Espinoza Rojas Luis Miguel
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
E - 3: TEOREMA DE THEVENIN Y NORTON
OBJETIVO:
Determinar en forma experimental las redes equivalentes de Thevenin y Norton de un circuito y verificar los teoremas propuestos.
CIRCUITO ELÉCTRICO:
CÁLCULOS ELÉCTRICOS:
Del circuito ya mostrado tomaremos como valores para las resistencias; R1 = 15Ω R2 = 20Ω R3 = 12Ω R4 = 18Ω RL = 20Ω
Primero medimos el voltaje y la corriente conectada en la rama de la carga RL. Por resolución en mallas tendremos que: V
=
3.603v y I
= 180.2m A .
Ahora procedemos a medir el voltaje a circuito abierto: Esto nos lleva a: VCA FIEE - UNI
=
6.333v 1
Espinoza Rojas Luis Miguel
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Procedemos entonces a medir la corriente de Corto circuito, para esto retiramos la resistencia RL: Y esto resulta: I
=
555.5m A
De estos resultados obtenemos el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton, para esto: Thévenin VTH = 6.333v Req = 0.96Ω
Norton I N = 555.5mA Req = 0.96Ω
Circuito Thévenin:
Equivalente Norton:
FIEE - UNI
2
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Espinoza Rojas Luis Miguel
EQUIPOS Y MATERIALES:
1 Fuente DC 1 Multímetro 1 Amperímetro 1 Voltímetro 1 Panel resistivo E - 3 Juego de cables de conexión.
PROCEDIMIENTOS
Regular la fuente DC a un valor de 10 v y aplicarlos al circuito del panel, colocando el voltímetro para verificar en todo momento que la tensión se mantenga constante.
Colocar una resistencia de carga RL y medir en ella la tensión y corriente.
Retirar la resistencia de carga y medir la tensión a circuito abierto (VH).
Cortocircuitar con un conductor los bornes donde estaba RL y medir la corriente (IN).
Para hallar Req en forma indirecta, retiramos la fuente de la entrada; colocamos un conductor en el panel para representar que la red es pasiva.
Luego, aplicamos en los bornes una tensión de 10v donde iba la carga y 10v medimos la corriente que se absorbe, a fin de calcular: Req = . I
Retirar la fuente y apagarla.
Medir directamente con el ohmiómetro el equivalente desde los mismos bornes donde se coloca la carga.
Medir las resistencias de los elementos del panel.
FIEE - UNI
3
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Espinoza Rojas Luis Miguel
FUNDAMENTO TEÓRICO:
TEOREMA DE THÉVENIN Y NORTON Teorema de Thévenin:
El ingeniero francés M. L. Thévenin desarrolló un teorema y fue el primero en publicarlo en 1883; probablemente basó su trabajo en las investigaciones anteriores de Hermann von Helmholtz; pero es a él al que se le adjudica dicho trabajo y por ende lleva su nombre. El objetivo de este teorema es reducir determinada parte de un circuito (O un circuito completo) a una fuente y un solo elemento resistivo equivalente. Un circuito equivalente a otro muestra características idénticas en terminales idénticas. El principio de Thévenin es particularmente útil si se desea calcular la corriente, el voltaje o la potencia entregados a un solo elemento, especialmente cuando el elemento es variable. El resto del circuito se reduce a una RTH (Resistencia de equivalente) en serie con una fuente de voltaje V TH (Voltaje de Thévenin) y después se reconecta el elemento. El Teorema de Thévenin plantea que cualquier circuito lineal de elemento de resistivos y fuentes de energía con un par identificado de terminales, puede remplazarse por una combinación en serie de una fuente de voltaje ideal V TH y una resistencia RTH ; siendo V TH el voltaje de circuito abierto en los dos terminales y RTH la razón del voltaje en circuito abierto a la corriente de corto circuito en el par de terminales. Para poder apreciar mejor la magnitud de este teorema, planteamos el siguiente ejemplo ilustrativo. Usando el teorema de Thévenin, calcule la corriente " i " por el resistor R en el circuito de la figura siguiente. Todas las resistencias están en ohms. Ejemplo:
FIEE - UNI
4
Espinoza Rojas Luis Miguel
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Solución: Primero calculamos el voltaje a circuito abierto, esto implica el retiro de la resistencia R, como sigue:
Por un sencillo cálculo llegamos a que: VTH =
40v
Luego calculamos la resistencia equivalente entre estos bornes; al llegar a cortocircuitar la fuente lo que nos da:
De aquí llegamos a que: Req = 8Ω
Con estos resultados tendremos la corriente que atravesará la resistencia R, esta estará expresada como: I = FIEE - UNI
40 R+8 5
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Espinoza Rojas Luis Miguel
Teorema de Norton o Circuito Equivalente de Norton:
El ingeniero estadounidense E. L. Norton, de los Bell Telephone Laboratories, propuso un circuito equivalente utilizando una fuente de corriente y una resistencia equivalente. El circuito equivalente de Norton es un dual del de Thévenin. Norton publico su método en 1926, 43 años después que Thévenin. El equivalente de Norton es la transformación de fuentes del equivalente de Thévenin. El Teorema de Norton plantea que cualquier circuito lineal de elemento de resistivos y fuentes de energía con un par identificado de terminales, puede remplazarse por una combinación en paralelo de una fuente de corriente ideal I COC y una conductancia G N ; siendo I COC la corriente de cortocircuito en los dos terminales y G N la razón de corriente a cortocircuito al voltaje de circuito abierto, en el par de terminales Para poder apreciar mejor la magnitud de este teorema, planteamos el siguiente ejemplo ilustrativo. Ejemplo:
Calcule el equivalente de Norton para el siguiente circuito:
En vista de que el circuito contiene una fuente independiente, la podemos desactivar y calcular el RN por reducción del circuito. Al remplazar la fuente de voltaje por un cortocircuito se tiene un resistor de 6kΩ en paralelo con: 6x12 = 4kΩ . Para (8 + 4)kΩ = 12kΩ en consecuencia tendremos: RN = 6+12 determinar el I COC se ponen en corto las terminales de salida, estando activada la fuente. FIEE - UNI
6
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Espinoza Rojas Luis Miguel
Como se ve en la figura. De aquí tendremos que: −
15v + I =0 12kΩ COC
I COC = 1.25
mA
Así el circuito equivalente de Norton quedara como sigue:
FIEE - UNI
7
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Espinoza Rojas Luis Miguel
BIBLIOGRAFÍA:
Circuitos Eléctricos, Dorf - Svoboda, 5ta Edición
Guía de Laboratorio de Circuitos Eléctricos 1
FIEE - UNI
8
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
E - 3: TEOREMA DE THEVENIN Y NORTON
CUESTIONARIO
1. Hacer un diagrama del circuito usado, indicando las mediciones, en la carga hecha en el paso b ) .
2. Con las mediciones de los puntos c ) , d ) , e ) y f ) armar el circuito de Thévenin y Norton equivalentes y verificar la tensión y corriente en la carga. Explicar los errores. La tensión de Thévenin es:
La corriente de Norton es:
FIEE - UNI
V Th
I N
=
=
4.26v
480mA
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
Con los datos obtenidos calculamos la resistencia equivalente de la relación siguiente:
Req
=
V Th I N
=
4.26v −3
480.10 A
=
8.875Ω
4.26 = I L (8.875 + 20)
I L
= 147.532mA
V L
= I L R L =
I L
=
2.95v
Donde:
I L V L
CARGA(Ω) R L FIEE - UNI
=
20Ω
Error (%) = (
0.48(8.875) (8.875 + 20)
= 147.532mA = I L R L =
V L − V l V L
2.317%
2.95v
)100%
I − I l )100% Error (%) = ( L I L − 1.746%
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
El circuito equivalente Thévenin utilizado ha sido calculado experimentalmente, es decir con valores de tensión y corriente tomados de los instrumentos, lo cuál ya sabemos sus limitaciones e imprecisiones en sus mediciones.
Con la resistencia equivalente hallado por el ohmiómetro:
Req
=
8.5Ω
'
4.26 = I L (8.5 + 20) I ' L
V ' L
CARGA(Ω) R L
FIEE - UNI
=
20Ω
= 149 .473 mA '
= I L R L =
Error (%) = (
V L
2.989v
'
− V l
V L
1.026%
)100%
I L − I ' l )100% Error (%) = ( I L − 3.084%
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
Aplicamos división de corriente: I ' L I ' L
V ' L
R L
=
Con
20Ω
la
0.48(8.5) (8.5 + 20)
= 143 .157 mA '
2.863v
= I L R L =
Error (%) = (
CARGA(Ω)
=
'
V L
− V l
V L
)100%
1.271%
5.198%
resistencia
equivalente
usando
Reciprocidad:
Req
=
V 1
=
I 1
10 1 .2
=
8.33Ω
"
4.26 = I L (8.33 + 20) "
I "
V L FIEE - UNI
I L − I ' l )100% Error (%) = ( I L
L
= 150 .37 mA "
= I L R L =
3.007v
el
Teorema
de
la
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
CARGA(Ω) R L
=
Grupo 1 - A
Error (%) = (
20Ω
"
V L
− V
V L
l
"
)100%
I − I l )100% Error (%) = ( L I L −
0.43%
3.703%
Aplicamos división de corriente: I " L "
I
V " L
CARGA(Ω) R L
=
20Ω
Error (%) = (
L
(8.33 + 20)
= 141 .136 mA "
= I L R L =
V L − V "l V L
6.556%
0.48(8.33)
=
)100%
2.822v
I L − I "l Error (%) = ( )100% I L 2.664%
Puesto que, lo que se utilizó es un divisor de tensión para obtener la tensión pedida y que en paralelo con la red resistiva y con la carga, producen una variación de esta, por la cuál se tiene que variar el potenciómetro pero la variación hace que sean inexactos los valores medidos en la carga
FIEE - UNI
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
3. Con los datos de las resistencias medidas, hallar las incógnitas de RL en forma directa. Hallar teóricamente el circuito Thévenin y Norton y verificar los teoremas propuestos. Explicar las posibles causas de error. Cuando se midió directamente la resistencia se obtienen los siguientes circuitos:
CIRCUITO NORTON
CIRCUITO THÉVENIN
Se obtienen los siguientes valores para RL: IL = 145mA
VL = 3.02 V
Resolviendo teóricamente el circuito: *) Cálculo del Vth A C 9.3
15.2
I1
I2
+ 10v -
18.3
18.6
D
B
10 = 27.6I1 – 18.4I2 0 = -18.4I1 + 44.5I2 I2 = 0.2 A VCD = 0.2*18.7 = 3.86 V FIEE - UNI
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
*) Cálculo de Rth:
RCD = (9.4*18.4)/(9.4+18.4)+7.4 Rth = 7.85Ω *) Cálculo del IN:
10 = 27.6 I1 – 18.4 I2 0 = -18.3 I1 + 44.5 I2 I1 = 0.56 A I2 = 0.479 A IN= 0.479 A
TEÓRICO PRÁCTICO % ERROR
V THEVENIN
I NORTON
R EQUIVALENTE
3.86 V 4.260 V 9.3%
0.479 A 0..480 A 0.2%
7.85Ω 8.3Ω 5%
Con los valores obtenidos teóricamente y experimentalmente se ha demostrado la veracidad de los teoremas de Thévenin y Norton, con errores relativos de 0-4% encontrándose el mayor porcentaje de error en la medición de la corriente. FIEE - UNI
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
Las posibles causas de error son:
Error instrumental. Error del operador. La corriente que circula por la RL es pequeña. La resistencia RL variable no se precisó correctamente.
4. Investigar sobre las limitaciones para aplicar los teoremas de Thévenin y Norton en circuitos eléctricos.
Para poder aplicar estos teoremas en un circuito, este debe ser lineal y activo con 2 terminales de salida. Si se trabaja con impedancias éstas deben estar a frecuencia que hallan sido calculados. Si son resistencias éstas deben poseer un valor constante en el tiempo. Algunos circuitos contienen una o más fuentes dependientes de corrientes o voltajes así como independientes. La presencia de una fuente dependiente impide obtener directamente la resistencia equivalente a partir de la simple reducción del circuito usando las reglas para resistencias en serie y en paralelo. En este caso se procede a calcular de forma indirecta, calculándose la tensión a circuito abierto y luego la corriente de cortocircuito.
FIEE - UNI
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
Grupo 1 - A
6. Dar algunas conclusiones breves del experimento realizado. La experiencia en el laboratorio nos ha permitido comprobar el teorema de Thévenin y Norton, en la que toda red activa lineal puede ser transformada en fuente real de tensión o corriente; lo que permite encontrar un circuito equivalente para la rama que se está analizando. De este modo se podrá calcular valores de corriente o de tensión o de potencia en un elemento en particular que se desee analizar. Los errores fueron producidos porque las condiciones de equipo, materiales no son las adecuadas y por factores adicionales, que no podemos escapar de ellos (líneas de transmisión, efecto de carga, etc.). En la industria Eléctrica son muy importantes, ya que nos ayudan a resolver muchos problemas en la resolución de redes eléctricas complejas, así como a detectar diversas fallas que se puedan presentar en un sistema de potencia.
FIEE - UNI
GRUPO 1
WWW.MUNDOBUAZ.ES.TL
E - 1: LAS LEYES DE KIRCHHOFF
DATOS EXPERIMENTALES:
Resistencia: R1
=
R2
=
R3
=
R4
=
R5
=
Voltajes o Tensiones:
V 1
=
V 2
=
V 3
=
V 4
=
V 5
=
Corrientes
FIEE - UNI
I R1
=
I R 2
=
I R 3
=
I R 4
=
I R 5
=
