rth

= {[ ( * 44 * ) + 0] 44 +} + #

Rth

=

5+ 44 +3 + # = 2+Ω

Para calcular el equivalente .orton cortocircuitamos los puntos a y b ////////////////////// /////////// /////////////////////// ////////////////// ////// Introducción a la Electrónica. 2002-03 // 1/19 1/19



Calculamos la intensidad por ese cortocircuito )scribimos las ecuaciones de mallas

*Ω I 1

' *v

0Ω

d

#Ω

c

&v '

I 2 *Ω

a

I N

+Ω

b

: .

* = I * + 5 I − I 3*    7 = I 0 + 5 I − I 3+ + 5 I − I 3*  − & = I # + 5 I − I 3+    8

8

*

*

*

N

N

N

*

8

*

1esolviendo el sistema calculamos I N $%+489A .aturalmente se cumple V th /I N =Rth

//////////////////////////////////////// Introducción a la Electrónica. 2002-03 // 2/19



Dado el circuito de la figura 1 calcule: a)

La relación io / ii

b)

La relación vi / ii

c)

La relación vo / vi

d)

La relación vo / vs

e)

La resistencia equivalente vista desde !L" anulando vs

Datos: !s # $%%

& !' # (%%  & !ie # 1(  & !oe # 1%%  & !L # *(  

ii

i b

io '

' vs

vi

1 

1 ie

8*7i b

D

1 oe

1 ,

vo

D

Eigura 8

Comentario

)l circuito de la -igura es el circuito equivalente de peque;a se;al de un ampli-icador basado en un transistor bipolar ,as relaciones que se pide calcular en el enunciado son los par
=anancia en corriente( Ai $ io 4 ii

b3

:mpedancia de entrada( >i $ vi 4 ii

c3

=anancia en tensión( Av $ vo 4 vi

d3

=anancia en tensión Avs $ vo 4 vs

e3

:mpedancia de salida >o

)n este e?emplo vamos a ver que una ve@ obtenido el circuito equivalente de peque;a se;al6 para anali@ar dicho circuito6 es decir6 para obtener los par



Solución

)n la -igura * se reproduce el circuito de la -igura 86 marcando las mallas que vamos a emplear en su an
ii

v!

I

i b



1 ! ii

ib

vi 1 

i7 i0

1 ie

120ib

8*7i b

v7 1 oe

1 ,

) Eigura*

)l nudo ) engloba distintos GpuntosG de la representación del circuito6 ya que todos estos GpuntosG est
.udo A

.udo A Eigura &

el potencial en el resto de los nodos )l circuito sería eHactamente el mismo si en la representación gr<-ica el nodo ) se hubiera representado como un solo punto 5VFase el e?emplo de la -igura &3




A continuación planteamos las ecuaciones de ircho-- en las mallas( malla ii(

D vs ' ii 1 s ' 5ii D i b3 1  $ 7

583

malla i b(

1 ie ' 5i b D ii 31  $ 7

5*3

malla i7(

i7 1 , ' 5i7 ' J8*7i bK 3 1 oe $ 7

5&3

Al plantear las ecuaciones de malla ya se ha aplicado la ley de Bhm en las resistencias y se ha tenido en cuenta el signo de la -uente de tensión v s )n el caso de la -uente dependiente de corriente6 no aparece eHplícitamente en la ecuación de su malla ya que el valor de la intensidad no es una variable independiente ,as ecuaciones 8%& -orman el sistema de ecuaciones que nos permitir< resolver el circuito ,as variables que aparecen en el sistema son( i b6 io6 iiadem
Cálculo e !i " io # ii

A partir de la ecuación 5&3 separando los tFrminos en i 7 e i b( i7 1 , ' i7 1 oe $%8*7i b 1 oe

i7

obtenemos(

8*71 oe

=−

i b

1 ,

ii 1  $i b 51 ie'1 3

⇒

+

1 oe

de 5*3 separando las intensidades i b ii

=

1 C 1 ie

+

1 C

,a ganancia en intensidad queda entonces A I =

b)

i7 ib

×

ib

8*7 Roe R B

=−

5 R L

ii

+ Roe 35 Rie + Rb 3

Cálculo e $i " vi # ii

"e acuerdo con el circuito de la -igura *6 teniendo en cuenta la ley de Bhm( vi

=

i b 1 ie

Anteriormente ya hemos encontrado una relación entre i b e ii  !ustituyendo( 593 y 5+3 1 ie 1 C v v i = 80L++Ω > i = i = i × b = ii i b i i 1 ie + 1 C //////////////////////////////////////// Introducción a la Electrónica. 2002-03 // 5/19



58#3 c)

Cálculo e !v " vo # vi

Aplicando la ley de Bhm en la resistencia 1 ,( vo $ 1 , io Ademi $ vi 4 ii Teniendo esto en cuenta( vo

1 , i o

=

=

1 , A i i i

=

1 , A i >i

vi

5

Por tanto(

Av )

=

vo

=

vi

1 ,

Ai

= −8L+68*

>i

Cálculo e !v% " vo # v%

,a variable vs aparece en la ecuación de la malla ii 583( D vs ' 1 s ii ' 1  i8 $ 7

5

Teniendo en cuenta que v i $ 1  i8 y que i i $ vi 4 >i( −

vs +

1 s >i

vi

+

vi

=

7

M

vi vs

=

>i 1 s

+

5

>i

Teniendo en cuenta que A v $ vo 4 vi6 que ya est< calculado y la ecuación 58&3( A vs

=

vo vs

=

vo vi

×

vi vs

=

>i A v 1 s + > i

= −8&L6*+

5

e) Cálculo e la im&eancia e %alia $ o 're%i%tencia e(uivalente vi%ta e%e R L anulano v%)

,a resistencia buscada corresponde eHactamente con la resistencia del equivalente Thevenin Puesto que aparece una -uente dependiente6 Fsta no se puede anular6 por lo que podemos optar por dos mFtodos para calcular esa resistencia( Anular la fuente independiente y situar entre los terminales de salida una fuente TEST  La resistencia buscada se calcular! como vTEST4iTEST Como vs es una -uente de tensión6 anularla signi-ica cambiarla por un cortocircuito Por otra •

parte6 para calcular la resistencia equivalente vista desde 1 ,6 GabrimosG el circuito entre los //////////////////////////////////////// Introducción a la Electrónica. 2002-03 // 6/19



dos terminales de 1 , y GmedimosG la resistencia entre esos dos puntos Para resolverlo de -orma analítica6 suponemos una -uente de tensión v T)!T que har< que circule una corriente iT)!T6 como se muestra en la -igura 0 ,a resistencia equivalente 5en este caso >o36 teniendo en cuenta la ley de Bhm6 ser<( ii

i b

1 !

ib

vi

ii

iTEST iTEST

1 ie

1 

>o '

120ib

=

v T)!T

vTEST

/

i T)!T

58+3

1 oe

8*7i b

Tanto ii como i b son 7 ya que( ii 1 s '5ii%i b3 1  $ 7

5i b%ii3 1  ' i b 1 ie $ 7

,a Nnica corriente que circula es iTEST a travFs de 1 oe donde se cumple

i T)!T 1 oe

=

v T)!T

⇒

>o

=

v T)!T

=

i T)!T

1 oe

= 877 " Ω

ii •

La otra posibilidad para calcular la impedancia de salida es calcular la tension #he$enin $ th y la intensidad Norton i N % de tal manera &ue la resistencia buscada es vth4i .

v!

1 !

I

ib

vi

ii

1 ie

1 

120ib

vth 1 oe

8*7i b

) ii

cortocircuito

v th

=

i .

"el circuito .orton

i b

1 !

I

O1 oe queda anulada por el

"el circuito Thevenin obtenemos

i b

ii

ib

vi 1 

1 ie 8*7i b

120ib

i . 1 oe

8*7i b 1 oe

−

=

8*7i b

−

Puesto que i b no depende de la salida 5las ecuaciones para i b son las mismas 583 5*33 > o se

calcula directamente como

>7

=

v th i .

=

− 8*7i b 1 oe − 8*7i b

=

1 oe




Como hemos visto6 simplemente utili@ando las leyes de ircho-- y la ley de Bhm y operando de -orma adecuada6 podemos calcular los par
Calcular las intensidades de corriente que circulan por cada ra+a y las diferencias de tensión , ab" ,bc y ,cd y las tensiones ,a" ,b y ,c en el siguiente circuito:

Comentario

)n la resolución de este problema se puede calcular la resistencia equivalente entre bd o bien mantener el circuito tal y como est<

Solución

!) !e calcula la resistencia equivalente del con?unto -ormado por las resistencias en paralelo de

8Q Ω y de +7 Ω 8 Re&u

=

8 8×87

&

+

8 +7

,a resistencia equivalente tiene un valor de 09#* Ω 5.otar que cuando se

hace el paralelo de dos resistencias el resultado es menor que la menor resistencia6 y se aproHima a ella si la otra es muy grande )l caso límite es que una de ellas sea 76 un cortocircuito6 en cuyo caso el paralelo es 76 y la otra resistencia no tiene ningNn e-ecto puesto que por ella no circula corriente3 )l circuito resultante es por lo tanto(




!e aplica la ley de las mallas de ircho-- a la malla derecha 5: 83 )s adem
0 = 87 I8 + 096 #* ( I 8 − * ×87

−&

)

1esolviendo :8 $ 9868 mA

,a corriente que circula por la resistencia de valor 096#*Ω6 es obviamente 9868 %* $ #L*mA

Ahora se puede calcular las di-erencias de tensión Vab6 V bc y Vcd !e toma como origen de potenciales el punto que est< conectado a tierra en este caso se trata de 'd( por lo tanto Vd $ 7

Vad $ Va D Vd $ 0 V Como V d $7

⇒

Va $ 0V

Vab $ Va D V b $ 986887 %& H 87 $ 7698 V

V bc $ V b D Vc $ *87%& H *7 $ 0787%& V

⇒

⇒

0 D V b $ 7698

⇒

&6*L D Vc $ 0787%&

V b $ &6*L V

⇒

Vc $ &6*+ V

Vcd $ &6*+ V

Puesto que se piden eHplícitamente las intensidades de todas las ramas se debe deshacer el paralelo para encontrar la intensidad por cada una de las resistencias




Conocemos la tensión V bd$V b6 !i llamamos :a a la intensidad en la resistencia de 8Q Ω y : b en la de +7Ω6 escribimos las siguientes ecuaciones(

V bd I a

=

+

&*L$

I b

=

=

I a 887&

=

I b +7

#L68mA

BbteniFndose los valores que aparecen en la -igura

) !i no se calcula la resistencia equivalente entre bd 6 se calculan las intensidades que circulan

por cada rama en el siguiente circuito(




,as ecuaciones que resultan para este circuito son(

Ralla de la i@quierda

0 $ 87 :8 ' 8 87 & :*

Primer nodo

:8 $ :* ' :&

!egundo nodo

: & $ :0 ' *87%&

Ralla central

7 $ +7 :0 D 8 87 & :*

"espe?ando de la Nltima ecuación se obtiene( :0 $ *7:*

!ustituyendo en la tercera resulta( :& $ *7 : * ' * 87%&

Con lo que : 8 $ :* ' :& M :8 $ *8:* ' *87%&

!ustituyendo en la primera ecuación se obtiene(

0 $ *87: * ' * 87%* ' 8 87 & :*

⇒

:* $&*L  87 %& A $ &*L mA

!ustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta(

:8 $ *8:* ' *87%& $ 988 mA

:& $ *7 : * ' * 87%& $ #92 mA

:0 $ *7:* $ #+2 mA

Sna ve@ obtenidos los valores de las corrientes6 el c



*eorema e *hvenin

Vamos a dar dos teoremas 5ThFvenin y .orton3 que nos van a servir para hacer m
a3 Calcular la :, cuando 1 , $ 86+ Q Ω b3 Calcular la :, cuando 1 , $ & Q Ω c3 Calcular la :, cuando 1 , $ 06+ Q Ω •

,ey de irchho-- de tensiones

a3

b3




c3

•

*hvenin,

8 uitar la carga 1 ,

* Uacemos mallas y calculamos VTh(

&

Cortocircuitar las -uentes de tensión independientes y abrir las -uentes de corriente independientes




0 Snir la carga al circuito equivalente conseguido

Ahora aplicando ThFvenin es mucho m
b3

c3

-.-/L( Calcular el equivalente de ThFvenin del siguiente circuito(




8

*

&

0




*eorema e orton

)ste teorema esta muy relacionado con el Teorema de ThFvenin 1esolveremos el problema anterior usando el teorema de .orton

a3 Calcular la :, cuando 1 , $ 86+ Q Ω b3 Calcular la :, cuando 1 , $ & Q Ω c3 Calcular la :, cuando 1 , $ 06+ Q Ω •

orton,

8 uitar la carga 1 , y poner un cortocircuito 51 , $ 73

* Uacemos mallas y calculamos VTh(

&

Cortocircuitar las -uentes de tensión independientes y abrir las -uentes de corriente independientes




0 Snir la carga al circuito equivalente conseguido

Ahora aplicando ThFvenin es mucho m
b3




c3

Como se ha dicho anteriormente los teoremas de ThFnenin y .orton est
a%o e circuito *hvenin a circuito orton Tenemos el circuito siguiente(

Cortocircuitamos la carga 51 ,3 y obtenemos el valor de la intensidad .orton6 la 1 . es la misma que la 1 Th

a%o e circuito orton a circuito *hvenin Tenemos este circuito(




Abrimos la carga 51 ,3 y calculamos la VTh6 la 1 Th es la misma que la 1 .


Ejemplos Thevenin y Norton

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