TEMA TEMA 21 21..- Re Reso solu luci ción ón de prob proble lema mas. s. Di Dife fere rent ntes es clas clases es y métodos de resolución. Planificación, gestión de los recursos, representación, interpretación y valoración de los resultados. Estrategias de intervención educativa. 1.- INTRODUCCIÓN 2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 3.- DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. 3.1.- Métodos de resolución de problemas. 3.2.- Clasificación de problemas. 4.- PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. 5.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA. 5.1.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Primer Ciclo. 5.2.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Segundo Ciclo. 5.3.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Tercer Ciclo. 6.- CONCLUSIÓN 7.- BIBLIOGRAFÍA
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1.- INTRODUCCIÓN El área de Matemáticas se orienta hacia el desarrollo de las capacidades y habilidades instrumentales que perfeccionen y aumenten las posibilidades de conocimiento de los alumnos y alumnas. Las experiencias matemáticas serán de naturaleza esencialmente intuitiva y estarán vinculadas a la manipulación de objetos concretos y a la actuación en situaciones particulares. A lo largo de la educación obligatoria, las Matemáticas han desempeñar un papel formativo básico de capacidades intelectuales, papel aplicado, funcional, a los problemas y situaciones de la vida diaria y papel instrumental en cuanto armazón formalizador de conocimientos otras materias.
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Tanto el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre , por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Primaria, como el Decreto 105/1992, de 9 de junio , por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía, destacan la importancia de la resolución de problemas, ya que es un contenido actitudinal que implica la capacidad de los alumnos y alumnas para detectar problemas, deseo y gusto por la resolución.
2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Antes de profundizar en la resolución de problemas, vamos a detenernos en clasificar conceptos muy relacionados: problemas y ejercicios.
Problemas La palabra “problema” abarca un amplio abanico que va desde la distinción entre ejercicio y problema de Kantowaki (1985), pasando por la “situación problemática” de Borráis (1986) hasta la idea de problema como “pensar matemáticamente” de Schoenfeld (1992). Una de las más clásicas es la de Lester(1983), que es la siguiente: “Problema es una situación que un individuo o un grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le lleve a la solución”
Ejercicios
Los ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para su resolución. Generalmente tienen una sola solución, son actividades de entrenamiento, de aplicación mecánica de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados. Le sirven al profesor para comprobar que los alumnos han automatizado los conocimientos que él pretendía enseñarles.
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Como profesores no debemos abusar de su realización, sino que debemos seleccionar cuidadosamente aquellos que nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los conceptos y la adquisición de algoritmos matemáticos por parte de los alumnos.
¿Qué es un problema matemático? Dentro del ámbito de la didáctica de la matemática el término problema tiene, entre otras, las siguientes acepciones: -
“Un problema es un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que requiere ser aclarada.” (Nieto, 1993).
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“Se puede definir un problema como una situación en la que se debe alcanzar una meta, pero en la cual está bloqueada la ruta directa.” (Kilpatrick, 1983).
La NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATEMATICS (NCTM, 2000), de EEUU en su obra Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares establece que los programas de enseñanza deberían capacitar a todos los estudiantes para: •
Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas. En Educación Primaria, esto se traduce por introducir la mayoría de los conceptos matemáticos a través de problemas que surjan del propio mundo infantil. El papel del maestro en la elección de tareas y problemas matemáticos es crucial, hemos de elegir aquellos que sean adecuados para nuestro grupo de alumnos y alumnas y su contexto determinado.
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Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos. El papel del maestro para desarrollar la disposición del alumnado ha de ser el de generar situaciones de aprendizajes en las que se le ofrezca un ambiente de apoyo, para explorar, arriesgarse, compartir fracasos y éxitos, y preguntarse unos a otros. Así adquirirán confianza en sus capacidades.
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Aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas. Utilizar diagramas, buscar patrones, considerar todas las posibilidades, probar con valores o casos determinados, trabajar a la inversa, tantear y comprobar, crear un problema equivalente y crear un problema más sencillo. A medida que la variedad de problemas sea más amplia necesitarán diferentes estrategias.
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Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reflexionar sobre él. Si los maestros mantienen un ambiente en el que el desarrollo de la comprensión es consistentemente controlado mediante la reflexión, es más probable que los alumnos, cuando resuelven problemas, aprendan a responsabilizarse de reflexionar sobre su trabajo controlando y ajustando constantemente lo que están haciendo.
3.- DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. 3.1.- Métodos de resolución de problemas. EL MÉTODO DE GEORGE PÓLYA George Pólya, fue un maestro húngaro del Instituto Tecnológico Federal de Zurcí, Suiza y trabajó en la Universidad de Stanford (EEUU). Opinaba que para entender una teoría, se debía conocer cómo fue descubierta, por ello, su enseñanza se centraba en el proceso de descubrimiento más que en desarrollar ejercicios apropiados. La resolución de problemas requiere una actividad mental que se pone en funcionamiento desde el momento en que se nos presenta el enunciado lo asumimos como un reto, hasta que damos por terminado el problema una vez hallada su solución. Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver problemas, debemos dedicar tiempo a ejercer como modelos de buenos resolutotes y explicitar los procesos de pensamiento que tienen lugar. Deberemos ofrecerles situaciones para que puedan ejercitarse en los procesos mentales que conlleva la resolución de problemas. Es muy importante que cuando se trabajen en clase, los alumnos tengan una disposición abierta hacia los problemas. Ideó un método basado en cuatro fases:
1. Entender el problema Implica entender tanto el texto como la situación que nos presenta el problema, diferenciar los distintos tipos de información que nos ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con la información que nos es aportada.
2. Configurar un plan Es la parte fundamental del proceso de resolución de problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la
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que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevará a ella. Es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder.
3. Ejecutar el plan Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación.
4. Mirar hacia atrás La finalidad de la resolución de problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este termina cuando el resolutor siente que ya no puede aprender más de esa situación. Existen otros métodos como por ejemplo del de Manson, Burton y Stacey, que nos dice que la resolución de problemas consta de tres fases: -
La fase del abordaje.
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La fase del ataque.
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La fase de revisión.
3.2.- Clasificación de problemas. A lo largo de la Educación Primaria se trabajan problemas aritméticos verbales, estos problemas, presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución. El alumnado sigue teniendo conflictos en la resolución de los problemas, cuando tienen que intervenir algunas de las cuatro operaciones básicas.
Dificultades
Algunas dificultades suelen ser las siguientes: -
Falta de comprensión en el enunciado del problema.
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Dificultad para reconocer la estrategia que se va a seguir.
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Dificultad para captar el orden en que hay que realizar las operaciones.
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No suelen plantearse si la solución es o no correcta.
Algunas normas que se deben seguir en el planteamiento de problemas son:
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Motivar: proponiendo problemas reales, sacados de situaciones cotidianas de la vida y del entorno del alumnado.
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Trabajar indistintamente varios modelos: mediante el planteamiento de problemas más variados.
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Llegar a la automatización del modelo: a través del razonamiento analógico y no mediante la repetición del mismo modelo continuamente.
Tipos de problemas: •
Problemas aditivos/sustrativos Incluimos aquí los problemas de sumar y restas. Carpenter y Monser , 1983, divide estos problemas en cuatro categorías: cambio, combinación e igualación. o
Cambio : Hay una cantidad inicial y una acción directa que causa una variación de esta cantidad:
Los de cambio-añadir, cuando la cantidad inicial se incrementa. Los de cambio-quitar, cuando el subconjunto es separado de un conjunto dado.
Ej: Tenía 127 cromos. Mi amigo Luis me regaló 22 cromos. Otros 12 cromos me los dio mi hermano. Si ahora compro 100 cromos ¿Cuántos cromos voy a tener? o
Combinar: Los problemas de combinar expresan la relación existente entre un conjunto y dos subconjuntos disjuntos. Existen dos problemas de este tipo:
Los dos conjuntos son dados y se trata de buscar la unión de ambos. Conocemos la unión y uno de los dos subconjuntos y tratamos de hallar el otro.
Ej.: Un niño tiene 48 canicas en la maleta y 29 en el bolsillo de los pantalones. ¿Cuántas canicas tiene en total? o
Comparar : Este tipo de problemas implican la comparación de dos conjuntos distintos y disjuntos. Puesto que uno de los dos es comparado con el otro, podemos referirnos a ellos como el conjunto comparado y el conjunto referente. El tercer dato es la diferencia. En esta clase de problemas una de las tres cantidades es la desconocida.
Ej.: María tiene 21 años y mi amiga Marta tiene 4 años más que ella. ¿Cuántos años tiene Marta?. o
Igualación: Los problemas de igualación son una mezcla entre un problema de comparación y un problema de cambio. Hay una acción
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que se ejecuta entre los dos conjuntos comparados con el fin de igualarlos. Ej.: Felipe tiene 68 canicas, Jorge tiene 34 y Ana tiene tantos como Felipe y Jorge juntos. ¿Cuántas canicas tiene Ana? •
Problemas de multiplicación/división Peled y Nesher (1988), hacen una clasificación diferenciando problemas de razón, de comparación o de producto cartesiano. o
Razón: También son conocidos por problemas de isomorfismo de medidas. Este tipo de problemas son en los que hay una proporción simple directa entre las cantidades. Resolubles con una división, son aquellos en los que conocemos el valor total y el valor de una parte, lo que tratamos de hallar es el número de partes.
- Un edificio tiene 9 pisos. En cada piso viven 12 personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio?. o
Comparar: en los problemas de comparación, ya sean del tipo de multiplicar o dividir, trabajaremos con dos colecciones, en las que la mayor contiene un número exacto de veces la menor. Si nos dan la menor y el número de veces que está contenida, será un problema de multiplicar; por el contrario, cuando conozcamos la colección mayor y la menor, o bien, aquella y el número de veces que contiene a ésta, será un problema de división.
- Ana tiene 36 cromos, Manolo tiene el doble que Ana y David tiene el triple que Manolo. ¿Cuántos cromos tiene Manolo y David? o
Producto cartesiano: En este tipo de problemas hay una composición cartesiana de dos colecciones. Serán de multiplicación, si conocemos las colecciones que vamos a emparejar, y de división, si se conoce una de estas colecciones y la colecciones y la colección final de parejas y se busca el valor de la otra colección.
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Julia tiene tres pantalones y dos blusas. ¿Cuántos días se puede vestir de diferente manera?
4.- PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. La matemática que se trabaja en la Educación Primaria es, habitualmente, de aprendizaje de procedimientos o de aplicación de conceptos y operatoria. El alumno que termina esta etapa educativa no ha desarrollado suficientemente los procesos mentales de pensamiento lógico, habilidades de razonamiento, estrategias de resolución, toma de decisiones, instrumentos de organización y clasificación de la información, etc.
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No es fácil acometer esto desde la escuela, pero es el camino que debe tomarse. Hay que dedicar una parte del tiempo a esta tarea. Lo único que se necesita es la disposición de hacerlo y una buena y abundante batería de problemas adecuados. •
Planificación
Si planificamos podremos llegar a la solución partiendo del enunciado (Luceño, 1999). La eficacia de las técnicas de planificación ha verificado que su uso está directamente relacionado con el éxito en la resolución de problemas. Las estrategias pueden enseñarse y enseñando estrategias se enseña a resolver problemas. Algunas estrategias útiles para resolver satisfactoriamente y comprender un problema son las siguientes: o o o o
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Decir lo mismo pero de otra forma. Contar la historia dando marcha atrás. Separar datos e incógnitas. Deducir qué se puede calcular a partir de unos datos conocidos.
Gestión de los recursos
Consiste en una lectura del texto profunda de manera que se diferencien sus partes y se distingan las relaciones en él, con la misión de ayudar a comprender el problema. El análisis del texto tiene como finalidad básicamente que el alumno pueda elaborar una representación de todo el sistema de relaciones específicas. •
Representación
La realización de esquemas gráficos a partir de los datos que se extraen del enunciado de los problemas es una estrategia que se debe utilizar. Los esquemas gráficos más utilizados son: o
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o
Esquemas lineales: utilizados habitualmente cuando en el enunciado del problema aparece una sola magnitud, especialmente en los problemas de relación parte-todo. Esquemas tabulares: utilizados cuando en el enunciado aparecen varias magnitudes o informaciones. Normalmente se utiliza una tabla de doble entrada. Esquemas ramificados: utilizados en aquellos problemas de combinaciones y en los multiplicativos donde se conoce la cantidad de partes y el contenido por parte, para hallar el todo.
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Esquemas conjuntistas: cuando la información que se proporciona se refiere a características que cumplen los elementos de un conjunto, generando la formación de nuevos conjuntos.
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Interpretación y valoración de los resultados. o
Tanteo o ensayo error: consiste en buscar las soluciones mediante
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pruebas sucesivas. Al ponerse en funcionamiento, el alumno elige un posible proceso resolutorio, aplicándolo. Si no es correcto, se prueba con otro. Comprobación: esta técnica tiene la función de garantizar que el procedimiento que se ha empleado y los cálculos que hemos realizado, así como los resultados que hemos obtenido sean correctos, o al menos entren dentro de lo posible.
5.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA. A través de la resolución de problemas, los estudiantes pueden experimentar la potencia y utilidad de las matemáticas. Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa. Para aprender la resolución de problemas en matemáticas, los alumnos deberían adquirir formas de pensar, hábitos de perseverancia y curiosidad, y confianza en situaciones no familiares que les servirán fuera de la clase.
5.1.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Primer Ciclo. El primer ciclo de Educación Primaria es el que posee las diferencias más tangibles. -
En primero los niños están aprendiendo a decodificar y, por tanto, se están iniciando en el desarrollo de la capacidad de comprensión lectora a través de textos escritos.
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En segundo curso el nivel de desarrollo en estas competencias está más avanzado y, por lo tanto, la metodología de trabajo es diferente.
En este primer ciclo se debe hacer especial hincapié en los problemas aritméticos simples aditivo-sustractivos, es decir, aquellos que se resuelven con una sola operación: suma o resta. Además se debería iniciar a los alumnos en la resolución de problemas muy sencillos de razonamiento lógico, en los que es necesario insistir en la comprensión del enunciado o situación planteada.
Primer curso
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Sobre todo al comienzo, se trabajará de manera intensiva a nivel oral y en gran grupo, resolviendo las actividades conjuntamente los alumnos con el profesor. Las sesiones no deben ser muy largas, menos de treinta minutos.
Segundo curso Se centrará más en lo que es propiamente reconocimiento y aplicación de las diferentes fases del proceso. Se dará más importancia al trabajo por parejas, aunque se den también situaciones en las que la actividad se plantee en y para el gran grupo. Se comenzará con sesiones cortas y luego se irá pasando a situaciones en las que los alumnos, en sesiones más largas, vayan adoptando un mayor protagonismo.
5.2.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Segundo Ciclo. En este ciclo, las diferencias en el desarrollo intelectual de los alumnos de los dos cursos que lo componen no son tan acusadas, si bien aún es necesario seguir trabajando en esa línea, la enseñanza se centrará más en la práctica e interiorización del proceso de resolución de problemas. A lo largo de este ciclo, el alumno debe familiarizarse con la identificación de situaciones de la vida cotidiana que se resuelven a través de multiplicaciones y/o divisiones. Los problemas de razonamiento lógico y los de azar o probabilidad que fueron iniciados en primer ciclo siguen tratándose también en este. Se introducen como novedad los problemas aritméticos combinados. Son aquellos que conllevan la realización de dos o más operaciones. Al comenzar el tercer curso, convendría que se hiciera alguna sesión, o al menos parte de ella, en gran grupo para repasar lo trabajado. Siempre que se inicie una tipología de problema diferente es recomendable el modelado por parte del profesor para explicitar el razonamiento interno, así como los pasos seguidos para llevar a cabo su resolución. Al final de este ciclo se introducen los problemas de recuento sistemático. Nuevamente es recomendable resolver algunos problemas en gran grupo con el fin de dotar a los alumnos de estrategias de resolución y de sistemas para ir anotando los posibles resultados de forma organizada. En este ciclo es muy importante insistir en la planificación. Se debe pedir al alumno que exprese por escrito cada uno de los pasos que piensa llevar a cabo.
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5.2.- El papel del maestro en el desarrollo de la resolución de problemas en el Tercer Ciclo. En este ciclo serán más capaces de expresarse matemáticamente en sus razonamientos y habrán construido su propio juicio para la valoración del resultado obtenido al final del proceso. Debería continuarse con problemas combinados de las cuatro operaciones. Estos fueron iniciados al término del ciclo anterior, pero es necesaria su consolidación. Tampoco suponen una novedad en este ciclo los problemas de recuento sistemático, no los de razonamiento lógico. Sin embargo, dentro de este grupo van a presentarse situaciones más novedosas. Conviene entrenar al alumno para que cuente con recursos en el momento de enfrentarse a estas situaciones. Los problemas o cuestiones de azar y probabilidad se vienen trabajando también desde cursos anteriores. En este tipo de actividades es imposible predecir con certeza el resultado, por ello se trata de hacer conjeturas, defenderlas o justificarlas. En lo referente a las tipologías que se introducen o inician en este ciclo podemos hablar de: - Problemas aritméticos. - Problemas de inducción-generalización. Respecto al agrupamiento, al igual que en los cursos anteriores, en aquellas tipologías que puedan presentar especial dificultad, el número de actividades a abordar en gran grupo será mayor, ya que no debe olvidarse que la función del profesor es acompañar a los alumnos en su proceso de aprendizaje. En este ciclo sigue teniendo especial importancia la planificación. Los problemas aritméticos que se sugieren necesitan de unos pasos intermedios que deben aplicarse para llegar a la solución final. A medida que avanza el ciclo, en una misma sesión, se intercalen problemas de diferentes tipologías.
6.- CONCLUSIÓN Abordar la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, como hemos visto a lo largo del tema, requiere la precisión de algunos conceptos, así como la explicitación de supuestos, todo ello nos permite responder a preguntas como qué es un problema. Para entender el concepto de problema, podemos hacer alusión a Parra (1990), dice que “un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea dispone de los elementos para comprender la situación que el
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problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata”. Tanto en el Decreto 105/1992, de 9 de junio, como el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, destacan la importancia de hacer a los niños conocedores de la resolución de problemas y de situaciones matemáticas que puedan trasladar a la vida cotidiana. Para finalizar destacaremos una frase de Galileo Galilei (1564-1642) “La matemática es la ciencia del orden y la medida de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”.
7.- BIBLIOGRAFÍA
Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Primaria Decreto 105/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía
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