Universidad Rural de Guatemala Ciencias Jurídicas y Sociales Rabinal, Baja Verapaz – Verapaz – 069 069 González Chavarría, José Vitelio - 170690024 Primer Semestre – Semestre – 2017 2017 Ing. Agrónomo. Dorian E. Izaguirre Hernández
Texto de Modulo de Matemática I
Guatemala, 17 de Junio 2017
Estructura de los números reales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 7 * 3 = 21
3 * 7 = 21 4 + 5 = 9
5+4=9
Sistema de Número Enteros -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 7 – 3 – 3 = 4
-3 + 7 = -4
Sistema de Números Racionales Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una naranja en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos h emos comido 3/4 de la naranja. Un número racional es también, todo número todo número que puede representarse como el cociente el cociente de dos enteros con denominador con denominador distinto de cero de cero (una fracción (una fracción común). Son ejemplos de números racionales: ,
,
También son números racionales los números enteros:
Entre otros. Propiedades de la Suma La suma tiene principalmente cuatro propiedades: propiedad conmutativa, propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva. Estas propiedades se cumplen siempre que se realiza una suma a excepción de casos muy raros (límite de sumas parciales cuando tienden al infinito).
Propiedad Conmutativa Al sumar dos números el resultado es el mismo aunque cambiemos el orden de los sumandos. Ejemplo: 2 + 5 = 5 + 2 Propiedad Asociativa al sumar tres o más números los podemos agrupar como queramos para sumarlos en cualquier orden ya que el resultado siempre será el mismo. Ejemplo: 3 + (2 + 5) = (3 + 2 ) + 5 Elemento Neutro La suma de cualquier número más cero nos dara el número original. Ejemplo: 6 + 0 = 6 Propiedad Distributiva La suma de dos números multiplicada por un tercer número será igual a ese tercer número multiplicado por uno de los sumandos más el mismo número multiplicado por el otro sumando. Ejemplo: 2 * (3 + 4) = (2 * 3) + (2 * 4) Elemento de Identidad Inverso Aditivo El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, esto es, el inverso aditivo de un número x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0. Inverso multiplicativo Lo inverso multiplicativo de r es un número r-1 tales que r·r-1 = 1. El número 1 se utiliza aquí porque es el elemento neutro de la multiplicación. El exponente negativo se utiliza para indicar la división. Tan r-1 = 1/r. Ejemplos de lo contrario multiplicativos: 5 · 1/5 = 1 8 · 0.125 = 1 3/5 · 5/3 = 1
1/10 · 10 = 1 a/b · b/a = 1 a3b-2 · a-3b2 = 1 Fracciones Las fracciones son también llamados números racionales o quebrados, y representan porciones de un todo. Significa roto o quebrado, según su etimología latina. Si consideramos por ejemplo, una torta o una hoja de papel, y las dividimos en partes iguales, cada parte representará una porción del todo. Si la dividimos en cinco partes, cada una de ellas será la 1/5 parte de ese todo, que será de 5/5. Los números que componen una fracción se representan separados por una barra horizontal. El número que se coloca debajo de la barra, se llama denominador, y es el que indica en cuantas partes se dividió la unidad. El que va por encima de la barra, se llama numerador, y expresa la cantidad de partes que se toman o descartan.
Multiplicación de Fracciones El resultado del producto de dos fracciones es la fracción que:
en el numerador tiene el producto de los numeradores
en el denominador tiene el producto de los denominadores
Ejemplo (el punto · representa la operación multiplicación):
En este ejemplo el resultado ya es irreductible. Como regla mnemotécnica, suelen escribirse las flechas Paralelas (Producto) para indicar los números que deben multiplicarse; para el Cociente (división) se utilizan las fechas Cruzadas. División de Fracciones La división de dos fracciones es la fracción que:
Su numerador es el producto del numerador de la primera fracción y del denominador de la segunda
Su denominador es el producto del denominador de la primera fracción y del numerador de la segunda Ejemplo (los dos puntos: representan la división):
Nota:
Regla mnemotécnica: el Producto se calcula multiplicando en Paralelo y elCociente (división) se calcula multiplicando en Cruz.
La división puede representarse como un cociente de fracciones. Por ejemplo,
Regla mnemotécnica: en el numerador multiplicamos el de arriba, 2, por el de abajo, 7; y en el denominador los dos del medio, 7 y 5.
Producto por el inverso: el producto de una fracción por su inverso (cambiamos numerador por denominador) es 1. Ejemplo: El inverso de 2/7 es
Entonces,
Nota: no ocurre lo mismo con la división. Si dividimos la fracción por sí misma, obtenemos 1; pero no si la dividimos por su inversa (obtenemos su cuadrado):
El producto es conmutativo:
Pero la división NO es conmutativa:
Excepto en el caso en el que
Suma o adición de fracciones 1.1-
Con igual denominador
Si dos fracciones tiene el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se pued e simplificar, se simplifica. 1.2- Con distinto denominador Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica. Para resolver esta suma podemos aplicar varios mecanismos 1° Amplificamos o simplificamos todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones con igual denominador. Luego Sumamos los numeradores, según corresponda y conservamos el denominador. Recuerda que para expresar los resultados obtenidos como fracción irreductible debes simplificarlos. En nuestro ejemplo :
2° Utilizar el método productos cruzados. Este método lo podemos aplicar sólo cuando tenemos 2 fracciones. El método consiste en multiplicar los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción. En nuestro ejemplo:
Método del mínimo común múltiplo Recordemos
que el mínimo común es
simplemente
el más
pequeño de
los
múltiplos
comunes. Para calcularlo sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.
Para reducir dos o más fracciones por el método de mínimo común múltiplo, se toma como denominador común el m.c.m. y como numerador el resultado de multiplicar cada numerador por el cociente que resulta al dividir el denominador común entre el denominador correspondiente. En nuestro ejemplo tenemos:
2- Resta o sustracción de fracciones Con igual denominador Si dos fracciones tienen el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se pued e simplificar, se simplifica. Con distinto denominador Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se restan los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica. En la resta se pueden aplicar las mismas alternativas que explicamos en la suma para su desarrollo.
Propiedades de la potenciación Multiplicación de potencias de igual base Observa el siguiente ejemplo: 23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212 Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales. Cociente de potencias de igual base Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base: 58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625 Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales. Potencia de una potencia El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo: (23)5 = 23.5 = 215 Distributiva respecto a la multiplicación y a la división Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo: Podes primero multiplicar los dos números, y después calcula r el resultado de la potencia: (4·5)4 = 204= 160000 O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados. (4·5)4 = 4 4 * 54 = 256·625 = 160000 De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.
(3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625 (3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625 Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo. No distributiva respecto a la suma y a la resta No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta: Por ejemplo: (6 + 3)2 ≠ 62 + 32
porque
(6 + 3)2 = 92 = 81
porque
(10 - 6)2 = 42 = 16
62 + 32 = 36 + 9 = 45 81 ≠ 45 (10 - 6)2 ≠ 102 - 62
102 - 62 = 100 - 36 = 64 16 ≠ 64 Radicación de un número entero La radicación es la operación que “deshace” la potenciación.
En el ejemplo anterior, el 9 se llama radicando, el 2 índice y el resultado 3, raíz. La definición formal de esta operación es la siguiente: Si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz enésima del número entero b, si b es la potencia enésima de a. Es decir.
Veamos otros ejemplos:
Veamos que sucede cuando el radicando es un número negativo:
En el último ejemplo se debería buscar un número elevado "a la cuatro" que dé como resultado 81, ¿existirá algún número que cumpla esa condición? Si recordaste lo estudiado cuando se trabajó con la operación de potenciación, tu respuesta debería ser negativa, no existe ningún número entero que cumpla esa condición. En general: cuando el índice e par y el radicando un número negativo, el resultado no existe en el conjunto de los números enteros. CUADRADO DE LA SUMA (DIFERENCIA) DE DOS CANTIDADES CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES: (a+b)2 Analizamos: (a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 De aquí deducimos la regla:
“El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad” Ejemplos: Resolver por simple inspección. a)
(4+a)2 = 42+2(4)a+a2 = 16+8a+a2
b)
(6a+4b)2= (6 a)2+2(6 a)(4b)+(4b)2 = 36 a2 +48ab+16b2
c)
(4x+6y)2 = (4x)2+2(4x)(6y)+(6y)2 = 16x+48xy+36y2
d)
(7+3b)2 = 72+2(7)(3b)+(3b)2 = 49+42b+9b2
e)
(0.25x+3y)2 = (0.25x)2+2(0.25x)(3y)+(3y)2 = 0.0625x2+1.5xy+9y2
f)
(1/2 a +1/8 b)2 = (1/2 a)2+2(1/2 a)(1/8 b)+(1/8 b)2= 1/4 a2+1/8 ab+1/64 b2
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a-b)2= (a-b) (a-b)= a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 REGLA: “El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda” Ejemplos: a)
(x-5)2= x2-2(x) (5)+52= x2-10x+25
b)
(4m2-3n5)2= (4m2)2-2(4m2)(3n5)+(3n5)2= 16m4-24m2n5+9n10
c)
(xa+1-xa+2)2= (xa+1)2-2(xa+1)(xa+2)+ (xa+2)2= x2a+2-2x2a+3+x2a+4
Caso I. Factor Común Monomio. PROCEDIMIENTO. 1) Se encuentra un factor que divida a ambos monomios. 2) Se encuentra el factor común de las letras, que es el de menor exponente que divida a los monomios.
3) Si los coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las letras, se copian dentro del paréntesis, los mismo coeficientes. 4) Si las letras no tienen un factor común, pero si hay factor común de los coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras. Ejemplos. a) Descomponer en factores a^2 +2a = a(a +2) En este caso se encuentra el factor común de los monomios a^2 y 2a; y este es “a”; luego se escribe entre paréntesis los factores (a) y (2 ) que multiplicados por el factor común (a), den como resultado los monomios dados originalmente. – > Factor común: a porque a(a) = a^2 y a(2) = 2a – > la solución es: a(a +2) b) Descomponer en factores 10b -30ab^2 = 10b(1 -3ab) En este caso se encuentra el factor común de los monomios 10b y 30ab^2; y este es “10b“; y luego se escribe entre paréntesis los factores (1) y (-3ab) que multiplicados por el factor común (10b), den como resultado los monomios dados originalmente. – > Factor común : 10b porque 10b(1) = 10b
y 10b(-3ab ) = – 30ab^2
– > la solución es: 10b(1 -3ab) c) Descomponer en factores 10a^2 -5a +15a^3 En este caso el factor común de los monomios 10a^2 , -5a y 15a^3 es “5a”; y luego se escribe entre paréntesis los factores (2a), (-1) y (3a^2) que multiplicados por el factor común (5a), dan como resultado los monomios originales. – > Factor común es: 5a porque 5a(2a) = 10^2 ,
5a(-1) = -5a
y 5a(3a^2) = 15a^3
– > la solución es: 5a(2a -1 +3a^2)
Para comprobar el resultado se multiplica el factor común por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis; y el producto debe ser igual al polinomio original. Factorar: 1) a^2 +ab = a(a +b) Factor común: a porque a(a) = a^2 y a(b) = ab – > la solución es: a(a +b) 2) b+b^2 = b(1 +b) Factor común: b porque b(1) = b y b(b) = b^2 – > la solución es: b(1 +b) 3) x^2 +x = x(x +1) Factor común: x porque x(x) = x^2 y x(1) = x – > la solución es: x(x +1) 4) 3a^3 -a^2 = a^2(3a -1) Factor Común: a^2 porque a^2(3a) = 3a^3 y a^2(-1) = -a^2 – > la solución es: a^2(3a -1) 5) x^3 -4x^2 = x^2(x -4) Factor común: x^2 porque x^2(x) = x^3 y x^2(-4) = -4x^2 – > la solución es: x^2(x-4) 6) Factorar 5m²+15m³ > Encontramos el factor común de los coeficientes y de las letras: Factor común de 5 y 15 que es 5 (es el único factor común de estos dos números) Factor común de m² y m³ , que es m² (porque es el de menor exponente) – > El factor común de los monomios es 5m²
> Se escriben primero el factor común de los monomios (5m²) y seguido se escriben entre paréntesis los factores que resulten de dividir cada monomio entre el factor común (5m²): 5m² ÷ 5m² = 1 15m³ ÷ 5m² = 3m³⁻² =3m¹ = 3m – > se escribe el resultado [factor común(Factores cocientes con su respectivo signo): 5m²(1+3m), que es la solución. 7) ab -bc = b(a -c) Factor común: b
porque b(a) = ab y b(-c) = – bc
– > la solución es: b(a -c) 10) 8m^2 -12mn = 4m(2m -3n) Factor común: 4m porque 4m(2m) = 8m^2 y 4m(-3m) = -12mn – > la solución es: 4m(2m -3n) En este caso la “m” es común en las letras de los monomios y el “4” es común en los coeficientes de los monomios; porque ambos dividen a cada uno de monomios o (términos) del polinomio. 12) 15c^3d^2 +60c^2d^3 = 15c^2d^2(c +4d) Factor común: 15c^2d^2
porque
15c^2d^2(c) = 15c^2d^2 y 15c^2d^2(4d) = 60c^2d^3 – > la solución es: 15c^2d^2(c +4d) Para este caso y para otros: el factor común de las letras deberá ser el de menor exponente, para que divida a los dos o más monomios. 16) a^3 +a^2 +a = a(a^2 +a +1) Factor común: a porque a(a^2) = a^3 , a(a) = a^2 y a(1) = a – > la solución es: a(a^2 +a +1) 18) 15y^3 +20y^2 -5y = 5y(3y^2 +4y -1)
Factor común: 5y porque 5y(3y^2) = 15y^3 , 5y(4y) = 20y^2 , 5y(-1) = -5y – > la solución es: 5y(3y^2 +4y -1) Caso II. Factor común por agrupación de Términos. PROCEDIMIENTO. 1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo. 2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. 3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Polinomio. Ejemplos: a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y) 1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by) 2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b) 3º) Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución. b) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4) 1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 -6mn)+(4m-8n) 2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n) 3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4) < – Solución. Factorar o descomponer en factores: 1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)
1º) Agrupar términos con factor común: (a^2+ab)+(ax+bx) 2º) Factorar por el factor común: a(a+b)+x(a+b) 3º) Formando factores: (a+b)(a+x) < – Solución 2) am-bm+an-bn = (a-b)(m+n) 1º) Agrupar términos con factor común: (am-bm)+(an-bn) 2º) Factorar por el factor común: m(a-b) +n(a-b) 3º) Formando factores: (a-b)(m+n) < – Solución. 3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y) 1º) Agrupar términos con factor común: (ax-2bx)-(2ay-4by) 2º) Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b) = 3º) Formando factores: (a-2b)(x-2y) < – Solución. 4) a^2x^2 -3bx^2 +a^2y^2 -3by^2 = (a^2 -3b)(x^2 +y^2) 1º) Agrupar términos con factor común: (a^2x^2 -3bx ^2)+(a^2y^2 -3by^2) 2º) Factorar por el factor común: x^2(a^2 -3b)+y^2(a^2 -3b) 3º) Formando factores: (a^2 -3b)(x^2 +y^2) < – Solución. 5) 3m-2n-2nx^4+3mx^4 = (3m -2n)(1 +x^4) 1º) Agrupar términos con factor común: (3m+3mx^4) -(2n+2nx^4) 2º) Factorar por el factor común: 3m(1+x^4) -2n(1+x^4) 3º) Formando factores: (3m-2n)(1+x^4) < – Solución. 6) x^2 -a^2 +x -a^2x = (x-a^2)(x+1) 1º) Agrupar términos con factor común: (x^2 +x) -(a^2 +a^2x) 2º) Factorar por el factor común: x(x+1) -a^2(1+x) 3º) Formando factores: (x+1)(x-a^2) = (x-a^2)(x+1) < – Solución. 7) Factorar 4a3-1-a2+4a
1°) Agrupando términos por el factor común: (4a3-a2)+(4a-1) 2°) Factorando términos por el factor común: a2(4a-1)+1(4a-1) 3°) Formando factores: (a2+1)(4a-1) < – Solución. Nota: Al factorizar (4a-1), su factor común es “1”; por eso queda en 1(4a-1). 9) 3abx^2-2y^2-2x^2+3aby^2 = (3ab -2)(x^2 +y^2) 1º) Agrupar términos con factor común: (3abx^2 -2x^2)+(3aby^2 -2y^2) 2) Factorar por el factor común: x^2(3ab -2)+y^2(3ab -2) 3º) Formando factores: (3ab -2)(x^2 +y^2) < – Solución. 19) 4am3-12amn -m2 +3n > Agrupando términos por factor común: (4am3-m2) – (12amn+3n) < Factorando por el factor común: m2(4am-1) -3n(4am-1) < Factorando factores: (m2-3n)(4am-1) < – Solución. 20) 20ax-5bx-2by+8ay = (4a -b)(5x +2y) 1º) Agrupar términos con factor común: (20ax -5bx)+(8ay -2by) 2º) Factorar por el factor común: 5x(4a -b)+2y(4a -b) 3º) Formando factores: (4a-b)(5x+2y) < – Solución. Caso III. Trinomio Cuadrado Perfecto Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas. Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 es cuadrado perfecto porque: Raíz cuadrada de a^2 = a
Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto: Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio. El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado. Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2 Raíz cuadrada de a^2 = a
;
raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
– > se forma el binomio (a -2b) y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería (a -2b)^2 , que es la Solución. Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio. Ejercicio 92 1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2 — Raíz cuadrada de a^2 = a
;
raíz cuadrada de b^2 = b
– > el binomio es: (a -b) Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 < – Solución 2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2 Raíz cuadrada de a^2 = a
;
raíz cuadrada de b^2 = b
– > el binomio es: (a +b) Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 < – Solución 3) x^2-2x+1 = (x -1)^2 Raíz cuadrada de x^2 = x – > el binomio es: (x -1)
; raíz cuadrada de 1 = 1
Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 < – Solución. 4) y^4 +1 +2y^2 = y^4 +2y^2 +1 =(y^2 +1)^2 Raíz cuadrada de y^4 = y^2
; raíz cuadrada de 1 = 1
– > el binomio es: (y^2 +1) Por lo tanto (y^2 +1)(y^2 +1) = (y^2 +1)^2 < – Solución. En este caso el trinomio original se ordenó en relación al exponente de su letra (y), en orden del mayor al menor exponente. (descendente). 5) a^2 -10a +25 = (a -5)^2 Raíz cuadrada de a^2 = a
; raíz cuadrada de 25 = 5
– > el binomio es (a -5) por lo tanto (a -5)(a -5) = (a -5)^2 < – Solución. 6) 9-6x+x^2 =(3 -x)^2 Raíz cuadrada de 9 = 3
; raíz cuadrada de x^2 = x
– > el binomio es (3 -x) Por lo tanto (3 -x)(3 -x) = (3 -x)^2 < – Solución En este caso ya viene ordenado el trinomio en relación al exponente de su letra de menor a mayor. (Ascendente) 7) 16 +40x^2 +25x^4 = (4 +5x^2)^2 Raíz cuadrada de 16 = 4
; raíz cuadrada de 25x^4 = 5x^2
– > el binomio es (4 +5x^2) Por lo tanto (4 +5x^2)(4 +5x^2) = (4 +5x^2)^2 < – Solución. 8) 1 +49a^2 -14a =(1 -7a)^2 Raíz cuadrado de 1 = 1 – > el binomio es (1 -7b)
;
raíz cuadrada de 49a^2 = 7a
Por lo tanto (1 -7b)(1 -7b) = (1 -7b)^2 < – Solución. En este caso se ordenó el trinomio original en forma ascendente en relación al exponente de su letra. 11) a^8 +18a^4 +81 = (a^4 +9)^2 Raíz cuadrada de a^8 = a^4
;
raíz cuadrada de 81 = 9
– > el binomio es (a^4 +9) Por lo tanto (a^4 +9)(a^4 +9) = (a^4 +9)^2 < – Solución. 17) 49m^6 -70am^3n^2 +25a^2n^4= (7m^3 -)^2 = (7m^3 -5an^2)^2 Raíz cuadrada de 49m^6 = 7m^3 ; raíz cuadrada de 25a^2n^4 = 5an^2 – > el binomio es (7m^3 -5an^2) por lo tanto (7m^3 -5an^2)(7m^3 -5an^2) = (7m^3 -5an^2)^2 Solución. Caso IV. Diferencia de Cuadrados Perfectos Regla para factorar una diferencia de cuadrados: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces. Ejemplo: a^2 – b^2 = (a +b)(a -b) Primero se extraen las raíces cuadradas y luego se forman los factores. Procedimiento para factorar una diferencia de cuadrados perfectos: >> Factorar 1 -a^2. a) Raíz cuadrada de 1 = 1
Raíz cuadrada de a^2 = a
b) Se multiplican los factores: (1 +a)(1 -a) y esta es la Solución. >> Factorar 16x^2 -25y^4 a) Raíz cuadrada de 16x^2 = 4x
; Raíz cuadrada de 25y^4 = 5y^2
b) Multiplicación de factores: (4x +5y^2)(4x -5y^2) < – Solución
>> Factorar 49x^2y^6z^10 – a^12 a) Raíz cuadrada de 49x^2 y^6 z^10 = 7xy^3z^5 Raíz cuadrada de a^12 = a^6 b) Multiplicando factores: (7xy^3z^5 + a^6)(7xy^3z^5 – a^6) Solución >> Factorar a^2/4 – b^4/9 a) Raíz cuadrada de a^2/4 = a/2
; Raíz cuadrada de b^4/9 = b^2/3
b) Multiplicando factores: (a/2 +b^2/3)(a/2 – b^2/3) Solución 1) Factorar x^2 -y^2 = (x +y)(x – y) Porque: Raíz cuadrada de x^2 = x
; raíz cuadrada de y^2 = y
– > la suma por su diferencia es (x +y)(x – y) que es la Solución. 2) Factorar a^2 -1 = (a +1)(a – 1) Raíz cuadrada de a^2 = a
; raíz cuadrada de a = 1
– > (a +1)(a – 1) es la Solución 3) Factorar a^2 -4 = (a +2)(a – 2) Raíz cuadrada de a^2 = a
; raíz cuadrada de 4 = 2
– > (a +2)(a – 2) es la Solución. 4) Factorar 9 -b^2 = (3 +b)(3 – b) Raíz cuadrada de 9 =3
; raíz cuadrada de b^2 = b
– > (3 +b)(3 – b) es la solución 12) Factorar 4x^2 -81y^4 = (2x +9y^2)(2x – 9y^2) Raíz cuadrada de 4x^2 = 2x ; Raíz cuadrada de 81y^4 = 9y^2 – > (2x +9y^2)(2x – 9y^2) es la Solución 17) Factorar 100m^2n^4 – 169y^6 = .
= (10mn^2 +13y^3)(10mn^2 – 13y^3)
Raíz cuadrada de 100m^2n^4 = 10mn^2 ; Raíz cuadrada de 169y^6 = 13y^3 – > (10mn^2 + 13y^3)(10mn^2 – 13y^3) es la solución 19) Factorar 196x^2y^4-225z^12 La raíz cuadrada de 196x^2y^4 = 14xy^2 La raíz cuadrada de 225z^12 = 15z^6 – > la solución es (14xy^2+15z^6)(14xy^2-15z^6)
