TD Resumé Asser2013

CLASSES PREPARAT OI RES AU X GRAN DES ECOLES D'I N GEN I EU RS

CEN T RE PRI N CE M Y ABDALLAH SAFI

TRAVAUX DIRIGES D'ASSERVISSEMENTS DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS Résumé des cours + Corrigés des TD Chaîne directe

Perturbation

Partie commande Consigne Mise en forme du signal Entrée e(t)

+

-

Ecart ε(t)

Amplificateur ou correcteur

Système dynamique

Actionneur

Sortie s(t)

Chaîne de retour Capteur Partie opérative

2012/ 2013

R.LEMSSOUGUER

F

TD 01 - Systèmes automatiques

A BCAD EFADD B

DB

FDB

E F

B

FB DB A FEFADB

L’étude porte sur un vérin électrique asservi en position qui équipe un simulateur de vol. Un vérin est un mécanisme de transmission de puissance qui permet la transformation du mouvement de rotation de l’arbre moteur en un mouvement de translation sur la tige de sortie. Les principaux composants du vérin étudié sont présentés ci-dessous :

Corps de vérin (0) Tige de vérin (7)

Bâti (0) Capteur (5)

Tige de guidage (0) Système roue (4) et vis sans fin (3)

Ecrou (7)

Vis (3)

Réducteur (2)

Moteur (1) Dynamo tachimétrique (6)

La rotation de la vis (3) est obtenue à partir du motoréducteur (moteur (1) et réducteur (2)). Le moteur est un moteur à courant continu et le réducteur permet d’adapter la vitesse de rotation telle sorte que la vitesse de rotation de la vis ωv soit 20 fois plus petite que la vitesse de rotation du moteur ωm (ωm = 20.ωv). La rotation de la vis (3) est transformée en un mouvement de translation grâce à l’écrou (7), ce qui permet d’obtenir, compte tenu de l’architecture du système, un mouvement de translation. On donne la loi entre le paramètre de translation de sortie xs de l’écrou et le paramètre de rotation de la vis : xs =

θv.pas/(2π). Le capteur (5) prélève la vitesse de rotation de la vis par l’intermédiaire d’un système roue/vis sans fin de rapport de réduction θv/θcapt= 25.

Q.1. Compléter le schéma-bloc fonctionnel de ce système et préciser les unités sous pour chaque grandeur d’entrée et de sortie. 1

F


xc(t)

ε(t)

uc(t) Adaptateur

Ka

ωv(t)

um(t) Correcteur

+

xs(t)

∫

Kc

-

θv(t)

ucapt(t)

Capteur

Kcapt

A BCAD EFADD B

DB

F

B

EA

D

B

B

(D’après Centrale PSI 2005) Le support de l’étude est le véhicule auto balancé Segway®. Il s’agit d’un moyen de transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de prestations, il est moins rapide qu’une voiture ou qu’un scooter, plus maniable, plus écologique (selon les rédacteurs du sujet), moins encombrant et nettement plus moderne... (mais tout aussi inutile en ville ^^).

La conduite du Segway® se fait par inclinaison du corps vers l’avant ou vers l’arrière, afin d’accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s’incline vers l’avant pour débuter le mouvement). Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon. La spécificité de ce véhicule est d’avoir deux roues qui ont le même axe de rotation, avec son centre de gravité situé au dessus de l’axe commun des roues, si bien qu’on se demande comment rester à l’équilibre une fois monté sur la plate-forme. Tout comme le cerveau permet à l’homme de tenir debout sans tomber grâce à l’oreille interne, le système comporte un dispositif d’asservissement d’inclinaison, maintenant la plate forme du véhicule à l’horizontale ou encore la barre d’appui, supposée orthogonale à cette plate forme, à la verticale. Le Segway® comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs transmettant des consignes aux deux moteurs électriques équipant les deux roues. 2

F


La chaîne d'action permettant de réguler l'inclinaison du SEGWAY® est réalisée par : • un ensemble amplificateur et motoréducteur qui permet de délivrer un couple Cm (caractérise une action mécanique ayant tendance à entraîner un solide en rotation, unité Newton.mètre) : Cm (t) = Km.u(t) avec u(t) tension de commande • l'ensemble chariot et conducteur. Les équations de comportement dynamique peuvent se d 2 φ (t ) = b.Cm (t) + c. φ (t ) avec φ (t ) = ψ(t) + α(t) où α(t) est l'inclimettre sous la forme : a. dt 2 naison du conducteur par rapport à la barre d'appui. La partie commande est constituée : • d'un comparateur qui élabore le signal écart ε(t) = ψc(t) – ψ(t) où ψ(t) est l'inclinaison du plateau du chariot par rapport à la verticale et ψc(t) est la position angulaire de consigne • d'un correcteur qui adapte l'écart pour commander le système avec la tension w(t) Afin de stabiliser le système, la grandeur de commande du motoréducteur u(t) est élaborée à partir de : • la mesure de la vitesse angulaire par un gyromètre qui fournit la tension uV(t) telle que : d ψ (t ) uV(t) = KV. dt • la mesure de la position angulaire par un pendule qui fournit la tension uP(t) telle que : uP(t) = KP. ψ (t ) Q.1. Compléter le schéma-bloc fonctionnel de ce système. … ε(t)

… +

-

…

φ (t ) -

u(t) +

+

-

ψ(t)

+

uV(t)

…

A BCAD EFADD B

DB

B

FB

B

FD BA EF B

L’étude porte sur un axe linéaire asservi que l’on peut retrouver sur des machines outils à commande numérique.

3

F


Etude en boucle ouverte Chariot

x(t) θv(t)

θv(t)

Réducteur poulie/courroie

Système vis/écrou θm(t)

Modulateur de tension

ωm(t) Moteur électrique

u(t) um(t)

La commande du modulateur de tension active le moteur électrique qui entraine un réducteur de vitesse à poulie courroie. La rotation de la vis engendre la translation de l’écrou lié au chariot. Q.1. Tracer le schéma-bloc fonctionnel de ce système et définir les données de sortie de chaque bloc. Etude en boucle fermée Chariot

x(t) θv(t)

θv(t)

Réducteur poulie/courroie

Capteur xm(t)

Système vis/écrou θm(t) Calculateur

ωm(t) Moteur électrique

u(t) xc(t)

um(t) Modulateur de tension

4

F


On rajoute au système précédent un capteur et un calculateur. Le capteur mesure l’angle de rotation de la vis et en informe le calculateur avec la grandeur xm(t). Le calculateur compare cette mesure avec la grandeur de consigne de position xc(t) et élabore un signal de commande en tension, fonction de la différence xc(t) – xm(t), sur le modulateur. Q.2. Tracer le nouveau schéma-bloc fonctionnel de ce système et définir les données de sortie de chaque bloc. (Pour un système vis/écrou la loi entre le paramètre de translation de l’écrou et le paramètre de rotation de la vis est : xm(t)= θvis(t).pas/(2π) ). Q.3. Expliquer en quelques mots pourquoi le bouclage du système apporte à celui une amélioration de ses performances.

A BCAD EFADD B

DB

F

DEB

BDF

B

Vanne xv θv

θE

Engrenage conique de rapport de réduction k

Système vis/écrou de pas p

Potentiomètre d’entrée PE

θM Moteur CC uM

uE Amplificateur différentiel de uS gain A

θs

Potentiomètre de sortie PS

Débit d’entrée qe

Niveau h

Récipient C Débit de sortie qs

Le système représenté ci-dessus est destiné à asservir le niveau h d’un liquide contenu dans un récipient C pour un angle de référence θE réglé par un opérateur. Le niveau h est transformé en un angle θS au moyen d’un flotteur agissant sur le curseur d’un potentiomètre PS (θS / h = Kθ = 1 rad/m). Les deux potentiomètres PE et PS, identiques, transforment les angles d’entrée et de sortie en tensions électriques dont la différence est amplifiée par un amplificateur de gain A. la tension de sortie de l’amplificateur uM est appliquée à l’induit d’un moteur à courant continu dont l’inducteur est alimenté par une tension constante. Ce moteur agit par l’intermédiaire d’un réducteur et d’un système vis/écrou, sur une vanne linéaire qui commande le débit qE du liquide entant dans le récipient C. Le débit de sortie qS est supposé proportionnel au niveau h du liquide.

Q.1. Représenter le schéma-bloc fonctionnel du système asservi.

5

F


ABCDBA ED

BCDBF EDB B

B

Volume d’eau dans la cuve : v(t) = Surface.h(t)

Fuite Niveau de référence

DB B

Hauteur de liquide

Cuve à fuite

Variation du volume d’eau dans la cuve : d d v(t) = qe(t) – qs(t) soit : S h(t) = qe(t) – qs(t) dt dt Avec :

qe(t) = k2.(θ0(t) – θ(t)) et qs(t) = k1. h(t ) (le fluide s’écoule par gravité, relation de Bernoulli) où k1 k2 sont des constantes. θ0(t) (fixe)

+

qe(t)

Vanne

+

-

h(t)

Cuve -

θ(t) mesuré

Boucle 1 qs(t)

Relation de Bernoulli

Boucle 2 Flotteur

Remarque : la boucle 1 n’est pas une boucle d’asservissement, elle représente la modélisation retenue comme modèle de connaissance de la cuve à fuite. La boucle 2 est par contre une boucle d’asservissement.

AB DF

DB

D E BDAB

AB B

B

Q.1. Unité : m xc(t)

ε(t)

uc(t) Adaptateur

Ka

Unité : V

Unité : V

Unité : V

Unité : rad/s ωm(t)

um(t) Correcteur

+

Kc

-

Unité : rad/s Unité : rad

Moteur (1)

ucapt(t)

ωv(t) Réducteur (2)

Unité : rad

Unité : V

θcapt(t) Capteur

Roue/vis sans fin

Kcapt

6

∫

Unité : m

θv(t) Vis/écrou

xs(t)

F


F DB

!"B B

AF B

B

Q.1.

α(t)

Cm(t) ε(t)

ψc(t) +

w(t) +

Correcteur

-

u(t) +

-

-

Ampli + motoréducteur

uV(t)

ψ(t)

+

Gyromètre

uP(t)

#DB

φ (t ) -

Chariot + conducteur

Pendule

D E BCDB$ F

ADB

BB

B

Q.1. Etude en boucle ouverte ωm (t)

um(t) u(t)

∫

Moteur CC

Modulateur

θm(t)

θv (t)

x(t) Vis/écrou

Réducteur

Q.2. Etude en boucle fermée u(t) xc(t) +

Calculateur

-

ωm(t)

um(t)

u(t) Modulateur

xm(t) pas 2.π

θm(t)

∫

Moteur CC

θv(t) Vis/écrou

Réducteur

xm(t)

θv(t) Capteur

Q.3. Avantages : + précis car résiste aux perturbations + simple à commander (asservissement de position)

D E

ue(t) θe(t) Potentiomètre PE

D$DA BCDBA ED

θm(t)

um(t) +

Ampli

-

Moteur CC

BB

θv(t) Réducteur

us(t)

B qs(t)

x(t) Système vis/écrou

Potentiomètre PK

qe(t) Vanne

θS(t)

+

-

Relation de Bernoulli

h(t) Cuve

Flotteur

Remarque : la boucle qui comprend le bloc relation de Bernoulli n’est pas une boucle d’asservissement, elle représente la modélisation retenue comme modèle de connaissance de la cuve à fuite. La seconde boucle est par contre une boucle d’asservissement. 7

F


AB CDAB

EDFB B

DF A B

A ADB

B

Un moteur à courant continu est système Energie mécanique Energie permettant de transformer une énergie électrique Convertir l’énergie électrique électrique en énergie d’entrée en une énergie mécanique de sortie. Pertes (echauffement, mécanique Le moteur courant continu est désormais une frottement,…) technologie supplantée dans beaucoup de domaines mais il s'impose encore dans les très Moteur électrique faibles puissances ou les faibles tensions et il se prête encore très bien à la variation de vitesse avec des technologies électroniques simples et peu onéreuses. Le moteur courant continu permet une régulation précise du couple et sa vitesse de rotation nominale, indépendante de la fréquence du réseau électrique, est aisément adaptable par l’intermédiaire d’un réducteur au reste de la Moteurs à courant continu chaine d’énergie. Le moteur courant continu est en revanche moins robuste que les moteurs asynchrones et beaucoup plus cher, tant en coût matériel qu'en maintenance, car il nécessite un entretien régulier du collecteur et des balais. Principe de fonctionnement du MCC Un moteur courant continu est composé des éléments suivants : • Un inducteur ou stator qui est l’élément du circuit magnétique immobile sur lequel un enroulement est bobiné afin de produire un champ magnétique. • Un induit ou rotor qui correspond à un cylindre en tôles magnétiques isolées entre elles et perpendiculaires à l'axe du cylindre. L'induit est mobile en rotation autour de son axe et est séparé de l'inducteur par un entrefer. A sa périphérie, des conducteurs sont régulièrement répartis. • Un collecteur à balais qui est solidaire de l'induit. Les balais sont fixes, ils frottent sur le collecteur et ainsi alimentent les conducteurs de l'induit. Lorsque l'inducteur est alimenté, il crée un champ magnétique (flux d’excitation) dans l'entrefer, dirigé suivant les rayons de l'induit. Ce champ magnétique « rentre » dans l'induit du côté du pôle Nord de l'inducteur et « sort » de l'induit du côté du pôle Sud de l'inducteur. Quand l'induit est alimenté, ses conducteurs situés sous un même pôle inducteur (d'un même côté des balais) sont parcourus par des courants de même sens et sont donc, d'après la loi de Laplace, soumis à une force. Les conducteurs situés sous l'autre pôle sont soumis à une force de même intensité et de sens opposé. Les deux forces créent un couple qui fait tourner l'induit du moteur.

8

Stator

Rotor

Collecteur à balais

F


Modèle de connaissance D’un point de vue électrique, le moteur courant continu peut être modélisé comme un système dont l’entrée est la tension de commande de l’induit u(t) et la sortie la vitesse de rotation de l’arbre moteur ωm(t). L’induit est modélisé par une résistance en série avec une inductance et une force contre électromotrice. Les équations qui modélisent le moteur sont les suivantes :

i(t) L

R e(t)

u(t)

ωm(t), Cm(t)

J, f, Cr(t)

u(t) = e(t) + R.i(t)+ L.

d i (t ) dt

(Loi d’Ohm) e(t) = Ke.ωm(t) (Equation de l’électromagnétisme) d ωm (t ) = Cm(t) – Cr(t) – f.ωm(t) dt (Equation de la dynamique de l’arbre moteur) J.

Cm(t) = Kt.i(t) (Equation de l’électromagnétisme)

Avec : u(t) = Tension du moteur e(t) = Force contre électromotrice du moteur i(t) = Intensité dans le moteur Cm(t) = Couple exercé par le moteur Cr(t) = Couple résistant sur l’axe moteur ωm(t) = Vitesse angulaire du moteur R = Valeur de la résistance L = Valeur de l’inductance Ke = Coefficient de la force contre électromotrice J = Inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur f = 0,01 = Paramètre de « frottement fluide » total Kt = Constante de couple

[V] [V] [A] [N.m] [N.m] [rad/s] [ ] [H] [V/(rad/s)] [kg.m²] [N.m.s] [N.m/A]

Q.1. Les conditions initiales étant nulles, exprimer les équations qui modélisent le moteur dans le domaine de Laplace. Q.2. Compléter le schéma-bloc du moteur en s’aidant des équations de la question 1. Cr(p) U(p)

+

+

-

m(p)

La boucle de retour de ce schéma-bloc n’est pas une boucle d’asservissement, elle correspond seulement à la modélisation du MCC

9

F


AB CDAEBEA E A EB Le système représenté ci contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte. Le chauffage est assuré par un échangeur thermique. Une vanne permet de réguler le débit dans l’échangeur. On note α(t) l’angle d’ouverture de la vanne, q(t) le débit dans l’échangeur, θ1(t) la température en sortie de l’échangeur, θ(t) la température de l’enceinte.

Vanne

D

A EB

Echangeur Enceinte

Débit q(t)

T°C θ1(t)

θ(t)

Pompe

On donne les modèles de connaissance qui régissent le système :

• • •

q(t)=k0.α(t) (loi de fonctionnement de la vanne donnant le débit en fonction de l’angle d’ouverture de la vanne). d θ (t ) θ1 (t ) + τ 1. 1 = k1.q (t ) (loi de transfert de chaleur dans l’échangeur). dt d θ (t ) = k2 .θ1 (t ) (loi de transfert de chaleur dans l’enceinte). θ (t ) + τ 2 . dt

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne α(t) et la sortie, la température de l’enceinte θ(t).

Q.1. Traduire dans le domaine de Laplace les équations du modèle de connaissance. En déduire les différents modèles de comportement et les fonctions de transfert associées. Q.2. Représenter le système par un schéma-bloc faisant intervenir les 3 blocs précédemment définis. Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température et la de traduire en une tension umes(t) (on peut modéliser le capteur par un gain pur Kmes=0,02). La tension umes(t) est comparée à la tension de consigne uc (t) issue d’un transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet écart amplifié par un correcteur de gain Kc, la vanne s’ouvre ou se ferme. Le schéma ci-dessous précise l’architecture du système. θc(t) Transducteur Comparateur Correcteur

Moteur

α(t)

Echangeur Enceinte

Vanne Débit q(t)

T°C θ1(t)

θ(t) Capteur

Pompe

α ( p)

K . U m ( p ) (1 + τ . p ) Q.3. Représenter par un schéma-bloc le système régulé dont l’entrée est la température θc(p). On donne la fonction de transfert du moteur qui est : M ( p ) =

=

Q.4. Quelle doit être la fonction de transfert du transducteur de façon à annuler l’écart ε(p) quand la température de consigne et la température de l’enceinte sont égales ? 10

F


D B EB F A

F

E B EB

EB

Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : e-at.u(t), cos(ωt).u(t) et sin(ωt).u(t) En déduire e-at.sin(ωt).u(t) et e-at.cos(ωt).u(t).

D B EB F A

F

E B A EF E B

Calculer la transformée inverse des fonctions suivantes : K1 K2 F1 ( p ) = F2 ( p) = ( p + a )(. p + b ) p.(1 + τ . p ) K4. p2 F4 ( p ) = ( p − 1)2 .( p + 1)

F5 ( p) =

AB DB

F

F3 ( p ) =

3p +1 ( p − 1). p 2 + 1

(

EB DBFE

F B

)

DFB B

AB EB

Déterminer les transformées de Laplace des signaux suivants :

0

f(t)

g(t)

4

4

2

t

K 3. p ( p + a )(. p + b )

0

2

11

t

A D B

F


AB CDAB Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) + L.

EDFB B

d i (t ) dt

e(t) = Ke.ωm(t) d ω (t ) J . m = Cm(t) – Cr(t) – f.ωm(t) dt Cm(t) = Kt.i(t)

DF A B

A ADB

B B

→

U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

FF

BB

m(p)

= Cm(p) – Cr(p) – f.

m (p)

Q.2. Cr(p) U(p) +

ε(p) -

I(p) 1 R + L. p

Cm(p) Kt

-

1 J.p + f

+

E(p)

m(p)

Ke

AB CDAEBEA E A EB Q.1. q(t)=k0.α(t)

d θ1 (t ) = k1.q (t ) dt d θ (t ) = k2 .θ1 (t ) θ (t ) + τ 2 . dt

θ1 (t ) + τ 1.

D

→

Q(p)=k0.α(p)

→

θ1 ( p).(1 + τ 1. p ) = k1.Q( p)

→

θ ( p).(1 + τ 2 . p ) = k2 .θ1 ( p)

A EB B

FF

B

Q.2. Représenter le système par un schéma-bloc faisant intervenir les 3 blocs précédemment définis.

α(p)

k0

Q(p)

k1 1 +τ 1 . p

θ1(p)

k2 1 +τ 2 . p

θ(p)

Q.3. θc(p)

ε(p)

Transducteur

T(p)

+

Correcteur

Moteur

K 1+τ . p

Kc

Umes(p)

Q(p)

α(p)

Um(p)

Uc(p)

k0

θ1(p) k1 1 +τ 1 . p

k2 1 +τ 2 . p

Capteur

Kmes

Q.4. On a Umes(p)=Kmes.θ(p) et Uc(p) = T(p).θc(p) d’où : ε(p)=Uc(p) – Umes(p) = T(p).θc(p) – Kmes.θ(p) = 0 → si θc(p) = θ(p) alors T(p) = Kmes = 0,02.

12

θ(p)

F


D B EB F A Par définition :

(f(t)) = F(p) = ∫

0

(e .u(t)) = ∫

-at

-at

e .u(t) :

∞

∞

F

E B EB

FF

B

f(t).e-pt.dt

e .u(t).e .dt = ∫ -at

0

EB B

-pt

∞

∞

  1 1 .e- (p + a)t  = .u(t).dt = −  p+a 0 p + a

-(p+a)t

e

0

cos(ω ωt).u(t) : Rappel : On a e jωt = cos(ωt) + j.sin(ωt) et e-jωt = cos(ωt) – j.sin(ωt)

e jωt − e-jωt e jωt + e-jωt soit : cos(ωt) = et sin(ωt) = et en exploitant le résultat de 2j 2 e jωt + e-jωt 1 .u(t)) = (cos(ωt).u(t))= ( On a : 2 2 1  1 1  p + (cos(ωt).u(t)) = . =  2 2  p − jω p + jω  p + ω 2 sin(ω ωt).u(t) :

=

( e jωt .u(t)) +

1 e jωt − e-jωt ( .u(t)) = 2j 2j

(sin(ωt).u(t)) =

1 2

(e-at.u(t))

( e-jωt .u(t))

( e jωt .u(t)) –

1 2j

( e-jωt .u(t))

1  1 1  ω − . =  2 2 j  p − jω p + jω  p + ω 2

Par la définition la tache est plus ardue : On pose x(t) = sin(ωt).u(t) → X(p) = ∫

∞

0

sin(ωt).u(t).e-pt.dt

On calcule cette intégrale par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e-pt et v = sin(ωt) ) ∞

p  1  X(p) = − . cos ωt.e − pt  + − ω  ω 0

∫

∞

0

cos(ωt).u(t).e-pt.dt

L’intégrale restante peut aussi se calculer par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e-pt et v = cos(ωt) ) X(p) =

X(p) =

1

ω 1

ω

−

−

∞ p 1 p p ∞ − pt  − . ∫ sin(ωt).u(t).e-pt.dt . sin t . e ω   ω ω 0 ω ω 0

p2

p2

1

ω

ω

ω

. (1 + 2 X(p) →

) 2 .X(p) =

→

p2 + ω 2

ω

13

2

.X(p) =

1

ω

→ X(p) =

ω p + ω2 2

F


e-at.sin(ω ωt).u(t) : (e-at.sin(ωt).u(t)) = ωt).u(t) : e-at.cos(ω (e-at.cos(ωt).u(t)) =

→On utilise le Thm de l’amortissement:

(e

p+a →On utilise le Thm de l’amortissement: ( p + a )2 + ω 2

(e

ω

( p + a) + ω 2

2

D B EB F A

F

E B A EF E B B

FF

-at

)

. f (t ) = F ( p + a )

-at

B

Calculer la transformée inverse des fonctions suivantes : K1 • F1 ( p ) = ( p + a )(. p + b )

K1 α β = + ( p + a )(. p + b ) ( p + a ) ( p + b ) K1 Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a : =α (− a + b ) K1 Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b : =β (− b + a ) K1 1 K1 1 K1 K1 F1 ( p ) = . + . .e − at + .e − bt → f1 (t ) = (b − a ) ( p + a ) (a − b) ( p + b ) (b − a ) (a − b ) K2 • F2 ( p) = p.(1 + τ . p ) α β K2 On décompose en éléments simples : F2 ( p) = = + p.(1 + τ . p ) p (1 + τ . p ) Calcul de α : On multiplie par (p) et p→ 0 : K 2 = α 1 Calcul de β : On multiplie par (1 + τ.p) et p→ − : F2 ( p) = − K 2 .τ = β On décompose en éléments simples : F1 ( p) =

τ

− K2 K 2 .τ K K2 − = 2− → f 2 (t ) = K 2 − K 2 .e τ p (1 + τ . p ) p  1   + p τ  K3. p • F3 ( p ) = ( p + a )(. p + b) α β K3. p = + On décompose en éléments simples : F3 ( p) = ( p + a )(. p + b ) ( p + a ) ( p + b ) − K 3 .a Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a : =α (− a + b ) − K 3 .b Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b : =β (− b + a ) K .a 1 K .b 1 K .a K .b F3 ( p) = 3 . + 3 . → f3 (t ) = 3 .e − at + 3 .e − bt (a − b ) ( p + a ) (b − a ) ( p + b ) (a − b ) (b − a ) t

F2 ( p ) =

•

F4 ( p ) =

K4. p2 ( p − 1)2 .( p + 1)

14

)

. f (t ) = F ( p + a )

F


On décompose en éléments simples : F4 ( p ) =

K4. p2 α β γ = + + 2 2 ( p − 1) .( p + 1) ( p − 1) ( p − 1) ( p + 1) K K 4. p2 =α → 4 =α ( p + 1) 2

Calcul de α : On multiplie par (p – 1)2 et p→ 1 :

K K4 . p2 =γ → 4 =γ 2 4 ( p − 1) Calcul de β : On prend une valeur particulière pour p car on connait α et γ, on choisit ici par 3 exemple p=0. → 0 = α − β + γ → β = α + γ → β = .K 4 4 K K 1 1 1 3.K 4 K 3.K 4 t K 4 −t + + 4. F4 ( p) = 4 . . .e + .e → f 4 (t ) = 4 .t.et + 2 4 ( p − 1) 4 ( p + 1) 2 ( p − 1) 4 4 2 3p +1 • F5 ( p) = ( p − 1). p 2 + 1 α β.p + γ 3p +1 = + 2 On décompose en éléments simples : F5 ( p) = 2 ( p − 1). p + 1 ( p − 1) p + 1 3p +1 Calcul de α : On multiplie par (p – 1) et p→ 1 : 2 =α → 2 =α p +1 Calcul de β et γ: On identifie : 3 p + 1 = α . p 2 + α + β . p 2 + γ . p − β . p − γ → α + β = 0 soit β = −2 et γ − β = 3 soit γ = 1 2 − 2. p + 1 2 − 2. p 1 → f 5 (t ) = 2.e t − 2. cos(t ) + sin(t ) F5 ( p) = + = + 2 + 2 2 ( p − 1) p + 1 ( p − 1) p + 1 p + 1 Calcul de γ : On multiplie par (p + 1) et p→ –1 :

(

)

(

(

)

AB DB

(

B DBFE

F B

(

)

) (

)

(

DFB B FF B

f1(t)

f(t)

)

)

AB EB

A D BB

f3(t)

f2(t)

Rampe 2.t.u(t) retardée de 2s 4

4

=

+

4

+

Echelon 4.u(t)

0

2

t

0

t

0

2

t 0

2

Rampe -2.t.u(t)

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) → F(p) = F1(p) + F2(p) + F3(p) =

15

4 2 2 − 2 + 2 .e − 2 p p p p

t

F


g(t) G(p) = F(p) + F(p) .e −3 p + F(p) .e −6 p +…. Soit G(p) = F(p).

1 4 2 2 avec F(p)= − 2 + 2 .e − 2 p −3 p 1− e p p p

4

0

2

t

On fait une approximation linéaire en utilisant un développement limité d'ordre 1, ce qui permet d’écrire : 1 1 + e −3 p + e −6 p +…. = 1 − e −3 p

G(p) = F(p) + F(p) .e −3 p + F(p) .e −6 p +…. Soit G(p) = F(p).

1 4 2 2 avec F(p)= − 2 + 2 .e − 2 p −3 p 1− e p p p

On peut résoudre le problème en remarquant que l’on a une suite géométrique de raison r= e −3 p : 1 − r n +1 1 Sn = F ( p ). soit quand n→∞ : Sn→∞ = F ( p ). 1− r 1 − e −3 p

16

F


AB CDAEB EF

A EB C

AB

(Inspiré de CCP MP 2009) Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir contrôler en permanence ses évolutions dans l’espace suivant trois directions ou axes : • l'axe de lacet (vertical) ; • l'axe de roulis (horizontal et dans la direction de la marche) ; • l'axe de tangage (horizontal et perpendiculaire à la marche).

Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux types de commandes : •

les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol et qui permettent de contrôler l’évolution de l’avion autour de ses axes de référence : la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet, les ailerons et les spoilers pour le roulis, les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.

•

Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui permettent de modifier la configuration aérodynamique de l’avion : Les hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance, les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.

L’Airbus A 380 est équipé de quatre gouvernes de profondeur disposées symétriquement sur le plan horizontal réglable (PHR) de l’avion. Chaque gouverne de profondeur est reliée au PHR par des charnières et est mis en rotation par une unité de commande constituée de deux actionneurs : • •

une servocommande (SC), actionneur principal relié au circuit hydraulique de l’avion; un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur électro-hydrostatique), utilisé comme organe de sécurité en cas de défaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal. 17

F


Ces unités de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur. Gouverne Extérieure Droite Gouverne Intérieure Droite Gouverne Intérieure Gauche PHR Gouverne Extérieure Gauche

Unité de commande

Charnières Actions aérodynamiques

PHR Gouverne Vérin

Tige du vérin

Fixation à la gouverne

Accumulateur Capteur inductif de position

Servo-distributeur

Fixation au PHR Alimentation hydraulique

Servocommande de l’unité de commande Les consignes émises par le pilote à l’aide du joystick ou par le pilote automatique sont transmises aux ordinateurs de commande de vol. Ces derniers déterminent, en fonction de lois de pilotage prenant en compte un certain nombre de paramètres (altitude, vitesse, etc.), les mouvements des gouvernes limitant éventuellement les évolutions de l'avion à son enveloppe de vol, c'est-à-dire aux régimes et attitudes sûrs.

Position gouverne Joystick

Ordinateur de commande de vol (PRIM/SEC)

Pilote automatique

Position actionneur

Actions aérodynamiques

Consigne Gouverne

de position PHR Autres informations

Energie Energie électrique electrique ou ou hydraulique hydraulique

18

F


Etude de la servocommande : uc(t)

Amplificateur différentiel

us(t)

Schéma de structure simplifié de la servocommande :

i(t) Servodistributeur q(t)

x(t) Gouverne Capteur de position

Les différentes équations temporelles qui modélisent le fonctionnement du système sont : i (t ) + us(t) Ka

•

Amplificateur différentiel : uc(t) =

•

Débit dans le vérin dans le cas d’une hypothèse de fluide incompressible : q(t) = S .

• •

Capteur de position : us(t) = Kc.x(t) Le servo-distributeur est un composant de la chaine de commande conçu pour fournir un débit hydraulique q(t) proportionnel au courant de commande i(t). (Attention, valable uniquement en régime permanent) Le constructeur fournit sa fonction de transfert : Q( p) Kd F ( p) = = où Kd est le gain du servo-distributeur et T sa constante de temps. I ( p) 1 + T . p

d x(t ) dt

1. Modélisation dans l’hypothèse de fluide incompressible Q1.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q1.3. Regrouper les schémas-blocs partiels afin de représenter le comportement de la servocommande. Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner à chaque fois la classe et l’ordre. X ( p) • Fonction de transfert du vérin non asservi : A1(p) = Q( p) X ( p) • Fonction de transfert de la chaine directe : C(p) = ε ( p) U ( p) • Fonction de transfert boucle ouverte du système : G(p) = s ε ( p) X ( p) • Fonction de transfert boucle fermée du système : H(p) = U c ( p) 19

F


2. Modélisation dans l’hypothèse de fluide compressible Dans cette hypothèse, le modèle de connaissance du système est modifié : d x(t ) V d ∆p (t ) • L’équation de débit dans le vérin devient : q(t) = S . . + où p(t) représente la dt 2 .B dt différence de pression entre les 2 chambres du vérin, V est le volume total de fluide dans le vérin (V est constant) et B est le coefficient de compressibilité du fluide hydraulique (pour un fluide incompressible B→∞). • Effort moteur sur le piston : Fm(t) = S .∆p (t ) • Principe fondamental de la dynamique appliqué sur la tige de vérin : d 2 x(t ) d x(t ) Fm(t) – Fr(t) − f . = m. où Fr(t) représente l’effort résistant sur la tige du vérin, dt 2 dt effort qui sera considéré comme une perturbation et f représente le frottement visqueux. Q2.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Q2.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q2.3. Regrouper les schémas-blocs partiels. Afin de représenter le comportement de du vérin nonasservi (grandeur d’entrée Q(p), grandeur de sortie X(p)). Le schéma-bloc contiendra un retour et une perturbation. X ( p) , en supposant Q( p) que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner à chaque fois la classe et l’ordre de A2(p).

Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vérin non asservi : A2(p) =

Q2.5. Quelle est la modification apportée par le modèle de fluide incompressible ?

EF

E B C

FEB E B

B

Calculer les fonctions de transfert des schémas blocs suivants :

E(p) E(p) +

S(p)

-

A(p)

B(p)

+

-

D(p)

C(p) E2(p) E1(p) +

A(p) -

+

B(p) -

20

+

C(p)

S(p)

F


AB CDAEB EF

A EB C

AB B

FF

B

1. Modélisation dans l’hypothèse de fluide incompressible Q1.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. i (t ) + us(t) Ka d x(t ) q(t) = S . dt us(t) = Kc.x(t)

uc(t) =

I ( p) + Us(p) Ka

→

Uc(p) =

→

Q(p) = S.p.X(p)

→

Us(p) = Kc.X(p)

Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel.

Uc(p) =

ε(p)

Uc(p)

I ( p) + Us(p) Ka

→

+

Ka

-

I(p)

Us(p) Q(p)

Q(p) = S.p.X(p)

→

Us(p) = Kc.X(p)

→

X(p)

→

I(p)

F ( p) =

Kd Q( p) = I ( p) 1 + T . p

X(p)

1 S. p

Us(p)

Kc

Kd 1+ T . p

Q(p)

Q1.3. Regrouper les schémas-blocs partiels afin de représenter le comportement de la servocommande.

ε(p)

Uc(p) +

-

Ka

I(p)

Kd 1+ T . p

Q(p)

1 S. p

X(p)

Us(p) Kc Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner à chaque fois la classe et l’ordre.

X ( p) 1 = Classe 1, ordre 1. Q( p ) S . p X ( p) K a .K d = Classe 1, ordre 2. C(p) = ε ( p) (1 + T . p).S . p A1(p) =

21

F


U s ( p) K a .K d .K c = Classe 1, ordre 2. ε ( p ) (1 + T . p).S . p K a .K d .K c K a .K d .K c X ( p) 1 1 (1 + T . p).S . p H ( p) = . = . = K c (1 + T . p).S . p + K a .K d .K c U c ( p ) K c 1 + K a .K d .K c (1 + T . p).S . p X ( p) 1 1 Classe 0, ordre 2. H ( p) = = . S S .T U c ( p) Kc 1 + 2 + .p .p K a .K d .K c K a .K d .K c

G(p) =

2. Modélisation dans l’hypothèse de fluide compressible Q2.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. d x(t ) V d ∆p (t ) . + dt dt 2 .B Fm(t) = S .∆p (t )

q(t) = S .

Fm(t) – Fr(t) − f .

d x(t ) d 2 x(t ) = m. dt dt 2

V . p.∆P ( p ) 2.B

→

Q(p) = S . p. X ( p ) +

→

Fm(p) = S .∆P ( p )

→

Fm(p) – Fr(p) − f . p. X ( p ) = m. p 2 . X ( p )

Q2.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q ( p ) − S . p. X ( p ) =

V . p.∆P ( p ) 2. B

Q(p)

ε(p)

→

+

-

(p)

2. B V.p

X(p)

S.p

Fm(p) = S .∆P ( p )

(p)

→

Fm(p)

S

Fr(p) Fm(p) – Fr(p) = ( f . p. + m. p 2 ). X ( p)

Fm(p) →

-

1 f . p. + m. p 2

+

X(p)

Q2.3. Regrouper les schémas-blocs partiels.

Fr(p) Q(p)

ε(p) +

-

2.B V .p

(p)

Fm(p) S

S.p

22

+

1 f . p. + m. p 2

X(p)

F


X ( p) , en supposant Q( p) que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner à chaque fois la classe et l’ordre de A2(p). Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vérin non asservi : A2(p) =

2.B.S 2 / V 2.B.S .S . p X ( p) 2.B.S 2 / V 1 1 1 V . p.( f . p + m. p 2 ) ( f . p + m. p 2 ) = = = A2(p) = . . . 2.B.S .S . p 2.B.S 2 / V Q( p) S. p S . p f . p + m. p 2 + 2.B.S 2 / V S. p 1 + 1+ V . p( f . p + m. p 2 ) ( f . p + m. p 2 ) A2(p) =

1 1 . S . p 1 + V . f . p + V .m . p 2 2.B.S 2 2.B.S 2

Classe 1, ordre 3.

Q2.5. Quelle est la modification apportée par le modèle de fluide incompressible ? X ( p) 1 = Classe 1, ordre 1. Q( p ) S . p 1 1 . A2(p) = Classe 1, ordre 3. S . p 1 + V . f . p + V .m . p 2 2.B.S 2 2.B.S 2

A1(p) =

L’hypothèse fluide incompressible améliore le modèle mais augmente l’ordre du système et ainsi complexifie les calculs. Remarque : si B→∞ (fluide incompressible)

EF

E B C

1 1 1 → . V . f V . m S. p 1 + S. p .p + . p2 2.B.S 2 2.B.S 2

FEB E B

BB

FF

B

E(p) E(p) +

A(p) -

S(p)

-

B(p)

+ C(p)

Déplacement du point de prélèvement E(p).D(p)

E(p) +

A(p) -

D(p)

Boucle 1 S(p)

-

B(p)

+ C(p)

23

D(p)

F


Calcul de la FBTF de la boucle 1 : H1 ( p ) =

1 B ( p ).D ( p ).E ( p ) B( p) . = E ( p ).D ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p )

Boucle 2 S(p)

E(p) +

H1(p)

A(p)

D(p)

C(p)

Calcul de la FBTF de la boucle 2 : B( p) 1 A( p ).C ( p ).H1 ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) . H 2 ( p) = = B( p) C ( p ) 1 + A( p ).C ( p ).H1 ( p ) 1 + A( p ).C ( p ). 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) A( p).B( p) H 2 ( p) = 1 + B( p).D( p).E ( p) + A( p).B( p).C ( p) A( p ).

S(p)

E(p)

H2(p)

Calcul de la FBTO : H ( p) =

D(p)

S ( p) A( p).B( p).D( p) = H 2 ( p).D( p) = E ( p) 1 + B( p).D( p).E ( p) + A( p).B( p).C ( p)

E2(p) E1(p) +

A(p) -

+

B(p) -

+

C(p)

On utilise le théorème de superposition : on calcule les fonctions de transfert du système E2(p)=0 et

S(p)

S ( p) pour E1 ( p )

S ( p) pour E1(p)=0. E2 ( p )

Cas E2(p)=0 : Boucle 1 E1(p)

+

A(p)

-

+

B(p)

-

24

C(p)

S(p)

F


Calcul de la FBTF de la boucle 1 : H1 ( p ) =

E1(p) +

B( p) 1 + B( p)

A(p)

H1(p)

S(p)

C(p)

Boucle 2

B( p) .C ( p) A( p).H1 ( p).C ( p) 1 + B( p) Calcul de la FBTF de la boucle 2 : H 2 ( p) = = 1 + A( p).H1 ( p).C ( p) 1 + A( p). B( p) .C ( p) 1 + B( p ) A( p).B( p).C ( p) H 2 ( p) = 1 + B( p) + A( p).B( p).C ( p) A( p).

Cas E1(p)=0 : Déplacement du sommateur

+

E2(p)

A(p)

+

-

E2(p) -

B(p)

C(p)

+

-

S(p)

1 A( p).B ( p ) -

+

A(p) -

+

B(p) -

En utilisant les résultats du cas E2(p)=0, on retrouve : E2(p) 1 A( p).B ( p ) -

H2(p)

S(p)

Avec H 2 ( p ) =

A( p ).B ( p ).C ( p ) 1 + B( p) + A( p ).B ( p ).C ( p )

D’où : S ( p) =

A( p).B( p).C ( p) C ( p) .E1 ( p) + .E2 ( p ) 1 + B ( p ) + A( p ).B ( p ).C ( p) 1 + B ( p ) + A( p).B ( p ).C ( p )

25

C(p)

S(p)

F


AB CDEF D BCD

C

B

B

(Inspiré de Centrale-Supelec MP 2008)

La figure de droite montre l’interface assurant, à partir des informations délivrées par l’unité centrale de commande, la fermeture hermétique et le verrouillage d’une porte de TGV. Afin de satisfaire les contraintes d'encombrement, l'ouverture de la porte s'effectue selon l'enchaînement temporel de trois phases distinctes décrites à partir de la position « porte fermée » pour laquelle la face extérieure de la porte est alignée avec la face extérieure de la caisse : une phase de décalage puis une phase de louvoiement et enfin une phase d'escamotage. La phase primaire (décalage) puis la phase terminale (escamotage) sont définies par les figures ci-contre. Les performances annoncées de la part du constructeur, dans la phase d'escamotage, sont les suivantes : Performance Accès suffisant du wagon Temps d'ouverture de la porte en phase d’escamotage Vitesse d’accostage de la porte en fin de phase d’escamotage

Valeur 850 mm t≤4s V≤0,09m/s

Pour ouvrir la porte, on utilise un moteur, dont la rotation est transformée en translation par l'intermédiaire d'un système pignon crémaillère. La translation de la porte est notée y(t). L'angle de rotation du moteur est noté θm(t). Le lien entre y(t) et θm(t) est y(t) = R.θm(t) où R est le rayon du pignon (R=37 mm). On fait l'hypothèse qu'à l'instant initial, correspondant au début de la translation de la porte, la porte est immobile, avec y(t=0)=0 et θm(t=0)=0 (toutes les autres conditions initiales seront également nulles, par conséquent). Grâce à une redéfinition du paramétrage et dans un souci de simplification, on considère qu'au cours d de cette phase la vitesse angulaire du moteur vérifie ωm(t) ≥ θm(t) et la position de la porte vérifie dt y(t)≥0. 26

F


Le moteur à courant continu qui commande l'ouverture de la porte est géré par les équations suivantes : d ω (t ) u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) J . m = Cm(t) Cm(t) = km.i(t) dt Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre électromotrice du moteur ; i(t) = intensité dans le moteur Cm(t) = couple exercé par le moteur ; ωm(t) = vitesse angulaire du moteur. Q.1. Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Q.2. Schématiser le schéma-bloc du moteur en s’aidant des équations de la question 1. Q.3. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et U(p) peut s'écrire sous la Ω ( p) K où K et T sont deux constantes à déterminer. = forme : m U ( p) 1 + T . p Q.4. Déterminer ωm(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0 tel que : um(t)= u0.u(t). Exprimer et justifier le résultat en fonction de K et T. Q.5. L'application numérique fournit K=1,2s−1.V−1 et T=0,16s. Déterminer le temps de réponse à 5% du moteur. Le schéma bloc du système peut se mettre sous la forme suivante : Um(p)

K 1+ T.p

m(p)

Q.6. Justifier la fonction de transfert entre Q.7. Déterminer l'expression analytique de

m(p)

1 p

θm(p)

Y(p) R

et θm(p).

Y ( p) . U m ( p)

Q.8. Déterminer l'expression analytique de y(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0. Q.9. Déterminer la valeur numérique du déplacement de la porte au bout de 4 s (u0=5V), et conclure quant à la capacité du système à satisfaire le critère d'accès au wagon du cahier des charges. d y(t=4s)). Conclure quant dt à la capacité du système à satisfaire le critère de vitesse finale de translation de la porte du cahier des charges.

Q.10. Déterminer la vitesse de la porte à la fin de la translation (v(t=4s)=

27

F


AB CDEF

CB B F B B D E

DE

B

(Inspiré de X-ENS PSI 2005) Antenne basses fréquences La mission Mars Exploration Rover (MER) est une mission spatiale confiée à la NASA. Elle a Système Pancam pour but d’explorer les sols de la planète Mars Antenne hautes fréquences pour y rechercher la présence ancienne et Panneau solaire Tête périscopique prolongée d’eau. Cette exploration est réalisée Bras articulé grâce à deux rovers automatiques lancées depuis Cap Canaveral. Le premier rover se nomme robot Spirit. Il a été lancé le 10 juin 2003 et s’est posé Corps Outils le 3 janvier 2004 dans le cratère Gusev. Le second rover se nomme robot Opportunity, il a été lancé le 8 juillet 2003 et s’est posé le 24 Roues janvier 2004 sur Meridiani Planum. Pour faire avancer le robot, les six roues de Spirit sont équipées de motoréducteurs (le motoréducteur est un composant constitué d'un moteur, qui génère un mouvement de rotation, et d'un réducteur, qui réduit la vitesse de rotation du moteur par des engrenages) afin de faire tourner les roues. Le codeur incrémental permet de mesurer la rotation du moteur.

Les performances annoncées de la part du constructeur sont les suivantes :

Le motoréducteur peut se représenter par le schéma bloc suivant :

Performances Vitesse de déplacement Pente du sol Temps de réponse à 5%

Valeur 1 km en moins de 2 heures +/- 30° <200 ms

Um(p)

c(p)

+

m(p)

H(p)

G(p)

-

Q.1. Déterminer le nom des composants qui réalisent les fonction H(p) et G(p). Q.2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système :

Ω r ( p) . Ω c ( p)

Les équations du moteur utilisé (moteur à courant continu) sont les suivantes :

28

r(p)

F


d ωm (t ) = Cm(t) – f.ωm(t) Cm(t) = km .i(t) dt Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre électromotrice du moteur ; i(t) = intensité dans le moteur Cm(t) = couple exercé par le moteur ; ωm(t) = vitesse angulaire du moteur. Les grandeurs physiques R, L, ke, f et km sont des constantes.

u(t) = e(t) + R.i(t)

e(t) = ke.ωm(t)

J.

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera également supposé dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et Um(p) peut s'écrire sous la Ω ( p) Km = où Km et Tm sont deux constantes à déterminer. forme : m U m ( p ) 1 + Tm . p L'application numérique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction suivante : K Ω r ( p) , avec K=1 et T=0,05s. = Ω c ( p) 1 + T . p

Q.5. Déterminer ωr(t) lorsque l’ordinateur du robot demande un échelon de rotation ωc(t) = ωc0.u(t). Exprimer le résultat en fonction de K et T. Q.6. Déterminer le temps de réponse à 5% du système et effectuer l’application numérique. Conclure quant à la capacité du robot à satisfaire la performance de temps de réponse. Q.7. Le robot, initialement immobile, bouge selon le déplacement xr(t) tel que est rayon de la roue (R=constante). Déterminer Xr(p) en fonction de

d xr(t)=R. ωr(t) où R dt

r(p).

Q.8. Toujours dans le cas où l'ordinateur du robot demande un échelon de rotation ωc(t) = ωc0.u(t), déterminer la transformée de Laplace de Xr(p) et en déduire xr(t). La vitesse angulaire que l'ordinateur du robot impose est ωc0=2rad.s−1. Le rayon de la roue est R=10cm.

Q.9. Déterminer le temps que met le robot à parcourir 1 km, en négligeant la fonction exponentielle présente dans xr(t). Justifier a posteriori que la fonction exponentielle était bien négligeable. Conclure quant à la capacité du robot à satisfaire la performance de vitesse de déplacement.

29

F


AB CDEF D BCD Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) J.

d ωm (t ) = Cm(t) dt

Cm(t) = km.i(t)

C

→

U(p) = E(p) + R.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

B B

B

m(p)

= Cm(p)

Q.2. Cm(p)

I(p) U(p) +

1/R

-

km

1 J. p

m(p)

E(p) ke

k m .ke Ω ( p ) 1 R.J . p 1 k m .ke 1 1 K 1 R.J avec K= et T= Q.3. m = . = . = . = U ( p) ke 1 + km .ke ke R.J . p + km .ke ke 1 + R.J . p 1 + T . p ke k m.k e R.J . p km .ke  − Q.4. ωm (t ) = K .u0 .1 − e  

t T

 .u (t ) → voir cours réponse indicielle 1er ordre  

Q.5. tr5% = 3.τ =0,48s avec τ = T = 0,16s. → voir cours réponse indicielle 1er ordre Q.6.

m(t)=

Q.7. FTBO :

d θm(t) → utilisation de la fonction de transfert intégration. dt Y ( p) R K == . U m ( p) p 1+ T.p

Q.8. Y ( p) = =

37.10−3 1,2 1 44,4.10−3.U 0 . . U m ( p) = 2 . p 1 + 0,16. p p 1 + 0,16. p

t   − 0 ,16   → y (t ) = 44,4.10 .U 0 . t − 0,16 + 0,16.e .u (t ) → voir cours réponse à une rampe 1er ordre     La réponse à un échelon d’un système en boucle ouverte comprenant un intégrateur est une rampe infinie.

−3

30

F


 − Q.9. y (t = 4) = 44,4.10 − 3 × 5. 4 − 0,16 + 0,16.e  

4 0 ,16

 .u (t ) =0,850m → C.d.C.F. ok  

4 t     − − d y (t ) −3 −3 0 ,16  0 ,16    .u (t ) → y (t = 4) = 44,4.10 × 5. 1 − e .u (t ) =0,22m/s Q.10. = 44,4.10 .U 0 . 1 − e     dt     Valeur supérieure au C.d.C.F.(0,09m/s) → il faut modifier la loi d’entrée pour répondre au C.d.C.F.

AB CDEF B B

CB B D E

F

DE

B

B

Q.1. H(p) : moteur et G(p) : réducteur à engrenages. Q.2.

Ωv ( p) H ( p ).G ( p ) = Ω c ( p ) 1 + H ( p ).G ( p )

Q.3. u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) J.

d ωm (t ) = Cm(t) – f.ωm(t) dt

Cm(t) = km.i(t)

→

U(p) = E(p) + R.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

m(p)

= Cm(p) – f.

m(p)

km .ke Ω ( p ) 1 R.( J . p + f ) 1 km .ke 1 k m .ke Q.4. m = . = . = . km .ke U m ( p ) ke 1 + ke R.( J . p + f ) + km .ke ke R.J . p + f .R + km .ke R.(J . p + f ) km .ke Ωm ( p) 1 Km km R.J f .R + km .ke = . = avec Km= , Tm = = . R.J U m ( p ) ke 1 + 1 + T . p f . R + k . k f . R + k . k m m e m e .p f .R + km .ke Cm(p)

I(p) Um(p) +

1 R

-

km

E(p) ke

K Ω r ( p) , avec K=1 et T=0,05s. = Ω c ( p) 1 + T . p

31

1 J.p + f

m(p)

F


 − → système du 1er ordre → ωr(t) = K .ωc 0 .1 − e  p  er Q.6. t5% = 3.τ avec τ = T. → voir cours réponse indicielle 1 ordre t5%= 0,15s <200ms C.d.C.F. ok. Q.5. ωc(t) = ωc0.u(t) →

Q.7.et 8.

d xr (t ) = R.ωr (t ) dt +

ωc0

→

Um(p)

c(p)

Xr(p) =

c(p) =

H(p)

c(p)

→

 .u (t )  

p.Xr(p) = R. r(p)

m(p)

G(p)

r(p)

-

R K . . p 1+ T.p

t T

Xr(p) =

R p

Xr(p)

R KT ω . c0 . p 1 + TT . p p

 − → Réponse d’un système du premier ordre à une rampe : xr (t ) = R.K .ωc 0  t − T + T .e   er → voir cours réponse à une rampe 1 ordre

t T

 .u (t )  

Q.9. xr (t1 ) = R.K .ωc 0 (t1 − T ).u (t ) = 1000 m

xr (t1 ) = 10.10−2 × 1 × 2(t1 − 0,05) = 1000 → t1=5000s < 7200s du C.d.C.F. → C.d.C.F. ok.

t1=5000s est très grand et lim xr (t ) = R.K .ωc 0 (t1 − T ).u (t ) → on peut donc négliger l’exponentielle. t→∞

32

F


AA BCDAA E F

F

FD

F

DB

(Inspiré d’E3A PSI 2007) Le support de l’étude est une « unité dentaire » dont on donne un extrait de cahier des charges fonctionnel. Cet équipement a été conçu et réalisé dans le but d’une adaptabilité maximale aux différentes méthodes de travail des chirurgiens dentistes. Son ergonomie, sa maniabilité, son design, sa fiabilité en font une « unité universelle ». Sa conception est modulaire, avec une technologie avancée. Le chirurgien dentiste possède une pédale et un pupitre de commande, qui lui permet de montrer ou descendre verticalement le corps du patient, de l'incliner plus ou moins, et de positionner sa tête. Le patient pouvant prendre une position spatiale pertinente, tous les actes médicaux sont facilités.

FS1 Unité dentaire FS2

FS1 : Permettre au chirurgien dentiste de positionner de patient FS2 : S’adapter au sol FS3 : Etre alimenté en énergie pneumatique FS4 : Etre alimenté en énergie électrique

Chirurgien dentiste

Patient

FS4

FS3 Energie pneumatique Fonction

Sol

FS1 Energie électrique

Critère … Temps de réponse à 5% du système de mise en position verticale …

Niveau … < 0,5 s

…

On s'intéresse dans ce sujet au critère de la FS1 concernant le temps de réponse du système permettant de mettre en position verticale le patient. Pour régler le patient en position verticale, le chirurgien dentiste appuie sur une pédale, plus ou moins fort. Un moteur électrique se met en route, sa vitesse de rotation dépendant de l'appuie plus ou moins profond du chirurgien dentiste sur la pédale. La vitesse de rotation du moteur est diminuée par un réducteur à engrenages. En sortie du réducteur à engrenages se trouve une vis, dont la rotation v(p) entraîne, par un système vis écrou, la translation du siège en hauteur. L'ensemble peut se représenter par le schéma bloc suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) : m(p)

U(p) c(p)

+

-

H(p)

C(p)

G(p)

Q.1. Déterminer le nom des composants qui réalisent les fonction H(p) et G(p). Q.2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système :

33

Ω v ( p) Ω c ( p)

v(p)

F


Les équations du moteur utilisé sont les suivantes : u(t) = e(t) + R.i(t)+ L.

d i (t ) dt

e(t) = ke.ωm(t)

J.


Cm(t) = km.i(t)

Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre électromotrice du moteur ; i(t) = intensité dans le moteur Cm(t) = couple exercé par le moteur ; ωm(t) = vitesse angulaire du moteur. Les grandeurs physiques R, L, ke, J, f et km sont des constantes.

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera également supposé dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et U(p) peut s'écrire sous la Ω ( p) K = où K, z et ω0 sont trois constantes à déterminer. forme : m 2 . z 1 2 U ( p) (1 + p+ p )

ω0

ω0 2

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numérique des grandeurs physiques permet de KT Ω ( p) trouver la fonction suivante : v , avec KT=0,9 et TT=0,1s = Ω c ( p ) 1 + TT . p

Q.5. Déterminer ωv(t) lorsque le chirurgien dentiste demande un échelon de rotation ωc(t) = ωc0.u(t). Exprimer le résultat en fonction de ωc0, KT et TT. Q.6. Déterminer le temps de réponse à 5% du système et effectuer l’application numérique. Conclure vis-à-vis du cahier des charges.

Le patient, initialement immobile, bouge verticalement selon le déplacement xv(t) tel que : d xv (t ) = a.ωv (t ) avec a=constante qui représente le pas réduit de la vis. dt

Q.7. Déterminer la transformée de Laplace Xv(p) de xv(t). Q.8. Déterminer xv(t) en fonction de a, KT et TT et ωc0. Si on utilise un correcteur proportionnel, dérivé et intégral, l'application numérique des grandeurs Ω ( p) 1 = physiques permet de trouver la fonction suivante : v Ω c ( p ) 1 + 2. p + p 2

Q.9. Déterminer ωv(t) lorsque le chirurgien dentiste demande un échelon de rotation ωc(t) = ωc0.u(t). Q.10. Déterminer si le temps de réponse à 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas précédent. Conclure vis-à-vis du cahier de charges.

34

F


B

FA

B

D

A

Le support d'étude est un préhenseur de pièces. Il permet à l'utilisateur de prendre des pièces pour les déplacer. L'application illustrée sur l'image ci-dessous et la prise de bouteilles plastiques sur un tapis roulant, afin de les trier pour faire du recyclage.

L'objectif de cette étude est de vérifier les performances de la fonction FS1, décrites dans le cahier des charges de ce système. On réalise l'asservissement de la position angulaire d'un bras du préhenseur de pièces, selon le schéma bloc qui suit (l'angle du bras est θb(t), l'angle consigne est θc(t)). UM(p)

Uc(p)

θc(p) K1

+

V(p)

θV(p)

X(p) θb(p)

K2

-

H4(p)

H3(p)

VM(p)

K5

K6

K7

Avec : K1, K2, K5, K6, K7 : constantes, θC(p) : angle de consigne, UC(p) : tension consigne, UM(p) : tension moteur, V(p) : vitesse angulaire de la vis, θV(p) : angle de la vis, X(p) : déplacement de l'écrou, θb(p) : position angulaire du bras, VM(p) : tension mesurée image de θb(p). Q.1. Déterminer le lien entre K1 et K7 pour que θb(p) soit asservi sur θc(p). La fonction de transfert H3(p) est réalisée par un moteur, dont les équations de comportement sont : d ω (t ) CM(t) = kM.i(t) e(t) = ke.ωV(t) J . V = CM(t) uM(t) = e(t) + R.i(t) dt Avec : uM(t) : tension aux bornes du moteur (en V), e(t) : force contre-électromotrice (en V), i(t) : intensité (en A), ωV(t) : vitesse de rotation de la vis en sortie de moteur (en rad/s), CM(t) : couple moteur (en N.m) (un couple est une action mécanique qui tend à faire tourner), J : inertie équivalente

35

F


en rotation de l’arbre moteur (en kg.m2), R : résistance électrique du moteur ( ), ke : constante de force contre-électromotrice (V.rad-1.s), kM : constante de couple (N.m.A-1). Q.2. Déterminer la fonction de transfert H 3 ( p) = forme canonique H3(p) =

ΩV ( p ) . Montrer que H(p) peut se mettre sous la U M ( p)

K3 et déterminer les valeurs littérales K3 et T3. (1 + T3. p)

Q.3. Déterminer ωV(t) lorsque lorsque uM(t) est un échelon de tension d'amplitude U0. Préciser la valeur de ωV(t) à l'origine, la pente de la tangente à l'origine de ωV(t) et la valeur finale atteinte par ωV(t) quand t tend vers l’infini. Q.4. Déterminer la fonction de transfert H4(p). Q.5. Déterminer la fonction de transfert H ( p ) = K

la forme H(p) = (1 +

2. z

ω0

p+

1

ω0 2

θ b ( p) . Montrer que cette fonction peut se mettre sous θ c ( p)

et déterminer les valeurs littérales K, z et ω0 en fonction des 2

p )

constantes fournies. La réponse indicielle de H(p) à un échelon unitaire est donnée sur la figure suivante : θb(t)

t

Q.6. Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, les valeurs numériques de K, z et ω0. Q.7. Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, le temps de réponse à 5%. Conclure quant à la capacité du préhenseur de pièces à vérifier (ou non) le critère de rapidité de la FS1.

36

F


AA BCDAA E F

F

FD

F

DB

BBD

Q.1. H(p) : moteur et G(p) : réducteur à engrenages. Q.2.

Ωv ( p) C ( p ).H ( p ).G ( p ) = Ω c ( p ) 1 + C ( p ).H ( p ).G ( p )

Q.3. u(t) = e(t) + R.i(t) + L.

d i (t ) dt

e(t) = ke.ωm(t) J.


Cm(t) = km.i(t)

→

U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

m(p)

= Cm(p) – f.

m(p)

Q.4. km .ke Ω m ( p ) 1 (R + Lp )( 1 km .ke 1 km .ke . J.p + f ) = . = . = . 2 km .ke U ( p ) ke 1 + ke (R + Lp )( . J . p + f ) + km .ke ke L.J . p + (R.J + L. f ). p + f .R + km .ke (R + Lp )(. J . p + f ) km .ke f .R + km .ke K Ω m ( p) 1 = . = 2. z 1 L.J U ( p) ke 1 + (R.J + L. f ) . p + p + 2 p2 ) . p 2 (1 + ω0 f .R + km .ke f .R + km .ke ω0 avec K=

km , ω0 = f .R + km .ke

1 R.J + L. f f .R + km .ke . et z = . 2 L.J .( f .R + k m .ke ) L.J I(p)

U(p) +

1 R + L. p

-

Cm(p) 1 J.p + f

km

m(p)

E(p) ke

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numérique des grandeurs physiques permet de Ω ( p) KT = trouver la fonction suivante : v , avec KT=0,9 et TT=0,1s Ω c ( p ) 1 + TT . p

 − Q.5. ωc(t) = ωc0.u(t) → → système du 1 ordre → ωv(t) = K T .ωc 0 .1 − e c(p) =  p  er Q.6. t5% = 3.τ = 0,3s (τ = TT= 0,1s) → voir cours réponse indicielle 1 ordre

ωc 0

er

→ C.d.C.F. ok

37

t TT

 .u (t )  

F


Q.7.et 8.

d xv (t ) = a.ωv (t ) dt

→

p.Xv(p) = a. m(p)

U(p) c(p)

+

Xv(p) =

-

a KT . . p 1 + TT . p

H(p)

C(p)

c(p)

v(p)

→

Xv(p) =

v(p)

a p

G(p)

ω a KT . c0 . p 1 + TT . p p

 − → Réponse d’un système du premier ordre à une rampe : x v (t ) = a.K T .ω c 0  t − TT + TT .e   er → voir cours réponse à une rampe 1 ordre Q.9.

Xv(p)

t TT

 .u (t )  

1 Ωv ( p) → système du 2ème ordre avec K=1, ω0 =1 et z=1. = Ω c ( p ) 1 + 2. p + p 2

→ Réponse d’un système du 2nd ordre à un échelon ωc(t) = ωc0.u(t) :

ωc (t ) = ωc 0 .(1 − e −t − t.e − t ).u (t ) Régime permanent

Régime transitoire

(

)

− ω .t − ω .t → voir cours réponse indicielle 2ème ordre pour z=1 (Rappel : s (t ) = K 1 − e 0 − ω0 .t.e 0 .u (t ) )

Q.10. t5% .ω0 = 5 (annexe 2 cours 07) soit t5% = 5s → système plus lent. → Critère FS1 du C.d.C.F. non respecté avec ce correcteur.

Réponse indicielle

0,9 1 + 0,1 p

Réponse indicielle

38

1 1 + 2. p + p 2

F


B

FA

B

D

A

BBD

Q.1. On a VM(p)=K7.θb(p) et Uc(p) = K1.θc(p) d’où : ε(p)=Uc(p) – VM(p) = K1.θc(p) – K7.θb(p) = 0 → si θc(p) = θb(p) alors K1 = K7. Q.2. uM(t) = e(t) + R.i(t)

→

UM(p) = E(p) + R.I(p)

e(t) = ke.ωV(t)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

CM(p) = kM.I(p)

J.

d ωV (t ) = CM(t) dt

CM(t) = kM.i(t)

= CM(p)

I(p)

UM(p) +

V(p)

V(p)

CM(p)

-

1 J. p

KM

1/R

V(p)

E(p) ke

k M .ke K3 Ω ( p) 1 R.J . p 1 k M .ke 1 1 = = . = . = . H 3 ( p) = V U M ( p) ke 1 + k M .ke ke R.J . p + k M .ke ke 1 + R.J . p (1 + T3. p ) R.J . p k M .ke 1 R.J avec K3= et T3= ke k M .ke t   − T3   Q.3. ωV (t ) = K 3.U 0 . 1 − e .u (t ) → voir cours réponse indicielle 1er ordre     • Valeur de ωV(t) à l'origine : ωV(t) = 0 pour t = 0.

•

Pente à l’origine :

ωV ' (0 + ) = lim ωV ' (t ) = lim p.[ p.ΩV ( p )] = lim p 2 . t→0

+

p→ ∞

K .U K 3 .U 0 K .U = 3 0 →Pente à l’origine = 3 0 T3 p.(1 + T3 . p) T3

p→ ∞

Théorème de la valeur initiale Transformée de la dérivée (CI nulles)

•

Ordonnée en +∞ :

ωV (+∞ ) = lim ωV (t ) = lim p.ΩV ( p ) = K 3 .U 0 t → +∞

p→0

→

s (+∞ ) = K 3 .U 0

Théorème de la valeur finale

Q.4.

d θV (t ) = ωV(t) → p.θV(p) = dt

V(t)

→ H 4 ( p) =

39

θV ( p ) ΩV ( p )

=

1 . p

F


Q.5. UM(p)

Uc(p)

θc(p) K1

+

V(p)

θV(p)

X(p) θb(p)

K2

-

H4(p)

H3(p)

VM(p)

K5

K6

K7

K 2 .K 3 .K 5 .K 6 .K 7 1 . θb ( p) θb ( p) 1 (1 + T3 . p ) 1 p K 2 .H 3 ( p ).H 4 ( p ).K 5 .K 6 .K 7 H ( p) = = K1 . = K 1. . = K1 . . . . . . K K K K K θc ( p) U c ( p) K 7 1 + K 2 .H 3 ( p ).H 4 ( p ).K 5 .K 6 .K 7 K7 1 + 2 3 5 6 7 . 1 (1 + T3 . p ) p On pose KBO gain boucle ouverte tel que : KBO = K 2 .K 3 .K 5 .K 6 .K 7 K1 K K K BO K7 = H ( p) = 1 . = 2 z 1 2 . 1 T K 7 T3 . p + p + K BO 3 p + 2 p2 ) . p2 + p + 1 (1 + K BO K BO ω0 ω0 avec K=

K1 K BO 1 1 = 1 si K1 = K 7 (Q.1.) , ω0 = et z = . et KBO = K 2 .K 3 .K 5 .K 6 .K 7 (KBO en T3 2 K BO .T3 K7

s-1)

Q.6. θb(t)

D1

Valeur asymptotique θb(+∞) = 1 = K

Tp

t A l’aide de l’abaque annexe 1 du cours 07, on obtient graphiquement z = 0,2. Valeur asymptotique : Graphiquement on lit θb(+∞) = 1 → K = 1. 2π 2π La période des oscillations amorties est T p = = . Graphiquement on lit Tp = 0,13 s ω p ω0 1 − z 2 2π 2π = = 49 rad/s. → ω0 = 2 Tp . 1 − z 0,13. 1 − 0,22

40

F


Valeur du dépassement transitoire

0,52 =

52 →D1=52% 100

Q.7. Pour z = 0,2 on lit sur l’annexe 2 cours 07 t5% .ω0 ≈ 13 → t5% =

13 = 0,26 s → C.d.C.F. non vérifié. 49

θb(t)

1,05.K 0,95.K

Valeur asymptotique θb(+∞) = 1 = K

Graphiquement t5% ≈ 0,27 s t5%

t

41

F


A B

CC

DE

Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode puis l’allure des diagrammes des systèmes suivants : 1 10 1 • F1 ( p ) = F2 ( p ) = F3 ( p) = 1+ p 1+ p 1 + 10. p 3 G3 ( p ) = • G1 ( p) = 3 G2 ( p) = 3. p p 1 10 1 H 2 ( p) = H 3 ( p) = • H1 ( p ) = 2 2 1+ p + p 1 + 0,1. p + p 1 + p + 0,1. p 2 0,3 0,3 K 2 ( p) = 3 + • K1 ( p ) = 3 + 3. p K 3 ( p) = 3 + 3 p + p p

F

E

C E

CE A

Soit un système dont le diagramme de Bode est donné ci-contre : Q.1. Tracer asymptotique.

le

diagramme

de

Bode

Q.2. Identifier le type de la fonction de transfert et ses valeurs remarquables. Q.3. Le diagramme temporel ci-dessous présente 3 signaux d’entrée sinusoïdaux. Déterminer les périodes et les pulsations de chacun des signaux. Q.4. En déduire le gain et le déphasage en régime permanent pour chacune des courbes temporelles de sortie correspondant aux 3 entrées de la question 3.

42

C

F


AA

AE

E

AE

A B

CC

DE

Pour les quatre diagrammes de Bode suivants, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques puis identifier les fonctions de transfert correspondantes (pour le second ordre faiblement amorti, on ne cherchera pas la valeur précise de z mais seulement une estimation).

43

F


44

F


45

F


A B

CC

DE

F

E AB

G (dB) 10dB

ω (rad/s) 0,01

0,1

1

10

φ (°)

0°

F2 ( p) =

10 1+ p

F1 ( p) =

1 1+ p

F3 ( p ) =

1 1 + 10. p

ω (rad/s)

– 45

– 90°

G (dB) 10dB

G1 ( p) = 3 ω (rad/s) 0,1

1

G2 ( p) = 3. p

10

G3 ( p) =

φ (°)

+ 90°

ω (rad/s)

0°

– 90°

H 3 ( p) =

1 1 → H 3 ( p) = 2 1 + p + 0,1. p (1 + 0,88. p )(. 1 + 0,113. p )

46

3 p

F


G (dB)

H1 ( p ) =

1 1 + p + p2

10dB

ω (rad/s) 0,1

1

10 1 + 0,1. p + p 2

H 3 ( p) =

1 1 + p + 0,1. p 2

10

φ (°)

0°

H 2 ( p) =

ω (rad/s)

– 90°

– 180°

G (dB) K1 ( p ) = 3 + 3. p

10dB

ω (rad/s)

0,1

0,01

1

K 2 ( p) = 3 +

φ (°)

0,3 p

+ 90°

K 3 ( p) = 3 + 3 p +

ω (rad/s)

0°

– 90°

On transforme les fonctions de transfert pour retrouver des fonctions élémentaires : 0,3 0,3 0,3 K1 ( p ) = 3.(1 + p ) ; K 2 ( p ) = .(1 + 10 p ) ; K 3 ( p ) = . 1 + 10 p + 10 p 2 = .(1 + 8,9. p )( . 1 + 1,13. p ) p p p

(

47

)

0,3 p

F


E

C E

CE A

C F

E AB

Q.1. Q.2. Système du second ordre avec 2 z< . 2 Graphiquement on lit : • ω0 ≈ 4,5 rad/s • ωr ≈ 4,2 rad/s • ωc ≈ 6 rad/s • 20 log(K) = 0 • 20 log(Q) ≈ 7.5 dB Soit : • log(K)=0 → K=1 1 • Q = 2,3 = 2z ⋅ 1 − z 2

20.log(Q)

Droite de pente – 40dB/décade ωr

→ z ≈ 0,22 H ( p) ≈

1 1 + 0,1 p + 0,05. p 2

Q.3.

0.5 0

T = 0.7s 3

3.5

T = 2π/ω0 = 0.7s → ω0 ≈ 9rd/s

0.5 0

T = 1.25s 3

3.5

T = 2π/ω0 = 1.25s → ω0 ≈ 5rd/s

48

ω0

ωc

F


0.5 0

T = 4.2s 3

3.5

T = 2π/ω0 = 4.2s → ω0 ≈ 1.5rd/s

Q.4.

ω=1.5

ω=5

ω=9

Graphiquement on lit sur le diagramme de Bode : Pour ω0 = 9 rad/s le gain est d’environ -10dB soit G ≈ 0,32 et la phase de -160°. Pour ω0 = 1,5 rad/s le gain est d’environ 0,5dB soit G ≈ 1,05 et la phase de -10°. Pour ω0 = 5 rad/s le gain est d’environ 5dB soit G ≈ 1,8 et la phase de -120°.

49

F


e(t)

Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation ω0 = 1.5rd/s

s(t)

Temps (s)

Temps (s)

e(t)

Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation ω0 = 5rd/s

s(t)

Temps (s)

Temps (s)

e(t)

Réponse temporelle du système pour une entré sinusoïdale de pulsation ω0 = 9rd/s

s(t)

Temps (s)

Temps (s)

50

F


AA

AE

E

AE

A B

CC

DE

F

E AB F ( p) =

F ( p) =

20 1 + 5. p

F ( p) =

50 (1 + p ).1 + 1 p   90 

F ( p) =

51

1 1 + 0,02. p + 0,25 p 2

1 10  1  .1 + . p . 1  p  20   .p 1 +  500 

F


A

BCDEDC B

F

AD

F ADC

(Inspiré de CCP PSI 2009) Pour étudier les échantillons de glace des glaciers, on peut utiliser une machine d'imagerie électronique. Elle permet d'envoyer un rayonnement sur la glace et, en mesurant les niveaux énergétiques des électrons qui seront émis en conséquence, de connaître sa composition chimique. Néanmoins, les niveaux énergétiques à étudier sont tels que les échantillons de glace, et donc les appareils de mesures, doivent se situer dans un vide absolu. Les chercheurs doivent alors faire face à un phénomène de dégazage des appareils de mesure qui, lorsqu'ils sont placés dans le vide, émettent des particules de gaz que leur structure moléculaire contient, faussant la mesure sur les échantillons. Pour faire face à ce problème, une des solutions consiste à forcer le dégazage, c'est à dire porter à haute température les instruments, pour que les particules de gaz soient préalablement expulsées des appareils de mesure. Les instruments de mesure, libérés de leurs particules de gaz, peuvent donc réaliser leurs études sans polluer les échantillons de glace. On donne ci-dessous un extrait de cahier des charges de la machine d’imagerie électronique. Utilisateur

Échantillon FS2

FS1

Machine d’imagerie électronique

FS6 Normes

Rayonnement

FS3

FS5 Energie électrique

Environnement extérieur FS4 Chambre à vide FS FS4

FS1 : Envoyer un rayonnement sur un échantillon FS2 : Déterminer la composition chimique d’un échantillon FS3 : Faire le vide absolu sans pollution FS4 : Ne être pollué par l’environnement extérieur FS5 : Etre alimenté en énergie électrique FS6 : Respecter les normes en vigueur

Critère … T°C de la phase de dégazage Durée de montée en T°C (t5% ) …

Niveau … 200°C < 2 min …

Flexibilité … ± 5% Aucune …

Pour réaliser un échauffement permettant d'obtenir une température de dégazage de 200°C, on utilise des bobinages qui chauffent l'air de l'enceinte d'étude. Le schéma bloc de l'ensemble est le suivant : Enceinte qC(t)

θC(t) +

Bobine -

+

Bloc1

θS(t)

Bloc2

qF(t)

Avec : θC(t) : température consigne souhaitée, θS(t) : température de l’enceinte, qC(t) : flux de chaleur dégagé par les bobinages et qF(t) : flux de fuite de chaleur.

52

F


L'évolution de la température dans l'enceinte est gérée par le modèle de connaissance suivant : dθ S (t ) 1 1 = ⋅ [qC (t ) − qF (t )] qF (t ) = ⋅ θ S (t ) dt C R Hypothèse : La température de l'enceinte étant définie par rapport à celle du milieu ambiant, on se placera dans toute la suite sous les conditions d'Heaviside.

Q.1. Déterminer l'expression des équations du modèle de connaissance dans le domaine de Laplace. Q.2. Compléter le schéma-bloc du système et déterminer les fonctions de transferts des blocs F(p) et G(p). θc(p)

… +

…

… A(p)

-

+

… F(p)

…

…

Q.3. Déterminer l'expression de la fonction de transfert

G(p)

θ S ( p) lorsque la fonction de transfert de la θ C ( p)

bobine est une constante A(p) = A. Exprimer le résultat en fonction de A, R, C et p.

Q.4. Montrer que la fonction de transfert

θ S ( p) K avec K et T, peut se mettre sous la forme θ C ( p) 1 + T.p

deux constante à déterminer en fonction de A , C et R . Pour chauffer l'enceinte, on impose une entrée dont l'évolution est représentée sur le schéma ci contre.

θC(t) θ0

Q.5. On néglige dans un premier temps la rampe initiale de θC(t). On considère donc que l’entrée est approximée par un échelon d'amplitude θ0. Déterminer les expressions analytiques de θC(p), θS(p) et en déduire celle de θC(t) en fonction de K et T. t t1 0 Q.6. Tracer la représentation graphique de θS(t) et indiquer sur le graphique les caractéristiques particulières de la courbe.

Q.7. On donne les valeurs numérique suivantes : K = 3, T = 20 s. Conclure quant à la capacité du système à satisfaire au critère de durée de montée de la température du cahier des charges. Q.8. On ne néglige plus la rampe initiale de θC(t). Déterminer l'expression analytique de θC(p) en fonction de θ0 et t1. Q.9. Déterminer limθ S (t ) quand la température consigne (et donc souhaitée) est de 200°C. Conclure t →∞

quant à la capacité du système à satisfaire au critère de température de la phase de dégazage du cahier des charges.

53

F


Pour améliorer les performances, on change l'amplificateur pilotant les bobines, ce qui permet de choisir des fonctions A(p) plus adaptées. Différentes solutions sont possibles et la simulation du comportement du système, avec plusieurs amplificateurs possibles, est donnée sur la figure suivante. Q.10. Sélectionner et justifier quel amplificateur paraît le mieux adapté pour satisfaire tous les critères du cahier des charges.

FD

A D

A

FD D D

AAD

D

D

(Inspiré de CCP MP 2008)

Le thème proposé concerne la transmission à variation continue développée par la société Fendt qui équipe les gammes de tracteurs « Fendt 300 Vario » à « Fendt 900 Vario ». On s’intéresse ici plus particulièrement à l'asservissement de position de l'arbre de commande de cette transmission situé dans la zone A sur le schéma.

Système vario-Fendt

Schéma-bloc Modélisation

Etude de l’asservissement de l’arbre de commande

U(p) Ue(p) + Schéma-bloc de l’asservissement de l’arbre de commande

M(p)

Kc

-

θ(p)

Ur(p) Kr

Sur un engin agricole, la transmission à variation continue remplace les fonctions de l’ensemble boite de vitesse à commande manuelle + embrayage que l’on retrouve classiquement sur la plupart des voitures. On ne peut pas utiliser la solution boite de vitesse à commande manuelle + embrayage car l’énergie cinétique d’un engin agricole n’est pas suffisante pour permettre le passage d’une vitesse (fonction de la boite de vitesse) par désaccouplement de l’arbre moteur (fonction de l’embrayage) sans caler. La transmission à variation continue permet donc d’adapter de façon optimale la vitesse d’avancement du tracteur en fonction de ses conditions d’utilisation sans avoir à désaccoupler le moteur du reste de la chaine de transmission de puissance. Pour commander le variateur, le conducteur 54

F


dispose au sein de la cabine (partie B) d’un joystick. Le joystick permet d’agir sur l’inclinaison d’éléments hydrostatiques par l’intermédiaire d’un moteur à courant continu asservi en position entraînant un arbre de commande à came. On utilisera les notations et les données suivantes : • Kc : gain du correcteur à action proportionnelle, • Kr = 2 V/rd : gain du capteur de position monté sur l’arbre de commande, • M(p) : fonction de transfert du moteur. Le moteur électrique est un moteur à courant continu dont les équations caractéristiques sont les suivantes : u(t) : tension appliquée aux bornes du moteur i(t) : courant d’induit d θ (t ) u(t) = R.i(t)+ ke . R : résistance de l’induit avec R = 2 , dt Je : inertie de l’arbre de commande avec Je = 6,25.10-4 kg.m2, ke : constante de force contre électromotrice avec ke = 0,05 V/(rad/s), d 2 θ (t ) Je. = ka.i(t) ka : constante de couple avec ka = 0,05 Nm/A. dt 2 On considère nulles toutes les conditions initiales. Q.1. Déterminer la fonction de transfert M(p) = mettre sous la forme canonique M(p) =

θ ( p) U ( p)

du moteur électrique et montrer qu’elle peut se

Km . Donner les expressions littérales de Km et τm. p.(1 + τ m . p )

Calculer Km et τm.

Q.2. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) du système et en déduire l’expression du gain de boucle KBO. Q.3. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée F(p) et montrer qu’elle peut se mettre sous la K BF . Donner l’expression littérale de KBF, forme d’un système du second ordre : F(p) = 2. z 1 2 (1 + p+ 2 p )

ω0

ω0

z et ω0 en fonction de KBO et τm.

Q.4. Déterminer la valeur du gain de boucle KBO de telle sorte que la réponse à une entrée de type échelon soit la plus rapide possible sans toutefois produire de dépassement. En déduire la valeur du gain Kc de l’action proportionnelle du correcteur. Q.5. Montrer qu’avec la valeur de Kc choisie précédemment, la fonction de transfert en boucle fermée K BF . Calculer KBF et T. peut se mettre sous la forme : F(p) = (1 + T . p ) 2 θ(t)

Q.6. La figure ci dessous montre la réponse du moteur à un échelon d’amplitude 2V. Déterminer graphiquement le temps de réponse à 5% global du système.

1.0 0.8 0.6

Q.7. Le C.d.C.F. demande un temps de réponse à 5% global du système pour une consigne d’entrée de type échelon inférieur à 1s. Le système respecte-t-il les exigences du C.d.C.F ? 55

0.4 0.2 Temps (s) 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Page 4 sur 4

F


A Q.1.

BCDEDC

dθ S (t ) 1 = ⋅ [qC (t ) − qF (t )] dt C 1 qF (t ) = ⋅ θ S (t ) R

F

AD

F ADC

B

CB

1 ⋅ [QC ( p ) − QF ( p )] C 1 QF ( p ) = ⋅ θ S ( p ) R p.θ S ( p ) =

→ →

Q.2. θC(p)

ε1(p) +

QC(p) +

A(p)

θS(p)

θS(p)

ε2(p) F(p) QF(p)

Boucle 1

G(p)

Boucle 2

Avec : F ( p) =

θS ( p)

QC ( p ) − QF ( p )

=

1 Q (p) 1 et G ( p ) = F = θS ( p) R C. p

1 θ ( p) 1 F ( p ).G ( p ) R R.C. p Q.3. FTBF boucle 1 : S = . = R. = 1 QC ( p ) G ( p ) 1 + F ( p ).G ( p ) 1 + R.C . p 1+ R.C . p R. A R. A R. A θ S ( p) 1 + R.C. p R. A + 1 FTBF boucle 2 : = = = R A R . .C R.C. p + R. A + 1 θC ( p) 1 + .p +1 R. A + 1 1 + R.C. p

R. A

R. A R.C θ ( p) R. A + 1 = K = Q.4. S et T = . avec K = R.C θC ( p) 1 + T . p R . A + 1 R . A + 1 .p +1 R. A + 1

Q.5. Echelon d’amplitude θ0 → θ C ( p ) =

θ0 Tangente à l’origine

p

K .θ C ( p ) T.p +1 K θ0 . → θ S ( p) = T.p + 1 p

θC(t)

θ S ( p) =

t   − → θ S (t ) = K .θ 0 .1 − e T .u (t ) → Voir cours     er réponse indicielle 1 ordre.

K.θ0 0,95.K.θ0

θS(t)

0,63.K.θ0

Q.6. → Voir cours réponse indicielle 1er ordre. Courbe caractéristique de θS(t) obtenue pour K < 1.

0

56

T

3.T

t

F


Q.7. Pour t = 3.T soit t = 60s on obtient 95% de la valeur asymptotique t5% = 60 s < 2min → C.d.C.F. ok. Q.8. θC(t) θ0

θ0

θ C ( p) = +

=

t 0

t1

t1. p

2

−

θ0 t1. p

2

.e − t1 p

t1 0

Q.9. θ S ( p ) =

θ0

t

t1

t

0

200 K .θ C ( p ) avec θ C ( p ) = p T.p +1

θ S (+∞) = lim θ S (t ) = lim p.θ S ( p) = 200.K = 600 → C.d.C.F. non respecté. t → +∞ p→ 0 Q.10. L’amplificateur ayant pour fonction de transfert A2(p) est le mieux adapté pour satisfaire les critères de durée de montée en T°C et de température de dégazage du C.d.C.F..

D

FD A

A D D

FD D

AAD

D CB

Q.1. U(p)

d θ (t ) u(t)=R.i(t)+ ke . →U(p) = R.I(p) + ke.p.θ(p) dt d 2 θ (t ) Je. = ka.i(t) → Je.p2.θ(p)= ka.I(p) 2 dt

+

-

ka Je. p2

1 R

ke.p

ka .ke . p ka .ke 1 2 θ ( p) 1 1 1 1 Km R.J e . p R.J e . p ke = = = M(p) = = . . . = U ( p ) ke . p 1 + ka .ke . p ke . p 1 + ka .ke ke . p 1 + R.J e . p  R.J e  p.(1 + τ m . p ) p.1 + . p  2 R.J e . p R.J e . p ka .ke  ka .ke  1 R.J e Avec : Km = τm = . ke ka .ke A.N. : Km =

1 1 = = 20 rad/(s.V) ke 0,05

Q.2. T(p) =

K c .K r .K m avec KBO = K c .K r .K m p.(1 + τ m . p )

τm =

 Ω.kg .m 2 . A kg.m2 .s 2  R.J e 2 × 6,25.10 −4  = = = s  =0,5s 2 ka .ke 0,05 s.kg.m.m  V .s.N .m 

57

θ(p)

F


Q.3. K c .K r .K m 1 T ( p) K c .K r .K m K c .K r .K m 1 1 1 p.(1 + τ m . p ) F(p) = . = = = . . . 2 K K K . . K r 1 + T ( p) K r 1 + c r m K r p.(1 + τ m . p ) + K c .K r .K m K r τ m . p + p + K c .K r .K m p.(1 + τ m . p ) F(p) =

1 Kr

τm K c .K r .K m

KBF =

1 Kr

;

. p2 +

1 p +1 K c .K r .K m 1

ω0

2

=

τm K BO

=

1 Kr

τm K BO

. p2 +

1 p +1 K BO

K BO

→ ω0 =

=

K BF (1 +

ω0

2. z

;

τm

2. z

ω0

=

p+

1

ω0

2

p2 )

1 1 1 → z= . K BO 2 K BO .τ m

Q.4. Réponse à une entrée de type échelon la plus rapide possible sans toutefois produire de dépassement → z = 1 (voir cours réponse temporelle système du deuxième ordre).

1 1 . =1 2 K BO .τ m

→

1 =4 K BO .τ m

K BO =

→

1 = 0,5 = K c .K r .K m 4.τ m

0,5 0,5 = = 0,0125 (sans unité ce qui est normal pour un correcteur à action K r .K m 2 × 20 proportionnelle).

D’où : K c =

Q.5. Si z=1 le dénominateur admet deux pôles réels confondus p1 = p2 = −ω 0 (voir cours réponse temporelle système du deuxième ordre cas z=1). K BF K BF K BF Par conséquent on a : F(p) = = = 2. z 1 2 2 1 2 1 (1 + p + 2 p ) (1 + p + 2 p ) (1 + p) 2

ω0

KBF =

1 Kr

1

=

T=

ω0

→

τm K BO

A.N. : KBF =

→

ω0

ω0

ω0

ω0

1 =0,5 rd/V 2

A.N. : T =

0,5 = 1s 0,5

Q.6. et Q.7. tr5% ≈ 5s. Le système ne respecte pas les exigences du C.d.C.F. Il faut diviser par 10 le temps de réponse. θ(t) 1.0

0.95

0.8 0.6 0.4 0.2 Temps (s) 0

0

1

2

3

4

5

58

6

7

8

9

10

F


adar d’avion Le support d'étude est un radar d'avion. Il permet au pilote de connaître la position des engins extérieurs (avions, hélicoptères, bateaux, ...). L'objectif de cette étude est de vérifier les performances de la fonction FS1, décrites dans le cahier des charges de ce système.

On réalise un asservissement de position angulaire du radar d’avion : l'angle souhaité est θc(t), l'angle réel du radar est θr(t). La différence des deux angles est transformée en une tension um(t), selon la loi um(t) = A.(θc(t) – θr(t)). La tension um(t) engendre, via un moteur de fonction de transfert Hm(t), une vitesse angulaire ωm(t). Cette vitesse angulaire est réduite grâce à un réducteur de vitesse, selon la relation ωr(t) = B. ωm(t) (B<1), ωr(t) étant la vitesse angulaire du radar. d On donne la relation ωr(t) = θr(t). dt Q.1. Réaliser le schéma-bloc du système. Les équations du moteur à courant continu, qui est utilisé dans la motorisation, sont les suivantes : d ω (t ) e(t) = ke.ωm(t) Cm(t) = km.i(t) um(t) = e(t) + R.i(t) J . m = Cm(t) dt Avec : u(t) : tension aux bornes du moteur (en V) (entrée du moteur) e(t) : force contre-électromotrice (en V) i(t) : intensité (en A) ωm(t) : vitesse de rotation du moteur (en rad/s) Cm(t) : couple moteur (en N.m) (un couple est une action mécanique qui tend à faire tourner) J : inertie équivalente en rotation de l’arbre moteur (en kg.m2) R : résistance électrique du moteur ke : constante de force contre-électromotrice km : constante de couple Q.2. Déterminer la fonction de transfert H m ( p ) =

Ω m ( p) . U m ( p)

59

F


Q.3. Montrer que Hm(p) peut se mettre sous la forme canonique H m ( p) =

Km et déterminer les 1 + Tm . p

valeurs littérales de Km et Tm.

Q.4. Déterminer ωm(t) lorsque um(t) est un échelon de tension d'amplitude u0. Exprimer le résultat en fonction de Km , Tm et u0. Préciser la valeur de ωm(t) à l'origine, la pente de la tangente à l'origine de ωm(t) et la valeur finale atteinte par ωm(t) quand t tend vers l’infini. Q.5. Déterminer la fonction de transfert H ( p ) = K

la forme (1 +

2. z

ω0

p+

1

ω0 2

θ r ( p) . Montrer que cette fonction peut se mettre sous θ c ( p)

. Déterminer les constantes K, z et ω0 en fonction de Km, Tm, A et B. p2 )

La réponse indicielle de H(p) à un échelon unitaire est donnée sur la figure suivante : θr(t) (rad)

t (s) Q.6. Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, les valeurs numériques de K, z et ω0. Sans préjuger du résultat trouvé dans la question précédente, on prendra, pour la suite : K = 1, z = 0,5 et ω0 = 15 rad/s.

Q.7. Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, le temps de réponse à 5%. Conclure quant la capacité du radar à vérifier le critère de rapidité de la fonction FS1. On améliore la performance du radar en ajoutant un composant électronique (un correcteur) entre l'amplificateur et le moteur. La nouvelle fonction de transfert est :

H ( p) =

1 (1 + 0,05. p )(. 1 + 0,0005. p )(. 1 + 0,002. p )

60

F


Q.8. Tracer le diagramme de Bode asymptotique (en gain et en phase) de cette fonction de transfert, en expliquant la démarche utilisée.

Q.9. Déterminer G et φ pour ω = 10 rad/s. Q.10. Déterminer, en régime permanent, θr(t) pour une entrée θc(t) = 0,2.sin(10t). Pour ω < 20 rad/s, on a H ( p ) ≈

1 (1 + 0,05. p )

Q.11. Déterminer, sur cette approximation, la pulsation de coupure à -3 dB. Conclure quant à la capacité du radar à satisfaire le critère de bande passante de la fonction FS1. Q.12. Déterminer, sur cette approximation, le temps de réponse à 5% du système. Conclure quant à la capacité du radar à satisfaire le critère de rapidité de la fonction FS1.

61

F


Annexe 1.

Annexe 2.

62

F


Etude d’une antenne parabolique La réception de chaînes de télévision par satellite nécessite un récepteur / décodeur et une antenne parabolique. Pour augmenter le nombre de chaînes reçues, l’antenne doit pouvoir s’orienter vers un plusieurs satellites différents. Le satellite choisi dépend de la chaîne demandée. Tous les satellites de radiodiffusion sont situés sur l’orbite géostationnaire à 36000 km au dessus de l’équateur. Le réglage de l'orientation l'antenne ne nécessite donc qu'une seule rotation, autour d'un axe appelé axe d'azimut. Le cahier des charges partiel à satisfaire est fourni sur le diagramme pieuvre suivant : L'objectif de ce problème est la validation partielle des critères de la fonction FS1 du cahier des charges.

L'axe d'orientation d'azimut utilise un dispositif de réduction de vitesse (engrenages et roue et vis sans fin). Si on note ωa(t) la vitesse de rotation de l'axe d'orientation et ωm(t) la vitesse de rotation du moteur, on a la relation suivante : 1 ω a (t ) 1 = = ωm (t ) N 23328

Les équations du moteur à courant continu, qui est utilisé dans la motorisation, sont les suivantes : d i (t ) d ω m (t ) = Cm(t) Cm(t) = Kc.im(t) J m. em(t) = Ke.ωm(t) um(t) = em(t) + Rm.im(t) + Lm . m dt dt Avec : um(t) : tension aux bornes du moteur (en V) em(t) : force contre-électromotrice (en V)

63

F


im(t) : intensité (en A) ωm(t) : vitesse de rotation du moteur (en rad/s) Cm(t) : couple moteur (en N.m) (un couple est une action mécanique qui tend à faire tourner) Jm : inertie équivalente en rotation de l’arbre moteur (en kg.m2) Rm : résistance électrique du moteur (9,1 Ω) Lm : inductance du moteur Ke : constante de force contre-électromotrice (0,022 V.rad-1.s) Kc : constante de couple (0,022 N.m.A-1)

Q.1. Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Toutes les conditions initiales seront nulles, et considérées comme telles dans la suite de l'exercice. Q.2. Réaliser le schéma-bloc du moteur. Q.3. Déterminer la fonction de transfert H ( p) = K

forme canonique H(p) = (1 +

2. z

ω0

p+

1

ω0 2

Ω m ( p) . Montrer que H(p) peut se mettre sous la U m ( p)

et déterminer les valeurs littérales K, z et ω0 en fonction

p2 )

des constantes fournies.

Lm R .J la constance de temps électrique du moteur, et τ m = m m . On suppose que le temps Rm K e .K c d'établissement du courant est bien inférieur au temps de mise en mouvement de toute la mécanique, ce qui revient à dire que τ e <<τ m . K Q.4. Montrer alors que la fonction de transfert du moteur peut s’écrire H(p) ≈ . (1 + τ e . p).(1 + τ m . p) On note τ e =

Q.5. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode du moteur sur le document réponse 1 en annexe. Les courbes correspondent au diagramme de Bode obtenu expérimentalement. Préciser sur ces diagrammes l’ensemble des caractéristiques (pulsations caractéristiques, pentes caractéristiques, valeurs numériques caractéristiques) connues à ce stade. Q.6. Déterminer Jm et Lm . Justifier a posteriori que τ e <<τ m . On soumet le moteur à un échelon de tension d'amplitude U0 : um(t) = U0.u(t).

Q.7. Justifier que la fonction ωm(t) aura une tangente à l'origine horizontale. Grâce à la propriété τ e <<τ m , on approxime, dans toute la suite, la fonction H(p) par

K (1 + τ m . p)

.

Q.8. Déterminer l'expression analytique de ωm(t), en fonction de K , τ m et U0. Indépendamment des résultats précédents, on prend pour la suite τ m = 0,012 s et K = 45rad.s−1 .V−1. La tension nominale d'utilisation est U0 = 18V.

Q.9. Montrer que le moteur n'excède pas sa valeur limite de rotation, qui est de 8000 tr/min.

64

F


La chaîne d'asservissement complète est donnée sur le schéma bloc suivant (θac est l'angle consigne d θ a (t ) que l'on souhaite faire prendre à l'antenne ; θa réel de l'antenne, défini par ωa(t) = ; Ka est un dt gain constant). Ωm(p)

Um(p) θac(p) +

-

Ka

H(p)

Ωa(p) G(p)

M(p)

θa(p)

Q.10. Déterminer l'expression de G(p) et M(p). Q.11. Déterminer la fonction de transfert

θ a ( p) , montrer que c'est une fonction du 2ème ordre, et θ ac ( p)

déterminer l'expression littérale de son gain KT, de son coefficient d'amortissement zT et de sa pulsation propre non amortie ω0T.

Q.12. Montrer que le système vérifie le critère d'écart de positionnement du cahier des charges. Q.13. Déterminer Ka pour que le système puisse satisfaire le critère de temps de réponse du cahier des charges.

Annexe 1 – Document réponse 1.

65

F


adar d’avion - Corrigé Q.1. Réaliser le schéma-bloc du système. ε(p)

θc(p) +

Um(p)

A -

Q.2. et Q.3. um(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) J.


Cm(t) = km.i(t)

Hm(p)

r(p)

m(p)

B

→

Um(p) = E(p) + R.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

1/R

-

θr(p)

m(p)

= Cm(p)

Cm(p)

I(p) Um(p) +

1 p

km

1 J. p

m(p)

E(p) ke

km .ke Ω ( p) 1 R.J . p 1 km .ke 1 1 Km = . = . = . H m ( p) = m = U m ( p ) ke 1 + km .ke ke R.J . p + k m .ke ke 1 + R.J . p 1 + Tm . p R.J . p km .ke 1 R.J avec Km= et Tm= ke k m .ke Q.4. L’entrée est définie par un échelon unitaire, um(t)=u0.u(t), soit dans le domaine de Laplace, u K m .u 0 Um(p)= 0 . La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : Ω m ( p ) = p p.(1 + Tm . p ) α β K .u K .u .T La décomposition en éléments simples donne : Ω m ( p) = + = m 0− m 0 m p 1 + Tm . p p 1 + Tm . p     1 1  Soit Ω m ( p ) = K m .u0 . − . Par transformation inverse on obtient ensuite la réponse temporelle p 1  + p  Tm   t   − qui a donc pour expression : ωm (t ) = K m .u0 1 − e Tm .u (t )     Ordonnée à l’origine : Pour t=0 on a : ωm (0) = 0

66

F


Pente à l’origine :

ωm ' (0 + ) = lim ωm ' (t ) = lim p.[ p.Ω m ( p)] = lim p 2 . t →0

+

p→∞

p→∞

K m .u0 K .u = m 0 p.(1 + Tm . p ) Tm


Ordonnée en +∞ :

ωm (+∞) = lim ωm (t ) = lim p.Ω m ( p ) = K m .u0 t → +∞

p→ 0


Remarque : si on connait par cœur la réponse indicielle d’un système du 1er ordre, on peut bien évidemment donner directement les réponses.

Km 1 . θ ( p) A.B.K m 1 1 + Tm . p p Q.5. H ( p ) = r = = = = θ c ( p ) 1 + A.B.H ( p). 1 1 + A.B. K m . 1 p.(1 + Tm . p ) + A.B.K m p.(1 + Tm . p ) + 1 m A.B.K m p 1 + Tm . p p K 1 1 = = avec : H ( p) = 2. z 1 2 p.(1 + Tm . p ) 1 Tm 2 +1 1+ p+ 2 p ) .p + p (1 + ω0 A.B.K m A.B.K m A.B.K m ω0 A.B.H m ( p ).

1

K=1 ;

ω0

2

=

1 p

Tm → ω0 = A.B.K m

A.B.

A.B.K m Tm

;

2. z

ω0

=

1 1 1 → z= . A.B.K m 2 Tm . A.B.Km

Q.6. Par définition pour une réponse indicielle d’un système du 2nd ordre on a : Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie :

K .ω0 s(+∞) = lim s(t ) = lim p.S ( p ) = lim 2 =K t → +∞ p→0 p → 0 p + 2.z.ω . p + ω 2 0 0 2

→

s (+∞) = K

Le régime établi ne dépend que du gain statique Z alors que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire


Valeur du 1er dépassement :

D1 = e

−

z .π 1− z 2

Valeur de la pseudo-période : 2π 2π Tp = = ω p ω0 1 − z 2 Graphiquement on lit : K = 1

;

t1 = 0,24 =

Soit z ≈ 0,58 et ω0 ≈ 15,8 rad/s.

67

π ω0 1 − z 2

;

D1 = e

−

z .π 1− z 2

=0,1

F


θr(t) (rad)

D1

K

Tp/2

t1 =Tp/2

t (s)

Sans préjuger du résultat trouvé dans la question précédente, on prendra, pour la suite : K = 1, z = 0,5 et ω0 = 15 rad/s.

Q.7. Il n’existe pas de formule simple pour calculer le temps de réponse à 5% car il dépend de la valeur du coefficient d’amortissement z et de la pulsation propre non amortie du système ω0. On utilise l’abaque annexe 2 et on lit t5% .ω0 ≈ 5 pour z=0,5 soit t5% ≈ 0.33s > 0,2s → le critère de rapidité de la fonction FS1 n’est pas respecté.

Q.8. Méthode : voir chapitre 4 cours 08. Il y a 3 fonctions de transfert du 1er ordre. 1 1 1 1 H ( p) = → H ( jω ) = . . (1 + 0,05. p )(. 1 + 0,0005. p )(. 1 + 0,002. p ) (1 + 0,05. jω ) (1 + 0,002. jω ) (1 + 0,0005. jω ) On classe les constantes de temps dans un ordre décroissant, c’est à dire les pulsations de cassure (1/Ti pour le 1er ordre) correspondantes dans un ordre croissant. Les brisures du tracé asymptotique correspondront alors à ces pulsations. Les constantes de temps sont T1 = 0,05 s (soit ω1 = 20 rad/s), T2 = 0,002 s (soit ω2 = 500 rad/s) et T3 = 0,0005 s (soit ω2 = 2000 rad/s).

Q.9. Pour ω = 10 rad/s on a :

(

)

2 GdB = H ( j10) dB ≈ −20 log 1 + (0,05 × 10)  ≈ –1 dB    0,05 × 10  et φ = arg(H ( j10) ) ≈ − arctan   ≈ –26,5° 1  

68

F


G (dB) ω (rad/s) -20 dB/décade

-40 dB/décade

-60 dB/décade

φ (°)

ω (rad/s)

Q.10. Déterminer, en régime permanent, θr(t) pour une entrée θc(t) = 0,2.sin(10t). θr(t) = 0,2.G.sin(10t+φ).

Q.11. ωc=20 rad/s soit un bande passante de 20rad/s > 18rad/s, le critère de bande passante de la fonction FS1 est respecté. Q.12. Système du 1er ordre → t5% = 3×0,05 = 0,15 s < 0,2 s → C.d.C.F. ok.

69

F


Etude d’une antenne parabolique - Corrigé Q.1. um(t) = em(t) + Rm.im(t) + Lm .

d im (t ) dt

em(t) = Ke.ωm(t) d ωm (t ) J m. = Cm(t) dt Cm(t) = Kc.im(t)

→

Um(p) = Em(p) + R.Im(p) + L.p.Im(p)

→

Em(p) = Ke.

→

Jm.p

→

Cm(p) = Kc.Im(p)

Q.2.

m(p)

Im(p) Um(p) +

1 Rm + Lm . p

-

m(p)

= Cm(p)

Cm(p) m(p)

1 Jm . p

Kc

Em(p) Ke

Q.3. K c .K e 1 Ω ( p) J . p.(Rm + Lm . p ) K c .K e Ke 1 1 = = = H ( p) = m . m . K c .K e J m .Lm 2 J m .Rm K e J m . p.(Rm + Lm . p ) + K c .K e U m ( p) K e 1 + .p + .p +1 J m . p.(Rm + Lm . p ) K c .K e K c .K e avec K=

1 K c .K e 1 Jm . et z = .Rm . , ω0 = Ke J m .Lm 2 Kc .Ke .Lm

Q.4. τ e =

Lm R .J , τ m = m m et τ e <<τ m Rm K e .K c

→ (1 + τ e . p ).(1 + τ m . p ) = 1 + (τ e + τ m ). p + (τ e .τ m ). p 2 ≈ 1 + (τ m ). p + (τ e .τ m ). p 2 si τ e <<τ m K J .R J .L . → 1 + τ m . p + (τ e .τ m ). p 2 = 1 + m m . p + m m . p 2 → H(p) ≈ (1 + τ e . p ).(1 + τ m . p ) K c .K e K c .K e Q.5. 33dB

–20 dB/dec

–40 dB/dec

0°

ω2 ≈ 80000 rad/s

ω1 ≈ 75 rad/s

–90°

–180°

70

F


Asymptote horizontale de gain pour les faibles pulsations : 1 1 20.log K = 20.log = 20.log = 33,15 dB Ke 0,022 Pulsations de cassure : 1 K e .K c ω1 = ≈ 75 rad/s = τ m Rm .J m 1 Rm = ω2 = ≈ 80000 rad/s τ e Lm K e .K c 0,0222 ≈ 75 rad/s → J m = = 0,7.10− 6 Kg.m 2 9,1 × 75 τ m Rm .J m 1 Rm 9,1 = ω2 = ≈ 80000 rad/s → Lm = = 0,11.10 − 3H = 0,11mH τ e Lm 80000

Q.6. ω1 =

1

=

τe =

Lm 0,11.10 − 3 = 1,25.10-5 s = 9 .1 Rm

τm =

Rm .J m 9,1 × 0,7.10 −6 = = 1,3.10-2 s → τ e <<τ m . 2 K e .K c 0,022

Q.7. Réponse à un échelon d’un système du 2ème ordre → tangente horizontale à l'origine. 1 U Ke um(t) = U0.u(t). → Um(p) = 0 et H ( p) = J m .Lm 2 J m .Rm p .p + . p +1 K c .K e K c .K e



U 

ωm ' (0 + ) = lim ωm ' (t ) = lim p. p.H ( p). 0  = 0 p→∞ t →0 p  +


Q.8. τ e <<τ m → H(p) ≈

K

(1 + τ m . p )

 − Réponse à un échelon d’un système du 1 ordre → ωm (t ) = K .U 0 .1 − e   Q.9. τ m = 0,012 s, K = 45rad.s−1 .V−1 et U0 = 18V. er

ωm ( +∞) = lim ω m (t ) = lim p. t → +∞

p→ 0

U0 .H ( p ). = K .U 0 p


K.U0 = 45.18 = 810 rad/s = 7735 tr/min < 8000 tr/min Ωa ( p) 1 = Ωm ( p) N θ ( p) 1 M(p) = a = Ω a ( p) p

Q.10. G(p) =

71

t

τm

 .u (t )  

F


Q.11.

θ a ( p) K a .H ( p ).G ( p ).M ( p ) = θ ac ( p ) 1 + K a .H ( p ).G ( p ).M ( p )

θ ( p) 1 Ωa ( p) 1 = et M(p) = a = Ωm ( p) N Ωa ( p) p (1 + τ m . p ) K a .K 1 K K a .K N Ka . . 1 N p.(1 + τ m . p ) p.(1 + τ m . p) θ a ( p) N = = = = 1 . . N .τ m 2 K K N K K K θ ac ( p ) 1 + K . . a p 1+ p+ p.(1 + τ m . p ) + a a K a .K N K a .K N N p.(1 + τ m . p ) 1 + p.(1 + τ m . p )

Avec : H ( p ) =

K

Avec : KT = 1, ω0T =

, G(p) =

K a .K K .K 1 N 1 N et zT = . . a → zT = . N .τ m 2 K a .K .τ m 2 K a .K N .τ m

Q.12. FTBO de classe 1 → l’erreur de position est nulle → C.d.C.F ok. Q.13. Temps de réponse le plus faible possible pour un système de 2ème ordre → z =

2 = 0,7 2

1 23328 23328 23328 → 1,42 = → Ka = 2 → Ka = 22040 V/rad 0,7 = . 2 K a × 45 × 0,012 K a × 45 × 0,012 1,4 × 45 × 0,012

72

F


A BCDEFCA

D

ED

(Inspiré de CCP MP 2005)

On s’intéresse à l’asservissement en position angulaire du moteur électrique au système de commande du plan horizontal réglable (PHR) d’un Airbus A340 dont on donne une description fonctionnelle ainsi qu’un extrait de cahier des charges. Pilote

Avion FS1

Energie

FS2 Asservissement angulaire FS4 du système de commande du PHR de l’A340 FS3 FS5 Normes Environnement

FS1 : Permettre au pilote de piloter en toute sécurité l’avion. … FS FS1

Critère … Erreur statique Temps de réponse à 5% Erreur de trainage …

Niveau … Nulle t<0,2s Nulle …

Flexibilité … Aucune Aucune Aucune …

Le PHR est réglé à l’aide des gouvernes de profondeur. On peut montrer que pour une vitesse donnée, il est possible, par réglage du PHR, de réduire la poussée des réacteurs et donc d’économiser du carburant. Afin de répondre aux exigences de fiabilité qui stipulent, en particulier, que le PHR doit pouvoir fonctionner durant 109 FH (Fly Hour) sans subir de défaillance, un certain nombre de composants de la chaîne de commande du PHR sont doublés ou triplés suivant les cas. D’autre part, toujours par souci de sécurité, le PHR peut être commandé : • soit automatiquement par un ordinateur de bord qui détermine, à partir des paramètres du vol, la valeur optimale de l’angle β que doit prendre les gouvernes de profondeur, • soit manuellement par le pilote à partir d’un volant de commande situé dans le poste de pilotage et ce en cas de défaillance de la commande automatique du PHR. La figure 1, placée en annexe, présente le schéma de principe de la chaîne d’énergie à partir de la génération de la commande par le calculateur ou le pilote. Le calculateur génère une tension de commande qui va alimenter le moteur électrique qui est asservi en position angulaire pour permettre de générer l’angle de consigne initial. Cet angle de consigne initial est adapté à l’aide du réducteur 1. L’angle de sortie du réducteur 1 permet de commander les deux distributeurs proportionnels, qui vont délivrer un débit de fluide hydraulique pour alimenter les 73

F


deux moteurs hydrauliques. Ces deux moteurs hydrauliques transforment l’énergie hydraulique en énergie mécanique de rotation. Les deux mouvements de rotation ainsi générer sont additionnés à l’aide du différentiel pour créer un seul mouvement de rotation à sa sortie. La sortie du différentiel est reliée au réducteur 6 qui va adapter l’énergie mécanique de puissance pour actionner la vis 4. La vis 4 est reliée à la gouverne de profondeur et permet de commander son angle. L’angle de rotation de la vis 4 est capté à l’aide du réducteur 7 qui va l’adapter afin d’être comparé à la rotation de commande des distributeurs à l’aide du train épicycloïdal, qui joue ici le rôle d’un comparateur. Q.1. Compléter le diagramme FAST relatif à la fonction principale régler l’angle du PHR sur le document réponse 1. La boucle d’asservissement en position angulaire du moteur électrique a pour entrée une tension de consigne ue(t) générée par le calculateur. Cette tension est comparée à la tension ur(t), image de l'angle θr(t), délivrée par un capteur potentiométrique. L'écart ε1(t) est ensuite corrigé et amplifié par un bloc correcteur + amplificateur et fournit la tension u(t) aux bornes du moteur électrique. L'angle de rotation θm(t) en sortie du moteur est réduit par un réducteur 2 pour donner la rotation θr(t) mesurée par le capteur. D’autre part, l'angle θm(t), est réduit par un réducteur 1 pour fournir un angle de rotation en sortie θP1(t), sortie de cet asservissement. Q.2. Construire le schéma bloc fonctionnel de cet asservissement. Le moteur électrique est un moteur à courant continu. On procède à une identification du moteur en le soumettant à un échelon de tension U=5V, afin de déterminer par un modèle de comportement sa fonction de transfert. On obtient la réponse indicielle (vitesse de rotation ωm(t)) donnée dans le document réponse 2. Q.3. Identifier la réponse en justifiant le modèle retenu et la (ou les) technique(s) utilisée(s) pour déterminer les paramètres. Les tracés seront laissés apparents sur la figure du document réponse 2. Pour valider le modèle expérimental, on peut utiliser les équations du moteur à courant continu : • Equation électrique liant la tension u(t) aux bornes du moteur et le courant i(t) le traversant : u(t) = e(t) + R.i(t), • Equation de couplage électrique liant la tension contre-électromotrice e(t) à la vitesse de rotation ωm(t) de l’arbre du moteur : e(t) = ke.ωm(t), • Equation de la mécanique liant la vitesse de rotation ωm(t) et le couple moteur Cm(t): d ω (t ) J e . m = Cm(t), dt • Equation de couplage mécanique liant le couple moteur au courant : Cm(t) = ka.i(t). Avec : • R : la résistance de l’induit R =1 Ω • Je : inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur J e = 4.10 −6 kg.m 2 • ke : constante de force contre électromotrice ke = 0, 02 V/(rad/s) •

ka = 0, 02 Nm/A

ka : constante de couple

Q.4. Déterminer la fonction de transfert M ( p ) =

θ m ( p) U ( p)

du moteur électrique et montrer qu’elle peut

1 multiplié par une fonction de transfert d’un 1er ordre de p gain statique Km et de constante de temps τm.

se mettre sous la forme d’un intégrateur

74

F


Q.5. Donner les expressions littérales de Km et τm. Q.6. Application numérique : calculer Km et τm en précisant les unités. La fonction de transfert du correcteur + amplificateur peut être assimilé dans un gain K1. La fonction de transfert du réducteur 2 est un gain noté R2. La fonction de transfert du réducteur 1 est un gain noté R1. La fonction de transfert du capteur potentiométrique est assimilé à un gain noté K2. Q.7. Montrer que le schéma bloc peut se mettre sous la forme suivante : Ue(p)

1 K 2 R2

+

ε2(p) -

K1 K2 R2 M(p)

La rapport de transmission du réducteur 1 est R1 =

θm(p)

1 . 150

Q.8. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T ( p ) = T ( p) =

R1

θP1 (p)

θ m ( p) , la mettre sous la forme ε 2 ( p)

K BO et en déduire l’expression du gain de boucle KBO. p.(1 + τ m . p )

Q.9. Déterminer la fonction de transfert F ( p ) =

θ P1 ( p )

. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme U e ( p) d’un système du second ordre. On notera KBF le gain statique, z le coefficient d’amortissement et ω0 la pulsation propre.

Q.10. Donner l’expression littérale de KBF en fonction de R1, R2 et K2, de z et ω0 en fonction de KBO et τm. Q.11. Déterminer la valeur du gain de boucle KBO de telle sorte que la réponse à une entrée de type échelon soit la plus rapide possible sans toutefois produire de dépassement. Q.12. Déterminer l’erreur statique du système. Le système est il précis ? Conclure vis-à-vis du C.d.C.F.. Q.13. Déterminer le temps de réponse à 5% du système document réponse 3 et conclure vis-à-vis du C.d.C.F.. On admet que la longueur utile de la vis est l = 0,6m. Le pas de la vis est pv = 10mm.

Q.14. Déterminer le nombre de tour maximal Nv que va faire la vis. La vis est entraînée en rotation par un réducteur dont le rapport de réduction vaut

θ P1 1 = . θv 5

Q.15. Déterminer le nombre de tour NP1 que va faire l’arbre d’entrée du réducteur 52. Q.16. En déduire le nombre de tour Nm que va faire l’arbre du moteur.

75

F


Le capteur de position de gain K2 de la boucle d’asservissement du moteur électrique est un capteur potentiométrique 10 tours dont la tension de sortie varie de -12 à +12 Volts. Q.17. En supposant que l’on utilise le capteur sur toute sa plage (10 tours), déterminer le rapport de réduction R2 du réducteur reliant la sortie du moteur à l’entrée du potentiomètre. Q.18. Déterminer le gain du capteur potentiométrique. Q.19. En déduire le gain K1 du régulateur connaissant la valeur de KBO fixée question 11. Dans le cas d’une entrée de type rampe ue(t) = t.u(t), le cahier des charges stipule que l’erreur de traînage doit être nulle. Q.20. Déterminer l’erreur de traînage et conclure vis-à-vis du C.d.C.F..

Figure 1

76

F


Document réponse 1. Régler l’angle du PHR

Générer la consigne automatiquement

calculateur

Générer la consigne manuellement

volant

Adapter la consigne

Réducteur 1

Distribuer l’énergie de puissance

distributeur 1

Sécuriser la distribution de l’énergie de puissance

distributeur 2

Transformer l’énergie hydraulique en énergie mécanique

moteur hydrau. 1

Sécuriser la transformation de l’énergie hydraulique

moteur hydrau. 2

Additionner les deux énergies mécaniques de rotation

différentiel

Adapter l’énergie mécanique de puissance

Réducteur 6

Transformer un mouvement de rotation en translation

vis 4

Gouverne de profondeur

Modifier le PHR

Mesurer la rotation de la vis et adapter l’angle

réducteur 7

Comparer la rotation réelle à consigne

train épicycloïdal

77

F


Document réponse 2.

Document réponse 3

78

F


A BCDEFCA

D

ED

CDDE

Q.1. Régler l’angle du PHR

Générer la consigne automatiquement

Calculateur

Générer la consigne manuellement

Volant

Adapter la consigne

Réducteur 1

Distribuer l’énergie de puissance

Distributeur 1

Sécuriser la distribution de l’énergie de puissance

Distributeur 2

Transformer l’énergie hydraulique en énergie mécanique

Moteur hydrau. 1

Sécuriser la transformation de l’énergie hydraulique

Moteur hydrau. 2

Additionner les deux énergies mécanique de rotation

Différentiel

Adapter l’énergie mécanique de puissance

Réducteur 6

Transformer un mouvement de rotation en translation

Vis 4

Gouverne de profondeur

Modifier le PHR

Mesurer la rotation de la vis et adapter l’angle

Réducteur 7

Comparer la rotation réelle à consigne

Train épicycloïdal

79

F


Q.2. ue(t)

+

ε1(t) -

u(t)

correcteur + amplificateur

θr(t)

ur(t)

potentiomètre

Moteur électrique

θm(t)

Réducteur 1

θP1(t)

Réducteur 2

Q.3. La réponse possède une tangente à l’origine non nulle et tend vers une valeur finie, il s’agit donc de la réponse indicielle d’un système du 1er ordre. On suppose ainsi que la fonction de transfert liant la tension aux bornes du moteur à la vitesse de rotation de son arbre de sortie peut être modélisée par un 1er ordre de gain statique K et de constante de temps T. Pour déterminer K, on mesure la valeur finale 250 rad/s et on sait que c’est égale à K.U, donc K=50 rad/s/V. Pour déterminer T, on a 3 méthodes à notre disposition. Etant donné le bruit de fin de mesure, on choisit de prendre la méthode à 63% : à 63% de la VF, on est à t=T d’où T=0.01s. On peut également faire la méthode de la tangente à l’origine qui vaut K.U/T, et on obtient 0,009s.

Q.4. u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) Je.


Cm(t) = ka.i(t)

→

U(p) = E(p) + R.I(p)

→

E(p) = ke.

→

Je.p

→

Cm(p) = ka.I(p)

m(p)

m(p)

= Cm(p)

I(p)

Cm(p)

U(p) +

1/R

-

ka

1 Je . p

E(p) ke

k a .ke Ω m ( p ) 1 R.J e . p 1 ka .ke 1 1 Km = . = . = . = U ( p ) ke 1 + ka .ke ke R.J e . p + ka .ke ke 1 + R.J e . p 1 + τ m . p R.J e . p ka .ke θ m ( p) Km = m(p) = p.θm(p) d’où M ( p ) = U ( p) p.(1 + τ m . p ) 1 R.J e Q.5. Km= et τm= ke k a .k e Q.6. Application numérique : Km = 50 rad/(V.s) et τm = 0,01s.

80

m(p)

F


Q.7. Ue(p)

+

ε1(p)

K1

-

U(p)

M(p)

θm(p)

θP1(p)

R1

θr(p)

Ur(p)

R2

K2

Déplacement des blocs K2 et R2

Ue(p)

Q.8. T ( p) =

1 K 2 R2

+

ε2(p) -

θm(p)

K1 K2 R2 M(p)

R1

θP1(p)

θ m ( p) K .K .R .K K BO = K1.K 2 .R2 .M ( p ) = 1 2 2 m = ε 2 ( p) p.(1 + τ m . p ) p.(1 + τ m . p )

Avec KBO = K1.K2.R2.Km

K BO R1 1 R1 K BO θ ( p) p.(1 + τ m . p ) K 2 .R2 = . .R1 = . = Q.9. F ( p ) = P1 K BO U e ( p ) K 2 .R2 1 + K 2 .R2 p.(1 + τ m . p ) + K BO 1 + 1 . p + τ m . p 2 p.(1 + τ m . p ) K BO K BO R1 Q.10. KBF = K 2 .R2 1

ω0

2

2. z

ω0

= =

τm K BO

→ ω0 =

K BO

τm 1 ω0

1 1 1 → z= . → z= . K BO 2 K BO 2 K BO .τ m

Q.11. Réponse à une entrée de type échelon la plus rapide possible sans toutefois produire de 1 dépassement → z = 1 → 4.K BO .τ m = 1 → K BO = = 25 s-1 4.τ m 1 K BO avec FTBO : T ( p ) = p→ 0 1 + FTBO p.(1 + τ m . p ) → FTBO de classe 1 → erreur statique er = 0 . Le système est précis.

Q.12. Par définition er = lim p.E ( p).

Q.13. Graphiquement on lit pour z = 1, t5% .ω0 ≈ 5 → t5% .

81

K BO

τm

≈ 5 → t5% ≈ 0,1s

F


5

Q.14. On a l = 0,6m et pv = 10mm → Nv =

Q.15.

l 0,6 = = 60 tours. pv 0,01

N P1 1 60 N = → N P1 = v = = 12 tours. Nv 5 5 5

Q.16. R1 =

1 → N m = 150.N P1 = 150 × 12 = 1800 tours. 150

Q.17. N m = 1800 tours et N r = 10 → R2 =

10 1 = . 1800 180

Ur(p)

Q.18. 10 tours → 20.π rad et l’entendue de mesure est de 24V → K 2 = Q.19. K BO = K1.K 2 .R2 .K m = 25 s-1 → K1 =

θr(p) K2

R2

24 = 0,382 V/rad. 20.π

K BO 25 → K1 = = 235,6 (sans unité). 1 K 2 .R2 .K m 0,382 × × 50 180

K BO 1 1 1 avec T ( p ) = et E ( p ) = . 2 K 2 .R2 p 1 + FTBO p.(1 + τ m . p ) 1 1 1 1 . 2. → erreur de trainage : er = lim p. → FTBO de classe 1 → er = p→ 0 K BO K BO .K 2 .R2 K 2 .R2 p 1 + p.(1 + τ m . p ) → erreur non nulle → C.d.C.F. non respecté.

Q.20. Par définition er = lim p.E ( p). p→ 0

82

θm(p)

F


A

positionnement d’un appareil d'imagerie médicale (D’après Centrale MP 2002)

L'étude porte sur un système permettant de réaliser des imageries médicales de vaisseaux sanguins sur un patient. Ce système, conçu par General Electric Medical System, envoie des rayons X dans le corps du patient et mesure leur rayonnement. En fonction des informations reçues, une image de synthèse en 3 dimensions est réalisée, permettant de voir les éventuels problèmes médicaux à venir. Exemple d'image de synthèse de vaisseaux sanguins en 3 dimensions (avec ici un anévrisme)

Arceau 3 Amplificateur

Bras d’arceau 2

γ

Système émetteur de rayonnement Iso centre

β

Tube rayon X

Table mobile

α

Epaule 1

Bâti 0

Ce système est constitué des éléments suivants : le bâti 0, une épaule 1 qui peut être mis en mouvement par rapport au bâti 0, un bras d’arceau 2 qui peut s’orienter par rapport à l’épaule 1 et un arceau 3 qui se déplace par rapport à bras d’arceau 2. Le patient est situé sur une table mobile. Le réglage en hauteur du patient sur la table mobile est possible pour son confort mais n'est pas utilisé au cours d'une analyse. Seuls les degrés de liberté α, β et γ sont utilisés pendant l’analyse. L'émetteur de rayons, situé sur l'arceau, focalise la vision interne du patient en un point appelé iso centre. r r r z0 z0 z3 Arceau 3 Iso centre O Bras d’arceau 2

r x0

r y2

r y2

r z3

Iso centre O

Sur l’image de gauche, l’arceau 3 s’oriente par rapport au bras d’arceau 2 et sur l’image de droite le bras d’arceau 2 se déplace par rapport à l’épaule 1.

83

F


On donne ci-dessous un extrait de cahier des charges fonctionnel du système de positionnement dans la phase de vie correspondant à une mesure d'imagerie :

Médecin FS3 FS4

FS2

Patient

Système de positionnement de l’appareil d’imagerie médicale FS5

Energie

Environnement

FS FS1

FS1

FS1 : Positionner le système émetteur de rayonnement par rapport au patient …

Système émetteur de rayonnement

Critère … Vitesse angulaire par axe élémentaire Stabilité (Marge de phase Mϕ) …

Niveau … 10°/s

Flexibilité … ± 10%

Mϕ > 45° …

Aucune …

Q.1. Déterminer le nombre de mouvements élémentaires utilisés (translation ou rotation) pour orienter le faisceau de rayon. Conformément au cahier des charges, chaque axe élémentaire, piloté séparément, doit avoir une vitesse angulaire de 10°/s en phase de mesure. Technologiquement, la chaine d’action de chaque axe élémentaire est constituée d’un réducteur entre le moteur et l’effecteur. Ce réducteur diminue la vitesse angulaire d'un facteur 558.

Q.2. Déterminer la vitesse angulaire de chaque moteur (en tr/min) qui permet de satisfaire le critère de vitesse angulaire du cahier des charges. On s’intéresse à l’axe permettant de déplacer le bras d’arceau 2 par rapport à l’épaule 1. La structure de la chaine fonctionnelle asservie de cet axe est la suivante : Consigne angulaire

ωS(t)

ωm(t)

um(t) ε(t) +

Amplificateur

Moteur CC

Réducteur

Intégration

θS(t)

uC(t) Capteur

Les différents éléments de cette chaîne fonctionnelle sont les suivants : • L'amplificateur est un gain pur : Ka. • Le réducteur est un gain pur Kr (sans dimension). • Le capteur est un gain pur : Kc. • Le moteur est un système d'ordre 1, de constante de temps Tm et de gain Km. On note la fonction de transfert du moteur Hm(p).

Q.3. Déterminer la valeur numérique du bloc du réducteur Kr. Q.4. Déterminer la fonction de transfert en chaîne directe FTCD(p), la fonction de transfert en boucle ouvert FTBO(p) et la fonction de transfert en boucle fermée FTBF(p) de cet asservissement. Exprimer les résultats en fonction de Ka, Km, Kr, Kc et Tm.

84

F


Q.5. Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée de ce système peut s'écrire sous la forme K . Donner l’expression littérale de K, z et ω0 en fonction de d'un deuxième ordre 2. z 1 2 (1 + p+ 2 p )

ω0

ω0

Ka, Km, Kr, Kc et Tm.

Q.6. Déterminer la réponse du moteur ωm(t) à une entrée en échelon de tension um(t) de la forme um(t) = U0.u(t) (U0 valant 10 V). Exprimer le résultat en fonction de U0, Km et Tm. Q.7. La réponse du système à cette entrée en échelon de tension um(t) =10.u(t) a été mesuré en sortie du réducteur. On donne document réponse 1 la courbe obtenue. Déterminer les valeurs numériques expérimentales de Km et Tm. Réaliser les tracés utiles sur le document réponse 1. Avec les valeurs numériques des coefficients des différents gains, on peut déterminer la valeur 10 numérique de la fonction de transfert en boucle ouverte : FTBO( p) = . 1   p.1 + . p   30  Q.8. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte sur le document réponse 2 en bleu.

Q.9. Calculer le gain et la phase exacte pour ω = 30 rad/s. Q.10. On donne document réponse 3 les tracés réels des courbes de gain et de phase de la FTBO. Déterminer la pulsation qui annule le gain puis déterminer la marge de phase du système Mφ. Conclure quant à la capacité du système à satisfaire le critère de marge de phase du cahier des charges.

85

F


Document réponse 1 : ωS(t) (rad/s)

t (s)

Document réponse 2 :

86

F


Document réponse 3.

Réponses de systèmes à l’impulsion de DIRAC On donne ci-dessous des réponses à l’impulsion de Dirac de plusieurs systèmes.

s(t)

s(t) t

s(t) t

s(t)

s(t) t

s(t)

s(t) t

t

s(t) t

s(t) t

t

s(t) t

t

Q.1. Pour chaque cas déterminer si la réponse est celle d’un système stable, instable ou marginalement stable.

Stabilité à partir des pôles de la FTBF On donne ci-dessous les pôles des FTBF de plusieurs systèmes. Système 1 : -1 ; -2 Système 4 : -2+3j, -2-3j,-2 Système 2 : -3, -2, 0 Système 5 : -j, j, -1, 1 Système 3 : -2+j, -2-j, 2j,-2j Système 6 : -1, +1

Système 7 : -1+j, -1-j Système 8 : 2, -1, -3 Système 9 :-6, -4, 7

Q.1. Pour chaque cas déterminer si le système est stable, instable ou marginalement stable. 87

F


pplication du critère de Routh On donne ci-dessous les FTBF de 5 systèmes asservis. 2 H1 (p) = 4 3 p + 3p - 3p 2 + 6p + 1 7 H 2 (p) = 4 3 p + 3p + 3p 2 + 6p + 1 2p + 3 H 3 (p) = 4 3 p + 5p + 3p 2 + 6p + 1 7p - 1 H 4 (p) = 4 3 p + 5p + 3p 2 +16p + 1 2 H 5 (p) = 4 3 p + 3p + 2p 2 + 6p + 1

Q.1. Déterminer, à l’aide du critère de Routh, si les systèmes sont stables.

Application du critère de Routh On donne le schéma bloc modélisant un système asservi. ε(p)

E(p) +

-

Ki Ti ⋅p

2 1+ 2p + 20p 2

S(p)

Q.1. Déterminer l’expression du gain permettant d’obtenir un système stable.

Application du critère de Routh On donne ci-dessous les FTBO de 3 systèmes asservis en retour unitaire. K G1 (p) = p.(p + 3).(p + 4) K.(1 + T.p) G 2 (p) = p.(p + 1).(1 + 0,5.p) K G 3 (p) = 3 p + 5p 2 +8p + 5

Q.1. Déterminer, à l’aide du critère de Routh, si les systèmes sont stables en boucle fermée et donner les valeurs de K admissibles.

88

F


pplication du critère du revers Q.1. On donne ci-dessous les lieux de transferts de plusieurs FTBO. Déterminer, à l’aide du critère du Revers si les systèmes sont stables en BF. Q.2. Pour les systèmes stables déterminer les marges de gain et de phase.

89

F


système de positionnement d’un appareil d'imagerie médicale – Corrigé Q.1. 3 mouvements de rotation ayant pour paramètres α, β et γ. Q.2. Vitesse de rotation de l’effecteur : 10°/s → 600°/min. Soit une vitesse de rotation en tour/min du moteur de N =

600 × 558 = 930 tour/min. 360

Chaîne d’énergie

DISTRIBUER

ENTER

Préactionneur ’alimentation Actionneur

ωm (t ) 558

→ Kr =

AGIR

Elément de transmission de puissance

Moteur électrique

Q.3. ωS (t ) =

TRANSMETTRE ET ADAPTER

CONVERTIR

Effecteur

Réducteur r = 1/558

Axe élémentaire 10°/s en phase de mesure

ω S (t ) 1 = ωm (t ) 558

Q.4. Schéma bloc du système : Consigne angulaire

ε(p) +

Ka

-

ΩS(p)

Ωm(p)

Um(p)

Km 1+ Tm . p

Kr

UC(p) Kc

Fonction de transfert en chaîne directe : FTCD(p) =

K a .K m .K r p.(1 + Tm . p )

Fonction de transfert en boucle ouvert : FTBO(p) =

K a .K m .K r .K c p.(1 + Tm . p )

K a .K m .K r .K c 1 p.(1 + Tm . p) . Fonction de transfert en boucle fermée : FTBF(p) = K c 1 + K a .K m .K r .K c p.(1 + Tm . p) K a .K m .K r .K c 1 p.(1 + Tm . p ) 1 K a .K m .K r .K c . = . Q.5. FTBF(p) = K c 1 + K a .K m .K r .K c K c p.(1 + Tm . p ) + K a .K m .K r .K c p.(1 + Tm . p )

90

1 p

θS(p)

F


1 Kc

FTBF(p) = 1+

Tm 1 .p + . p2 K a .K m .K r .K c K a .K m .K r .K c

K

= (1 +

2. z

ω0

p+

1

ω0 2

p2)

Avec : 1 K= Kc

1

ω0

2

2. z

ω0

=

Tm → ω0 = K a .K m .K r .K c

K a .K m .K r .K c Tm

=

1 1 1 → z= . K a .K m .K r .K c 2 K a .K m .K r .K c .Tm

Q.6. Réponse indicielle d’un système du 1er ordre à une entrée en échelon de tension. t   − Tm   um(t) = U0.u(t) = 10.u(t) → ωm (t ) = K m .U 0 . 1 − e .u (t ) → voir cours réponse indicielle 1er ordre     Q.7. Valeur asymptotique : ω S (+∞) = 20 rad/s → Km.Kr = 2 → Km = 2/Kr = 1116 rad.s-1.V-1 Temps de réponse à 5% : t5% = 3.Tm Temps de réponse à 0,63.s(+∞) : t = Tm Pente à l’origine =

K

τ

→ Graphiquement on lit : Tm = 0,03s ωS(t) (rad/s)

0,95.ωS(+∞)

0,63.ωS(+∞)

Tm

3.Tm

t (s)

10 10 1 → Soit 1 intégrateur de constante K = 10 + un 1er ordre = . 1 1  p  1+ .p p.1 + . p  30  30  1 de constante de temps T= s (ω = 30 rad/s). 30

Q.8. FTBO ( p ) =

K jω

1 1 + T . jω

91

F


G (dB)

-20 dB/décade ω (rad/s)

-40 dB/décade

30

φ (°)

ω (rad/s)

30

Q.9. Rappels de cours : Le module de FTBO(jω ) est le produit des modules de chaque fonction de transfert élémentaire et l’argument, la somme des arguments de chaque fonction de transfert élémentaire : Intégrateur :

1er ordre :

K K → soit : H(jω) = p jω Gain en dB : K = 20.log (K) – 20.log(ω) GdB= 20.log j.ω Phase en degrés : ϕ (ω ) = −90° Soit :

1 1 → soit : H ( jω ) = 1 + T.p 1 + T . jω Gain en dB :

H(p) =

H ( p) =

GdB = 20 log H ( jω ) = 20 log1 − 20 log 1 + T 2 .ω 2 Phase : ϕ = arg( H ( jω )) = − arg(1 + T . jω ) = − arctan(T .ω )

92

F


K | + 20.log |H(jω)| jω K  1  + arg( ) = −90° − arg(1 + T . jω ) jω  1 + T . jω

GdB = 20.log |FTBO(jω)| = 20.log |  ϕ° = arg( FTBO ( jω )) = arg 

Pour ω = 30 rad/s on a alors : 2

 1  GdB = 20.log|FTBO(30.j)| = 20.log (10)–20.log(30)+ 20 log1 − 20 log 1 +   .30 2 = 20 – 29,5 + 0 – 3  30  GdB = – 12,5 dB 1 ϕ° = arg( FTBO (30. j )) = −90° + arg( ) = −90° − arg(1 + j ) − 90° − arctan(1) = −90° − 45° 1 1 + .30 j. 30 ϕ° = – 135° Courbes réelles sous Did’Acsyde :

Q.10. ωcoupure = 9,5 rad/s on a alors : ϕ° = arg( FTBO (9,5. j )) = −90° + arg(

1 ) = −90° − arg(1 + 0,31. j ) = − 90° − arctan(0,31) 1 1 + .9,5 j. 30

ϕ° = −90° − 17° = −107°

→ Mφ = 180° − 107° = 73° > 45° → C.d.C.F. ok.

93

F


Réponses de systèmes à l’impulsion de D RAC – Corrigé INSTABLE

s(t)

s(t)

t

s(t)

STABLE

STABLE

t

s(t)

INSTABLE s(t) t

s(t) t

t

QUASI INSTABLE s(t)

t

s(t)

INSTABLE

STABLE s(t)

INSTABLE s(t)

t

INSTABLE

t

t

STABLE t

S abDlD é à partir des pôl

la FTBF – Corrigé

Un système asservi est stable si sa FTBF possède : • des pôles réels tous négatifs, • des pôles complexes ayant leur partie réelle négative. Système 1 : -1 ; -2 → STABLE Système 2 : -3, -2, 0 → MARGINALEMENT STABLE Système 3 : -2+j, -2-j, 2j,-2j → MARGINALEMENT STABLE Système 4 : -2+3j, -2-3j,-2 → STABLE Système 5 : -j, j, -1, 1 → INSTABLE Système 6 : -1, +1 → INSTABLE Système 7 : -1+j, -1-j → STABLE Système 8 : 2, -1, -3 → INSTABLE Système 9 :-6, -4, 7 → INSTABLE

Application du critère de Ro Q.1. H1 (p) =

h – Corrigé

2 → D1 (p) = p 4 + 3p 3 - 3p 2 +6p + 1 → Il y a un ai < 0 → Système 2 p + 3p - 3p + 6p + 1 4

3

instable.

H 2 (p) =

7 → D 2 (p) = p 4 + 3p 3 + 3p 2 + 6p + 1 → 1er examen ok. 2 p + 3p + 3p + 6p + 1 4

3

Construction du tableau de Routh :

94

F


p4 p3

1 3 3 × 3− 6 × 1 =1 3 6 × 1− 3 × 1 =3 1 3 × 1− 0 × 1 =1 3

p2 p1 p0

3 6 1 × 3− 0 × 1 =1 3 0 × 1− 3 × 0 =0 1

1 0 0 × 3− 0 × 1 =0 3

→ Tous les termes de la 1ère colonne > 0 → Système stable.

H 3 (p) =

2p + 3 → D 3 (p) = p 4 + 5p 3 + 3p 2 + 6p + 1 → 1er examen ok. 2 p + 5p + 3p + 6p + 1 4

3

Construction du tableau de Routh : 1 p4 1 3 p3 5 6 0 1 × 5− 0 × 1 0 × 5− 0 × 1 3 × 5− 6 × 1 9 =1 =0 = p2 5 5 5 5 9 9 × 6− 5 × 1 × 0− 5 × 0 29 5 1 5 = =0 p 9 9 9 5 5 29 9 × 1− 0 × 9 5 =1 p0 29 9 → Tous les termes de la 1ère colonne > 0 → Système stable.

H 4 (p) =

7p - 1 → D 4 (p) = p 4 + 5p 3 + 3p 2 +16p + 1 → 1er examen ok. 2 p + 5p + 3p +16p + 1 4

3

Construction du tableau de Routh : p4 1 3 p 5 3 × 5 − 16 × 1 1 =− p2 5 5 1 p … 0 p …

1

3 16

0

… … …

→ Le 1er terme calculé < 0 → Système instable.

95

F


H 5 (p) =

2 → D 5 (p) = p 4 + 3p 3 + 2p 2 +6p + 1 → 1er examen ok. p + 3p + 2p 2 + 6p + 1 4

3

Construction du tableau de Routh : p4 1 3 p 3 3 × 2 − 6 ×1 =0 p2 3 p1 … 0 p …

1

2 6

0

… … …

→ Le 1er terme calculé = 0 → Système instable.

Application du critère de Ro

h – Corrigé

Q.1. Calcul de la FTBF : Ki 2 . 2.K i 2.K i Ti ⋅p 1+ 2p + 20p 2 F ( p) = = = 2 Ki 2 Ti ⋅p.(1+ 2p + 20p ) + 2.K i 2.K i + Ti ⋅p + 2.Ti ⋅p 2 + 20.Ti ⋅p 3 1+ . Ti ⋅p 1+ 2p+ 20p 2

D ( p ) = 2.K i + Ti ⋅p+ 2.Ti ⋅p 2 + 20.Ti ⋅p 3 Construction du tableau de Routh : p3 20.Ti

Ti

p2

2.Ti

2.Ki

p1

2.Ti × Ti − 20.Ti × 2.K i = Ti − 20.K i 2.Ti

0

p0

(Ti − 20.K i ) × 2.K i − 2.Ti × 0 = 2.K i Ti − 20.K i

…

Stable si Ti > 0, Ki > 0 et Ti − 20.K i > 0 → K i <

Ti 20

Application du critère de Ro

h – Corrigé

Q.1. Calcul de la FTBF : K K K p.(p + 3).(p + 4) F1 (p) = = = 3 2 K p.(p + 3).(p + 4) + K p + 7.p + 12p + K 1+ p.(p + 3).(p + 4) → D1 (p) = p3 + 7.p 2 + 12p + K Construction du tableau de Routh :

96

F


p3

1

12

p2

7

K

12 × 7 − 1 × K 84− K = 7 7 K

0

p1 p0 Stable si K > 0 et

…

84− K > 0 → K < 84 → 0 < K < 84 7

Calcul de la FTBF : K.(1 + T.p) K.(1 + T.p) K.(1 + T.p) p.(p + 1).(1 + 0,5.p) = = F2 (p) = 3 K.(1 + T.p) p.(p + 1).(1 + 0,5.p) + K.(1 + T.p) 0,5.p + p + 1,5.p 2 + K.(1 + T.p) 1+ p.(p + 1).(1 + 0,5.p) K.(1 + T.p) F2 (p) = → D 2 (p) = 0,5.p 3 + 1,5.p 2 + (K.T + 1).p + K 3 2 0,5.p + 1,5.p + (K.T + 1).p + K Construction du tableau de Routh : p3 0,5 p2 p1 p0

K.T+1

1,5

K

1,5 × (K.T + 1)− 0,5 × K 1,5 K

Stable si K > 0, K.T + 1 > 0 et

0 …

1 1,5 × (K.T + 1) − 0,5 × K 1 > 0 → (K.T + 1) − .K > 0 → K.T > .K − 1 3 1,5 3

Calcul de la FTBF : K 3 K p + 5p 2 +8p + 5 → D 3 (p) = p3 + 5p 2 +8p + 5 + K F3 (p) = = 3 2 K p + 5p + 8p + 5 + K 1+ 3 p + 5p 2 +8p + 5 Construction du tableau de Routh : p3 1 p2 p1 p0 Stable si 5+K > 0 et

8

5

5+K

5 × 8− (5 + K ) × 1 5 5+K

0 …

5 × 8− (5 + K ) × 1 > 0 → 40− (5 + K ) > 0 → K < 35 → − 5 < K < 35 5

97

F


Application du critère du revers – Corrigé Q.1. et Q.2.

STABLE

INSTABLE ωco

ωco

MG = +∞

Mφ

STABLE

ωco

STABLE

MG

ωco

MG

Mφ

Mφ

Mφ

STABLE

INSTABLE ωco

MG

98

F


A

BCD E E

DBE

E FDE CB B BE D DBEE E

DF E

(D’après X-ENS MP 2002) On s’intéresse aux performances d’un axe d’orientation d’une pince de robot DELTA dont on donne ci dessous une description structurelle ainsi qu’un extrait partiel de cahier des charges fonctionnel.

Energie Fonction Critère Stabilité FS1

Robot DELTA Pince FS2 FS3 FS4 Axe d’orientation de la pince FS5

Niveau Marge de phase Mφ > 45° Marge de gain MG > 10 dB

Milieu ambiant

Précision

Écart statique nul à une entrée en échelon

Rapidité …

Bande Passante à 0 dB de la fonction HB(p) : BP0 > 50 rad s-1 …

FS1 Objet

FS1 : Orienter le pince vis-à-vis de l’objet à saisir FS2 : S’adapter à la pince FS3 : S’adapter au robot DELTA FS4 : Etre alimenté en énergie FS5 : Résister au milieu ambiant

Le servo-entraînement met en rotation un arbre télescopique muni à chacune de ses extrémités d’un joint de Cardan. Le mouvement d’orientation de la pince est indépendant des mouvements de la plateforme 4. Afin d’assurer un bon positionnement angulaire de la pince P, la commande de sa rotation est asservie de la façon suivante : • la consigne de position θPC, entrée par l’utilisateur grâce à une interface graphique (lors des réglages) ou imposée par la partie commande (lors des cycles de travail), est transformée en une tension vPC grâce à un convertisseur qui sera assimilé à un système de gain pur KC ; • la vitesse de rotation ωM et l’angle de rotation θM de l’arbre moteur sont mesurés par un codeur incrémental monté directement sur l’arbre moteur qui délivre une information numérique ; celle-ci est alors transformée par une carte de conversion numérique analogique (C.N.A.) supposée linéaire en deux tensions vω et vθ telles que vω = Kω.ωM et vθ = Kθ.θM ; • la tension vθ est soustraite à la tension vPC pour donner la tension εP ;

99

F


•

la tension εP est modifiée par un correcteur de fonction de transfert C(p) pour donner la tension eVP ; • la tension vω est soustraite à la tension eVP en sortie du correcteur pour donner la tension εV ; • la tension εV est amplifiée par un amplificateur de gain pur G pour donner la tension d’alimentation du moteur uM • le moteur tourne à la vitesse angulaire ωM telle que M(p) = M(p).UM(p) • la rotation θEC de la pièce d’entrée du double joint de Cardan est telle que θEC =λ.θM, grâce au réducteur de vitesse fixé sur l’arbre moteur • le double joint de cardan est homocinétique et a pour fonction de transfert R(p) = 1 (l’entrée est l’angle θEC, et la sortie est θSC = θP où θP est la rotation de la pince fixée sur la pièce de sortie du double joint de Cardan). On donne : λ = 0,2 ; Kθ = 0,01 V rad-1 ; Kω = 6V / 1000 tours.min-1 Q.1. Réaliser le schéma-bloc de l’asservissement de l’axe d’orientation. Q.2. Déterminer la relation entre KC, Kθ et λ pour obtenir un fonctionnement précis en régime permanent, de façon à annuler l’écart εP quand la position angulaire en sortie θP et la position de consigne θPC sont égales. Les équations qui modélisent le moteur sont les suivantes : d i (t ) d ω M (t ) e(t) = KE.ωM(t) uM(t) = e(t) + RI.i(t) + LI . J. = CM(t) CM(t) = KT.i(t) dt dt Avec : KE : constante de force électromotrice, KE = 14,3 V / 1000 tours min-1, KT : constante de couple, KT = 0,137 N.m.A-1, RI : résistance de l’induit, RI = 1 LI : inductance de l’induit, LI = 1,65 mH J : inertie du rotor + de la charge entraînée rapportée à l’axe de rotation du moteur, J = 12.10-5 kg.m2. Q.3. Déterminer la fonction de transfert du moteur M(p) telles que

M (p)

= M(p).UM(p).

Q.4. Déterminer l’expression littérale et la valeur numérique du gain G de l’amplificateur pour que la boucle tachymétrique présente un temps de réponse à 5 % minimum pour une entrée en échelon. Quel est alors le temps de réponse à 5 % ? Avec la valeur de G trouvée précédemment, on a calculé la fonction de transfert de boucle ouverte V ( p) 88 HB(p) pour l’asservissement en position : H B ( p ) = θ = C ( p ). 3 ε P ( p) p (10 + 3,2. p + 5.3.10 − 3. p 2 )

Q.5. On considère pour l’instant que le système n’est pas corrigé : C(p) = 1. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode en amplitude et phase de la fonction de transfert HB(p) du système non corrigé en plaçant avec précision les points caractéristiques. Pour la fin, les courbes de gain et de phase seront assimilées à leur tracé asymptotique.

Q.6. Déterminer les valeurs de marge de phase Mφ, de marge de gain MG et de bande passante à 0 dB BP0 de la fonction de transfert HB(p). Conclure vis-à-vis du C.d.C.F.. Q.7. On utilise une correction proportionnelle C(p) = C0. Déterminer la bande de valeurs de C0 qui permet de vérifier les critères de performance de la FS1.

100

F


A

BCD E

DBE

E

E FDE BE D DBEE

CB B E BCCD

DF E

Q.1.

θPC(p)

VC(p) Kc

+

C(p)

+

-

θM(p)

θEC(p)

G

M(p)

λ

1/p

Kω

Kθ

Q.2. On a εP(p) = VC(p) – Vθ(p) = Kc.θPC(p) – Kθ.θM(p) = Kc.θPC(p) – Kθ. Si θPC(p) = θP(p) alors εP(p) = 0 → Kc =

θ P ( p) λ

Kθ

λ

d i (t ) → UM(p) = E(p) + RI.I(p) + LI.p.I(p) dt e(t) = KE.ωM(t) → E(p) = KE. M(p) d ω M (t ) J. = CM(t) → J.p. M(p)= CM(p) dt CM(t) = KT.i(t) → CM(p) = KT.I(p)

Q.3. uM(t) = e(t) + RI.i(t) + LI .

UM(p) +

ε(p) -

CM(p)

I(p) 1 R I + LI . p

E(p)

KT

1 J .p

M(p)

KE

Rappel : la boucle de retour de ce schéma-bloc n’est pas une boucle d’asservissement, elle correspond seulement à la modélisation du MCC

1 1 .K T . .K E Ω M ( p) 1 1 K T .K E RI + LI . p J.p = . = M ( p) = . 1 1 U M ( p) K E 1 + .K T . .K E K E J . p.( RI + LI . p ) + KT .K E RI + LI . p J.p M ( p) =

θP(p)

εv(p)

Vω(p)

Vθ(p)

ΩM(p)

UM(p)

EVP(p)

εp(p)

1 1 . K E J .LI . p 2 J .RI . p + 1 K T .K E K T .K E

101

R(p)

F


Q.4. Etude de la boucle tachymétrique : UM(p)

EVP(p) +

M(p)

εv(p) G

M(p)

Vω(p)

M(p)

EVP(p)

-

F(p)

Kω

→ t5% minimum pour z = 0,69. G.Kω K T .K E . 1 G.K ω .M ( p ) 1 K E J . p.(RI + LI . p ) + KT .K E = . . Calcul de la FTBF : F(p) = K T .K E Kω 1 + G.K ω .M ( p ) K ω 1 + G.K ω . K E J . p.(RI + LI . p ) + KT .K E 1 G.Kω .K T 1 G.Kω .K T F(p) = = . . Kω J . p.(RI + LI . p ) + K T .K E + G.Kω .K T Kω J .RI . p + J .LI . p 2 + K T .K E + G.Kω .K T G.Kω .K T 1 K T .K E + G.Kω .K T F(p) = . J . R J .LI Kω 1 + I .p + . p2 K T .K E + G.Kω .K T K T .K E + G.Kω .K T

F(p) =

G.K T KT .K E + G.Kω .K T 1+

1

Avec :

2. z

ω0

=

J .RI J .LI .p + . p2 KT .K E + G.Kω .K T KT .K E + G.Kω .K T

ω0

2

=

J .LI → ω0 = K T .K E + G.Kω .KT

J .RI → 2. z = KT .K E + G.Kω .KT

→ G=

=

K 1+

2. z

ω0

p+

1

ω0

p2

KT .K E + G.Kω .KT J .LI 2

J .RI 2 → 4.z 2 .LI .( KT .K E + G.Kω .KT ) = J .RI LI .( K T .K E + G.Kω .K T )

2 2  1  J .RI J .RI − 4.z 2 .LI .KT .K E   G = . − K → E 2 2  Kω  4.z .LI .KT 4.z .LI .Kω .KT 

 1  12.10−5 × 12  . − 0,137  → G = 2,47 A.N. : G = 2 −3 0,057  4. × 0,69 × 1,65.10 × 0,137  Pour z = 0,69 on a t5% .ω0 = 3 → t5% =

A.N. : t5% =

2

3 KT .K E + G.Kω .K T J .L I

3 → t5% = 6,8.10-3 s 0,137 × 0,137 + 2,47 × 0,057 × 0,137 12.10− 5 × 1,65.10− 3

102

F


Q.5. FTBO : H B ( p ) =

Vθ ( p) 88 = pour C(p) = 1 soit : 3 ε P ( p ) p (10 + 3,2. p + 5.3.10 −3. p 2 )

+

UM(p)

EVP(p)

εp(p)

VC(p)

C(p) -

+

M(p)

θM(p)

εv(p) G

M(p)

1/p

Vω(p)

Vθ(p)

Kω

Kθ

EVP(p) +

H B ( p) =

θM(p)

C(p)

F(p)

Intégrateur

1/p

Vθ(p)

Gain pur

M(p)

εp(p)

VC(p)

Kθ 2ème ordre avec z<1 ( <0)

88.10 −3 1 . −3 p (1 + 3,2.10 . p + 5.3.10 −6. p 2 )

Le gain pur correspond au gain statique K de F(p) multiplié par Kθ. Le dénominateur du système du 2ème ordre est celui est F(p). Par conséquent la pulsation propre du système du 2ème ordre est KT .K E + G.Kω .KT ω0 = → ω0 = 439 rad/s. J .LI On a 0dB pour ωco = 0,088 rd/s

Q.6. Hypothèse : les courbes de gain et de phase seront assimilées à leur tracé asymptotique. On a 0dB pour ωco = 0,088 rd/s soit une bande passante BP0 = 0,088 rd/s. Pour ωco on a une marge de phase Mφ = 90° (système équivalent à un intégrateur pur pour les faibles pulsations) La phase vaut -180° pour ω0 = 438 rad/s → -90° de phase de l’intégrateur + -90° de phase du système du second ordre pour la pulsation de cassure (voir réponse harmonique du système du second ordre pour z<1) Comme on ne considère que la courbe de gain est assimilée à son tracé asymptotique, on considère que pour cette pulsation on a juste un gain pur. K → le gain pour cette pulsation vaut donc GdB= 20.log = 20.log (K) – 20.log(ω0) = -73.95 dB soit jω 0 MG = 73.95 dB.

103

F


Seul le critère BP0 du C.d.C.F. n’est pas respecté. Q.7. Hypothèse : les courbes de gain et de phase seront assimilées à leur tracé asymptotique. Pour avoir une bande passante BP0 de 50 rad/s il faut 0,088.C0 = 50 → C0 = 568. La marge de phase est toujours de -90°. Le gain pour cette pulsation vaut donc GdB= 20.log

K

ω0

= 20.log (K) – 20.log(ω0) = -18,8 dB soit une

marge de gain MG = 18,8 dB. GdB (dB) -20dB/dec 20 dB

ωco

0 dB 0,001

0,01

ω (rad/s)

ωo

0,1

1

100

10

1000

MG MG

-60dB/dec

φ (°)

ω (rad/s)

ωco 0,001

0,01

0,1

1

100

10

– 90

Mφ

Mφ – 180

– 270

104

1000

RESUME DU COURS

D’ASSERVISSEMENT

/

A BB

CD A BE

F

A

RESUME DU COURS D'ASSERVISSEMENT 1- Transformation de Laplace 1-1 Rappel de la définition Soit f, fonction de la variable réelle t ; la transformée de Laplace F(p) de la fonction f est définie par : ∞

F ( p ) = ∫0 e − p.t . f (t ).dt

notée F(p) = L[f(t)] avec p variable réelle ou complexe

1-2 Transformée de Laplace de la dérivée

L[f’(t)] = p.F(p) – f(0+)

f(0+) étant la limite à droite de f(t) lorsque t tend vers 0.

Dans le cas où f et ses dérivées sont nulles à l'instant zéro, on obtient :

L[f’(t)] = p.F(p)

L[f’’(t)] = p2.F(p)

et

Nota : L'intérêt de la transformation de Laplace pour la résolution d'équations différentielles est de remplacer une opération de dérivation par un produit.

1-3 Transformée de Laplace d'une intégrale

[

]

L ∫0 f ( y ).dy = t

F ( p) p

1-4 Théorème de la valeur initiale, théorème de la valeur finale

lim ( f (t )) = lim ( p.F ( p )) t →0 p →∞

lim ( f (t )) = lim ( p.F ( p )) t →∞ p →0

1-5 Théorème du retard

L[f(t-τ)] = e-pτ.F(p) 1-6 Les transformées de fonctions à connaître Fonction f(t) Dirac (impulsion)

Transf. De Laplace F(p) 1

Echelon : a.u(t) Rampe : a.t.u(t)

Fonction f(t) -at

Transf. De Laplace F(p)

e

a p

sin(ω.t)

a p2

cos(ω.t)

1 p+a

ω

p2 +ω 2 p p +ω2 2

1-8 Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples Soit une fraction rationnelle :

F ( p) =

N ( p) ; La méthode de décomposition est la suivante : D( p)

1) factoriser le dénominateur D(p) pour la suite, prenons en exemple le résultat de factorisation suivant : D(p) = p2 +(1+T.p) 2) exprimer F(p) en une somme de fraction rationnelles avec des coefficients inconnus ; (rappel : dans le cas où le pôle est multiple d'ordre n, les puissances successives doivent apparaître dans la décomposition ). Avec l'exemple ci dessus, on écrit l'égalité :

N ( p) A B C = + 2+ D( p ) p p (1 + T . p)

3) déterminer les coefficients inconnus : Méthode principale : Elle consiste à multiplier les deux membres de l'égalité par le dénominateur de la fraction dont on recherche le coefficient, puis à annuler le terme qui a été multiplié. Obtention de B : on multiplie les deux membres par "p2 " et on pose "p = 0" dans l'égalité. Obtention de C : on multiplie par (1+Tp) et on pose "p= - 1/T " dans l'égalité. Obtention de A : voir méthode 2.

1

/

A BB

CD A BE

F

A

Méthode 2 (dans le cas de pôles de puissance >1) : On fait tendre p vers l'infini après multiplication par l'un des dénominateurs de la décomposition. Pour notre exemple, développer : lim (1 + T . p).N ( p)  = A.T + 0 + C   p →∞





D( p )

Méthode de secours (souvent lourde ; conduit à des équations permettant de calculer les coefficients) : On réduit le terme de droite au même dénominateur et on identifie ensuite les numérateurs. Autre méthode de secours (permet de déterminer un des coefficients) : On donne une valeur numérique à p. par exemple, B et C étant connus (méthode 1), on prend p=1 pour obtenir une équation avec l'inconnue C.

2- Schémas fonctionnels 2-1 Fonction de transfert d'un système linéaire Equation(s) différentielle(s) et schéma décrivant le comportement du système : d n s(t ) d n−1s (t ) ds(t ) d m e (t ) de(t ) e(t) an . + a . + ... + a . + a . s ( t ) = b . + ... + b1. + b0 .e(t ) n −1 m 1 0 dt n dt n−1 dt dt m dt

système

s(t)

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, on obtient la fonction de transfert (ou transmittance) qui est une fraction rationnelle H(p) telle que :

H ( p) =

S ( p) bm . p m + bm−1 . p m−1 + ... + b1. p + b0 = E ( p) an . p n + an−1 . p n−1 + ... + a1 . p + a0

E(p)

H(p)

S(p)

Le degré (n) du dénominateur est appelé "ordre" de la fonction de transfert. Une autre forme de H(p) est la "forme canonique" :

(1 + b'1 . p + ... + b' m−1 . p m−1 + bm . p m ) S ( p) H ( p) = = K. α E ( p) p .(1 + a'1 . p + ... + a' n−1 . p n−1 + an . p n ) Le facteur K est appelé "gain statique" du système ou "gain" de la fonction de transfert. S'il existe une racine nulle d'ordre α de D(p), un terme pα apparaît au dénominateur ; la valeur de α est appelée la "classe" de la fonction de transfert.

H ( p) =

S ( p) B.( p − z1 ).( p − z 2 ).....( p − z m ) = E ( p) ( p − p1 ).( p − p2 ).....( p − p n )

Si on explicite les racines (réelles ou complexes conjuguées) des 2 polynômes constituant le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert, on a : Les racines zi du numérateur sont appelées "zéros" de la fonction de transfert ; Les racines pi du dénominateur sont appelées "pôles" de la fonction de transfert.

2-2 Systèmes bouclés Fonctions de transfert : E(p)

+

-

H(p)

-de la chaîne directe : H(p)

S(p)

- de la boucle ouverte : FTBO (p) = H(p).K(p) K(p)

- de la boucle fermée :FTBF(p)=

H ( p) 1 + H ( p ).K ( p )

Schémas à retour unitaire équivalents : E(p) +

-

H(p).K(p)

1/K(p)

S(p)

2

E(p)

1/K(p)

S(p) +

-

H(p).K(p)

/

A BB

CD A BE

F

A

2-3 Association de constituants ; schémas équivalents Constituants placés en série ;

H1(p)

E(p)

H3(p)

H2(p)

S(p)

H(p)

E(p)

S(p)

H(p) = H1 (p) ⋅ H 2 (p) ⋅ H 3 (p)

La fonction de transfert de l’ensemble est égale au produit des fonctions de transfert de chaque bloc. Constituants placés en parallèle: H1(p) H2(p)

E(p)

+

+ +

S(p)

H(p)

E(p)

S(p)

H3(p) La fonction de transfert de l’ensemble est égale à la somme des fonctions de transfert de chaque bloc.

H(p) = H1 (p) + H 2 (p) + H 3 (p)

Déplacements des sommateurs

E1(p)

+

+

H(p)

S(p)

E2(p)

E1(p)

H(p)

E2(p)

H(p)

+

+

S(p)

Démo : On a : S(p) = H(p) ⋅ ( E 1(p) + E 2 (p)) ce qui s’écrit encore : S(p) = H(p) E 1 (p) + H(p) E 2 (p)

E1(p)

H(p)

+

+

S(p)

E2(p)

E1(p) E2(p)

+

+

H(p)

S(p)

1/H(p) 

Démo : On a : S(p) = H(p) E 1 (p) + E 2 (p) ce qui s’écrit encore : S(p) = H(p) ⋅  E1 (p) + 

 1 ⋅ E 2 (p)  H(p) 

Déplacements des points de prélèvement Point de prélèvement

E(p)

H(p)

S(p)

E(p)

H(p)

S(p) 1/H(p)

S'(p) Démo : On a : S' (p) = E(p) ce qui s’écrit encore : S' (p) = E(p) = H(p) ⋅

3

1 ⋅ E(p) H(p)

S'(p)

/

A BB

CD A BE

F

A

Point de prélèvement

E(p)

H(p)

S(p)

E(p)

S'(p)

H(p)

S(p)

H(p)

S'(p)

Démo : On a : S' (p) = S(p) = H(p) ⋅ E(p)

3- La réponse temporelle des systèmes 3-1 Réponse temporelle des systèmes du premier ordre : H ( p ) = Entrée en échelon : e(t) = E0.u(t) (E(p) = E0/p)

K 1+ T.p 2

Entrée en rampe : e(t) = a.t (pente : a) ; (E(p) = a/p )

εv est l'écart de traînage : εv = a T (lorsque K=1) s(t)=K . a. (t - T + T e-t/T)

T : constante de temps du système s(t)=K . E0. (1 - e-t/T)

3-2 Réponse temporelle des systèmes du deuxième ordre : K Avec ξ: coefficient d'amortissement ; H ( p) = ω0 : pulsation propre non amortie. 2ξ 1 1+ p + 2 .p2 ω0 ω0 Si le dénominateur a 2 racines complexes : Cas : ξ < 1 : il y a des oscillations de période Tp = 2π/ωp la pulsation propre est :

ω p = ω0 . 1 − ξ 2

le dépassement réel : D = smax - s∞ le 1er dépassement relatif est : - π .ξ

D1 =

4

smax − s∞ =e s∞

1−ξ 2

/

A BB

CD A BE

F

A

4- La réponse fréquentielle des systèmes 4-1 Généralités : soit un système représenté par la fonction de transfert H(p). On soumet le système à une entrée e(t) = E0 . sin(ω t) On observe la sortie : s(t) = S0 . sin(ω t + ϕ) On montre que si on remplace p par (j. ω) , on a H ( jω ) = S 0 .e j .ϕ et donc :

E0

le "rapport d'amplitude" A(ω ) = H ( jω ) = S 0

E0

et le déphasage: ϕ (ω ) = arg( H ( jω )) de la sortie par rapport à l'entrée

4-2 Système du premier ordre

4-2 Système du deuxième ordre Si ξ < 0,7 : il y a résonance (pulsation

ω r = ω0 . 1 − ξ 2 ):

Le coefficient de surtension est alors:

Q=

H ( jω r ) 1 = H (0) 2.ξ . 1 − ξ 2

ou Q(dB) = -20 log ( 2.ξ .

5

1− ξ 2

)

/

A BB

CD A BE

F

Annexe

A

MODELE DU SECOND ORDRE 1. La réponse indicielle

Figure A. 1.

)

Temps de montée (*

Temps de réponse à n %

(d < 0,7)

Temps de pic Pseudo-période Pseudo-pulsation Dépassement Rapport de 2 maxima successifs Nombre d’oscillationscomplètes

Pour une même pulsation propre non amortie ω0 et : • pour z<<1 (amortissement faible), les oscillations sont mal amorties et le temps de réponse est grand. • pour z≈0.7, le système présente un dépassement D faible (D1= 5%) avec le temps de réponse le plus faible. • pour z=1, le système présente le temps de réponse le plus faible pour une réponse sans dépassement. • pour z>>1, il n’y a pas de dépassement mais le système est hyper amorti donc le temps de réponse est très grand. Pour un même coefficient d’amortissement z, plus ω0 augmente plus le temps de réponse à 5% diminue, donc plus le système est rapide. 6

/

A BB

CD A BE

F

A

Annexe

2. La réponse fréquentielle

Figure A.2.

Pulsation de résonance Pulsation de coupure Facteur de résonance Facteur de qualité En décibels

On a aussi

7

153

/

A BB

CD A BE

F

A

Tracés asymptotiques de BODE : ce qu’il faut connaître

8

/

A BB

CD A BE

F

A

5- COMPORTEMENT ET PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS 5-1 INTERET DU BOUCLAGE DANS UN SYSTEME ASSERVI A l’origine, les systèmes industriels étaient motorisés.

U(p)

E(p) Afficheur

S(p) Distibuteur

Convertisseur

Processus

E(p)

S(p) H(p)

On peut représenter un tel système par une fonction de transfert H(p).

Le bouclage consiste à mettre en place un capteur et à comparer ce qui est attendu à ce qui est obtenu.

E(p)

Affir

S(p)

+

Distibuteur

Convertisseur

Processus

Capteur Le capteur et l’afficheur ayant même gain (et souvent même fonction de transfert), on peut représenter le système bouclé par le schéma suivant :

E(p) +

S(p) H(p)

-

A Cas où H(p) BD D A A Ks Après bouclage, on obtient une nouvelle fonction de transfert : H ( p) = 1+ T.p S ( p) Ks ' Ks T avec H ' ( p) = = Ks ' = T '= 1 + Ks E ( p) 1 + T '. p 1 + Ks

En soumettant un tel système avant et après bouclage à un échelon unitaire, on obtient les réponses suivantes (avec Ks = 1 et T = 1) : Donc un système du premier ordre bouclé n’est pas précis. Sa précision augmente avec la valeur du gain en boucle ouverte.

Réponse du système non bouclé

Réponse avec Ks=10

Réponse du système bouclé

B le bouclage ne modifie pas l’ordre, le bouclage a modifié le gain, le bouclage a accru la rapidité, un système du 1er ordre bouclé est fondamentalement imprécis. On améliore sa précision en augmentant le gain Ks de la FTBO.

9

/

A BB

CD A BE

F

A

Cas où H(p) est une fonction du 2nd ordre :

H ( p) =

1+

H ' ( p) =

2.ξ

ω0

Ks p+

1

ω0 ²

Après bouclage, on obtient une nouvelle fonction de transfert.

p²

S ( p) Ks' = $% E ( p) 1 + 2.ξ ' p + 1 p ² ω0 ' ω0 '²

Ks'=

ξ Ks & ξ '= 1 + Ks 1 + Ks

En soumettant un tel système avant et après bouclage à un échelon unitaire, on obtient les réponses suivantes (avec Ks = 1 , ξ = 1 et ω0 = 1) :

ω0 ' = ω0 1 + Ks

Réponse du système non bouclé

Réponse du système bouclé

On retrouve les mêmes conclusions que précédemment : le bouclage n’a pas modifié l’ordre du système, le bouclage a modifié le gain, le bouclage a accru la rapidité du système par une diminution du coefficient d’amortissement, un système du 2nd ordre bouclé est lui aussi imprécis. Mais la précision peut être améliorée en augmentant le gain de la FTBO. D’une façon générale, quelle que soit la fonction de transfert considérée, son bouclage par un retour unitaire entraîne : une conservation de l’ordre du système une modification du gain qu’il faudra éventuellement corriger en l’augmentant pour améliorer la précision, une augmentation de la rapidité.

10

/

A BB

CD A BE

F

A

5-2 AMELIORATION DE LA PRECISION D’UN SYSTEME ASSERVI E(p) +

On considère un système à retour unitaire suivant : La FTBO est de la forme # H ( p ) =

K BO .N ( p ) & p α .D( p )

où

D( p)

les

termes

N( p)

et

N ( p) = 1 + a1 p + a2 p + ... + a n p 2

n

ε ( p)

S(p) H(p)

-

sont

des

polynômes

D( p) = 1 + b1 p + b2 p + ... + bm p 2

de

la

forme

suivante :

m

1 indique l’existence possible d’une ou plusieurs intégrales. pα Cette mise en forme permet de mettre en évidence, le gain global de la FTBO # K BO

Le terme en

La FTBF s’écrit donc : FTBF ( p) = H BF ( p) =

K BO .N ( p) p .D( p) + K BO .N ( p) α

On s’intéresse à l’écart ε ( p) . Son expression est # ε ( p ) = E ( p ) − S ( p ) = E ( p ).[1 − H BF ( p) ] D’où

ε ( p ) = E ( p ). εD !A

FD A D AB

pα .D ( p ) pα .D ( p ) + K BO .N ( p ) D B

DA B $ D

AF BCBDEF

!

BD ε ! AB" B F DD D %

D D A D B

AB # DA B

D’où le tableau récapitulatif suivant :

! a.

! !

a.

),*! a.

*

!

C! a p a p2 a p3

α"( a 1+ K BO

α")

α"*

(

(

ε+

∞

a K BO

(

ε$

∞

∞

a K BO

$A ε

Conclusion : Un système ayant au moins une intégration dans la boucle ouverte possède un écart statique nul. Dans le cas contraire, l’écart statique diminue si le gain en boucle ouverte augmente. Cette observation n’est vraie que si le système n’est pas soumis à une perturbation. Dans le cas d’un système avec perturbation, l’erreur statique sera nulle pour une entrée et une perturbation en échelon si l’intégration dans la FTBO est située en amont de la perturbation.

11

/

A BB

CD A BE

F

A

6 - STABILITE D’UN SYSTEME ASSERVI 6-1 Définitions de la stabilité. 1ère définition : Un système est stable si et seulement si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. 2ème définition : Un système est stable si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermée n’a que des pôles à partie réelle négative.

6-2 Critère de Routh. N ( p) . D ( p) Le dénominateur, équation caractéristique de H(p), se met sous la forme suivante : D ( p) = an . p n + a n−1 . p n−1 + ...+ a1 . p + a 0 avec n>0.

On considère une fonction de transfert H BF ( p) =

Le critère de Routh permet de déterminer la stabilité du système à partir des coefficients ai. On étudie pour cela les polynômes d’Hurwitz en formant le tableau suivant : La première ligne regroupe les termes en pn-2k La deuxième ligne regroupe les termes en pn-2k+1 C C -) C -* C -/

(& (

C) C0

('

.)

.*

)

*

* *

() (+

./

A) (

Les coefficients bi et ci sont définis de la façon suivante :

b1 =

− 1 an a n − 2 . & an−1 an−1 an−3

b2 =

− 1 an . an −1 an−1

c1 =

− 1 an−1 . b1 b1

c2 =

− 1 an−1 . b1 b1

an−3 & b2

an − 4 & an −5 an−5 & b3

idem pour des coefficients di , ei , etc…

Énoncé du critère Le système est stable si et seulement si tous les termes de la première colonne (dite colonne des pivots) sont strictement positifs. Dans le cas contraire, le nombre de changements de signes correspond au nombre de racines à partie réelle positive.

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/

A BB

CD A BE

F

A

6-3 Critère du revers (critère graphique). On démontre (et on admettra) que la stabilité en boucle fermée d’un système dépend de la façon dont se comporte la FTBO dans ses représentations en lieux de transfert vis-à-vis du point critique ( A(ω ) =1 , ϕ (ω ) = −180° ).

Le critère du revers, appelé aussi critère graphique car il s’appuie sur la représentation graphique de la fonction de transfert en boucle ouverte dans les lieux de transfert, admet des énoncés différents, suivant que l’on considère la représentation dans le plan de Black ou de Nyquist., ou bien dans le diagramme de Bode. Enoncé du critère dans le plan de Nyquist. Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à gauche du lieu. Dans le cas contraire, il est instable.

Le plan de Nyquist est le plan complexe où la partie réelle de FTBO( jω) est représentée en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. Le point critique est le point (−1,0) . Im

-1

Im

Re 0

Sens des pulsations croissantes

Im

Re

-1


Système stable

Re

-1

0

0


Système astable ou critique

Système instable

Enoncé du critère dans le plan de Black.

Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à droite du lieu. Dans le cas contraire, il est instable. Le plan de Black est le plan où apparaît en abscisse Adb(ω) = 20log( A(ω)) . Le point critique correspondant à (−180°,0dB)

-180°,0dB


ϕ

et en ordonnée

AdB

AdB Sens des pulsations croissantes

ϕ (ω)

AdB Sens des pulsations croissantes

ϕ

-180°,0dB

ϕ

-180°,0dB

Système stable

Système astable ou critique

13

Système instable

/

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CD A BE

F

A

Application du critère dans les diagrammes de Bode. Adb

ω1

0db

ω2

ω

Si pour les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte, les tracés sont tels que : pour ω1 , pulsation pour laquelle AdB(ω1) = 0dB , ϕ (ω1) > −180° , o

et

pour ω2 , pulsation pour laquelle ϕ (ω2) = −180° , AdB(ω 2) < 0dB ,

ϕ 0°

ω1

ω2

ω

alors le système est stable en boucle fermée.

-180°

Adb

ω2

0db

ω1

ω

Si pour les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte, les tracés sont tels que : pour ω1 , pulsation pour laquelle AdB(ω1) = 0dB , ϕ (ω1) < −180° , ϕ 0°

ω2

ω1

ω

ou

pour ω2 , pulsation pour laquelle ϕ (ω 2) = −180° , AdB(ω2) > 0dB ,

-180°

alors le système est instable en boucle fermée.

Critère simplifié : Un système est stable en boucle fermée si le gain est inférieur à 1 ( Adb < 0 dB ) lorsque la phase vaut –180°. On définit la pulsation critique ωc telle que ϕ (ωc ) = −180° .

6-4 Cas des systèmes astables ou critiques. Lorsque le lieu de transfert de la FTBO passe par le point critique, on dit du système qu’il est astable ou critique en boucle fermée. Ce cas de figure peut se traduire par le comportement suivant : soumis à une entrée finie (échelon), la réponse en régime établi ne sera pas finie de façon continue, mais présentera en « moyenne » une réponse finie.

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/

A BB

CD A BE

F

A

6-5 Marges de stabilité .

Marge de phase

La marge de phase est définie telle que Mĳ = 180° + arg(FTBO (jȦco)) où Ȧco est la pulsation de coupure pour laquelle |FTBO (jȦco))| = 0dB. On cherche généralement à obtenir une marge de phase de 45° (valeur empirique) qui garantit un fonctionnement correct de la plupart des systèmes.

Marge de gain

La marge de gain est définie telle que MG = -20log|FTBO (jȦĳ180))| où Ȧĳ180 est la pulsation pour laquelle arg(FTBO (jȦ ĳ180)) = -180°. La marge de gain est une garantie que le système restera stable malgré une variation imprévue du gain ou une imprécision sur sa valeur. Une marge de gain de 6dB permet une latitude d'un facteur 2 sur le gain en boucle ouverte. La valeur retenue est généralement comprise entre 6 et 10 dB.

Illustrations des marges de gain et de phase dans le plan de Nyquist, de Black et de Bode Im(FTBO(j))

Point critique (-1,0)

GdB (dB)

Re(FTBO(j))

ω→∞ ω→0

V Mĳ

ωco ωĳ180

0

ω (rad/s)

MG -1

GdB(FTBO(j))

MG = 20.log(1/V) (°) 0

ω0

ω (rad/s)

Point critique (-1,0)

Mĳ Re(FTBO(j))

MG -180°

ω→∞

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Mĳ

/

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CD A BE

F

A

7 - CORRECTION D’UN SYSTEME ASSERVI

Lors de la correction des systèmes asservis, il convient de toujours résoudre le dilemme : stabilité / amortissement / rapidité /précision

La fonction de transfert du correcteur P est du type C(p) = KP. C’est procédé de correction est le plus simple à réaliser. La valeur KP est ajustée afin d’obtenir obtenir un bon compromis précision-stabilité sur le système asservi, ce qui conduit à choisir : • soit une valeur de KP < 1 pour garantir la stabilité mais l’asservissement sera peu rapide et peu précis (statiquement ou dynamiquement), • soit une valeur de KP > 1 pour améliorer la précision mais le système risque de devenir instable (problème du pompage). 2.1. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis d’une précision imposée Pour régler le correcteur proportionnel vis-à-vis d’une précision imposée, il faut déterminer le gain de boucle K de la FTBO permettant d’obtenir l’erreur désirée et en déduire la valeur du gain KP du correcteur proportionnel à partir de K. 2.2. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis d’une performance en rapidité imposée Pour régler le correcteur proportionnel vis-à-vis d’une performance en rapidité imposée, il faut déterminer le gain de boucle K de la FTBO permettant d’obtenir la performance en rapidité imposée et en déduire la valeur du gain KP du correcteur proportionnel à partir de K. 2.3. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Bode) GdB (dB)

On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis on translate la courbe en gain verticalement de manière à obtenir la marge de phase et/ou la marge de gain adéquate.

FTBO pour KP = 1

TdB

La mesure de la translation donne la valeur de KP en dB soit : TdB = 20 log K P

ωco ωĳ180

0

ω (rad/s)

MG

TdB = 20 log K P K P = 10

TdB 20

(°) 0

ω (rad/s)

Attention TdB est une valeur algébrique. Sur la figure de droite elle serait par exemple négative. -180°

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Mĳ

/

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CD A BE

F

A

2.4. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Black) On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis GdB(FTBO(j)) on translate la courbe en gain verticalement de ω0 manière à obtenir la marge de phase et/ou la Point critique (-1,0) TdB marge de gain adéquate. Mĳ ω0 La mesure de la translation donne la valeur de KP en dB soit : TdB = 20 log K P TdB = 20 log K P K P = 10

Re(FTBO(j))

MG

TdB 20

Attention TdB est une valeur algébrique. Sur la figure de droite elle serait par exemple positive.

ω→∞

FTBO pour KP = 1 ω→∞

2.5. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Nyquist) On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis Point critique Im(FTBO(j)) on réalise une homothétie sur la courbe afin (-1,0) ω→∞ Re(FTBO(j)) d’obtenir la marge de phase et/ou la marge de A gain adéquate. ω→0 ω→0 Mĳ

KP est directement obtenu en faisant le rapport AM 2 = Kc AM 1

M2

FTBO pour KP = 1 M1

! " L’intérêt de ce type de correction est d’améliorer la précision du système asservi. Rappel : Le nombre d’intégrateurs dans la chaine directe (avant la perturbation) conditionne en partie la précision du système. Plus le nombre d’intégrateurs est grand meilleure est la précision.

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A BB

CD A BE

F

A

3.1. Correction intégrale pure La fonction de transfert du correcteur PI est du K type C ( p) = i . p

GdB (dB) 20 dB

Droite de pente – 20dB/décade ω (rad/s)

0

Cette correction apporte un déphasage de -90° sur toute la courbe de phase, ce qui est bien souvent incompatible avec le critère de stabilité.

Ȧc=Ki – 20 dB

(°)

On privilégie par conséquent un correcteur proportionnel intégral ou un correcteur à retard de phase.

– 90°

GdB (dB)

20.log(KC)

3 dB Kc/TI

ω (rad/s)

ω (rad/s)

Ȧc = 1/TI

(°) 0° ω (rad/s) –45°

3.2. Correction Proportionnelle Intégrale (PI) La fonction de transfert du correcteur PI est du § 1 · 1 + TI . p ¸¸ = KC . . type C ( p ) = KC .¨¨1 + TI . p © TI . p ¹ L’inconvénient du déphasage de -90° sur toute la gamme de l’intégrateur pur est levé puisque à haute fréquence, ce correcteur ne provoque plus de déphasage. Par contre le problème lié à l’amplification à basse fréquence est toujours présent.

–90° GdB (dB)

Réglage de la correction PI On choisit le coefficient KC de façon à obtenir la marge de phase désirée avec la correction proportionnelle seule. La mesure de la translation donne la valeur de KC en dB soit :

TdB = 20 log K C K C = 10

FTBO sans correction FTBO avec correction P FTBO avec correction PI

TdB ωréglage

0

ω (rad/s)

TdB 20

On met ensuite en place l’effet intégral mais cela ne doit pas (ou peu) modifier le réglage effectué à la pulsation réglage.

(°) 0

ω (rad/s)

Il faut donc prendre une constante de temps 1 TI tel que << réglage. On prend en TI

général

-6°

10 1 ωréglage = TI = ωréglage TI 10

Mĳ -180°

18

/

A BB

CD A BE

F

A

Le choix de TI modifie légèrement la marge de phase (-6°) mais on peut éventuellement anticiper cet inconvénient en choisissant KC de façon à obtenir la marge de phase souhaitée +6°. 3.3. Correction à retard de phase La fonction de transfert du correcteur PI est du 1+τ.p avec b > 1.(On peut aussi type C ( p) = 1 + b.τ . p 1 + a.τ . p trouver C ( p) = avec a < 1). 1+τ.p

GdB (dB)

(°)

–90°

GdB (dB)

TdB

On prend en général

τ

=

FTBO sans correction FT du correcteur FTBO avec correction

0

ωCO’

ω (rad/s)

TdB 20

(°)

Le réglage précédent ne doit être que faiblement modifié par le déphasage apporté par le correcteur. On rejette donc la diminution de phase vers les basses 1 << CO’. fréquences en choisissant 1

ω (rad/s) 0°

Réglage de la correction à retard de phase On identifie la valeur de la pulsation de coupure en haute fréquences qui permet d’obtenir la marge de phase désirée. La mesure de la translation nécessaire de la courbe de gain pour obtenir cette nouvelle pulsation de coupure CO’ donne la valeur de b en dB soit : TdB = −20. log(b) b = 10

ω (rad/s)

Ȧc2 = 1/Ĳ

-20.log(b)

Le correcteur à retard de phase est utilisé : • principalement pour diminuer le gain de 20.log(b) aux hautes fréquences, ce qui permet de régler la stabilité du système, • pour augmenter le gain de 20.log(b) en basse fréquence pour améliorer la précision.

−

Ȧc1 = 1/b.Ĳ

τ ωCO ' 10

τ=

0

10

ω (rad/s)

-180°

ωCO '

19

Mĳ

‫ ح إء ا‬

TD Resumé Asser2013

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