TEOREMA DE LA PERTURBACION DE LA IDENTIDAD
, una contracción definida en el abierto . La aplicación , dada por , es un homeomorfismo de U sobre el conjunto abierto . Por otra parte, si se tiene Sea
Demostración: Sea una aplicación
se
denomina una contracción, si
| | | | , para normas adecuadas en y Para cualquier
, ,
se tiene
para cualquier .
, tenemos
| | | | | | | | | | Por definición de contracción
Por lo tanto tenemos inyectiva.
Si
f(x)=
| | | | | | | | |
| | | | |, de aquí partimos para demostrar que es f(y)
entonces
| | |,
como
| | | | | | | . |
(1- )
entonces
También se cumple la
sobreyectividad. De ahí resulta que es una biyección de U sobre y que la aplicación inversa cumple la condición de Lipschitz
| | | | |,
com
.
Por ser
aplicación Lipschitziana es continua. Como f es una biyección continua y su inversa también, entonces f es es un homeomorfismo de U sobre f (U). (U). Probaremos que
es abierto, sea . Tenemos para un
. Demostraremos que es un punto interior del conjunto f (U), (U), o sea, que para todo punto “y” suficientemente “y” suficientemente próximo de b, la ecuación
, posee una solución .
Lo resolveremos por medio de puntos fijos, sea aplicación
tal
que
y consideremos la
, dada por . Entonces .
Como y es constante, es una contracción. Teníamos que | |
| | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Por el Lema anterior, existe un punto fijo
para ya que | | . Como
, vemos que tiene un punto fijo en (o sea existe tal que ) a condición que tomemos | | . Esto significa que, poniendo
,
tenemos
,
,
luego
y como
es arbitrario, el conjunto es abierto. Finalmente,
si
entonces,
para
todo
tenemos
donde
. Si tomamos, para cada , veremos entonces que , donde ⋃ , o sea, COLORARIO: (Perturbación de un isomorfismo). Sea U abierto y f :U una
f ( x) T x ( x ) , donde T : es una transformación lineal
aplicación de la forma
:U satisface ( x) ( y) invertible y un homeomorfismo de
xy
, con
T 1
1
U sobre un conjunto abierto f (U ) . Si
. Entonces
f es
entonces
f (U ) . En efecto, en este caso la aplicación T
( x) ( y) 1
Como T
1 ,
1
T ( x) ( y) 1
vemos que T
: U , cumple 1
T ( x) ( y)
1
T
, es una contracción. Siendo T 1
siguiendo del teorema anterior que T
T 1 f (U ) , donde f es
1
1
x y
f
x x ( x) ,
f es un homeomorfismo de U sobre un abierto
un homeomorfismo de U sobre un abierto f (U ) . Si
entonces por el teorema T
1
f
U , donde f (U ) T .
LEMA: (Diferenciabilidad del homeomorfismo inverso). Sea un homeomorfismo entre los abiertos, . Si f es diferenciable en el punto y la derivada es un isomorfismo entonces el homeomorfismo inverso es diferenciable en el punto b=f (a). Si f es fuertemente diferenciable en el punto a entonces es fuertemente diferenciable en el punto b. Demostración: Escribimos . Como el único candidato posible para la derivada de g en el punto b es escribimos
Y tratamos de mostrar que || . Escribimos:
. ( ) . Como y son continuas, si y solamente si . La diferenciabilidad de en el punto proporciona Entonces
donde
||
(**)
En la ecuación (*), sustituimos el primer miembro por v , y en el segundo sustituimos
por el segundo miembro de (**). Resulta ( ) De donde:
Y
|| || || || Cuando
, se tiene también , como vimos, luego ||
|| || está acotado en las || || proximidades de v=0. Como la transformación lineal es continua y se anula en el origen, Por otra parte, por el teorema 3 (ítem 1°), el cociente
se sigue de la expresión:
|| || || || Que
, ||
es diferenciable en el punto b= f (a). En cuanto a la pusiéramos y resultará,
donde
diferenciabilidad fuerte, si como arriba, que
Como toda transformación lineal es Lipschitziana, la diferenciabilidad fuerte de g en el punto b resulta inmediatamente de la diferenciabilidad fuerte de f en el punto a, por el teorema 5.
