Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Descripción del ejercicio 2 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En una fábrica de ropa producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2 ,3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
SOLUCIÓN
== 1 2 = 3 Luego 8 horas por 60 minutos es igual a 480 minutos planteando el sistema de ecuaciones se tiene:
30 50 65 = 40 50 40 = 50 50 15 = 480 3 0 5 0 6 5 = 4500 5500 4105, =480 , == 480 =
Proceso para cortar las camisas
480 480 480
Proceso para cocer las camisas
Proceso para planchar y empaquetar las camisas
Así:
Se tiene la matriz ampliada:
| 30 480 50 65 4050 5050 4015||480 480 Resolviendo por el método de reducción de Gauss Jordan
1 5/3 13/6| 16 | 30 480 50 65 | 4050 5050 4015||480 40 480 40 50 | 480 50 480 15 50 | | 5/3 13/6 140 5/350 13/6 16 1 16 − | | 480 0 160 50/3 140/3 40 50 50 15 |480 50 50 15 | 480 5/3 140/3 13/6 ||160 5/3 140/3 13/6 ||160 1 0 50/3 16 − 10 50/3 16 50 50 15 | 480 0 100/3280/3|320 5/3 140/3 13/6 ||160 13/6 | 5/3 16 10 50/3 16 −/ 1 14/5 | 1 48/5 0 0 100/3280/3|320 0 100/3280/3|320 | | 13/6 16 16 5/3 10 5/31 13/6 1 +/ 14/5 | | 48/5 48/5 0 14/5 1 0 100/3280/3|320 00 0|0 Por lo anterior podemos ver que el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 3 Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos Con base en los conceptos estudiados sobre rectas en R3, responda:
Descripción del ejercicio 3 a) En una ecuación de recta dada, se han de identificar fácilmente un punto conocido y un vector director, así, si se dan las coordenadas de un punto P de una recta y se conoce la ecuación paramétrica de una segunda recta, sabiendo que las dos rectas son paralelas, ¿que comparten en común dichas rectas?
Respuesta: Las rectas comparten en común el vector director.
b) Dé la ecuación de la recta, que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-2,0,1), B(1,2,3).
SOLUCIÓN
=
Sea a dos vectores.
la ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela
Reemplazando se tiene
= =(1,2,3 2,0,1)1,1,1 = 3,2,21,1,1
Entonces la ecuación de la recta es
c) Dados dos puntos cuales quiera en el plano, se requiere hallar un vector a partir de estos puntos para poder así determinar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. ¿Qué nombre recibe el vector hallado a partir de los puntos dados? Relacione con claridad una fuente de consulta comprobable que argumente la respuesta.
Respuesta: El vector hallado se llama vector director. Fuente de consulta: Stanley I. Grossman S.(2012) Algebra Lineal, Capitulo 5. d) Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos P y Q: P=(5, -1, 4) ; Q = (6, 2, 5) Sea la ecuación Reemplazando
5,1,4
,,= ,, =(6,2,5 5,1,4) ,, =1,3 ,1 5,1,4 ,,=1,3 ,1 5,1,4 ,,=,3,5,1,4 ,, =5,31,4
Así la ecuación vectorial es
Sea Operando
Luego las ecuaciones paramétricas son:
=31 =4
=5
Despejando t de las ecuaciones paramétricas se tiene:
=5 =5 =31 1=3 = 13 =4 =4
Igualando se tienen las ecuaciones simétricas de la recta
5= 13 =4
EJERCICIO 4 Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos: Dados los siguientes planos:
231=0 246 5 =0
Determinar el valor de k para que sean: a) Paralelos.
b) Perpendiculares. Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geómetra, Scilab, Octave o Matlab.
Solución:
2 2 31 = 0 4 65 = 0
Para que sean paralelos los planos, basta con que los vectores normales de los
23 2465=0
planos sean múltiplo escalar uno del otro es decir, para el plano
1=0
,2,3 2,4,6 2,4,6=,2,3 2=,4=2 6=3 = = ,2,3=2,4,6= 122,4,6= 122, 124, 126 =1,2,3 =1
el vector normal es
vector normal es
y para el otro plano
, entonces
De esta manera
,
, despejando el valor de
con lo cual si sustituimos el valor de , entonces
Con lo cual el valor de
.
y su
Perpendiculares para que los planos sean ortogonales el producto interno entre
231=0 ,2,3 246 5=0 2,4,6 ,2,3 ⋅ 2,4,6 =2818=226=0 los vectores normales de ambos planos sea igual a cero. Si para el plano el vector normal es
y su vector normal es
y para el otro plano
, entonces
Solucionando la ecuación
Con lo cual el valor
=13
226=0 2=26 =26/2=13
Ejercicio 5. Aplicación de conceptos planos en la solución de problemas básicos Descripción ejercicio 5. Resolver los siguientes ejercicios: Obtener la ecuación del plano que contiene el punto P 0 (1, 2,3) y cuyas coordenadas del vector normal son: n (1,-1, 1) Compruebe gráficamente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
=1,2,3 →=1, 1,1 = 1 1 1 =0 =1,1,1 →=,, 111213=0 123=0 2=0 =2 )
Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A (1, 2,1); B (1, 0,1); C (0, 1, -1). Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
A (1, 2,1); B (1, 0,1); C (0, 1, -1)
=1,0,11,2,1=<0, 2, 0> =0,1,1 1,2,1 =<1,1,0>
∗= 10 21 00 ∗=21 0010 0010 21 ∗=[00][00] [20]=002 ∗=→ =,, 1,2,1 =<1,2,1> ∗→=0 <1,2,1>∗002 1∗02∗01∗2=0 0022=0 2=2
Ejercicio 6. Grafica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de soluciones. En grupo utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos, para graficar cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
Descripción del ejercicio 6 a) Para cada sistema de ecuaciones graficado, analicen cómo son las rectas entre sí. b) Resuelvan los sistemas de ecuaciones anteriores aplicando alguno de los métodos analizados en ésta unidad. c) Indiquen en qué casos pudieron encontrar una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. d) Clasifiquen las soluciones de cada sistema según las rectas obtenidas.
32 = 2 64= 7
● No tiene punto de intersección ● El sistema no tiene solución
● Por sustitución
32 = 2 3= 22 = 22 3
64= 7 622 3 4 = 7
Reemplazamos en
1212 3 4 = 7 123 123 4=7 444=7 4=7 ● Para este caso el sistema no tiene solución.
2=1 25 = 0
● Tienen un punto de intersección ● Tiene una solución ● Por sustitución
Despejamos
2=1 =12y
Reemplazamos en
25 = 0 212y5 = 0 24y5= 0 4y5 = 2 = 2
Reemplazamos
=12y =122 =5 ● Tiene una solución
64=7 23 = 1
● Son paralelas con punto de intersección ● Tiene una solución
● Por sustitución
64=7 6=47 = 47 6 Reemplazamos
23 = 1 247 6 3 = 1 47 3 3 = 1 43 3 73 = 1 133 = 73 1 133 = 103 = 103 ∗ 133
= 1013 = −
Reemplazando en en
10137 4 = 6 = 1726 ● Tiene una solución
3=4 39= 12
● Coinciden con puntos infinitos de intersección ● Tiene infinitas soluciones ●Por sustitución
Despejamos
3=4 =34 Reemplazamos
3349 = 12 9129 = 12
99 = 1212 ● Tiene infinitas soluciones
3=4 9 = 6
●no son paralelas, tienen un punto de intersección ● Tiene una solución
● Por sustitución
Despejamos
3=4 =34 Reemplazamos
9 = 6 349 = 6 349 = 6 394= 6 124= 6 12 = 64 12= 10 = 1012 = 56
Reemplazamos
3=4 356=4 156 =4 =4 156 = 32 ●Tiene una solución
