CIRCUITOS ELÉTRICOS I TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON
Relatório realizado como forma de documentação de aula prática ministrada pelo Prof. Dr. André da Fountoura Pochet.
Abner R. de Aguiar
11049814
Andre R. Alioti
11035115
Felipe Wagner Bízio
21044912
Pedro H. C. Pennachi
21038414
Thiago B Dantas
21027015
Santo Santo And ré – SP 2017
Sumário
Sumário
1-
Metodologia .................................................................................... 3 1.1-
Materiais utilizados................................................................... 3
1.2-
Procedimento Experimental ..................................................... 4
2-
Resultados e discussão .................................................................. 7
3-
Questões ...................................................................................... 11
4-
Conclusão ..................................................................................... 16
5 – Referência ....................................................................................... 17
2
1- Metodologia 1.1-
Materiais utilizados
Para a realização do experimento e para conseguir medir diversas características de ondas diversas, foram utilizados os seguintes equipamentos e materiais: Tabela 1: Lista de materiais utilizados no experimento
Material
Quantidade
Fonte de Tensão (CC)
1
Resistores de 1KΩ
4
Resistores de 100Ω
1
Resistor Variável de 1KΩ
1
Multímetro Digi tal Portátil (ET2510 Minipa) Multímetro digital de bancada (MDM-8045B) Protoboard
1 1 1
3
1.2-
Procedimento Experimental
O primeiro procedimento para a realização desse experimento foi medir o valor real de todas as resistências utilizadas. Esses valores se encontram na tabela 2. Em seguida, foi montado o circuito elétrico descrito na figura 1. Com o circuito montado, a fonte de tensão foi ajustada para 10V, e foi possível medir os valores de e de , conforme a variação do potenciômetro. Esses valores encontram-se na tabela 3.
Figura 1: Circuito utilizado para medição das tensões e correntes na carga
Na sequência, retiramos os resistores de carga, abrindo assim o circuito, para podermos medir a tensão de Thévenin (tensão aberta) e a corrente de Norton (corrente de curto circuito). Os circuitos utilizados são descritos nas figuras 2 e 3.
Figura 2: Circuito utilizado para medição da tensão de Thévenin
4
Figura 3: Circuito utilizado para medição da corrente de Norton
Após as medições, outro circuito, agora descrito na figura 4 foi montado. A fonte de tensão foi ajustada de 10V para 6V. Os valores de e de , para posteriormente ser calculada a resistência de Thévenin.
Figura 4: Circuito utilizado para medição de V1 e I1
Em seguida foram retiradas a fonte de tensão, o voltímetro e o amperímetro do circuito, e colocada um ohmímetro com o objetivo de medir a resistência de Thévenin. O circuito ficou esquematizado, conforme a figura 5.
5
Figura 5: Circuito utilizado para medição da resistência de Thévenin
Por último foi montado um circuito equivalente utilizando a tensão e a resistência de Thévenin, também foram adicionadas as resistências de carga. Com esse circuito, medimos os outros valores para e , que foram anotados na tabela 4. Esse circuito é representado esquematicamente na figura 6.
Figura 6: Circuito utilizado para medição da tensão e a corrente na carga, utilizando um gerador de Thévenin.
6
2- Resultados e discussão O primeiro resultado obtido no experimento foi o valor real das resistências utilizadas nos circuitos elétricos descritos no relatório. Tabela 2: Valores reais das resistências utilizadas
Resistor Valor Nominal (Ω) Valor Medido (Ω) R1
1k
975
R2
1k
971
R3
100
98,7
R4
1k
971
R5
1K
1090
RC1
1k
1137
RC2
1k
987
O segundo resultado do experimento foram os valores de e de , conforme a variação do potenciômetro. Tabela 3: Valores da tensão e corrente na carga
VL [V] Valor Nominal
IL [mA] Valor Medido Valor Medido
2,9
2,912
2,97
3
3,003
2,79
3,1
3,103
2,6
3,2
3,201
2,4
3,3
3,301
2,21
3,4
3,399
2,02 7
3,502 1,81 Com os dados das tensões e correntes de carga, podemos traça a curva 3,5
característica corrente-tensão do circuito, que está representada na figura 7.
TENSÃO NA CARGA X CORRENTE NA CARGA 3,7
y = -00.000x + 00.004 R² = 00.001
3,5 3,3 ) V ( L V
3,1 2,9 2,7 2,5 1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
2,9
3,1
IL(MA)
Figura 7: Curva característica corrente-tensão para as tensões e correntes de carga
Os valores encontrados para a tensão de Thévenin na figura 2 e para a corrente de Norton na figura 3 foram de 4,424V e de 8,60mA, respectivamente. Já os valores de e do circuito da figura 4, foram de 6,03V e de 9,18mA. Com esses valores é possível calcular a resistência de Thévenin(ℎ ) que foi equivalente a 656,6 Ω. O sentido da corrente e da tensão no circuito é demonstrado pela figura 8.
8
Figura 8: Demonstração do sentido da corrente e da tensão no circuito.
A resistência medida no circuito da figura 5 foi de 651Ω, o que podemos
concluir que está muito próximo daquele calculado anteriormente. Essa diferença pode ser devida a impedância nos resistores, quando a fonte de tensão está conectada. Com o último circuito montado, obtivemos os seguintes valores para a tensão e a corrente na carga. Tabela 4: Valores da tensão e corrente na carga no último circuito
VL [V] Valor Nominal
IL [mA] Valor Medido Valor Medido
2,9
2,902
2,39
3
3,005
2,24
3,1
3,109
2,08
3,2
3,202
1,94
3,3
3,302
1,78
3,4
3,399
1,63
3,5
-
-
9
A partir desses dados, podemos traçar a curva característica correntetensão do circuito. Essa curva está demonstrada na figura 9. TENSÃO NA CARGA X CORRENTE NA CARGA 3,5 3,4 y = -00.001x + 00.004 R² = 00.001
3,3 3,2
) V ( L V
3,1 3 2,9 2,8 1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
IL(MA)
Figura 9: Curva característica corrente-tensão para as tensões e correntes no último circuito
10
3- Questões 1)
Fazer este item no Pré-Relatório: Determine o gerador
equivalente de Thévenin e o gerador equivalente de Norton do circuito representado na Figur a 1, à esquerda dos terminais XY. Utilize os valor es nominais dos resistores e desconsidere a carga nestes cálculos. R: Item entregue no pré-Relatório
2)
Determine o gerador equivalente de Thévenin e o gerador
equivalente de Norton do circuito representado na Figura 1, à esquerda dos terminais XY. Utilize agora os valores medido s dos resis tores. R1
1k
975
R2
1k
971
R3
100
98,7
R4
1k
971
Para a resistência de Thévenin temos:
= (
∗ )+1 +
= (
971 ∗ 98,7 ) + 975 = 1064,59 Ω 971 + 98,7
ℎ = (
∗ 1064,59 ∗ 971 )=( ) = 507,82 Ω + 1064,59 + 971
Para a tensão de Thévenin temos:
−10 + 971 ( − ) + 98,7 = 0
.1 11
971 ( − ) + 975 + 971 = 0 . 2
. 2
− 971 + 2917 = 0
= 0,332 1.
1069,7 − 971 = 101069,7 − 971 (0,332 ) = 10747,32 = 10 → = 0,01338 = 13,38 = 0,332 ∗ 0,01338 = 4,442
ℎ = ∗ = (4,442 ) ∗ (971) = 4,31
Para a resistência de Norton temos:
= ℎ = 507,82 Ω
Para a corrente de Norton temos:
=
ℎ 4,31 = = 8,49 ℎ 507,82
3)
Desenhe o gerador equivalente de Thévenin e o gerador
equivalente de Norton do circuito à esquerda dos pontos XY na Figura 1, e complete a Tabela 5 com os valores calculados e determinados experimentalmente. Tabela 5: Valores obtidos para os Geradores de Norton e Thévenin.
Cálculos Cálculos (Valores Valores obti dos Parâmetro (Valores Medido s de experimentalmente Nominais de R) R) Rth [Ω]
521,73
507,82
513,95
Vth [V]
4,35
4,31
4,42
IN [mA]
8,3
8,49
8,6 12
Figura 10: Esquema elétrico do Gerador de Thévenin
Figura 11: Esquema elétrico do Gerador de Norton
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4)
Compare os resultados obtidos nos itens i) e j) para a
resistência equivalente de Thévenin. Avalie as incertezas envolvidas nos dois valores obt idos, confor me a precisão dos multímetros nas grandezas e escalas utilizadas. Os dois resultados foram bem próximos, um sendo medido com 656,6Ω enquanto o outro foi medido com 651Ω. Essa diferença pode ocorrer por conta
da impedância que sofre o circuito quando a fonte de tensão está conectada. A precisão dos multímetros não influência tanto, visto que foram utilizados os mesmos para fazer as medições.
5)
Calcule a tensão VL e a corrente IL do circuito da Figura 1,
considerando uma carga fixa em 2 k Ω, usando os Teoremas de Thévenin
e Norton, com os valores determinados experimentalmente para os geradores equivalentes. Qual seria a potênci a dissipada nesta carga? =
ℎ × 2 = 3,52 ℎ + 2
=
× = 1,76 + 2
= × = 6,18
6)
Qual deve ser o valor da resistência da carga para se obter a
potência máxima do circuito da Figura 1? Qual seria o valor da potência máxima?
A potência máxima do circuito é atingida quando a resistência R L da carga é igual a Rth, que, por sua vez foi obtida experimentalmente, sendo igual a 513,95Ω. O valor da potência máxima, portanto, é dado por
á =
ℎ ² × ℎ ² = = 9,5 (ℎ + )² 4ℎ
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7)
Compare as curvas i x v obtidas a partir dos resultados das
Tabelas 2 e 3 e comente se o Teorema de Thévenin pôde ser comprovado. Explique.
Observando os gráficos e tabelas, podemos verificar que apesar de uma eventual margem de erro, ambos os resultados são bem parecidos tanto em magnitude das medidas quanto pela observação da linha de tendência entre os pontos, quanto pelo valor do coeficiente angular. Este resultado corrobora com o Teorema de Thévenin. 8)
Proponha um procedimento para se determinar o gerador
equivalente de Thévenin de um circuito desconhecido qualquer, a partir do levantamento da curva i x v nos terminais de interesse (onde será conectada a carga), conforme realizado neste Experimento. Explique claramente quais seriam as etapas deste procedimento .
Para obtermos o gerador equivalente de Thévenin de um circuito desconhecido qualquer, a partir do levantamento da curva i x v nos terminais de interesse, podemos iniciar definindo dois pontos do gráfico i x v, a fim de utilizá-los obter a equação da reta do gráfico. Para o cálculo de V th, iguala-se i=0 (pois Vth é a tensão em aberto, ou seja, não há como passar corrente). Da mesma forma, pode-se calcular IN quando V=0 (pois I N é a corrente de curto circuito, ou seja, não há tensão). Tendo essas duas informações, podemos calcular Rth, utilizando-se da equivalência (já expressa em seções anteriores deste relatório): Rth = Vth/IN.
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4- Conclusão De acordo com os resultados obtidos durante a execução do experimento podemos afirmar a validade dos teoremas propostos; baseado nos valores teóricos e experimentais pudemos desenvolver numericamente as resistências, tensões de Thévenin e correntes de Norton. Fortificando também o argumento de validação dos dois teoremas referidos pelo relatório, podemos citar a análise das tabelas 2 e 3 proposta no exercício sete (7) que demonstra similaridade nas distribuições dos valores das tabelas em gráficos, além de também apresentar semelhança entre os resultados associados aos coeficientes angulares. Como esperado desde de o início do experimento os resultados obtidos a partir dos valores nominais e experimentais apresentaram pequenas diferenças, estas dessemelhanças reforçam as atribulações que pequenos erros, associados as medidas, inferem no resultado final ao propagarem-se através dos cálculos. Concluímos então a importância e utilidade dos Teoremas de Thévenin e Norton, que por refletirem experimentalmente os resultados propostos em teoria, se mostram potentes ferramentas a serem utilizadas no manejo de circuitos elétricos.
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5 – Referência BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circu itos. Tradução de Daniel Vieira, Jorge Ritter; Revisão de Benedito Bonatto. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson Education do Brasil, 2012. xiii, 959 p., il. ISBN 9788564574205.
MULTÍMETRO DE BANCADA, MDM8045B . Disponível em . Acesso em: 03 nov. 2017
MULTÍMETRO MINIPA, ET-2510. Disponível em . Acesso em: 03 nov. 2017
NAKASHIMA, Kazuo. Valores Médios e Eficaz. Disponível em: . Acesso em: 03 nov. 2017
Notas de aula da disciplina Circuitos Elétricos I – Aula 7: Geradores Equivalentes de Thévenin e Norton, Universidade Federal do ABC, Profa. Katia F. A. Torres. Acesso em: 02 nov 2017
IRVIN, J. D., “Análise de Circuitos em Engenharia”, Pearson/Makron
Books, 4a ed., 2000.
17
